Kvalitatív és korlátozott endogén változójú ökonometriai modellek

KVALITATlV ÉS KORLÁTOZOTT ENDOGÉN VÁLTOZOJÚ OKONOMETRIAI MODELLEK

MÁTYÁS LÁSZLÓ

A közgazdasági elmélet fejlődése az utóbbi évtizedben egyre gyakrabban

hozott a felszínre olyan problémákat, összefüggéseket, melyeket az ök—onametriai

modellezés hagyományos eszközeivel lehetetlen megragadni. fonmiailizálni. Az egyik

ilyen a modellezés szempontjából újszerű és fontos kérdéskör a kvalitatív és kor-

lótozott 'eredimxéinyváltozók szerepeltetése a klasszikus lineáris regressziós modell-

ben.

Az írás fő célja elméletileg áttekinteni (elsősorban becsléselmé'leti szempont- ból) a leggyakrabban alkalmazott ilyen modelleket, rávilágít—va, hogy milyen jelen- ségek modellezésénél célszerű. illetve lehetséges használatuk.

Miről is van tulajdonlképpen szó? Tekintsünk egy olyan jelenséget, amely a legjobban úgy modellezhető, hogy feltételezzük: az endogén (függő) változó meg-

figyelései binánls jellegűek, vagyis kizárólag 0 és 1 értéket vehetnek lel.1 Vizsgál-

juik például, hogy adott gyógyító eljárásnak (az erre vonatkozó megfigyeléseket

az egzogrén (magyarázó) változók tartalmazzák) milyen a hatása az adott beteg-

ségben szenvedők például 1 éves túlélésére. A problémát farmalizc'rló mod-ell ered—

ményvóltozója bináris. vagyis 0 vagy 1 értéket vehet fel attól függően, hogy a

megfigyelt beteg túlélte-e a kitűzött periódust vagy sem. A gazdasági -— elsősor-

ban amik-ro- — folyamatok modellezéséiniél is számos olyan jelenséget találunk.

melyeket bináris endogén változóval célszerű modellezni (például. ha a vállalati

meguszűnnéseket vizsgáljuk, akkor az erre vonatkozó endogén változó bináris attól

függően, hogy adott vállalat megszűnt-e vagy sem). Az ilyen binaris endogén vól— , tozók kvalitatív jellegűek. hiszen egy helyzetet, ennek létét vagy nemlétét testesítik

meg. Ekkor azonban a klasszikus lineáris regressziós mod—ell alapteltevései nem teljesülnek. így a hagyomanyos pnamétenbeaslési és modellértékelési eljárások nem

alkalmazhatók.

Nézzünnik most egy másik problémát! Modellezzük a bizonyos ideig megfigyelt

háztartások tartós fogyasztási cikkekre (például gépkocsira) forditott kiadásait.

Világos. hogy sok háztartás a megfigyelési periódus alatt nem vásárol ilyen cikke- ket, mivel ezek beszerzése nem mind—enapas. Ennek megfelelően a kiadási össze-

gek megfigyeléseit tartalmazó endogén változó megligyelésvektoráiban sok zérus elem lesz. Ez annyit jelent, hogy az endogén változó megligyeléseinek eloszlás—a

csonka, mivel tényleges kiadásként csupán bizonyos küsszöbösszegek feletti kiadá—

saik jelentkeznek (ilyen küszöb, pél'dóinknól maradva, a legolcsóbb gépkocsi ára).

* Nem keverendő össze a ..dummy" változókkal. amelyek mesterséges magyarázó változók.

MÁTYÁS: UKONOMETRIAI MODELLEK 695

A gyakorlati modellezés során sok esetben szükséges ilyen csonka elo'szlósú vól—

tozó figyelembevétele. A klasszikus lineáris regressziós modell keretében termé- szetesen ebben az esetben sem tudunk továbblépni.

BlNÁRlS ENDOGÉN VÁLTOZÓJÚ MODELL

Tekintsük a következő általános alakú bináris modellt (megjegyzendő, a biná-

ris modelleket a leggyakrabban keresztmetszeti vizsgálatokban alkalmazzák, így T

itt csupán a megfigyelések szórmót jelöli):

P(Yizllxilelxi'ffl ia1,...,T /1/

ahol:

P(y;:1!x,-) — annak a valószínűségét jelöli, hogy az y,- binóris változó 1 értéket vesz fel, ha x,- realizálódik;

x; —- az egzogén változók megfigyeléseit tartalmazó mátrix i—edi'k sora;

-— az ismeretlen paraméterek vektora;

F — adott függvény.

