2. Si P= Q, et portio quaevis p ipsius P dematur undevis, atque portio quaevis q ipsius 0 dematur, et p = q ; crunt illa, quac ex P
et Q remanenty aequalitate terminata aequalia. (Fig. 17.).
Nam dicatur P' id, quod superest ex P praater />
tet Q id, quod
praeter q ex Q est, et sit / id, quod congruentibus P et 0 ipsi / ex 0
congruit, et q id, quod tnm ex P ipsi y congruit; et dicatur A'
enni-plexus omnis ejus, quod praeter / et q ex Pest, et A" comenni-plexus omnis,
SECTIÓ PRÍMA. . 6 5 quod ex 0 prseter q et / ' est. Aut habebunt / et q portionem aiiquam communem, aut non.
a) Si non habeant (Fig. 17,0) manifeste constat P' ex R et q' (nam P constat ex p, q\ R), et Q ex R et / ; atque R = R', et q' = / ; adeoque £)' ex / * ' exstrui potest, q ex />' in / ' , et R Ín A?' positis. Imo sequalitas absoluta restituitur inter residua, si in Q in locum demti q ponatur item ex Q exemtum p\ aut in P' in locum deinti / ponatur item ex P' exemtum q'.
b) Si verő / et q' in P portionem communem habeant: tum si pars communis dematur, residua ex P et Q erunt absolute sequalia; itaque id tantum quaeritur, num ex p et q remaneant Eequalitate terminata aequalia. Quíestio igitor huc redit.
Si {Fig. 17, b) A==B, et pars K ipsíus A cum parte k ipsius B (ut in figura trium príma) coincidat; id quod ex A preeter K est, ei quod ex B prseter k est, Eequalitate terminata aequale est.
Dicatur enim quaevis pars ipsius k illi parti ipsius K respondens, cum qua tunc congruit; ponaturque A super B, ut congruant; atque id ex A, quod prseter K est et nunc in k cadit, dicatur A", id ex A verő, quod nunc extra A'et k cadit, sit A'; ita id ex B, quod prseter k est et nunc in K cadit, sit k'} id ex B verő. quod nunc extra k et K cadit, sit B1; atque id ex i, quod nunc cum A" coincidit, sit />, et id ex A", quod nunc cum k coincidit, sit a; atque id ex K} quod prseter a est, sit A'", et id ex k, quod praeter h est, sit k".
Dematurque a ex IC, et ei respondens a' ex A, ac ponatur k\ quod sub a erat, ín locum demti a' juxta 0); atque residuis ex A>B,K'\k'\b% (restituta per I. Eequalitate absoluta), generaliter 21,3, K, f, b dictis, post quamvis operationem, si quid u ex £' (migrante in B sem per eo ex k\
quod extra b cadit), sub K cadat, dematur ex K illud a, quod supra u cadit, et e complexu ipsonim b et t dematur a ipsi « ex k respondens, ponaturque ;/ in locum demti «' juxta a), continuando, donec nullum
« sub K cadat. Erit residuum ex A absolute Eequale residuo ex B, atque ex A nonnisi per partes resectum A', ex B verő demtuin k érit.
Nempe K constat ex K" et ex a supra k' cadente; k constat ex k'
Bói.nr. TrniHnien. I. 9
et ex b sub A" cadente ; A constat ex K\ A'", a, A', et B constat ex k\k",b,B.
K" et k" (ita K et t) coincidunt. Nam nullum punctum ipsius K"
extra k" cadit; nam illud in B cadens, in k' vei fl aut B caderet; in *' verő non cadit, quia k' extra K" est, in £ non, qnia b cum A" coinci-dens extra ^T" est, nec in B, quia hoc extra K et k est. Pariter nullum punctum ipsius k" extra ^T" cadit; idemque ad K et f applicatur.
Hinc b = a ; nam K— k, K= K" + a,ttk = k" -+- *, et A'" et k" coin-cidunt.
