Est
IV', IV=
TT,_ re—l j, T,_ re
11 — . / , i — ——
=
l=l
mf
mt/11=1=*.//, IV= f
t/ 1 1 = . / / , I V = .
Hinc substituendo superius in valore ipsius V", est IV. I =
r^ ^ - . III'. / ;
II'. 111= ^ - . / ' . / / / ; / ' . IV= re. IV; V= V.
Consideretur porro, quod si -^- = -^ = ?/
tatque k-\-h = l sit, tum
i a .
k n= U = -J- sít; nempe
ku , hu (£+£)» lu -
r+ -
rJ— -J- U adeoque
k a h ($ « /í
Erit hinc (quum V=—-~^-
4.IV),
IV. / = ^ -
3- / / / ' . / = IV j = *-
/ F ' - H— y
SECTIO PRÍMA. 169
nam 1-1-4 = 5, u t i k-Jt-h = l erat. Ita
///'. 7/=-^=^ //'. 11= ///'. -~— 1= i^-í- 7/7'. 7+ - - ^ - - ír. 11, ír. 111= i^pi-/1.777=77'. 1=1 //= 1=1 //'. //+ ü p l /'. 777,
Unde pro valore ipsius F", e quavis linea terminos duos posteriores accipiendo, pro IV.I, III'.II, II.III, I'.IV terminís rite disposítis, oritur scheina sequens ;
IV.I =jIV'+reJ3 .IH'.I,
re
J
2iir. 11= 1^1. /77'. 1+ reJ2. ír. ii,
IF. 111= - ~ ^ .77'. 77-h ^-~. /'. III
I'. IV = ^ ^ . /'. 777+ -j-. IV,
V =
Ubi in quavis columna patet numerum romanum factorem communem esse, et summám factorum sociorum esse F ; nam ubi orti sünt hi valores, in termino cuiusvis lineas ultímo numerus romamis convenit cum penultimo lineas sequentis, atque ex e in quavis linea sequentí uno maius, ex re verő uno minus subtrahitur; quod etiam generaiiter ostendi
BÓLVM, Tenlamen. I. 22
potest. Denotent M, N nimieros romanos ita \M—i]y \N— íj,
nempe ita ut si e.\. gr. N—V, [N—i] denotet IV; ni, n verő denotent numeros communes, significatione prioré haud retenta, ita ut si ex. gr.
M denotet V, denotet m tum 5, et accipiantur duo eiusmodi valores pro-ximi ut antea, M'Net [M'—i] [N-i-i]; érit
[M'-i]
adeoque
- i\Nt
ubi prioris ultimo et posterioris penultimo est factor \M'— i]iVcommunist ac summa factorum sociorum est
e(r-h \) — {m H-« — íj m-\-n ~'
Facile etiam patet numeros romanos accento insignitos post alterum a summo semper uno decrescere in linea sequenti, et socium accento
destitutum ad íinem linese secundse esse /, et uno crescere semper, donec in columna ultima summus numerus (heic IV) maneat sine accento, uti in prima idem cum accento uterque bis.
Itaque redeundo ad schema, ut res clarior fiat: substitutis ipsorum V, IV. I, ///'.//,... valoribus érit
V"=
nam erat /F'H- fff'.f-hII./l-hI'.J/I.-h IV= IV".
Rite igitur prodire superius S's' usque ad xt*, applicando ad /", //"...
patet; o) verő, quod pro ju = 5 prodit, est
171
•+- ív. ír v.r
•+- ni nr + ii. ív -h I.V
Hoc autem tendit ad o, si ,« tendat ad infinitum. Accipiantur enira positive termini omnes in seriebus
x
b-h V.
per M, M' ccefficientes ipsius *»,... per [2Áf\ \2M'\ verő coefficientes ipsius x2m intelligendo. Utraque series, etsi omnes termini positive accipi-antur, limité gaudet (pag. 166.); sit
^ I'x ^ H'x* A'.
