Hőátadási folyamatok számítógéppel segített elemzése és tervezése populációs modellekkel

HŐÁTADÁSI FOLYAMATOK SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT ELEMZÉSE ÉS TERVEZÉSE POPULÁCIÓS

MODELLEKKEL

Doktori (PhD) értekezés

Készítette:

Süle Zoltán Témavezetők:

Dr. Lakatos Béla Dr. Mihálykó Csaba

Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar

Informatikai Tudományok Doktori Iskola

2009

HŐÁTADÁSI FOLYAMATOK SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT ELEMZÉSE ÉS TERVEZÉSE POPULÁCIÓS MODELLEKKEL

Értekezés doktori (PhD) fokozat elnyerése érdekében Írta:

Süle Zoltán

Készült a Pannon Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskolája keretében Témavezető: Dr. Lakatos Béla

Elfogadásra javaslom (igen / nem)

(aláírás) Témavezető: Dr. Mihálykó Csaba

Elfogadásra javaslom (igen / nem)

(aláírás) A jelölt a doktori szigorlaton ……….. % -ot ért el.

Veszprém, ……….

a Szigorlati Bizottság elnöke Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom:

Bíráló neve: ... (igen /nem)

(aláírás) Bíráló neve: ... (igen /nem)

(aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján …...% - ot ért el.

Veszprém, ……….

a Bíráló Bizottság elnöke

A doktori (PhD) oklevél minősítése…...

………

Az EDT elnöke

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék ... 3

Tartalmi kivonat ... 6

Abstract ... 7

Zusammenfassung ... 8

Köszönetnyilvánítás ... 9

Jelölésjegyzék ... 10

Bevezetés ... 13

1. Irodalmi áttekintés ... 16

1.1. Szemcsés rendszerek és alapvető tulajdonságaik ... 16

1.2. Termikus folyamatok modellezése: Euler, Lagrange modellek és populációs mérlegegyenletes megközelítés ... 19

1.3. Populációs modellek: Markov folyamatok ... 23

1.3.1. Alapvetés ... 23

1.3.2. Szemcsepopulációk kölcsönhatásai ... 26

1.3.3. Populációs mérlegegyenlet ... 28

1.4. Célkitűzések ... 31

2. Szemcse-szemcse és szemcse-fal hőátadási folyamatok modellezése populációs mérlegegyenlet alkalmazásával ... 33

2.1. A vizsgált rendszer fizikai modellje ... 33

2.2. Matematikai modell ... 35

2.2.1. Alapösszefüggések a modell felírásához ... 41

2.3. A populációs mérlegegyenlet levezetése ... 45

2.3.1. Mérlegegyenlet a szemcsés fázisra ... 46

2.3.2. Mérlegegyenlet a fal populációs sűrűségfüggvényére ... 48

2.3.3. Mérlegegyenlet a gáz fázisra ... 52

3. Momentumegyenlet-modell ... 54

3.1. A momentummódszer ... 54

3.1.1. Momentumok és tulajdonságaik ... 55

3.2. A momentumegyenlet-modell bevezetése ... 56

3.2.1. A szemcse és gáz fázis közötti hőátadást jellemző momentum-kifejezés ... 57

3.2.2. A direkt szemcse-szemcse hőátadást jellemző momentum-kifejezés ... 57

3.2.3. A szemcse és fal fázis közötti hőátadást jellemző momentum-kifejezés ... 58

4. Teljesen kevert rendszerek vizsgálata: szimulációs eredmények ... 66

4.1. Fluidizáció és alkalmazásai ... 66

4.2. A fluidizált réteg hőátadási részfolyamatai és azok modellezése ... 68

4.3. Szimulációs eredmények ... 70

5. Térbeli hőmérséklet-eloszlás vizsgálata cellás modell segítségével ... 84

5.1. Az általános cellás modell ... 84

5.1.1. A cellás modell mérlegegyenletei ... 85

5.1.2. Momentumegyenletek a cellás modell leírására ... 88

5.1.3. A cellás modell eredményeinek bemutatása ... 90

5.2. Turbulens fluidizáció leírása cellás modellel ... 94

5.3. Populációs mérlegegyenlet-modell fluidágyas hőcserélő rendszerek hőátadási folyamatainak leírására ... 100

5.3.1. A hőcserélő rendszer matematikai modellje ... 102

5.3.2. Momentumegyenletek és szimulációs eredmények ... 105

5.3.3. A kísérleti eredmények validálása ... 111

6. Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell turbulens fluidizáció hőátadási folyamatainak vizsgálatára ... 116

