potest. Ex. gr.
(a* -+- ($y
g)
r= (-^- •+- /i ) . y
r?= («*>"* -4- ff. ^
r ?, nara
Reperitur quidein sine hoc artificio quoque (a-hb)
H; sed quia per se
simplicior casus est, consideretur (i-t-x)
n. Est
= X1-i-2X -h I,
= ^ + 3A;J+ 3* H- I,
(1 -+- x)* = x4 H- 4X3 •+• tx14- 4* -+- 1,
Ita ulterius quoque computando. animadverti possunt sequentia.
1. Exponens sumraus ipsius x est exponenti binomii aequalis, et in quovis sequenti termino uno decrescit, usquequo in ultimo x°=i fiat. Unde etiara patet idem de quovis exponente uno altiore ; nam si talis series per í-t-x multiplicetur, 1 exponentem ipsius x non, x verő quemvis uno augebit.
2. In quavis harum serieruin sünt coefficientes a primo ad dextrám usque ad ultimum, et ab ultimo ad laevam usque ad primum iidem.
3. Sint in serié tali per i~+-x multiplicanda, ax^-t-fix'"—1 duo ter-mini quivis proximi; érit axm.i = axm, nec ullus alius terminus per 1 multiplícatus xm producet, fix™—1, x vero = /£cw, neque ullus alius ter-minus per x multiplicatus xm producet; itaque coefficiens ipsius xm in facto érit ia~+-ft).
4. Coefficiens termini primi est 1, coeff. secundi est coeff. primi per exponentem, quem x in hoc habét, multiplicatus, at coeff. secundi per ex-ponentem, quem x in hoc habét, multiplicatus, est duplum coefficientis tertii; et ita porro in omnibus his casibus, coefficiens termini /«-ti per exponentem, quem x in termino m-Xo habét, multiplicatus, est ;«-tupluin coefficientis ím-f-ij-ti.
Unde si hoc de (i-t-jc)*—' valeat, érit
nimirum duplum eius, quod quaeritur, per 2 dividi debet, uti triplum per 3, in genere m-tuplum per m.
Si verő de ÍIH-XJ«-I valet, valet etiam de íi-hxi"-' (l-t-xl, id est
SECTIO PRÍMA. 1 5 7 (i-hx)K. Invertatur enim series, ut simplicius fiat lin casibus elaboratis nimirura series coefficientium eadem antrorsum et retrorsum est); érit
)»-1 —1 -+- I x -4- II x2-h III xi
si 1 = n—i,
TT — ( » i ) ( « 2 ) 1.2 ' TTT — ("—0 ("-2) (»—3)
1 1 1 ~ 1.2.3
et ita porro in infinitum ; nain sicubi ex n subtrahitur n, factor is fit o in numeratore, adeoque cum factor is iuxta legem hanc semper ma-neat, abinde omnes termini sünt o; pláne antea verő, dum ipso n uno minus (nempe n—1) subtrahitur ex «, manet 1, fitque hoc ad exponen-tem (n—1) ipsius x : nempe exponens ipsius x est aequalis numero, quí ex n ultimo subtrahitur [pro (l-f-*)«—'], atque tum coefficiens est
(«—!)•(»—a) 2-1 1.2 (K—2) (K—I) "
Sit iam in serié ipsius (i-hx)n—' quivis exponens ipsius x} ex. gr. sit 5 instar cuiusvis; érit ipsius x5 in serié ipsius (l + *)B coefficiens gequalis summae lV-{-V (per 3.), hoc verő est
— (»-i) («-2) (w-3) «-4) . («—1) (»-2) («-3? ("~4) («-5)
— 1.2.3.4 r.2.3-4-5
_ «(«—!) (»—2) (B—3) («—4) . si nimirum prioris numeratore denominatoreque per 5 multiplicato ad denominationem eandem reducantur, et in numeratoribus factor com-munis (» — 1) (n—2) («—3) («—4} eximatur, atque per factorum sociorum summám 5+«—5 = « multiplícetur.
Ita serié ut prius ab xn~r incipiente, quum sit in casibus com-putatis
~2 -t-II
X«-érit icum heic exponentes ipsius x decrescant) ipsius xns in (i-hx)«
coefficiens=IV-hV; nam 1 nonnisi perIVjr"-s inultiplicatum producit x«-í, et x nonnisi per Vx"-b producit x"-5; est verő in m-A-j" ter-minus, in quo JC«—5 est, 15+D-tus ab x" inclusive, uti antea ab 1 usque ad x\ Unde cuin ipsi 5 nuinerum quemvis sufficere liceat, patet, de quavís binomii potentia uno altius ascendendo, esse coefficientes termi-norum ab extremis aequidistantium sequales; atque pro quovis integro n esse
,, + x)n = , + n x + J4 ^
. . . , • h / b \n
atque sí ipsi x substituatur (ex p. 155)---, est ^«(i-h —] =
a
„
a
2 .
Patet etiam {a-+-ój" constare ex « + i terminis; nempe prseter pri-mura sünt n termini, donec ex n subtrahatur n.
Est quoque in quovis termino summa exponentium ipsormn a, b pláne n\ et si ju, v integri positivi sint, et (« - h í ' = « , in aliquo termino adest at*bv\ nam terminus prhnus est a"b°, et exponens ipsius a ter-minatim uno decrescit ab n usque ad o, crescente simul exponente ipsius b a o ad «.
