Jorgenson, Dale W.: Gazdasági idősorok szezonális kiigazítása

1040

letesen ismertető kiadvány, amellett, hogy ismételten felhívja a ,figyelmet a hibák okozta nagy torzításokra és ezek vizsgá—

latainak fontosságára, hasznos elméleti és gyakorlati segítséget nyújt a háztar—

tások kiadásainak statisztikai megfigye—

lését tervező és ilyen vizsgálatok ered—

ményeit felhasználó szakemberek szá—

mára.

(Ism.: Tekse Kálmán)

*

JORGENSON, DALE W.:

GAZDASÁGI IDÖSOROK SZEZONALIS K ! IGAZfTÁSA

(Minimum variance, linear, unbiased season- al adjustment of economic time series) (Journal of the American statistical Asso-

ciation. 1964. szept. 681—724. p.)

A tanulmány célja, hogy a statisztikai irodalomban már régen kialakult és a gyakorlatban is alkalmazott módszerek eredményeit felhasználva egy új, statisz—

tikai, illetve valószínűségszámitási szem- pontból Vizsgálja meg a szezonalitás kér- dését, s ennek alapján új számítási mód—

szert nyújtson.

Közgazdászok és statisztikusok meg—

egyeznek abban, hogy gazdasági idősorok két determináló tényezőt (trend és szezon) és egy véletlen tényezőt foglal—

nak magukban. Ezek szerint, ha vala—

mely idősort a determináló tényezők függvényében vizsgálunk (1 egyenletes modellt állítunk fel), akkor világossá válik, hogy a komponensek megállapí—

tása becslési probléma. Ez a becslési eljárás az általános statisztikai modellek becslésének módszertanán alapul, mivel a modell változói valószínűségi változók, melyeket statisztikai idősorok reprezen—

tálnak.

Az idősort alakító különböző tényezők közötti kapcsolatot additivnak feltéte—

lezve, az egyenletet a következő formá- ban írhatjuk:

:d—l—s—i—e

ahol:

?l— az idősor,

d— a trendtényező,

s— a szezonális tényező, s— a véletlen tényező.

A véletlen tényezőről feltételezzük, hogy várható értéke nulla. Ezek után a determináló tényezőket felírjuk a vál—

tozók és a paraméterek lineáris kombi- nációjaként.

*A szezonális tényező figyelembevétele:

s : S a'

ahol:

arr a változó értékeit reprezentáló egységmatrix, melynek trendje megegyezik az idények (hónapok vagy negyedévek) számával a'—-— a szezonális paraméterek vektora A nem szezonális (trend) tényezőt két—

féleképpen vehetjük figyelembe.

a) Az első eljárás szerint előbb kiszűr- ' jük a trendet, s csak utána becsüljük meg a szezonális paramétereket.

A trendtényező kiküszöbölését az ere—'—

deti sor egy bizonyos lineáris transz—

formációjával végezzük. Feltételezve, hogy ez a transzformáció mozgó átlagolás, és a mozgó átlag súlyait L matrix tartal—- mazza, a trendtényező kiküszöbölését a következő reláció jelöli:

Ld:0

b) A másik módszer a trendtényező szimultán, a szezontényező' becslésével egyidőben történő megközelítése.

Ebben az esetben, ha a trendválto'zó értékeit a D matrix, paramétereit pedig a övektor jelenti, a trendtényezőt adó lineáris kombinációt a következőképpen írhatjuk:

d : Dö

Jorgensen rámutat arra, hogy a kétféle eljárás ekvivalens. Valamely idősor sze—

zonális számításainál a modell felállítá- sánál el kell dönteni, hogy az avagya'b módszert fogjuk-e alkalmazni a trend—

tényező figyelembevételénél, s ennek megfelelően L mátrixot vagy a D mat—

rixot kell előállítanunk.

Az említett matrixok előállítása az egész számítási menet legfontosabb pont—

ja. A lényeg egy —— az n elemű euklideszi térben végzett —— lineáris transzformáció, amely az L matrix sorait, illetve a D matrix oszlopait jelentő orthogonális vek—

torokat szolgáltatja.