Pro quibusvis datis x et A positivis potest utraque series ad tantum exponentem eundem usque sumi, ut si summa prioris usque ad xm (in-clusive) dicatur u et u posterioris, atque u prioris usque ad x2m et «' posterioris, tam A — u quam A'—u' sit <\x, et A A'—uu'
Est verő itaque
uu'
Estque porro in uu summa potentia Ín facto partiali MM'x}m (neque in ullo alio amplius tanta est). Itaque si ro dicatur summa omnium factorum partialium illorum, in quibus exponens ipsius x excedit 2tn, quum omnia positive accipiantur, érit ui pars ipsius u u — u u ; nam in hoc adsunt etiam illa, quas adhuc (uti e schemate videtur) deficiunt ultra xm usque ad x2m. Est igitur o)'<^L
Sed facta illa partialia, quee ultra x2r" prodeunt (per multiplicationem serierum usque ad xzm sumtarumj, sünt praeterquam, quod heic omnia
positive accepta sint, pláne eadem; consequenter si honim summa i,>
dicatur, ac omnium terminorum positive acceptorum summa w'<JA fuerit, et signis terminorum mutatis érit <o<\k; atque si 2m = jU sít, et ju tendat ad infinitum, <.>—.0.
Consequenter omnibus, quse superius requirebantur, deinonstratis, pro x<^ 1 e i í _ + w esi
Unde etiam ípag. 158.)
si b<\a.
6. Si verő b*p>a, idest x = a^>li t u m d-^-x)e ita exprimi nequit.
Nam fi -\~xf determinato finito valore gaudet; si verő x= 1 et k^>h, fiet summa tenninorum omni dabili maior. Nam terminus «-tus érit
e(e— i ) . . . ( g — ( f f — D ) kll__ ek_ (e—i)k {e — [n—\))k 1.2...H hn \h 2/1 '" nh
et exponens seriéi per „_,,-/- exprimi potest; fit verő e —;/ aliquando negatívum et ab illő termino incipiendo aut est — — - semper unitate maius aut quovis dato, quod -<i, maius, adeoque exponens seriéi unitate inaior fit et abinde semper crescens tendit ad — , . Nam si c neRativum et unitate maius est, exponens coefficientium semper unitate maior est;
si non, et per n^_l expriinatur, pro quavis fractione vera positiva /, quae > | , fit
«-hí h > ' »
e — n _ _ r
^ e-hf
sí « > _-A--; nam pro
SECT1O PRÍMA. 173
prodit
ubi n pro / positivo et unitate minőre fsi/>»e accipiatur pro casu, si e negatívum et unitate minus sit) prodit positivum, uti esse debet;
crescente autem n ereseit n * l • Atque sí
(ita ut h et A utrumque positivum aut utrumque negatívum sit), est k
Si iam ab aliquo termino incipiendo omnes termini positivi aut omnes negativi sínt, manifesto series tenderét ad infinitum. Si non, tum ab aliquo termino incipiendo (ubi iam exponens seriéi unitate raaior factus est) signa alternabunt; sit terminus aliquis A negativus, sequens B posi-tivus, postea Cnegaposi-tivus, D posiposi-tivus, atque considerentur A-hB i,t C-\-D.
Exprimi B potest per A-~^-%- et D per C ^~~-^-, estque
in utraque parenthesi negatívum prodit et maius in postenore, si pro x= %k positivo sit e posítivum, nec integrum, vei negatívum et unitate minus.*
Prseterea C^>A, adeoque incrementa semper nova accedunt cum quo-vis novo pari, et quidein semper maiora.
