aa — AA
patet ad sinistram 4—2 factores manere, et ad dextram 3—2, et esse
Quomodo autem conceptus iste in analysi extendatur, paulo inferius exponetur.
§
35-Sit fas heic hucusque promissorum quibusdam complendis Jilum paulisper interrumpere, postea item continuandum.
I. De suminis aequalibus ad asqualitatem additorum concludere minimé licet, cum resultata sub conditione certa accepta e datis inaequalibus aequalia esse queant. Proventus expensasque sequales, etsi utrumque millionesies augeatur, certo respectu zero producunt, quamvis status mirum in modum difFerant; nulla cupido nec ulla explendí facultas, atque infinita voluntas cum facultate ínfinita discrimine infinito conve-niunt Ín eo, quod neutrí desit quidquam. Ita valde diversi factores factum (saltem respectu certo) aequale producunt: veluti cum mensa et vita coinparatura est, ut non dapes aut panis siligineus, sed appetitus ad idt quod cuique est, dulcem elaborent saporem.
II. Si ex sequalibus demantur aequalia, residua possunt esse, prouti hinc vei illinc fiat demtio, valde inasqualia, si ita, uti remanent, conside-rentur ; omnibus verő ad formain temporis reductis (§ 8.) absolute asqualia esse demonstrabitur.
Omnia ad formám temporis rectíeque reduci dictum est (ibidem);
potest etiam circulus adjici, ad quein etiam plura quantitatum genera commode reducuntur; interim et circulus ipse ad rectam reduci potest.
r
Quamobrem ut simul plura sint, qute oculis subjecta fidelibus conceptum faciliorem clarioremque reddant, quum ita cum inentis natura coinpara-tum sit, ut ab iis, qua cernuntur, ad abstracta ascendatur; ad finem generális conspectus Geometria; recta planumque generabuntur, ut hasc quoque in postmodum specialius tractanda Arithmetica prassto sint.
Quantitateni auteni ad formain temporis reductam liceat brevius redu-ctam dicere.
III. At quasstio fit: num quantitas quasvis unica reducta gaudeat?
Arithmetica de fitritis tractat (§. 18.I, nempe de talibus, quorum quodvis T tale est, ut si qua portio // eius detur, sit tale nomen numericum //, ut nu sit semper ^>T, nec unquam sit nu aequale T, vei minus quam T\
qualia esse tempus rectamque inter quaevis duo puncta demonstrabitur;
eatenusque etiam reductam quantitateni finitam esse, si et quantitatis iani reductee partes exinde omnes eiusmodi accipiantur. Multum nempe inde pendet, qualesnam et quomodo accipiantur partes ; ex. gr. iFig. i.l. Si v, z, angulos, u fasciam inter parallelas denotet, angulus T quoad qualemvis angulum v quantitas respectiva finita est, ipsis v ad verticem primuin juxta se invicem positis; at cum quoad u haud detur tale «, ut nu^>T sit, T absolute finita quantitas non est. |§ 18).
Num portio qusevis spatii et superficies quaevis undique clausa quan-titas sensu dicto finita sit? vide inferius.
IV. Per ,P constat í§ 6, 2.) ex A,B,...,Fl intelligitur A,B,...,F esse tales portiones ipsius P, quaruin nulla cum ulla alia earundem por-tionéin coimnunem habét, et prseter quas necquidquam ex P est, Per ,0 continctur a Pl verő intelligitur aut ipsum P aut portionéin aliquam ipsius /-* esse = Q. Si T constet ex «,*,...,/, et idem T habeat cius-modi portiones a',ö't...,f, ut a = a, b = b\.. .J=f; tűin, si T finitum sit, demonstrari potest, nulla id pra:ter a\b\...yf portioné gaudere ; at generaliter verum non est uti (Fig. 2.) ostendit.
SECTIO PRÍMA. 53
V. Sed quaeritur (§ 13.), si T finituin sit, et constet ex aliis partibus
«, /í,... etiam: nirni quocunque ordine additas partes quzevis, e quibus constat, summám eandem dent? Generaliter addita, etsi adfuerint posi-tiva ct negaposi-tiva quoque, summám quocunque ordine posita eandem edunt.
