§ 26.
Ita etiam si mentio unitatis non fieret, dum quaeritur, B quale mensum
sit? subintelligatur Unitatis. Sit ex. gr. 2{^)tum\ quaestio facile oritur
quantitate a se offerente, num si a esset unitas, detur tale ö, de qua si
qutereretur, quale mensum sit, item per 2(3)/«OT responderetur; aut
poterant tales a et b obviam venire, ut etiam b per a mensum, sit huius
2(3)ium. Hinc sequens conceptus oritur; si ad quaestionem quale mensum
sit b ipsius a, ita responderetur (§ 19. et 21.), quam ad quasstionem,
qualenam mensum est B (nempe unitatis A): tum reperire b ex a et B,
dicitur mnltiplicare (sensu strictiore, qui mox fiet latior) a per B \ et a
dicitur multiplicandus, B multipiicator, uterque verő nominatur factor,
et b factum, quod proprie aeqmmensum est.
SECTIO PRÍMA. 41
§ 27.
Hinc facíle quaestio oritur, e posito facto b et ex a quaerere huius socium B, seu ex b et B huius socium a; nempe talem socium quaerere, ut sí alteruter eorum multiplicandus et altér iiuiltiplicator sit, factum b prodeat. Reperire talem factorem socium ipsius a (ve! ipsius B)t dicítur dividere b per a (vei per B).
Dicitur b dividendus; is, cuius socius quaeritur, divisor; socius verő quotus audit. Denotatur quotus, qui prodit / per q diviso, per £ vei p : q ; factum verő, quod prodit a per B multiplicato, denotatur per B.a
aut simpliciter per Ba (nisi aliud monitum fuerít).
§ 28.
Imagines multiplicationts et divisionis generales patet esse sequentes:
A = nu, B = mu; a = nv, b = mv;
A = nu, mu-"— B\ a = nv, mv-*~- b;
^4:=«w( .# = — w«; a = nv, b = — «ÍI»;
-Í4 = MM, — mu-'^. B\ a = nv t — mv— b ;
§ 29.
Ubi patet in quavis linea horizontali imagines mensurationis ipsius B per At et ipsius Ö per a esse aequales. Facíle est cogitare loco A quamvis quantitatem, non tantum unitatem, (nec zero excepto), dummodo pro certis n, m, u, v aliqua istarum imaginum prodeat; adeoque ut ad quaestionem, quale mensum sit B' ipsius A' (sive unitas sít A', sive non) ? et ad qusestionem, quale mensum est b' ipsius a'f eadem responsio sit.
Dicuntur tum A\B1, a,b' in proportione geometrica esse.
BOLYAI, Tentsmen, 1.
§ 30.
Patet quatuor imagines priores huc quoque applicari. Quaestio se offert, quid, si duo priora ambo positiva, vei ambo negativa sínt, aut quid si opposita sintt futurum est? Facile patet in casu prioré, quale a est, tale főre h; nempe si a sit positivum, etiam h positivum, si a negatívum, etiam b negatívum főre ; in casu posteriore verő etiam a et b opposita fieri. Nam ex. gr. sit imago tertia, sit n = 2, m~ 3, et u sit negatívum, tum 2», ita 3« etiam negativum est, itaque B = — 3« érit positivum (nempe oppositum ipsius 3«, quod negativum erat); tum a = 2v, et b = — ív \ iam v aut positivum est, aut negativum; si positi-vum, tum 2v et etiam yu positivum est, itaque —yv est negativum; si verő v negativum est, tum 2vy et yv etiam negativum est; et — yv est positivum ; adeoque hse duse ímagínes exsurgent:
• • I • • * • • • • • T • . j I T J
r • 1 1 1 1 1 • r^^^n _ ^ ^ ^ ^ 1 r 1 f 1 * ^ ^ ^ ^ •
Similiter prodeunt casus omnes; nempe A vei positivum vei negativum est, pro quovis hormn duorum casuum B etiam aut positivum aut negativum est; et pro quolibet horum quatuor casuuin a aut positivum aut negativum est, adeoque octo casus sünt.