Ha az F függvényről feltételezzük. hogy:

a) F(x) : x, vagyis lineáris, akkor az /1/ modellt lineáris valószínűségi modellnek szo- kás nevezniz;

X

b) F(x) :: (P(x) : f(2 II)—mexp[—t2/2] dt, akkor az /1/ modellt probit modellnek szo-

...,oo

kós nevezniz;

C) F(X) :

X

1 te;, akkor az /1/ modellt logít modellnek szokás nevezni3.

A betegség—halálozás példánál maradva az /1/ modell azt formíalizólja, hogy

mai a va'lószlnűsége anlnaik, hogy adott rbeteg. aki az X móltrixban megfigyelt ke—

zeléseken átesik. életben 7marad.

A lineáris valószínűségi modell A modell ebben az esetben:

Yizxi'fllui í:1,...,T

/2/

szB—l—u

Mivel az endogén vóxltozó csupa i és 0 értékeket vehet fel, így az u; reziduuóflis

változó is csupán az (1 —x,—'/3) és az (—x,'/3) értékeket veheti fel. Tavóbbó, ha feltesz—

szülk, hogy E(u;) : 0 (V; i: 1. . ... T), akkor annak valószínűsége. hogy u; az

(1 —x,fy3) értéket veszi fel (xíyő'). és annak a valószínűsége. hogy a (——x;—/3) értéket veszi fel (1 —x;5). Ennek megfelelően (xíyő) úgy értelmezhető, hogy ez — x; feltétel—e ese—

tén -— annak a feltételes valószínűsége, hogy az adott bináris esemény bekövetke—

zilk. Ebből! a megközelítésből adódik, 'hogy to /2/ modell ellajuló !is lehet. abban az értelemben, ha x§6€ 0 vagy xí/í) 1 akkor a megfelelő valószínűségek nem esnek a (0, 1) tartományba. Ebben az esetben ajánlatos a elogsilt vagy (: probit modellt al—

kalmaznai (: jelenség modellezésére.

3 Az elnevezés arra utal. h y a modell egy esemény bekövetkezésének valószínűségét formalizálja.

3 Az elnevezés logisztikus va ószínűségi modellre utal.

696 MÁTYÁS mszto

A /2/ modell paralmételrvektomónfa—k beoslésénél alapvetően két nehézség je- _

lentkezick. Egyrészt a modell reziduálits változójáxnatk kovanilauneia—vmáctrixu nem

skalár típusú (E(u u) : 2), mivel a

V" ("i) : (x.-'ő) (1 _ Xi'ffl : 0?

összefüggés következtében lheteroszkedavszticitáns érvényesül, másrészt az u; reziduú-

lis változók — magától éntetődően — nem normális eloszlásúrask. A hetero—szkedsa'sz-

tioitá—s problémája viszonylag könnyen áthidalható, csupán az általános—ított leg—

kissebb négyzetek módszerének alkalmazása szükséges. A Z kovamiancia-lmátbix

diagonális. ls diagonális elemeinek lkonzitsztens becslése lleön nyen előállítható:

?nzx/fíu — mi),

ahol a B a [3 paraméter vektor vall-amilyen konzisztens becslése. SOljanlS ha o [2/

modell eleazjuló. akkor a (? ,- értékek lnrega'tívvalk is lehetnek. _ _ Összegezve. a [2/ lineánifs valószínűségi modell [3 paraméter (rektorának kon- zisztens becslése nyerhető mind a EklOlSSlekUlS legkisebb négyzetek módszere. mind az általánosított leg—kisebb négyzetek módszere segitségével, de ez utóbbi haltá—

sosa'bb.