Exprimantur quantitates rectis, et generetur summa juxta l§ io.), atque donec aliud monitum fuerit, dum recta una dicetur alia minor, concipíatur illa extremo communi in hanc cadente parte ex hac promi-nente superari. Considerentur prius tantum A et B, quavis determinatio-num --ÍH .—1 affecta, et tum fiat conclusío ab n ad n-\- r (F. pag. 21.). Sit (Fig. 4.) in p inititim primum, et extremum ultimum sit p', sitque prius A==B; érit aut utrumque positivum, aut utrumque negativum, aut unum positivum, alterum negativum ; si utrumque positivum sit, sive A ponatur prius, sive B, cum congruant, idem est; ita quodvis postponatur, idem p' prodit ad dextram ; idem fiet ad sinistram, si utrumque negativum fuerit;
si opposita sint, et A ponatur ex p ad dextram, atque ab eíus extremo sinistrorsum ponatur Bt rectae etiam ita congruunt (vide infra), adeoque p et p' coincident, et summa est o; atque manifesto idem fit prius B sinistrorsum, et ab eius extremo dextrorsum posito A. Si verő A superet ipsam B recta K (Fig. 5.), et ponatur ex p prius A dextrorsum, et inde B sinistrorsum, cadet p' a p ad distantiam K, et idem p' prodibit, prius ex p ad sinistram posito B, atque inde dextrorsum posito A (ex B et K constante). Si A positivo et B negativo manente, A superetur a B recta K\ érit (Fig. 6.) summa K ad sinistram a p manifesto in utroque casu.
Itaque duae rectae qualicunque determinationum '4-' •—< affectae fuerint, sive eadem, sive diversa, quovis ordine summám eandem prsebent.
Si verő hoc de quantitatibus numero n valeat, valet etiam de MH-I.
Nam valeat de A,B,...,D, et accedat E; érit Eaut positivum aut nega-tivum, est etiam resultatum priorum aut positivum aut neganega-tivum, adeoque quivis casuum priorum cum quovis posteriorum combinandus est.
Sít prius *í*E, et resultatum prius quoque sit positivum fpoterit quidem hoc esse aut o aut maius aut minus quam E, at quüibet casus modo sequente evidens fit). Ponatur primo *i*E (Fig. 7.), terminetur in p , sit p' resultatum priorum, et cogitetur A,Bit..,D ex p incipiendo pláne
ita ponit uti antea ex p incípiendo ponebatur, manifesto cadet extremum ipsius D in p", nempe ad distantiara K dextrorsum ; adeoque eo, quo caderet extremum ipsius E, si ^t*E ex p' íresultato ipsorum A,B...D) poneretur, cum E constet ex isf et R. Idein ergo resultatum dánt E,A,
£,..., D et A,£,...,D,E; dánt verő etiam E, A, B, ...,£> lexcluso D) quolibet ordine resultatum idein iper hyp.i, unde positi D extremum determinatur. Itaque omnes hnagines, in quibus D ultimum est, summám eandem dánt; et cum ipsorum A,B,...f£ quodvis ultimo poni, et ut prius E anteponi postponique possit: idem et de A}B,.. .,-D, E valet, Si verő resultatum priorum fuerit •—-A"(Fig. 8.), et prius ponatur ^bE;
érit A,B,...,D ex p ponendo extremum ultimum in p", nempe item sinistrorsum ad distantiam K a p , adeoque idem, quam si ex p' lextremo priorum ultimoi poneretur ^E, (ex R et K constansi.
Sit iáin i—<E, et resultatum HHA" (Fig. 9.1 patet et hic eodem modo, extremo priorum ultimo et hic p' et extremo ipsius E inde positi p"
dicto, sive primum sive ultimum sit <—< E, idem prodire.