§
31-Si nonnisi de multipHcatione quaestio sit, tuin A est positivum, nempe unitas (§ 23.); adeoque quatuor tantum casus erunt:
Nam ex. gr. in ultima imagine, cum B et A opposita sint, etiam b et a opposita esse demonstratum est. Si unitas quantitas negaliva esset vei ponatur, érit 1 - . ^ ^ , - . ^ p e r eandem rationem.
Quantitates, quarum realitás multiplicationi quoad — r innixa est, dicuntur imaginariae fvide infra}.
SECTIO PRÍMA. 43
Cum verő litéris ex. gr. a}b tain positiva quam negativa denotare líceat, atque cuilibet fas sit signum — praefigere ; qusestio oritur, quod-nam sit signorum -t- et — signum facti e factoribus ±a et + b vei
^bf Res facile in casus dístingvitur; nempe si -+- a sít, tűin est aut -+- b aut — b, et sí a positivum sit, érit item b aut positivum aut nega-tívum, pariter sí a negatívum sit; ítaque -\-a habét, si a positivum sit, 4 casus, nempe 2 pro -f- ö, et 2 pro — b ; pariter habét 4, si a negatívum sit; adeoque -í-ö habét 8 casus; pariter —a habét 8; adeoque 8 —f-8 casus sünt, quos singulos construere facile est, et tyronibus relinquitur;
ac percurrendo singulos, patet regulám generalem prodire, quod signa aequalia dánt H-, signa inaequalia — ; nempe si facto e literis ipsis signum ita prsefigatur, factum prodibit 4-1 vei »—• ita, uti re ipsa est;
ex. gr. sit a positivum et b negatívum, et sit multiplicator —a, et mul-tiplicandus -hó; érit ista imago »-!-«<—••—"-í-*, nempe factum 1—>a.t—>b (per dicta) positivum érit; at — ab quoque positivum est, nam a b tanquam factum ex positivo et negativo est negatívum, itaque — ab est positivum. Pariter si a positivum et b negatívum sit, -h a. -h b est H- ab, nam tunc factum e positivo et negativo est negatívum ; et -+- ab quoque tantura denotat ac ab. De pluribus terminis infra.
Quoad divisionem quoque eadem qusestio oritur. Dividendus sit -k~b vei —bt dívisor -ha vei —a ; tain -hb quam —b duos casus habét, prouti divisor -Hrf vei —a est, qui singuli facile percurruntur; ex. gr.
si ~- = ct adeoque ac = b, tűin ^^—• non potest esse —c; quia túra
— a . — c esset = — b \ verő — a . c = — b.
Ita percurrendo casus, generaliter patet (sensu dicto), signa aequalia dare tani in multiplicatione quam in divisione monomiorum -+-, inae-qualia verő —. (De complexis infra).
§
32-Hic ultro sequitur, etiam praster signa in casus multiplicationis divi-sionisque speciales inquirere, eosque ob oculos sistere.
1. Si multiplicator integer sit, schema sequens est; sit ex. gr.
6*
JJ U U V L— V V sive
id est seu
A = i=
la 3« l v
U t > U H U n. „ V h _ V V V
Ubi patet toties contineri multiplicanduin in facto, quoties unitas in raultiplicatore l§ 17); ita si b dividendus sit, et B integer sit divisor, quotuin toties contineri in dividendo, quoties unitas in divisore contine-tur; adeoque nomina multiplicationis et divisionis, prius ex hoc casu depromta, ad hos etiam valere, alioquin non juxta vocum, sed definittonis sensttm intelligenda.
2. Si multiplicator aut divisor B fractio vera sit:
sit
vei
. u tt u u u v v v v v A = , B = — — ; a = , b =
u u u u ti u v v v , v v
— , ±S = j ( Z = * • » , 6> = • * f
id est
3« 2« yv av.
Patet factum esse minus inultiplicando, et si B sit divisor, quotum esse dividendo ínaiorem*; nempe si divisor loco secundo fractio vera sit ex. gr. 2\Ts)tum, et qua;ratur tale, cuius b sit 2(3)/«»/, érit a quotus; ita si quaeratur pecunia, cuius sit ducatus 2[$)tum f Aliud est, si quaeratur ex. gr. linea b linese a quale inensuin sit, quod item divisionis obiectum
• alvero etti divisor unitate minőt loco leríio tlel, quotut loco ucundo proditm miior dividendo eril, si nonnísi expressio quoad unitatem ÍD cetuum veniat.