6.1. Bevezetés és alapösszefüggések ... 117

6.2. Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell ... 119

7. Összefoglalás ... 128

8. Új tudományos eredmények ... 131

9. New scientific results ... 134

Irodalomjegyzék ... 137

Saját publikációk ... 144

Az értekezés témájából született publikációk listája ... 144

Az értekezés témájában elhangzott tudományos előadások listája ... 146

Tartalmi kivonat

Hőátadási folyamatok számítógéppel segített elemzése és tervezése populációs modellekkel

A disszertáció témája hőátadási folyamatok számítógéppel támogatott elemzése és modellezése. A Szerző az Euler- és Lagrange típusú megközelítésektől eltérőn egy teljesen más megközelítést tárgyal dolgozatában, egy populációs mérlegegyenlet modellt vezet be szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatára. E folyamatok vizsgálata napjainkban rendkívül aktuális és az energetikai folyamatok elemzése kiemelten fontos, hiszen a mai modern társadalom egyre több energiát használ fel, mindeközben a hagyományos energiahordozókból egyre kevesebb áll rendelkezésre.

A munka középpontjában diszperz rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálata áll, melyben a szemcsék és a szemcsepopulációk sajátos tulajdonságait is figyelembe veszi a Szerző.

Három modell-típus kerül bevezetésre a dolgozatban: elsőként egy teljesen kevertnek tekintett rendszert tekintünk, mely a szemcse-szemcse, gáz-szemcse, gáz-fal, fal-szemcse és a fal-környezet hőátadási folyamatokat írja le. A megadott modellt momentummódszer segítségével vizsgálja a Szerző, majd bemutatja a felírt modell tulajdonságait gáz-szemcse fluidizációs folyamatok esetén.

Ezt követően a teljesen kevert rendszer modellje alapján az un. cellás/ populációs mérleg modell kerül ismertetésre, ahol a cellasorok alkalmas módon történő összekapcsolásával és a köztük levő kapcsolatok definiálásával a rendszer egyes komponenseinek térbeli hőmérséklet-eloszlását jellemezhetjük. Az így bevezetett modell intenzív szemcsemozgást tartalmazó folyamatok és hőcserélő rendszerek vizsgálatára alkalmas. A kidolgozott matematikai modell eredményeit fizikai kísérletekből származó adatokkal vetette egybe a Szerző és rámutatott a kiemelten jó egyezésre és így a modell helyességére.

Végül a dolgozat egy axiális diszperziós/populációs modellt mutat be, melyben a műveleti egységek térbeli hőmérséklet-eloszlásait folytonos térbeli koordinátával írja le a Szerző, melynek segítségével elemezhetők a turbulens fluidizációban megfigyelhető hőátadási folyamatok.

Az értekezés eredményei alkalmazhatók szilárd szemcse-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak modellezésére, elemzésére és tervezésére. A bevezetett cellás valamint axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell segítségével vizsgálhatók a szemcse-fluidum rendszerek hőmérsékletprofiljai, valamint a szemcsés fázis hőmérséklet-eloszlása is leírható segítségükkel. A megközelítés alkalmazható például turbulens fluidizáció valamint hőcserélő rendszerek tervezésekor és jellemzésekor.

A kidolgozott modelleknek kiemelt szerepe lehet energetikai folyamatok vizsgálata során, hiszen az egyre jobb hatásfokú energiaátalakításoknak és energia-transzportnak, valamint a különféle ipari folyamatok melléktermékeként keletkező energiának minél hatékonyabb felhasználása elsődleges szereppel bírhat.

Abstract

Computer aided analysis and design of heat transfer processes with the use of population models

The subject of the dissertation is computer aided analysis, design and modeling of heat transfer processes. The Author, contrary to the approaches of Euler and Lagrange, discusses an entirely different approach in his thesis; he introduces a population balance equation model for the analysis of the heat transfer processes of particle-fluid systems. The examination of these processes is extremely cutting-edge, nevertheless the analysis of the energetic processes is exceptionally important, since the modern society's energy consumption is increasing, while the availability of the conventional energy resources is decreasing. The analysis of the heat transfer processes of disperse systems serves as the core of the work, in which the Author takes into consideration the specific properties of the particles and particle populations, as well.

Three model types will be introduced in the thesis: First, the Author analyzes a perfectly mixed system, which describes the particle-particle, gas-particle, gas-wall, wall-particle and wall-environment heat transfer processes. He analyzes the specified model with the help of the momentum method, and then he demonstrates the features of the specified model in the case of gas-particle fluidization processes.