Pariter ostendent (Fig. 10., 11., 12.) casum, quodsi pro •—< E resultatum priorum quoque negatívum sit: dummodo significationes literarum priores retineantur, et observetur hunc casum trés casus habere, nempe E aut == Á*|
aut maius aut minus quam K est. — Consequenter quotcunque íuerint addenda et sive mere positiva, sive mere negativa, sive mixta fuerint, quo-cunque ordine etiamsi prius omnia positiva, dein omnia negativa ponantur, summám eandem prodire inanifestum est. Unde etiam patet resultatum idem esse, si summa positivorum ponatur prius ex p, et ex extremo ultimo honim íquod dicatur p'i ponatur sinistrorsum 5 summa negativorum ; nam si ex p' post se in vicém ponantur, tequale prodit ei, quod esset, si ex p pone-rentur (Ax. V.i, posterius verő summám negativorum daret. Patet etiam deinum summám istain satisfacere, etiamsi illa, quorum summa .v est, pro indice demtionis quoad illa, quorum summa S est, posita fuerint.
(Juaeritur tainen, mim undevis fiat deintiu atquc in genere mim additio-nis ladeoqiie subtractioadditio-nis quoquei resultatum unicuin sit, id est ex u:quali-bus semper eideni iequaie prodeat ? At prius de íequalUate quoad portioiies i§ ().) uberius ageiiduin est, et antea de limité (§ 21.1 quaidam dicenda sünt.
SEcTio PRÍMA. 55 VI. Si q ita crescat, ut post quodvis incrementum adveniat nóvum, maneat tamen setnper paucius quam Q; tum q limité gaudet. (Fig. 13).
Nam sit q tempus (idein ad rectain per punctum descriptam, imo ad omnes quantitates reductas applicari potest); sitque temporis, a p inci-piendo crescentis in infinitum, nomen generálé x; atque fiat in quovis puncto temporis quaestio, num q plus illő x, quod eousque generatum est, esse queat ? Et denotet (E. pag. 20.) A id, quod q plus illő x esse queat; item exinde patet, dari ultimum aliquod punctum p, intra quod et p semper A est, et post quod non est, atque tunc aut ultimum A aut primum non A esse. Ultimum A non est, quia si tunc x==x' út} et ad quEestionem, num q~>x esse queat? responsio ita sit: tum aliquod q>x' érit, et certum tale q érit certa quantitate q plus quam x\ adeoque p ulterius potuisset debuissetque accipi; nam ultra x' quoque ante finem temporis x -h q responsio semper ita fuisset. Est igitur in p primum non A ; adeoque x' est primum tale x, quo quidvis sit paucius, eo plus fieri q
potest, sed quo (nempe ipso x') q plus fieri nequit. At neque q==x fieri potest; nam dum id fieret, cum q quantumcunque fiat, nóvum (per hyp.) incrementum capere debeat, postea q>x fieret (contra pláne
de-monstratum.) Itaque q tendit ad x'. (§ 21).
Patet hinc etiam quantitatem ita decrescentem, ut post decrementum quodvis item nóvum adveniat, nunquam tamen fiat o, neque negativa, limitem habere. Nam accipiatur (in praec.) q pro decremento ipsius Q;
remanet Q — q, id est ex Q fit Q—q; quod crescente q sine fine minuitur, et pro limité habét id quod inter p et * est; si verő * nempe extremum ipsius Q pláne ín p sumatur, limes o fit; qui in neutro casu attingitur, cum q nunquam fiat = x', quamvis ipsi p dato quovis propius terminari queat.
VII. Tempus quodvis continuum pq gaudet duabus partidus abso-lute aequalibus. (Fig. 14).
Nam accipiatur punctum eius aliquod a, et aliud b inter a et q; érit aut pa = bq, aut alterutrum == parti alterius; si non prius sit, cogítetur ex p posítum illi aequale, quod altero minus est; terminetur in a; et in quovis
puncto a p usque in q quseratur : estne tempus a p usque ad illud tale, ut sí ei aequale adjungatur, ante q teniiinetur, vei non? Dicatur prius lE. pag. 16.) A ; patet pd (veluti partém quamvis eiusi tale, pq verő tale non esse ; adeoque dari in aliquo puncto c aut ultimum A aut primttm non A.