SECTro PRÍMA. 45 est; nempe b dividendus, a divisor (tertium locum tenens), B quotus est. Si a sit divisor, patet in fi.) in exemplo primo quidvis, quod 2, in altero quidvis, quod 3, in (2.) quidvis, quod %{$tum quoad suain unitatem (cuiusvis spéciéi sit ea), quotum esse; oranes hos quotos tamen eatenus aequales esse (vide infra).
Notandum verő noraen quoti, vei quotientis inde venire, quod dum olim multiplicatio ex iterata additione et divisio ex iterata subtractione deducebatur, quasi in quoto annotari concipiebatur, quoties iterari ad-denda oporteat, donec summa dividendo prima vice non sit minor, aut quoties subtractio fieri debeat, usque nihil vei subtrahendo minus rema-neat.
3. Sit inultiplicator o, multiplicandus non o; tum sit multiplicandus o, multiplicator non o; deinum sit factor uterque o; erunt schemata sequentia:
A = , £=O; Í7= • , 0 = 0 , id est
IU O« IV OV]
u u
,.u u u
A = , B = — ; (3=o, 0 = 0, id est
2u 3« 2v (prov = o), 3 ^ ;
A
— , Z? = o; a= 0, ö = o ,id est
1 U QU OV OV,
Ubi patet factum esse o, si factorum aliquis o sit; et si dividendus o sít, et divisor non o, quotum o esse; si verő divisor o sit, quotum esse quantitatem quamlibet, adeoque -Q- habere valores innumerabiles; nec factum non o esse unquam, si unus factorum o sit; adeoque - esse quantitatem hnpossibilem. Ubi valor ipsius -~- quseritur in expressione E per e dívisa, quserítur valor, cui fit Eequale vei ad quem limitem tendit expressío ^-, dum tam E quam c tendit ad limitem o.
Interiin tamen communiter accipi sólet q pro valore ipsius functionis /ir|, ívide infrai SÍ/IJC) tendat ad limitem q, dum x tendit ad /', — si alioquin valor ipsius f[r) non detur; imo q insignitur nomine quoad r eodem, quo f(x) quoad x gaudet. Ita fas est, si z tendat ad o, adeoque ^ tendat ad co
í§ 2ii, dicere quod -1- —oo. Ita -]- tendit ad o, si n tendat ad oo, et potest dici hoc sensu -\ = o. Ita log o esset quantitas impGssibilisfvide infrai; sed hoc sensu fiet — oo; neinpe e-"=-j^t quod tendit ad o, si e > i . iHis tamen mathesis carere etiain facile posset, quamvis hse loquendi formuláé nullum errorem inducant.)
4. Si multiplicator aut multiplicandus unitas sit, sünt schemata sequentia:
u u v . v A=* = it B=* = i; « = — , ö = — , id est
\u 1« \v w\
sive u u u u u ti u u , u u A = = i , B=~ - \ a— -, b— - - = B id est
3« 2« 3 (v = u) 2V.
Ubi patet, si factor unus unitas sit, factum esse aequale factori alteri, et si unitas sit divisor, quotum esse Eequalem dividendo; si verő divisor sit sequalis dividendo, quotum esse unitatem cuiusvis specieí: nempe
1.a = a , et b.i=b, et -f=b, et -?- = 1.
§
33-Sed intuendo schemata hsec, et reflectendo varise adhuc oriuntur quaestiones. Primo num seinper detur factum? et in genere terminus quartus in proportione? et an seinper idein prodeat ? (etsi permutentur factores, aut aliter utcunqiieL Si unitas sit ima he.xapeda, et multiplicator sit 4 pedes, atque multiplicandus 2 puncta lemporis (ex. gr.), factum nullum limapo ímpossibihsj est; ita si dividendus sit 2 puncta, et divisor sit integer 3,
SECTio PRÍMA. 47 pro quavis unitate generaliter quotus non datur, et nonnisi pro illő casu datur, si unitas ipsius 3 sit « puncta, et divisor loco tertio stet; nempe tunc schema sequens est:
Aliq. 1 == 3 nu, quot. = 2 « ; div. 3 = 3« puncta, divd. = 2 puncta.