Subsequently, on the basis of the perfectly mixed system model, the Author introduces the cells-in-series/population balance model, which means the division of the analyzed system's volume into mixed cells. With the adequate linking of the cells and the definition of the connection between them, we can describe the spatial heat distribution of certain components of the system. The model constructed this way is able to analyze processes and heat exchanger systems containing intensive particle interactions. The Author compared the results of the mathematical model with data resulting from physical experiments, and pointed out the prominent accordance and the adequacy of the model.

Finally, the dissertation introduces and analyzes the axial dispersion/population model in which the Author describes the spatial heat distribution of the operational units with continuous spatial coordinates, and with the help of which it is possible to analyze the heat transfer processes in turbulent fluidization.

The Author’s results can be applied for modeling, analyzing and designing the heat transfer processes of solid particle-fluid systems. Modeling with the population balance equation allows us to analyze the particle-particle, particle-wall, particle-gas in addition to the gas-wall and wall-environment heat transfer processes, while avoiding the expensive physical experiments. The developed models may have prominent roles in the analysis of energetic processes, since the more efficient energy transformation and energy transport in addition to the more efficient utilization of the energy arising as the by-product of different industrial processes may have primary importance.

Zusammenfassung

Analyse mit Computern der Wärmeübergabeprozesse und deren Planung mit Populationsmodelle

Das Thema der Dissertation ist die Analyse mit Computern der Wärmeübergabe bzw. deren Planung und Modellisierung. Der Autor berichtet gegen Euler und Lagrange über eine ganz andere Methode in seinem Aufsatz. Er leitet eine popularisierte Bilanzausgleichung für die Analyse der Wärmeübergabeprozesse der festen Fluidumsysteme ein. Die Analyse solcher Prozesse ist heutzutage ziemlich aktuell, da die heutige moderne Gesellschaft immer mehr Energie verwendet, während die traditionellen Energiequellen immer weniger zur Verfügung stehen.

Drei Modelltypen werden in der Arbeit eingeleitet. Zuerst behandelt die Arbeit ein gemischtes System der Wärmeübergabe, das die Wärmeübergabeprozesse von Partikel zu Partikel, von Gas zu Partikel, von Gas zu Wand, von Wand zu Partikel, von Wand zu Umwelt beschreibt. Diese Methode wird mit Momentummethode untersucht, und stellt dann die Eigenschaften des geschriebenen Modells in der von Gas zu Partikel Fluidisation dar.

Danach wird aufgrund des Modells des vollständigen gemischten Systems das so genannte Zellen-Populations Bilanzmodell dargestellt, in dem die räumliche Wärmeverteilung der einzelnen Komponente des Systems mithilfe der Zusammenbindung der Zellenreihen und mit der Definierung ihrer Kontakte charakterisiert werden kann.

Endlich stellt die Arbeit ein axiales-dispersiales Populationsmodell dar, in dem die räumlichen Wärmeverteilungen der einzelnen Systemkomponente mit ständigen Raumkoordinaten geschrieben werden. Damit kann die Wärmeübergabe in turbulenter Fluidisation analysiert werden.

Diese ausgearbeiteten Modelle können eine große Rolle in der Untersuchung der energetischen Prozesse spielen, da die je effizienter Verwendung der Energieum- formungen mit immer besserem Wirkungsgrad und des Energietransports, bzw. der Energie, die als Nebenprodukt während der verschiedenen industriellen Prozesse entsteht, eine primäre Bedeutung haben kann.

Köszönetnyilvánítás

Ezúton is szeretném megköszönni témavezetőimnek Dr. Lakatos Bélának a Pannon Egyetem Folyamatmérnöki Intézeti Tanszék egyetemi docensének, és Dr.

Mihálykó Csabának a Pannon Egyetem Matematikai és Számítástechnikai Tanszék egyetemi docensének kutatómunkám során nyújtott folyamatos útmutatásaikat.

Köszönettel tartozom a Számítástudomány Alkalmazása Tanszék és a Matematikai és Számítástechnikai Tanszék munkatársainak a kutatásom során nyújtott segítségért, mindig fordulhattam hozzájuk bármilyen kérdésem, kérésem volt. Külön köszönöm Dr. Mihálykóné Dr. Orbán Éva tanárnő szakmai és emberi támogatását, mellyel nem csak a dolgozat készítését, hanem tudományos fejlődésemet is nyomon kísérte az évek során, valamint köszönöm Dr. Friedler Ferenc professzor úr támogatását is, mellyel hozzájárult értekezésem elkészítéséhez és benyújtásához.

Mindezek felett szeretném megköszönni családomnak azt a céltudatos, elszánt és kitartó ösztönzést és támogatást, melyet tanulmányaim során számomra biztosítottak.