Ultimum ^4 esse nequit: quia, si ipsi pC aequale adjungatur, teniiinetur in b, (cum eatenus ante q terminari debeat); cogitetur punctum ö inter b et q, et e inter ö et q; érit aut bí> = ÖC, aut alterutrum = parti alterius;
vocetur z illud, quod altero minus est, alterum v; manifesto est pc -+- z <J pc -f- z>,
et
adeoque z adjuncto ipsi pc, punctum quaestioni respondens ulterius acci-pienduin in c non esset. Est igitur in c primum non A ; adeoque aut aut
Posterius esse nequit; nam terminetur pc -+- pc in r; cogitetur punctum aliquod 5 inter q et rT et qs, sr dicantur x, x'; érit aut x==x't aut alter-utrum altero május; sit
x==x' + &,
ubi k, x, x eadem determinatione gaudent; érit (propter V.) pc -+- pc == pq H- x + x H- k == pq -+- k -+• x -+- x';
atque
pc -h pc — x' — x = pc — x -h pc — x' = pq -h k ;
itaque iam ante C fuisset non A ; idein patet, si qs == SX. Manet igitur
VIII. Si tcmporis 0 accipiatur dimidium, et ctg'usvis dimidii itctn dimidium accipiatur, ac nomcn eorum generálé sit z; tton z tendit ad limitem zero.
Nam crescente q fin VI. Fig. 13.) a p usque ad . , fiet ultimo Q — q = o. ()uaíratur a p incipiendo in cujusvis q puncto extremo |iino ultra # quoque ubi quodvis punctum tale est, ante quod datiir tale
SECTIO PRÍMA. 57
Q — q (cum id in * aaquale o sit), quo z minus fieri nequit] num z quovis Q — q quod antea fűit, minus fieri possit? Erit ultimum aliquod punc-tum p, in quo responsio ita érit (E. p. 20.). Si p ante * esset, punc-tum eo, quod inter p et * est, a dicto, aliquod z est minus quam a -\-o> [deno-tante w quantitatem minorem quam a], quia hoc Q — q ante a fűit, huius verő diinidium est — -h ^-, quod minus quam a esse patet; itaque punctum p ulterius • versus * accipiendum fuisset. Fit itaque z minus quovis, quod a p ipsi • quantumvis propissimo usque ad # est, o verő fit nunquam. Consequenter
IX. Sit u tempus quoddam continuum inter duo puncta, et multi-plicetur u per factum e factoribus numero n, quorum quivis=2; érit
factum numerus quoad u.
Respondeat enim cuivis u numeri nu aliquis e factoribus dictis ipsi 2 sequalibus, et cuivis respondeat alíus; atque ab aliquo puncto temporis p ponatur cogitatione in futurum 2w sub primo u ipsius mt, tum sub secundo u ipsius nu adjungatur item 2u, et sub quovis novo u ipsius nu ab extremo novissime positi ponatur cogitatione in futurum aequale ei, quod a p eousque positum est (per ax. I.); ultimum u ipsius nu adveniet fax. II.), et tum
2 . 2 . . . 2«
positum érit. Est autem quivis numerus quóad u bis positus numerus quoad w; adeoque 2. 2... 2« quoque (F. pag. 21}.
X. Temporis continui Q, quod inter duo puncta est, quaevisportio K certo numero accepta superat ipsum Q.
Nam quseratur (ut in VIII.) in quovis puncto a p incipiendo usque ad * (imo ultra quoque), num z certo dimidiationum numero minus quovis Q — q, quod antea fűit, fieri potest ? et hic datur ratiocinio iam saepius repetito (E. pag. 20.) punctum aliquod p, in quo ultimo ita respon-detur; quum prius omnino ita sit, aliquando verő, si nempe ultra * eatur, detur tale Q — qy quod antea fűit, neinpe dtun Q — q=o, quo z nunquam minus fieri potest. Patet verő (ut in VIII.), p nullibi ante
HÚLVJU, Tcntamen. I. Ü
• íieri posse. Itaque z dato quovis K ininus fieri certo dimidiationum numero potest, et consequenter
K>
2 . 2 . . - 2seu cum 2 . 2 . . . 2 (per praec.) numerus sit ex. gr. n, est K>&
tadeoque Q<nK.
