Termikus folyamatok modellezése: Euler, Lagrange modellek és populációs

1.2. Termikus folyamatok modellezése: Euler, Lagrange modellek és populációs mérlegegyenletes megközelítés

Számos modellezési megközelítést találunk az irodalomban szilárd-szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak leírására. A legfontosabbakat és tulajdonságaikat foglalom össze röviden a következőkben. A modellezési eljárásokat az alábbi három fő csoportba oszthatjuk:

 Euler-féle megközelítés;

 Lagrange-féle megközelítés; valamint

 Populációs mérlegegyenletes megközelítés.

Tekintsük elsőként ezen csoportokat általános értelemben.

Az Euler-féle modellek kulcsfogalma a folytonosság (Gidaspow, 1994; Schmidt és Renz, 1999). Minden fázisra, illetve részecskére kontinuumként tekintenek, s ezekben a modellekben a különböző megmaradási egyenletekből (tömeg, energia, momentum, …) származnak a modell lokális paraméterei és változói. A módszer súlyos hátránya egyrészt az, hogy a változók értékei gyakran módosulnak, másrészt negatívumként értékelhető a modellezés során alkalmazott egyszerűsítés is, miszerint a részecskéket folytonos változásúnak tekintik, mely komoly mértékű modellezési hibához vezethet. Előnyként említhető viszont, hogy a kapott egyenletek megoldására szolgáló numerikus módszerek irodalma gazdag és jól kidolgozott.

A modellezés egy másik iránya a Lagrange típusú modelleket használja (Berlemont et al., 1990; Kaneko et al., 1999). Ezek fő jellemzője az, hogy az összes szemcse pillanatnyi állapotáról ad információt. A Lagrange modellek alkalmazásakor a rendszer minden szilárd komponensére megoldjuk a newtoni mozgásegyenletet, figyelembe véve a részecskeütközést és a gáz részecskékre gyakorolt hatását.

Összevetve a Lagrange modelleket az Euler-modellekkel, elmondható, hogy több időt, több számolást igényelnek, de általuk mélyebb betekintést nyerhetünk a szilárd-fluidum rendszerben végbemenő hőátadási folyamatokba. A Lagrange eljárások egyik nagy hátránya azonban a nagy számolási és nagy műveleti igényben keresendő. Több órát, néha napokat vesz igénybe egy-egy szimulációs kísérlet elvégzése, mely az alkalmazhatóságot nagyban csökkenti.

A különféle technológiai folyamatok nagy részében mind a szemcsék, mind a szemcse-populációk tulajdonságai az időben változnak. Az ilyen rendszerek populációs modellekkel való leírásának alapelemeit Hulburt és Katz 1964-ben megjelent cikkükben adták meg, akik az un. statisztikus mechanika eszköztárát felhasználva kidolgozták diszperz rendszerek populációs modelljeinek az alapjait. Az így bevezetett megközelítés számos alkalmazási területen vált kulcsfontosságúvá, így például különféle matematikai modellek alapjául szolgál a kristályosítás (Randolph és Larson, 1988), a keverés (Naumann és Buffham, 1983), a granulálás (Sastry és Fuerstenau, 1970), az őrlés (Mihálykó és Blickle, 1996), az oldás (Leblanc és Fogler, 1987) valamint a fluidum-szilárd szemcsék reakcióinak (Lakatos és Blickle, 1990) leírásánál. A populációs modellek általános értelemben vett leírásáról Ramkrishna (1985) valamint Ramkrishna és Borwanker (1973) publikációiban részletesen olvashatunk, ahol a szerzők egyúttal rámutatnak a populációs mérlegegyenletek és a különféle sztochasztikus pontfolyamatok momentumegyenlet-sorozatai közötti ekvivalenciára. A populációs mérlegegyenlet felírására az irodalomban több módot találunk, így például Nigmatulin (1979) térbeli átlagolás révén, Fan és munkatársai (1991) Markov-láncok felhasználásával, míg Lakatos és szerzőtársai (2008) a tömegmérleg térfogati átlagolásával határozták azt meg. Szemcsés rendszerek populációs mérlegegyenlettel történő modellezésekor élünk azzal a feltételezéssel, hogy a tekintett szilárd-fluidum rendszerben a szemcséket sok, ismétlődő, véletlennek tekinthető hatás éri. Bizonyos folyamatokban elegendő csupán a szilárd szemcsék és a fluidum közötti kölcsönhatásokat figyelembe vennünk, a szemcse-szemcse kapcsolat során fellépő folyamatok mellőzhetők. Az ilyen rendszereket pszeudofüggetlen

