') = — A' et a = {a '
BOLYAI, Tontamen, 1, l S
Superius (XIX. 2. pag. 64.) dictum est, demtione etiain per partes un-devis facta, prodire aequalia, quod hic tenendum est; substitutiones etiam rite íieri statim dicetur.
Si A — fí^-H\ tum A—B=B+B—B-=a—h\ adeoque B=a—b\
et hinc a = b-\- B\
Quod substitutiones factas attinet; duin ex. gr. a~b—A substituitur ipsi a in a — b, est tum
B
adeoque —B=—A—A' et A—B = A — {A-*rA)\ ubi manifesto —A' inanet, (partém A ipsius B ex A demendo); unde a prodit — b — A', et simul b = a-\- A'. Si iam ín a — b ponatur in locum ipsius a valor dictus, érit b—A—b, et si in locum primi b ponatur valor eius a-\-A\
érit a-{-A—A'— b, quod deinto A ex A érit ipsum a — b, Quicunque iam fuerit casus; ex. gr. si A-t-A=;B, érit summa vera A — B-\-k
summa iuxta regulám autem est (quia tum a = b — A'}
= b— A— b-\-k= — A~\- k ;
adeoque summa iuxta regulám est summse verse sequalis. Manifesto verő de quotvis ad nóvum par concludere licet, donec (terminis quorum nulli duo factore communi gaudent omnibus preemissisi nullus amplius supersit.
Possunt quidem demum termini prodeuntes ordine quocunque poni, cum per superius dicta summa prodeat eadem.
3. Imo etsi imaginaria adfuerinti regula eadem v-alet.
Exprimantur enim hsec per X) Y, Z, F,... sitque Y^i, Y=y-hy'Y-i....
x, x, y, y\ ... reália denotandibus, ex. gr. si A"=2 — 3 / ~ i , est ^ = 2 ,
^' = — 3i atque -±x'i exprimit valores ipsius — 3 / — 1 .
Substituatur iin 1.1 X ipsi c, érit pro omni casuum ibidem dictorum summa iuxta regulám summse veras sequalis, notando quod ibi c = u
SECTIO PRÍMA. 139
sit = -*- •+• ~~~, ubi c aut tota (id est pars utraque tain reális quam imaginaria) positiva esse potest, aut utraque negativa, aut una positiva, altéra negativa. Singulis casibus percursis, reguláin de duobus terminis aX-hfiX valere patet.
Si verő de quotvis et qualibusvis terminis, quorum summa iuxta reguláin sit S, valeat; valebit, etiamsi nóvum par accedat. Namque sit summa omnis reális in eousque additis A, et — B summa negativi, ac summa omnis pure imaginarii positivi sit /, et —K sit summa negativi;
summaque omnis reális positivi in S sit «, et —b summa reális negativi, imaginarii puri verő positivi summa sit j \ et negativi sit — k (ubi horum quodvis etiam o esse possit). Erit non solum A — B = a — ö, sed etiam
/ —K = j—k (per hyp.}: atque ut supra, pro quovis casuum, ubi aut
A—B, aut A-hA'=£, aut A=B-\-B', érit aut / = / , aut /~h/'=K,
aut I=K-\-K'\ quos singulos combinando reguláé generalitas prodít.Ex. gr. Sit A=B-+B\ et A ^ = / - b / ' ; érit (per superiora) a = b-\-BI, Qtj = k—/', omnibus literis positiva denotantibus; accedat nóvum par, ex. gr. 3 X—2X\ érit summa iuxta regulám a — b-\~j—k-\-X\ est verő summa vera A~\-x — ^ + / + V f — 1 — K\ sint nunc reale x et pure imaginarium x V— 1 positiva, panter pro aliis valoribus patet. Sub-stituendo valores ipsorum A, Ky a,j in summa vera( et summa iuxta regulám, érit prior
B*+• B-k-3x — B — 2x-f-/+ 3x V^i — I— /'— 2x V — 1,
atque utrumque demtis demendis est
Consequenter quum et hic semper ad nóvum par assurgere liceat (ut anteai, evidens est, sive tantum reália, sive tantum imaginaria, sive permixta fuerint, regulám additionis valere. Iino etiam sí expressioni e
18*
quotvis terminis constanti, cujus valor sit ex. gr. -ha — /, addatur per regulám expressio, cuius valor sit ex. gr. — /f-t-/; prodibit summa vera a — (i-\-j— I (denotantibus /, / pure imaginaria/. Unde si expressionibus valorum Eequalium expressiones valorum sequalium addantur juxta regulám, aequíilia prodibunt.