Sed praster plures alias, etiain via sequenti ad idem perveniri po-tuit. Quidnam ex 1«-+-«).['/?+ bt, quid ex irt-hűU/S-t-A).l/-hci... fiat, ultro considerandum venit. Ut res simplicior fiat, ponatur « = /f= y=..., imo ut adhuc simplicius sít, fiat a= 1 =ft = y = ... Peracta multiplica-tione, érit %
{i-t-b) = l-h a-h b-{-ab, quo multiplicato per i-t-c, prodit
IH-a H- A H-c-H ab •+-acH- be•+• abc;
SECTIO PRÍMA. 159 quod continuando facile animadvertitur, primo prodire semper i, deinde summám singularum literarum, tum summám omnium ambarum, tum omnium ternarum, et ita porro. Unde de m literis ad w-hi prona con-clusio fit; nempe 1 in novo multiplicatore dat 1 in novo facto, dein summám singularum m literarum, tum omnes ambas, quae ex m accipi possunt, dein omnes ternas, postea omnes quaternas, et ita porro, usque ad factum ex omnibus m literis; per literam novam multiplicando verő prodit ex 1 multiplicandi litera ipsa nova, qua accedente ad summám singularum m literarum omnes «2-hí literae aderunt; dein e singulis m literis a -h b -h c •+-... per novam muitiplicatis omnes ambae novam literam continentes prodibunt; adeoque cum reliquae ambae iam adsint, acceden-tibus his omnes amba, quae e x « + i literis accipi possunt, aderunt in facto; ita quaecunque combinationes omnes m literarum, e literis nu-mero ,« constantes, per novam literam multiplicatae, dabunt omnes com-binationes ex //-hí literis constantes eas, quae literam novam continent;
cum omnes combinationes m literarum e ,« literis constantes adsint, nec ulla ex m-hi literis combinatio ex «-hí literis constans novam literam continens datur, nisi in qua litera nova, tu literas e prioribus nancísci-tur. Prodibunt itaque omnes combinationes ex //-hí literis constantes literam novam continentes, reliquae verő, quae praeter hanc accipi pos-sunt, adpos-sunt, relictae muítiplicatione per terminum priorem 1 ; adsunt igitur omnes, quse ex w-hi literis accipi possunt. Continuando usque ad finem, donec áu = m fit, tum is terminus ultimus multiplicandi est, qui per novam literam multiplicatus dat combinationem omnium m-\-i literarum, quae sola est, neque in multiplicando adest ulterius combi-natio ulla, quae per 1 multiplicata huic accedat; estque omnino sola, cum ex /«-hí literis m-hi literae (ab ordine abstrahendoj unico modo accipi queant.
Post híec, dum de (i-h*)" agitur, facilis reflexió est; casum eundem esse, si ű = é = c = . . . = x ponatur; adeoque nonnisi numerum ambo-rum, ternorum... y , quae ex n rebus accipi queunt, quserendum esse, quod facile reperitur.
Sínt nempe a,b,c... numero n; et ponatur post quamvis qusevis
reliquarum, quse numero «—i sünt; prodibunt imagines, quarum nullse duae sünt «quales, et in quarum aliqua litera qusevis pneposita et quee-vis alii postposita adest, adeoque numerus omnium amborum simul cum permutationibus Hterarum, atque numerus imaginum harum est n(n— i);
et e qualibet harum imaginum, (in quibus iam 2 litera? sunti, si cuilibet imagini literarum reliquarum (quse pro quavis imagine numero n — 2 sünt) qusevis postponatur, oriuntur «(« — íj (H — 2) eiusmodi imagines, quarum nullse duas sünt sequales; nam imagines binarum omnes diversae sünt, adeoque etsi omnibus eadem litera postponeretur, omnes inasquales manerent; adest quoque qucevis permutatio e 3 literis constans inter istas imagines; nam qusevis data fuerit, in illa érit litera eius postrema permutationi alicui e 2 literis constanti postposita; adest verő quasvis talis permutatio, quavis literarum reliquarum postposita; (nulla nimirum litera in ulla imaginum bis occurrente).
Unde ad uno plura concludere licet. Si nempe ex n literis permu-tationes ex m literis constantes, numero n(n—1) (« — 2)...{n — ím — 1)) accipi possint, erunt permutationes ex m-h 1 literis constantes numero mn—i)...(n—m); nam si ut antea cuivis priorum permutationum e literis m constantium qusevis reiiquarum literarum, íquse pro quavis tione numero n—m sünt) postponatur, orientur n\n — í j . . . \n — m\ permuta-tiones singulae diversas, (quia diversae ante postpositionem erantl, et inter quas quaevis permutatio ex m~\-i literis constans aderit; nam ut antea quaecunque talis permutatio detur, érit in ea, litera eius postrema, alicui permutationi ex m literis, (talibus, inter quas illa postrema non adestj constanti postposita; aderant verő omnes permutationes ex m literis con-stantes, et cuivis quaevis ex n literis, quas in illa non adest, postposita est.
Si verő tantum de numero combinationum queeratur (abstrahendo a literarum earundem ordine in quavis imaginel, tum manifesto, cum om-nes permutatioom-nes quoque adsint, toties plures imagiom-nes ex. gr. ex m literis constantes erunt, quoties m literae permutari possunt; adeoque numerus imaginum per numerum permutationum dividi debet. Sünt verő duarum literarum permutationes duo nempe ab, ö,i ; accedente nova, haec in quavis hamm aut ante aut postponitur, aut inter reliquas; itaque
SECTIO PRÍMA. l 6 l