szemcsepopulációknak nevezi a szakirodalom. Más folyamatok vizsgálata esetén gyakran előfordul, hogy a direkt szemcse-szemcse kölcsönhatások is meghatározó jelentőségűek, hiszen e kölcsönhatások adják meg a folyamat alapvető jellegét, vagy más esetekben ugyan csak járulékos szerepet töltenek be, de ezen kölcsönhatások olyan gyakoriak, hogy elhanyagolásuk komoly modellezési hibához vezetne. Értekezésemben, mint később látni fogjuk, ezen folyamatokat vizsgálom majd részletesebben, hiszen az ilyen típusú folyamatok rendkívül fontos szerepet játszanak a folyamatmérnöki és műszaki tudományterületeken, azonban matematikai szempontú vizsgálataik ez idáig háttérbe szorultak. A következőkben néhány olyan publikációt/matematikai megközelítést emelek ki az irodalomból, melyek a direkt szemcse-szemcse hőátadás leírását is célul tűzték ki.

Li és Mason (2002) a szemcse-szemcse hőátadási folyamatokat a DEM (Distinct Element Method) eljárás segítségével vizsgálta részletesen, szimulálva a nem-izoterm reakciókat. Lathouwers és Bellan (2001) nagy sűrűségű reagens elegyek dinamikai tulajdonságait elemezték kísérleteik során un. „multi-fluidum” megközelítési metodikát alkalmazva, mely műveletkor figyelembe vették a direkt szemcse-szemcse hőátadási folyamatokat is. Mansoori és munkatársai (2002) munkájukban függőleges irányú turbulens gáz-szemcsés rendszereket vizsgáltak Euler-Lagrange modellek segítségével, melyben szintén figyelembe vették a direkt szemcse-szemcse ütközéseket és így az ekkor végbemenő hőátadási folyamatokat is. A folytonos folyamatokat az Euler modellekre jellemző módon tekintették, míg a szemcsés fázis jellemzőit Lagrange metodikával írták le. Burgschwieger és Tsotas (2002) un. generáció alapú eloszlás modellt (age distribution model) vezettek be a szemcse-szemcse hőátadási folyamatok modellezésére és leírására szárítási folyamatok vizsgálatakor. Zhou és munkatársai 2004-es munkájukban kőszén égetésének modelljét vizsgálták fluidágyakban un. DEM-LES (discrete element method-large eddy simulation) metodika alkalmazásával.

Matematikai modelljük felépítésekor vizsgálták a szemcse-szemcse hőátadást, mert mint munkájukban írják, komoly modellezési hiba lépne fel, ha mellőznék az ütközésekből származó hőátadási folyamatok hatásait. Mihálykó és szerzőtársai (2004a) a direkt szemcse-szemcse ütközéseket, valamint azok hatásait sztochasztikus modellel írták le. Az általuk bevezetett populációs mérlegegyenlet-modell véletlen paraméterek alkalmazásával definiálja a szemcsék közötti hőátadási folyamatokat. Mansoori és kollégái felismerve elsőként a szemcsék közötti direkt folyamatok jelentőségét

2005-reakciófolyamatok is elsődleges fontosságúak szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatakor. Ezt a megállapításukat alátámasztandó, eredményeket és Euler-Lagrange típusú modellt adnak meg munkájukban, mellyel szilárd-szemcsés rendszerek turbulens fluidizációját elemzik. Ugyancsak a turbulens fluidizáció vizsgálata állt Chagras és munkatársai 2005-ben megjelent dolgozatának középpontjában. Írásukban megadnak egy olyan Euler-Lagrange megközelítést, mellyel modellezhető egyrészt a direkt szemcse-szemcse hőátadás, másrészt a szemcsék és a fal ütközése során fellépő hővezetési folyamat is leírható. Mindezt egy valószínűségelméleti modellből kiindulva adják meg.