Ami a :reziduállis változó nem normális eloszlásának következményeit illeti.

ezek a vártnál kevésbé zalvaxrák. Belátható ((2) 16-21. old.), hogy ez — abb—am az

esetben, ha a sztooholsztiíkuslnlalk te'ldi—nxtvett magyarázó változók együttes eloszlása normál—364 — nem befolyásolja az F- és a tiprőbák értékét, így ezek a próbák az [1/

modell esetén is alkalmazhatók. (Ami a xnonmwalitás hiányának a hatékonyságra

gyakorolt hatását illeti, lásd (5) 297— 321 ol.d)

A probit és a logit modellek

Plrábálj'uwk meg modellezni, hogy adott megfigyelt háztartásoknál mi határozza

meg például a szines telwevíziólk iránti igényt. Ezt az igényt természetesen sem

ménni. sem közvetlenül! megfigyelni nem lehet (itt párhuzamosság fedezhető fel (:

latens vá'lrtozós megaközelítéselldkel). Azt viszont meg tudjuk figyelni. hogy adott— ház-

tartás vásárolt—e %szinfes televíziót vagy sem. Jelöljük y; -gall (i : 1, . . ., T) a szines

televíziók iránti igényt az íeedik háztoántásnál és yi-vel azt, hogy vásárolt-e szín—es

televíziót vagy sem. A modell tehát:

yfzxi'Bá-u; iz1,...,T

ahol y,-' változót nem tudjuk megfigyelni, de az alábbi bináris változó megfigyel—

hető:

Yi : 1 ha Yl' ) 0

l y,- : O különben.

Ennek megfelelően

P(Yiz1lxi): P(U; ) — Xi'B):1"F(—xillg)r

ahol F az u; változók (kumulált eíloszlá—stüggrvénye. Abban az esetben. ha feltéte-

* Ez feltételezi, hogy a magyarázó változók között nincs bináris változó.

UKONOMETRIAI MODELLEK 697

l—ezzülk, :hogy az u; valószínűségi változók inonmólis eloszlówsúalk és függetlenek (u;NN(O.02) Vii : l,. . ., T), akkor a pneblt modellt kapjuk:

—'X

F ( —x,-' 5) ___?(Én—m exp l— (th dc. /3/

Abban az esetben, ha azt tételezzük fel. hogy az u; valószínűségi változók kumu—

lólt eloszlása logisztikus, akkor a logit modellt kapjuk:

exP(—X.-' 19) _ 1

1 Jr exp(-—x,-'/3) " 1 'l- exPíx,-'i8)

F l—Xi' 13) : /4/

A logit modell lényegét talán könnyebb megérteni, ha felírjuk a következő

egyenlőség formájában is:

log [M] : Xi, [;

1—P(Yí:1lxi)

Megjegyzendő egynészt. [hogy a kumulált logisztikus és normális eloszlás nagyon

hasonlít egymáshoz, így a két megközelítés a gyakorlatban nem nagyon különbözik ((G) 23—24. old.), másrészt, hogy elméletileg számos más kumulált eloszlás is le- hetséges. de ezek ritkán ihKaíszníc'd—atos—ak.5

N'ézzütk most a 13 parawmétervektor becslését a maximum lick—elikhood módszer segítségével. A linkeli'hood függvény a következő:

L (őlY') : UFl—Xi'BHIU — Hdt/B))—

yr——0 m:"

Attól függően, hogy az F függvény [3/ vagy /4/ szerint alakul, elvégezhető a like-

lihood függvény maximalizálása, ami a patraimwétervektor becslését (szolgált-latina.

Belátható, hogy az így kapott becslés kellően általános feltételek mellett ((4) 268—

275. old.) (konzisztens és faszixmrptotiku—saín .normóli's eloszlású. Sajnos a /3/ el—oszlőss esetén nincs mód a B és a 0'2 paraméterek szétválasztására. így azzal a feltétele—

zéssel szokás élni, hogy 0'2 : 1. A paraimétenbeaslések Aszignlfiskvanciójót az

aszimptotikus xkovariiano'ila-mátrix segítségével lehet ellenőrizni, (kihasználva a becs—

lés aszimptotikus normalitás-ót ((4) 272—273. old.). További kérdés a modell illesz—

kedésénelk vizs—gálata. Ez a legkevésbé bonyolultan a determinációs együttható egy (módosított változatával és a llikelihoodaaróny teszt segítségével végezhető el

((2) 37—41. old.).

Abban az esetben, ha az i-edik megfigyelés ismétlése a modell változói-nől

többször is lehetséges (például ha idősorok és keresztmetszeti adoto-k együttesen állnak rendelkezésünkre), akkor az /1/ modell paramétereinek becslése még a /3/, [4/ esetekben is egyszerűen elvégezhető a legkisebb négyzetek módszerének segít-

ségével ((4) 348—354. old. és (1) 345-348. old.. (2) 28—32. old.).