Veszprém, 2009. június 29.

Jelölésjegyzék

a – egységnyi térfogatra eső felület/érintkezési felület, m² Ar – Archimedes szám, (Ar=g_g d_p³(_p-_g)/_g²)

b – konverziós sűrűségfüggvény B – konverziós eloszlásfüggvény c – hőkapacitás, J kg^-1 K^-1 d – Euklideszi távolság

D – axiális diszperziós együttható/fluidágy átmérője, m D_l – hűtőköpeny átmérője, m

e – exponenciális függvény f – sűrűségfüggvény F – eloszlásfüggvény

g – nehézségi gyorsulás, m s^-2

G – a szemcsék hőmérsékletének növekedési sebessége, K s^-1 h – entalpia/hőátadási együttható, W m^-2 K^-1

I – időpontok halmaza K – cellaszám

Kpg – együttható, s^-1 (Kpg=hpgapg/(mpcp)) k – hővezetőképesség, W m^-1 K^-1 m – tömeg, kg

Mk – a szemcsés fázis hőmérsékletének k-adik momentuma m_k – szemcsés fázis hőmérsékletének normált k-adik momentuma N – szemcseszám, db

n – populációs sűrűségfüggvény, db m^-3 K^-1 N – populációs eloszlásfüggvény, db m^-3 Nu_g – Nusselt szám (gáz) (=h_gwD/k_g) Nul – Nusselt szám (folyadék) (=hlwD/kl) o – nagyságrend, kis ordó

Ο – nagyságrend, nagy ordó

pj – súlyparaméter (=mkck/(mjcj+mkck)) p_k – súlyparaméter (=mjc_j/(m_jc_j+m_kc_k)) P – valószínűség/átmenetmérték Pr_g – Prandtl szám (gáz) (=gc_g/k_g) Pr_l – Prandtl szám (folyadék) (=lc_l/k_l) Q – hőmennyiség, J

q – térfogati áramlási sebesség, m³ s^-1 r – forrásfüggvény

R – visszakeveredési arányszám Re_g – Reynolds szám (gáz) (=_gu_gD/_g)

Re_l – Reynolds szám (folyadék) (=_lu_l(D_l-D)/_l) Re_p – Reynolds szám (szemcse) (=gu_gd_p/g) s – időparaméter

S – aktivációs függvény/ütközési gyakoriság

S_i – segédváltozó T – hőmérséklet, K t – idő, s

u – segédfüggvény/térfogati áramlási sebesség, m s^-1 u_mf – fluidizálás minimális sebessége, m s^-1

ut – fluidizálás maximális sebessége, m s^-1 U  – intervallum

v – vonalmenti sebesség V – a rendszer térfogata, m³ Vl – a folyadékfázis térfogata, m³ V  – intervallum

x – térbeli változók vektora y – (tulajdonság)vektor z – (tulajdonság)vektor y – (tulajdonság)változó z – (tulajdonság)változó Z_i – segédváltozó

1 – Heaviside függvény .,. – skalár-szorzat

Görög szimbólumok

 – kontaktidő, s

 – véletlen paraméterek vektora

 – béta-függvény

 – sűrűség, kg m^-3

 – Dirac delta függvény

 – paraméter

 – a hőátadás véletlen paramétere

 – függvény

 – viszkozitás, Pa s

 – a gáz térfogati hányada

 – tulajdonságvektor/axiális irányú változó τ – időváltozó

 – súly paraméter (0≤≤1)

² – szemcsehőmérséklet szórásnégyzete

 – paraméter, véletlen paraméter Ω – halmaz

 – eloszlásfüggvény

Alsó- és felsőindexek

 – véletlen paraméter e – környezet

g – gáz in – input

l – folyadék

max – maximális érték

mf – fluidizálás minimális sebessége min – minimális érték

p – szemcse pg – szemcse-gáz pp – szemcse-szemcse pw – szemcse-fal t – idő

w – fal wg – fal-gáz wl – fal-folyadék

Bevezetés

Napjainkban az energetikai folyamatok vizsgálata egyre fontosabb szerepet játszik, ugyanis a modern társadalmi gyakorlat egyre több energiát igényel és használ fel, miközben a hagyományos energiahordozókból egyre kevesebb van. Ezért különös jelentősége van az újabb energiafajták kutatásának, az egyre jobb hatásfokú energiaátalakításnak és transzportnak, valamint a különböző termelési folyamatokban melléktermékként keletkező energiák hasznosításának, melyek egyrészt növelik a rendszerek energetikai hatékonyságát, másrészt hozzájárulnak a környezetvédelemhez.