XI. Tempus continuum T per quemvts tntegrum n dividi potest.
Nam pro quovis « dari tale 2 . 2 . . . 2 , u t
facile patet, si cuivis « ipsius nu aliquis (et cuivis alius) factor 2 respon-deat; semper enim accedente novo factore 2, ipso w, quod in nu ponitur, maius accedit, et quidem maiore, nam primo u ipsius nu respondet 2«.
Pro « = 1 aut n = 2, aut ti = 2.2 ... 2 dictum iam est; quaestio de aliis est. Dividatur T per
2 . 2 . . . 2 ^ > K ,sitque quotus a, et dicatur d dimidium ipsius T; érit nd^>T (cum n ad minimum 3 sit), et ncK^T, nam a si w-ies accipiatur, ex T adhuc supererunt tot a
yquo numero superat 2 . 2 . . . 2 ipsum n. Quaeratur ab initio ipsius a porro usque ad finem ipsius nd eundo, in quovis puncto p, num (si illud tempus, quod ab initio ipsius a usque ad p est, nomine generáli x dicatur) sit nx<^T\
érit (pag. 20.) aliquod punctum p , in quo aut ultimo érit nx<^T, aut primo érit nx non minus quam T. Prius esse nequit; nam sit tum x = x'\
si nx'<^T esset, tum sit nx'-i-5== T\ dicatur b' quotus ex b per 2 . 2 . . . 2 ^ > n diviso, érit
(ut supra); adeoque nx' + nb' manifesto est minus quam nx •+• b, quod
erat =^7", itaque etiam n(x'-\-b') est minus quam T, adeoque daretur
aliquod maius quam x\ quod «-ies acceptum minus quam T
}et in p
non esset ultimo nx <J T. Est igitur in p príma vice nx non minus
quam T; itaque tum nx' aut =T, aut nx'\>T est. Posterius esse nequit;
SECTio PRÍMA. 59
nam sít nx—Ö—T, et denotet b' id, quod antea, érit nti item < £ , adeoque
nx'
—b
< |nx'
—nb';
id est
7<n(x'-b')
t(uti statim patebit); et in p non esset primum tale x, ut nx^> T sit, nam antea iam x' — b' tale fűit. Consequenter nx = T est, Enimvero heic quantitatum coinparatio quoad Eequalitatem, vei maioritatem minori-tatemve ita in proxime dictis intellecta est, uti (sub V., pag. 53.) dictum est;
nempe etsi de tempore sermo sit, et ex. gr. a, /í, y sínt tempóra continua, atque a — /ífpro a, (3, y positívis atque /?<«) cum 7 comparetur ; ponatur cogitatíone e certo temporis puncto p, tempus « in futurum, et ab extremo huius dematur e praeterito tempus ==/í, sit extremum huius p', cogiteturque ex p item in futurum, tempus ==y; atque per id, quod alterutrum ex. gr. y maius quam a — /i est quantitate q, intellígatur Ín dictis, usque ad extremum temporis =^ y ex p positi, post p' tempus q esse. Mox | > et <J et == gene-ralitate superiori accipientur. Omnia dicta verő ad rectam applicari patet.
Quod verő sí n numerus integer sit, et a, /? positiva sint, (tempóra aut rectge),
?) }
facilepatet. Nam dum (a-\-fi) accipitur «-ies, ponitur tam «, quam /ínumero eodem «, necquidquam ponitur aliud. Ita si accedat tertium y, « -h/í dica-tur B, et inde via de « ad n -h 1 progredi, usquequo libuerit, licet.
Pariter