4. Regula subtractionis in proinptu est: nempe signis suhtrahendi inversis, mutatur subtrahendus, si reale sít, in oppositum; idem fieri etiam cum imaginariis, clarum est; ex. gr. — X et - hX opposita sünt, nam si X-=>$*x\—<xi érit — X~>—>x*í*x'i, est verő >l*x ipsius f—*x oppositum, ita 4^x7 ipsius 1—<x'i; ita quotvis fuerint X-hY~{-... érit
—X — V - . . . oppositum summae realium, quas A ' + 7 + . . , continet, et summse pure imaginarioruin, quas in iisdem adsunt. Itaque si subtrahen-dus signis inversis alteri (minuendo) juxta regulám addatur, differentia prodit.
5. Factum verő reperitur, si multiplicandi terminus quivis per terminum queinvis multiplicatoris, ubicunque reguláé (pag. 122.) applicari possunt, iuxta illas multiplicetur; aut pro notis quantitatum generalibus factum e dictis terminis eiusmodi omnibus ita exprimatur, ut notis generalibus qiiidvís substituendo verum factum exhibeatur ; aut saltem legem signo-rum -h, — tenendo, factores post se invicem scribantur; et factores ita ordinentur formenturque, ut factum eiusmodi quo simplicius prodeat, ac
denique facta omnia partialia addantur.
Nam sint prius tantum reália; sitque unus factor A-hB, altér verő sit C, aut C-hZ>, (quodvis ipsorum A, B,C, D sive positivum sive nega-tívum denotaverit): érit factum in casu primo
AC-hBC, in secundo
AC+HC+AD+BD.
Denotent enim a, b, c, d positiva, et sit (pro integris a, b\ c', d\ n)
SECTIO PRÍMA. 141 sitque ipsius A valor aut a aut — a, ipsius B valor aut b aut — b, K,
Erunt casus sequentes:
(a-hb)
{a + b)(c-d), (a-b) {c-d);
nempe si in uno factore tantum c sit, Í / = O poni potest, et aut singuli termini positivi erunt, aut singuli negativi; aut in uno factore ambo positivi in altero arabo negativi, aut in uno uterque terminus positivus et in altero unus positivus, altér negativus; aut in utroque unus positivus, altér nega-tivus.
Percurrantur casus : sicubi a -*~ b est,
aut a=bt a u t a = b-+-q% a u t b = et ubi c — d est, parrter est
aut c = d, aut c = d-t~s, aut d=c-ht, ipsis y, r, s, t positiva denotantibus.
Est (a-hö) {c-hd) iuxta regulám (pag. 59 et 68)
* j , tj a'd , b'C , a'd' , b'd' ac ~h be -+• ad-h bd=—+nn nn nn nn
a'^-b' c'-hd' n n quee est summa vera; nam
e t
Si orania negativa sint, manifesto idem prodit j si verő unus factor negativus sit, idem quidein, sed negatívum fit.
Considerentur iáin casus (a-+-b) (c—d) omnes. Erit pro c = d factum verum o, et factum iuxta regulám
ac — ad-h be — bdt item 0.
Pro c~d-+-s, est factum verum ta-hb)s, atque et facti iuxta regulám valor est as -+- bs ; nam
ac=a{d-\-s) = ad-^-as, ita
bc = bld-hs) = Arf + As;adeoque
ac — ad-hbc—bd = as-\~bs.
Pro d = c-{-t factum verum est —at —bt, et idein valor facti iuxta regulám est; nam
—a d = — ac — at et
—b d = — be — bt;
unde patet.
Si verő irt —A) te — d) fuerit; pro a = b factum verum o est, et idem iuxta regulám fieri clarum est. Ita si á - ÍÍ + r vei rt = A-t-y;
ex. gr.
Si a = b -+- q, érit factum verum
q(c — d) = qc—qd fper praecedentia); iuxta regulám verő
(b-\-q) c—be—(b-t-q)d-\-bd—qc—qd.
Est verő per superiora factum idem etiam permutatis factoribus, atque monomia per monomiam quoque iuxta legem signorum rite multiplica-tur; idemque est, qusecúnque per alteram multiplicetur. Consequenter summa duorum terminorum realiuin qualiumvis per summám duorum realiuin terminorum qualiumvis multiph'catum, est asqualis summa? facto-rum e termino utroque multiplicandi et termino utroque multiplicatoris.
Si verő de duobus terminis valet regula, valet de tribus, et ita de quotvis ad uno plura concludere licet. Denotent enim iam literae sive positiva sive negativa, et sit a summa terminorum multiplicatoris, A summa terminorum multiplicandi ; atque a sit unus terminus multipli-catoris, reliquorum summa sit A, et b' unus terminus eorum, quorum summa est b, reliquorum summa sit c ; et c unus terminus eorum,
quo-SECTIO PRÍMA. 143