Ubi patet multiplicandum Eequale 3« punctis per 2u multiplicatum dare pro facto 2 puncta; neque posse divisorem 3 loco secundo stare, quia tunc esset in duobus prioribus r et 3, et duo puncta deberent ad minimum per 3 partiri, ut sit 37».
Alioquin praster excepta, etsi incommensurabilia adfuerint, darí factum, quotum, et quartum in proportione, et unicum prodíre, utcunque sumantur n et v, et resultata operationum additionis, subtractionis, multiplicationis, divisionis (praster excepta) unica esse demonstrabitur, ut axióma V. appli-cari queat.
§
34-De uno tantum casu hic sermo sít, si factores permutentur. Patet ex schematibus, in quibus non est 0, factum esse cum inultiplicando homogeneuin, atque prodire idem, si n{m)tum sit multiplicator, {cuius-cunque unitatis n[m)tum sit); at si multiplicandus linea sít, multiplicator tempus, et permutentur, factum tempus quidem érit, sed quoad suam unitatem expressum érit Eequale facto priori; quod ad divisionem quoque applicatur.
Sint prius factores integri homogenei, ex. gr. 2 et 3, et sit 1 = #;
patet ex § 32, 1. multiplicatorem 2 dare % % % , in quo stellula qiiEevis superior ponitur deorsum bis, adeoque £ toties ponitur, quot stellulee supra sünt, adeoque idem factum esse factum etiam pro multiplicatore 3.
Itaquts in hoc casu factores permutati etiam factum idem prsebent; (de pluribus factoribus infra).
Sint factores heterogénéi, etsi non sint integri. Ex. gr. celeritas est quantitas respectiva, cuius index est spatium sub tempore t percursum.
Mens simplicitati studens pro t unitatem temporis ponit. Sit híec = 2 « , et describatur sub quovis u spatium v, describetur 2v sub 2ut et érit
haec celeritas mobilis illius; dicatur hasc Q et sit tempus T= 3« ; patet ex imagine sequente :
V V r, V V V
esse S spatium sub T percursum, atque esse S=T.Q
et esse
C
=T'
Interim sí pro t non unitas temporis, sed ex. gr. 4 « poneretur, C esset 4v, essetque T.C=6v, (pro unitate prioré 2w), et non spatium sub T celeritate illa percursum prodiret. At etiam - £ - = / " , et etiam T multiplicatum per C est = S, sed eo tantum sensu, quod -^, est quan-titas ita quoad suam unitatem expressa, uti T quoad suam est; ita T multiplicatum per C quidem dat tempus, sed tale, quod quoad unitatem suam expressum est eatenus aequale ipsi S quoad suam unitatem expresso.
Nam sit ex. gr. 5 v unitas spatii, et 2 u temporis unitas, T= 3 u sit mul-tiplicandus, et C=2v; dividatur u per 5 (juxta 1=52»), et fiat schema sequens:
* * * * * * * *
* * * * * * • *
ubi patet x esse tempus ?>{$)tum unitatis teinporis ipsius 2K = J J J J *, nam v totíes ponitur in x, quoties v in Q hoc verő toties, quoties u in 2 a, adeoque tot stellulae sünt in x in Hnea superiore, quot sünt deorsum in 2 u, ponuntur autem superiores stellulae in x toties, quoties // in 7]
nempeter; in 211 autem ponuntur item 2 stellulse deorsum positae toties, quoties v in 1 continetur, nempe quinquies. Sed factum erat antea S=3i>, quod unitatis = 5 0 item 3(5,itum est.