Az /*1I modellnek könnye—n előállíthatók olyan óltalónosítósai, ahol az endogén változó megfigyelései (nem bi-nórisatk, hanem 3. 4 stb. értéket vehetnek fel

((4) 286—310. old.), ezek azonban a gyakorlatban ritkán használatosak

A logit és a probit modellek gyakorlati alkalmazása az utóbbi évtizedben ter- jedt el nagyon (bár egyes elemei már a hatvanas években ismertek voltak), első- sorban annak köszönhetően, hogy jól alkalmazhatók a fogyasztói viselkedés, külö—

bb 5 A gyakorlatban sokszor a logit modellek könnyebben értelmezhetők, így használatuk a legelterjed—

te .

698 MÁTYÁS LÁSZLÓ

nösen a fogyasztói döntések modellezésére ((3) 257—260. old., (2) 59—78. old..

(6)). Tekintsünk T számú fogyasztót (háztartást), akik adott fogyasztói döntés meg—

hozatalakor ] számú lehetőség közül Választhatnak. Legyen Píj (i ? 1... T.

] : 1... .. !) annak a valószínűsége, hogy az i—edik fogyasztó a í-edik lehetősé—

get választja. Belátható ((1) 352—357. old.), hogy a hasznossagi függvény és preferencia-rendezés elméleti keretében mozogva, a Pij valószínűségek meghatá- rozása a probit és a Iogít modellekre vezetődik vissza.

A CSONKA ELOSZLASÚ MODELL

Fonmalzizó'ljuxk az írás elején a csonka eloszlású modell illusztrálására bemu—

tatott példát:

y; :: x,- 6 —l— u,- ho a küszöbértéket figyelembe véve y; megfigyel—hető, /5l*k y,- : O különben,

ahol az u; reziduólizs változók függetlenek. zérus várható értékűek és nemmel—lis el—

OSiláBÚOlk (u,- N N [0.02]),

Az /5/ modell azt fogalmazza meg (a példánál maradva). hogy az i—ecl'ifk fo-

gyasztó gépkocsira fordított kiadásai y,- : xi'ő —l— u.- szeni-nt alakulnak, ha vételi

szándéka van, és legalább a legolcsóbb gépkocsi á—rón'axk megfelelő pénzösszeg a rendelkezésére áll (és ezt fhfau'laindó erre elkölteni), ellenkező esetben pedig a

fogyasztó ilyen kiadása 0. Ezt az /5/ modellt szokás az irodalomban tobit modell—

nek nevezni.6

A továbbiakban a tárgyalás egyszerűsítése érdekében feltételezzük (ezt az általánosság csonbító-sa nélkül megtehetjük). hogy

a) a küszöbérték zérus vagy y,— : xi'ű, ha y,- :— O és y; : 0 minden egyéb esetben, b) az /5/ modellben a változók megfigyeléseit úgy rendezzük. hogy az első Ti megfi- gyelés, ahol y,- ;6 0, lesz először, és utána TO szól-mú megfigyelés jön, ahol y; : O.

Ezután a /5/ mode—ll felírható az

E(y,-lx,-.y;)0)——:x,v'ő—i—E(u,-ly;:—O) l:1,...,T1 [ól

formában is. Sajnos az Hu,-ly; )O) vámható érték nem zérus, így az /5/.mod—ell

KLNM-abecslése torzított:

02

EluilYi)0)2-'E(Uilui)"Xi'lgiz—J-li /7/

ahol:

_ : f ( —xi' 5/0)

' 1—F(—x;'B/a)

valamint az f és F függvények a standard normális eloszlás kumulált sűrűség, illetve eloszlás függvény—e. A modell ennek megfelelően fel'í—nható a (következő talalk-

ban is:

O'

2

ElYilxi—Yi)o):xi/B'l'7/li ist-u-Ti

' I. Tobin által bevezetett probit tipusú modell.