Semper residuum illud u ex ^', quod ex b prominet, migrat in B\
nempe sí quod u ex k' extra b cadat, illud sub K cadet, quia ex k nonnisi b et í superest, f verő cum K coincidit; atque hoc novam demtionem parit. Si verő nullum u extra b cadat, tum jam totum k' in b positum (in loca demtorum) érit, necquidquam ex parte b ipsius k supererit; quia semper aliae partes aliis respondentes demtae sünt, et k' = b.
Eritque residuum ex k nonnisi f, adeoque residuum ex A" érit K;
nam f et K coincident, nisi utrumque o sit; neque ex A" május vei minus residuum quam ex k est. Consequenter etsi utrumque o sit, ex absoiute aequalibus demta, absoiute aequalia reiinquent. In figura allata patet.*
* HEC démonstrationi zqualilatís parallelogrammorum Euclideac évidentíam pariunt; quamquam id etiam per XVII. et XVIII. fiat.
Interim ubique, ubi fieri potest, Equalitas terminata ostendenda; quod in parallclofirammis. tnanRulis et prismatibus rectilineis, altitudinibus basibusquc aequalibus Raudcntibus, (ei pluribus aliis) íacile (it.
l'riora et inspectione fi^urre (17, e) patent; idemque ad prismata (pro rectis parallelis plana jiarallela ponendo) facile applicatur. Nempe si ta' \\ 3133 et fuerint trianRula 3ÍÍ?a ot 2113a': fiat
= € Í 3 et
positiaque tríangulis 3í€K in « X . cl 21<£f in o'e'f; paraltelogramma <£ÖűC ct €15a'c'secentur paraJlelia.
in prioré ad « í per a ö ad distantias 33£, in altero ad S í per <£e' ad dialantias « t ; si B £ non contineatur certies in Sa, patet esse gtj parallelum ad €13. Eritque
A -J_ A, R + !)• •: b + h\ C •+ C -V c + c'.
/; + £'-• f + r'. F • . / + / •
Unde partes omnes »>bi invicsm renpondent.-s assiKnari patet; tam pro trianKulis 3U*a ,t 3UV. <iunm pro paralleloKrammU €33űe et ESaV. ,a m altitudinil.ua a-qualibun. quam baBil)US «ualibu- R«u-dentibus
SECTIO PRÍMA. 6 7
Si vero supponatur, quotvis operationibus haud unquam evenire, ut nullum u extra b cadat; tum quodvis u sub K" cadet, adeoque nisi u (residuum ex k') tenderét ad o, fieret K' tendens ad infinitum ; atque tum etiam propter b=k' residuum tendit ad o; nempe si u dicatur, quod sub K cadit, k' demto u sub b cadit, atque ex b dabili quovis minus supererit. Dari igitur oportet in concreto partém ceriam ipsius k\
adeoque ipsius a, item ei ex k respondentem partém ipsius b, quse semper minuerentur; sed hae partes per a) demi possunt; et tum necessario május demitur, quam per operationes numero aliquo factas relinquitur.
Unde quivis casus ad operationum numerum finitum reduci potest.
XX. Ut resultatum multiplicationis divisionisque unicum esse probetur, de propovtione quaedam, et prius fractionum
commensura-bilium primaria referenda sünt.
1. In § 22. 2(3)tum ipsius C sólet per -^, et, si C=i sit, per
~Y exprimi, quod signum quoti erat. Est nempe valor uterque aequalis.
Sit eniin
C= -íí- # # ; item
< ; = • « • . & • & ;
ponetur J (nempe tot #, quot C) in illis C toties, in quot partes C parti-tum est; itaque
* — A C
# ~ 3 7
et idem prodit, C per 3 partiendo, et duas partes ejusmodi su-mendo.
Patet etiam f§. 32.) idem prodire, si C per -,- multiplicetur. Est igi-tur 2Í3)tum ipsius C = - í = \.C. Vocanigi-tur (§ 22.) ^- et J- termini fractionis; prior numerator, posterior denominator audít. Sínt prius termini integri.
2. Si numerator per integrum multiplicetur, valor novus prioré toties evadet major; si dividatur, toties minor fiet; si denominator multit>licetur, toties minor, si dividatur toties major fiet; si vero
ter-9*