Notandum verő est, celeritatem esse quantitatein respectivam, cuius index spatium est, adeoque licet quodvis spatium poni arbitrarie possit pro unitate sive spatii sive celeritatis, si pro uno posita sit, iam alteri aliam dare nefas est. Sit ex. gr. celeritatum unitas illa celeritas, qua sub
SECTIO PRÍMA. 4 9
unitate temporis (nempe 2«) percurratur ex. gr. 5», tum spatii quoque unitatem 5?' esse oportet; et si spatü unitas 5» sit, celeritatum unitatem illám esse oportet, qua sub unitate temporis percurritur $v. Ita prodit spatium e celeritate multiplicata per tempus, uti prius; imo et schemate fpro T—\)\
prodire spatii unitatem, si celeritatis unitas per temporis unitatem mul-tiplicetur, et spatii unitatem per temporis unitatem divisam dare unitatem celeritatis patet.
Talis est conceptus densitatis; et ibi quoque densitatis (quae pariter respectiva quantitas est, cuius index massa est, sub unitate volumínisj, et massEe eadem unitas est.
Plures quoque eiusmodi conceptus dantur, qui sub hoc generáli com-prehenduntur. SiA et B certo respectu eodem quoad unitatem É/omnium cum aliquo eodem homogeneorum gaudeant quantitatibus a et b, et qualitas ista ípsorum A,B dicatur generaliter q; dum de q ipsius A et q ipsius B sermo tanquam de quantitatibus est, intelligantur a et b.
Schemata multiplicationis divisionisque tyroníbus iuxta varia exempla cum lineís, aliisque ob oculos ponenda sünt; ut ipsi factum quotumque exhibeant. In multiplicatione, si multiplicator n{m)tum sit, multiplicandum per m partiendo (§ 16), una pars accipitur w-ies (§ 32). In divisione verő duo sünt schemata:
unitas divisor = d quotus =-.* divid. «=ű 3« 2« $V 2V
et unitas quotus = * divisor = rf divid. = £>
s
u iu $v
7v
In prima imagine, D partiendo per 2, quotus e 3 eiusmodi partibus constat; in secunda, unitate partita per 5, quotus e 7 eiusmodi partibus constat.
Hactenus factum e duobus tantum factoribus fűit; facile cogitare est, adhuc unum accedere, ut ex. gr. factum ex b et c per a multiplicetur, et factum hoc per abc exprimatur; unde ad plures quotvis progredi via
BÓLVAI, Tcnlamrn, I. 7
est. Sed factores cequales (si ex. gr. quilibet =a) occurrere possunt w-ies, quod simplicius per a" denotatur, et ab na omnino distingvendum est.
Porro succurrit facile ponere íaut obviani venire potest i, quid si factum eiusmodi factomm, quorum quilibet est zequalis a et in quo factores numero n essent, dividendus, et aliud, in quo factores a numero m essent, divisor esset; tum facile adhuc aliud factum eiusmodi cogitatur, in quo factor quilibet aequalis A, et numerus factorum N est, divisum per itein eiusmodi factum, cuius quilibet factor asqualis A, et factores numero M sünt. Tum ultro sequitur quotos hos comparare ; et si íequales sínt, tain ipsi A quoad a, quam ipsi a quoad A nomen dare. Unde sequens conceptus oritur. Quoscunque integros denotent », m et A7, M, si
aa... _ AA>-aa...
et numerus factorum, quorum quilibet asqualis a} sit superius «, inferius m, et numerus factorum quorum quilibet Eequalis A, sit supra Ar, infe-rius M, atque ^rH^ sit asquale vei tendat ad limitem q ; et A sit íequale vei tendat ad limitem H: tum dicitur H potcntia (dicatur ele-mentaris, mox extendenda) exponentis q ipsius a, et denotatur per
ipsum a verő dicitur radix exponentis vei gradus y ipsius Bt denota-turque per
Reperire a ex R et q, dicitur radicem gradus q extra/tere, reperire R ex a et q, dicitur elcvare a ad q. Unde ultro qiuestio se otlert;
etiam ex B et a reperire q : adeoque quseritur primo, nuin detur pro datis P et a tale/, ut ap~P sit? Unde via aperitur, pro omnibus cum P homogeneis idem a retinere qusestione eadem ; atque hic oritur hgarithtnm elementáris ; ni minim p dicitur iog. elem. P quoad basim (/.
SECTIO PRÍMA. 51
_.-. a-m
Quomodo verő ad nomenclationem ipsius a "-*' perveniri potuerit, exemplum sequens inonet: Sit