Epag.161 — 163 signa nonnisi pro |i -h xf et (1 + * ) ~ * alternant. Itaque nonnisi de (1-+-*)*, ubi e negatívum et J>i, quasstio fit pro x=^ et k>h> {k et h positivis). Sit
' Nam —^r^, quod crescens et ad 1 tendens, maius quam -r- sit, et —£., consideranda veniunt. Accipiatur nempe pro e positivo et ~> 1, « tantum ut sit >e; atque tum patet < 1 esse, uti pro e <; 1 est —^-• < 1; est autem in casu utroque » — c positivum ; adeoque numeratori fractionis verse positivo addendo + 2 et denominatori positivo addito -+- 2 maius prodit. Nempe in utraque parenthesi terminus ad dextram negativus et > 1 est; adeoque addito 1 maius negatívum in sec und a
manet.
et
pro Q positivo; accipiaturque n tantum, ut sit
0<2g et Q<g
3;
quod fieri potest, quuin f~^~ tendat ad — i.Sint tennini eiusmodi signis alternantibus A, B, C, D se invicem ex-cipientes, sitque A positivum, B negatívum, C positivuin, D negatívum;
exprimentur hi per
A A e - ) l v A [£= n){e — n--\), A (e — n)(e — n — :){e —71 — 2) ,.
1 M + I ' ^ (M + l)"(» + 2) ' ( » H l ) ( n H 2 ) ( » | 3 í ' eritque factor ipsius Ax2 positivus, quum A et C positiva sint, factor ipsius Ax'3 autera negativus est, quum A et x positivuin, D verő nega-tívum sit.
Est autem A tam in duobus prioribus, quam in duobus posterioribus factor communis; estque summa factorum sociorum in duobus prioribus, substituendo valores dictos:
in duobus postremis autem, sí in postremo pro , , quod £>—1, tantum — 1 ponatur, summa factoruin sociorum ipsius A érit
Est autem, substituto valore ipsius x,
x2 — xl = — q — 2q2 — y3, quod per valorem suppositum ipsius n
est. Fit verő adhuc inaius negatívum, sí per coefficientem positivum multiplicetur; fieritque adhuc inaius, si pro —) poneretur ;/ _^_ , .
Ita si« = A, facile patet formulám nonnisi pro casibus particularibus valere.
SECTIO PRÍMA. 175 7. Notandum autem incrementis decrescentibus, imo ad limitem o tendentibus etiam posse summám omni dabilí maiorem fieri: ex. gr.
Si enim exponens seriéi ab aliquo termino incipiendo semper abinde J>it et {ut antea in serié, cuíus termini sünt A-h£, C-hD.,.) idem omni dabili pluries accedit: summa seriéi tendit ad 00.
Si verő exponens seriéi certa fractione vera f ab aliquo termino a incipiendo abinde nunquam maior fit, etsi semper crescat, summa inde érit <^—^—f> c ui summa terminorum anteriorum addita, maíus tota seriéi summa prodit (pag. 151).
At si exponens seriéi semper quidem unitate minor sít, sed semper crescat, neque tamen maneat certa fractione vera f minor, tum pro diversis casibus, summa finita aut infinita esse potest. Si pro certo b seriéi ab aliquo a incipiendo tot termini accipi possint usque ad aliquem M, ut summa eorum (si exponens seriéi illő, qui ad a est, dicto e con-stans maneret) non sit <J3, et post quodvis u (sequente termino a' et exponente, qui ibi est, e dicto), detur talis terminus «', ut summa ab a' usque u (si exponens constans e' maneret) non sit <^ b, et summee hae signo eodem gaudeant, tum manifesto series tendit ad infinitum.
Pro
t ue — a esset (pag. 151.J
__ a-\-eb — b .
adeoque si exprimantur u, a, e generaliter (pro serié tali aut in talem mutata, ut termini omnes adeoque et a, e, u, b positivi sint et semper sit
a H- eb > Ö, íut u prodeat positivum) atque sit
a^-eb — i
nam u<.a propter exponentem unitate minorem est; tum summa seriéi
et ita poiTO, adeoque prodit
I + I + I
•7
Pro ö—4. t ent primum
_ / i , _2 7 _ 7 \ . 2 _ i5 .
* 2 ~^ 3 R 8"^' 3 ~ 48 '
sed ín quovis seriéi termino numerator i est; atque si Jjj ad numerato-rein I reducatur, íiet •« == ' i nndt; qunin // sit -< \ , si series
I ]-S