UKONOMETRIAI MODELLEK 699

Rátérve a parolméiterbeosléls-ek problémájára. először irjuk fel a modell like- lihood függvényét:

Lw,aiy):11[1—F(—*3l)] UFF—É]. /8/

T., a n 0

Ennek minimalizálásával előállítható a B/o' paraméter vektor konzisztens és

aszlm'ptoatilkusan normális eloszlású maximum likelihood eszitim—átora. Sajnos a

lilkelliihood függvény alakjából következően a 6 és a 0 paraméterek a becslés

folyamán nem választhatók szét ((4) 366. old.). Amemiya egy másik — két lépéses

— paraméterbecslési eljárá-st javasol ((4) 368—375. old.). A /6/ modellfonmából kell kiindulni, felhasználva a /7/ várható értéket. Első lépésben az ML esztimútor segít—

ségével becsüljük a [3/(7 hányadost, majd ennek felhasználásával a második lé—

pésben a /6/ modellre alkalmazzuk a legkisebb négyzetek módszerét, ami ebben

az esetben konzisztens és aszimptotikusan normális eloszlású becslést eredményez 05 és a 0' paraméter-ekre. Ennek az eljárásnak az előnye. hogy a 5 és a a para- méterek becslései elkülöníthetők.

A tobit típusú modellek sokféleképpen általánosíthatók ((4) 383—408. old. és (2) 165—192. old.), de ezek közül a leglényegesebb az a megközelítés, amikor fel-

tételezzük, hogy nem csak az endogén változók megfigyelései nem léteznek (zéru- sok) bizonyos esetben, hanem akkor ez exogén változók sem megfigyelhetők. (Mert

mint a /8/ likellhood függvényből kiderül, a hagyományos to—bift modell becs—lésé-

nél az yi— O esetekhez tartozó magyarázó változók megfigyeléseit felhasználtuk.) Ilyen eset fordulhat elő -— a már idézett példánál maradva — ha bizonyos háztar- tások gépkocsira forditott kiadásait vizsgál-juk. de a megfigyelések közül kihagyjuk a túl magas (vagy túl alacsony) jövedelmű háztartások megfigyeléseit. Az ezt for- malizáló .modelllihez és paramétereinek becsléséhez kapcsolódó gondolatmenet ha- sonló, mint a hagyományos tobit modellek-nél ((2) 165—170. old.).

Reméljük, hogy ez a rövid irás felkeltette az alkalmazók figyelmét, s így az ismertetett modellek Magyarországon is felhasználókra lelnek.

lRO DALOM

(1) Fomby, T. C. — Hill, R. C. -— Johnson. S. R.: Advanced Econometric Methods. Springer-Verlag. Ber—

lin. 1984. 624 old.

(2) Maddala. G. S.: Limited-dependent and aualitative variables in econometrics. Cambridge Univer—

sity Press. Cambridge. 1983. 401 old.

(3) Chow. G. C.: Econometrics. McGraw—Hlll Book Company. New York. 1983. 431 old, (4) Amemiya, T.: Advanced econometrics. Basil Blackwell Ltd. Oxford. 1985. 521 old.

(5) Judge, 6. G. - Griffiths. W, E. —- Hill, R. C. - Lee, T. C.: The theory and practice of ecometrics.

John Wiie and Sons. New York. 1980. 810 old.

(6) cFadden, D. L.: Econometric analysis of guolitotiv of response models. Megjelent: Handbook of Econometrlcs. l.—-ll.-—lll. Szerk.: Z. Griliches — M. D. Intríligator. North Holland. Amsterdam etci 1984. 2107 old.

TARGYSZO: Paraméterbecslés. Ókonometrial modell.

PE3lOME

B csoeü crarbe aarop npousaonm oősop Inec-ro npnmennemux :; one aonome'rpu- uecxoro Monenupoeaum 3KOHOMHHECKHX npoueccos Monenei'i l'lPOEHT, J'lOl'MT " TOBHT B nepayio (Népem, c TOHKH sperma mx nocrpoeHnn " Teopun oueHox.

HaCTaaan Ha ux pacnpocrpaHeHnu s otenecraennoü apam-uke, Bhicxaabiaaer MHel—meo TOM, Koma " a Kaxnx ycnoamux Bosmomno u,cooraercraenuo,u.enecooőpaano anMeHSITh am MernM.

700 MÁTYÁS: UKONOMETRIAI MODELLEK, ' *

SUMMARY

The outhor decis in his orüícle with PROBIT, LOGIT and TOBIT models, freouentiy used for econometric modeiling of economic processes, primoríly from the point of view

of model construction and estimotion theory. '

He urges on their propagotion in Hungary, and takes up a position when and under who't conditions the models can be applied or their application is expedrieant.