Az előbbiekben elmondottak szerint a modell egyenletének felírása, s így a becslés is kétféleképpen történhet.

a/ LyzL(Dö—1—Sa'-i-e)zLScr—i—Le

Ahonnan az Aitken által kidolgozott általános becslési módszer szerint a sze—

zontényező paraméterének a legkisebb szóráson alapuló torzítatlan' esztimátora (ő- ) a következő:

a- : [S'L'(LL')*'1LS]'1S'L' (LE)—11.31

b/ y : Dö—l—So'te )

ÉRTEM IRODALMI FEGYELÚ

Ebben az esetben a legkisebb négy—

zetek tmád'szerével becsült paraméter—

értélz egybeesik a legkisebb számsor;

alapuló perméterrértekkel, tehát a paraméterek becslése a következő egyenlet szerint megy végbe:

[a] [un vel—* ;D'y]

.; s'n s's, S'yv

Egy szezonálisan kiigazított sor az ere- deti sornak egy meghatározott transzfor- mációja. A kiigazítás jóságának megálla- pitását egy különbség megvizsgálá'sával végezzük. Ez a különbség az illető mőcl—

szerrel kiigazított sor és egy olyan kiiga—

zított sor közötti különbség, amit akkor kapnánk, ha ismernénk a szezonális paramétert (nemcsak becsülnénk). A leg- kisebb szóráson alapuló módszert, úgy lehet definiálni,, hogy az e módszerrel végzett kiigazítás esetén e különbség varianciáia minimális. (Torzítatlan becs- lés csak azt biztosítja, hogy e különbség várható értéke nulla.);

A szezonális, számítások utolsó lépése az előrebecslés. Szóba jöhet az eredeti sor vagy a kiigazított sor extrapolálása.

A minimális szóráson alapuló módszer szerző szerint a leghatékonyabb előre—

beeslést biztosítja.

J'orgenson tanulmánya végén rámutat arra, hogy az általa ajánlott módszer rendelkezik e más szerzők által szük- ségesnek tartott, három tulajdonsággal, az orthogonalitáSSal, idempotenciával és

szimmetriával. SZerinte ezek szükséges,

lis kiigazításnak. Végül kitér a módszer végső következtetéseire és alkalmazási körülményeire.

(ls—m.: Hutaák Katalin)

LERWiGK-i T. R.:

ammz'lóe EGYDTTHATÓH maximum emeumau amen—Bee

matemakm REZIWUMGK sam-ÉN- Mm iikeiihow eStimateu ot teras—

sign megadta-ma; for the case ot autocorne ated residuais.) —— Technomemcs. 19651 1. sz. sr—

58 ez

A klasszikus lineáris regressziós mo—

dell

k: l, 2,...,n

m

yk * Z őiwik tük iz!

esetén uke rezideumokrél felteszik, hogy fügwmm 0 várható értékű és emeles szórása iiormális eloszlású veletlen vál—

7 Statisztikai Szemle

1041

temók. Ezen feltételek közül- a dolgozat az elsőt hawja el, illetve a független—'—

séget a reziduumok speciális, autekerrelá—

ciójável helyettesíti. Szerző ui. azt a modellt vizsgálja, ahol a reziduumok kovariancia matrixa

Eza-ZS

alakú, Sij : H' *"(M ( Delemekkel. Megjegy—

zendő, hogy különösen gazdasági idősorok alapján történő regressziós elemzések esetén általában reálisabb a reziduumok autokorreláltságát feltételezni, mint füg—

getlenségüket.

Szerző által vizsgált modellben így a

szokásos 13; és 0-2 paramétereken kívül az t' is becsülendő paraméter. Könnyen lát- ható, hogy a ): kovaríancia matrix

inverze

Z

"""" 1 a W

ani—ri)

ahol Z olyan matrix, amelynek főátlójá—

ban az első és utolsó elem 1, a többi 1 -(-I'2, a főátló melletti elemek értéke

——-r, a többi elem pedig 0. Az is meg—

mutatható, hogy Z TOT alakban írható, ahol T olyan matrix, amelynek főátlója az utolsó elem kivételével 1, ez utóbbi

Vl—rz, a főátló feletti közvetlen elemek

értéke —r, a többi elem pedig 0.

A modell: paraméteeeit a maximum!

likelihoed módszerrel lehet becsülni; A tett feltevéseit mellett a likelihood függ—

vény logaritmusa (illetve annak nega—

tívja):

L:- ——nln2n$—é—nln02*

V"V 2030 —— rz) ),

—i- ím — 1)-ltn(l —— rz) -i-

ahol

: Tu és u : Y ——XB

azaz u a reziduumpk vektora. L—et dit—fe;

renciálva a becsülendő paraméterek sze—!

rinti, a. becslésekre— végül az alábbi egyen—

letrendszer adódik:

B a [X'T'TXJ—l X'T'TY

5-2 ; u'u/m ! /l/

73—i

Zuóui-i—i

_ez—, ' ,

MW