Az irodalomban megjelent hőátadási folyamatokat elemző és vizsgáló publikációk nagyobb hányada a szemcse-fal ütközési gyakoriságokat determinisztikus modellek segítségével írják le és sok esetben a Sun és Chen (1988) valamint Molerus (1997) publikációiban megadott analitikus összefüggéseket alkalmazzák. Kísérleti eredmények azonban azt igazolják, hogy a szemcse-fal hőátadások pontos leírásához ezen determinisztikus modellek és összefüggések nem elegendőek. Ezt a megállapítást támasztják alá Sommerfeld 2001 és 2002-ben megjelent munkái, ahol bizonyítást nyert fizikai kísérletei és szimulációi során, hogy a direkt szemcse-fal hőátadási folyamatnak meghatározó szerepe van a szemcse-fal ütközésekkor; alapvető véletlen paraméterek ilyen esetben a kontaktus ideje, vagy hasonlóan az érintkezési felület is elsődleges más egyéb paraméterek mellett. Mindezt kétfázisú turbulens fluidizációs készülékkel végzett eredményei alapján állapította meg. Hasonló eredményeket közöl Hamidipour 2005-ös cikkeiben is, aki radioaktív szemcsekövetést alkalmazva kísérletei során fluidágyban vizsgálta a szemcsék és a fal ütközésének jellemzőit és megállapította annak véletlenszerű voltát.

Mihálykó és szerzőtársai (2004a) valamint Lakatos et al. (2006) munkái alapján egy olyan sztochasztikus modellezési megközelítés alkalmazására nyílik mód, melyben populációs mérlegegyenletek felhasználásával a direkt szemcse-szemcse ütközéseken és hőátadási folyamatokon túl, a szemcse és fal ütközési jellemzők és hőátadások is leírhatóvá válnak. Értekezésem egyik célkitűzése, a korábban Mihálykó et al. (2004a) és Lakatos et al. (2006) által közölt megközelítés továbbgondolása és kiegészítése olyan matematikai elemekkel, melyek tartalmazzák egyrészt a szemcsék-fluidum, a szemcse-szemcse közötti hőátadások mellett a szemcse-szemcse-fal ütközések során megjelenő hőátadási folyamatokat és módot adnak azok modellezésére.

Szilárd-fluidum rendszerek populációs mérlegegyenlettel történő modellezését az utóbbi években több publikációmban ismertettem (Süle et al., 2004, 2005, 2006, Lakatos et al. 2008). Felépítettem egy populációs mérlegegyenlet-rendszert szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak leírására, mely megközelítés segítségével vizsgálhatók a direkt szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközések hatásai is. A megadott eszköztárat későbbi munkáimban (Süle et al., 2007a, 2007b, 2008, 2009a, 2009b) kiterjesztettem a szemcsék térbeli hőmérséklet-eloszlásának vizsgálatára is, mely megközelítést turbulens fluidizáció és hőcserélők vizsgálatakor alkalmaztam elsősorban. A megközelítés részleteit az értekezésem későbbi fejezeteiben részletesen bemutatom.

Dolgozatom következő, még az irodalmi áttekintéshez tartozó része szemcsés rendszerek modellezését mutatja be populációs mérlegegyenlet alkalmazásával, egy a korábban már említett sztochasztikus megközelítés felhasználásával. A modellek felépítésének ilyen értelmű tárgyalása kulcsfontosságú dolgozatomban, mivel e megközelítés kibővítése képezi új eredményeim alapjait.