Az energiahasznosítás és újrahasznosítás egy fontos része a folyamat-iparban keletkező hőenergia kinyerése, megfelelő célokra történő átalakítása és felhasználása, melynek alapvető eszközei a hőcserélők, melyekből a fluidum-fluidum típusúak széles körben vizsgáltak, megfelelő szoftveres háttér segíti azok tervezhetőségét. Lényegesen kevesebb figyelmet kap azonban a szilárd szemcse-fluidum hőcserélők vizsgálata, melynek oka az, hogy a diszperz rendszerek modellezése és számítása összetettebb eljárásokat igényel, mivel figyelembe kell venni a szemcsék, valamint a szemcsepopulációk sajátos tulajdonságait is, amelyek fontos, alapvető befolyással vannak a termikus folyamatokra is. Erre alkalmas – többek között – a populációs modellekkel történő modellezés és számítás, mely értekezésem központi témája.

Szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése során az egyik lehetséges megközelítési mód a populációs mérlegegyenlettel való modellezés. Ez a szemcsék hőmérséklet szerinti populációs sűrűségfüggvényére, a gáz, a hűtőfolyadék és a tekintett szilárd-fluidum rendszer falának hőmérsékletére felírt közönséges/parciális (integro-) differenciálegyenletek formájában adható meg. A folyamatok lejátszódásának különböző körülményeit figyelembe véve ezek az egyenletek formáikat tekintve különbözőek lesznek (sok esetben nemlineárisak). Célkitűzésem ezen különböző folyamatok modelljeinek megalkotása és azok vizsgálata, mely a jelenleg használatos modellezési technikákkal szemben sztochasztikus építőelemekkel képes leírni a szilárd- fluidum rendszerek hőátadási folyamatait. A napjainkban alkalmazott modellezési

folyamatokat (ilyenek pl. az Euler-modellek) vagy olyan összetett modellrendszert adnak meg, melyek számítási és művelet igénye igen nagy (Lagrange-modellek), bizonyos kritikus rendszerekben megnehezítve azok alkalmazhatóságát.

Munkámban az Euler- és Lagrange típusú megközelítésektől eltérőn, egy teljesen más megközelítést alkalmazok a folyamatok vizsgálatára. Ehhez egy olyan sztochasztikus modellt veszek alapul, mellyel modellezhetők a szemcse-szemcse és szemcse-fal közötti hőátadások is, elkülönítve az egyes részfolyamatokat.

Kutatómunkámban ezen modell alapján kidolgoztam egy populációs mérlegegyenlet- rendszert, mellyel a direkt szemcse-szemcse hőátadáson túl a gáz-szemcse, szemcse-fal, gáz-fal és fal-környezet hőátadások is vizsgálhatóak.

Értekezésem célja a különböző hőátadási folyamatokat leíró modellek létrehozása és vizsgálata, mely modellek matematikai programcsomagokkal történő megoldása hasznos információt nyújt, megkönnyítve például szilárd-fluidum rendszerek és hőcserélők hőátadási jellemzőinek feltérképezését.

Dolgozatom első fejezetében röviden áttekintem a szemcsés rendszerek alapvető tulajdonságait, azok modellezésének eszköztárát, valamint a populációs modellek és a Markov folyamatok kapcsolatáról is szólok. Értekezésem következő részében az alkalmazott populációs mérlegegyenlet alapú megközelítést ismertetem és megadom a szilárd-fluidum rendszerek folyamatait leíró matematikai egyenleteket és az azokhoz szükséges egyéb összefüggéseket. Munkám harmadik része a kidolgozott modell momentumegyenleteinek vizsgálatát tartalmazza, melyben bemutatom ezen egyenletek részletes levezetését, és magyarázatot adok azok főbb jellemzőire.

Az értekezés következő része a felépített matematikai modell számítógépes vizsgálatát ismerteti, ahol a fluidizációs eljárást alapul véve mutatom be a modellből származó eredményeimet. A dolgozat ötödik fejezetében a második és harmadik fejezetben bemutatott teljesen kevert rendszermodell általánosítását tűztem ki célul. Itt vezetem be az un. cellás modellt, melyet két konkrét esetben alkalmazok hőátadási folyamatok leírására: tárgyalom a turbulens fluidiziáció és a fluidágyas hőcserélő rendszerek populációs mérlegegyenlet-modelljeit, melyet a momentumegyenlet- módszer segítségével vizsgálok, valamint bemutatom a vizsgált modell tulajdonságait.

Ez utóbbi hőcserélő rendszert validálom, irodalomból származó fizikai kísérletek eredményeit felhasználva. A dolgozat hatodik részében populációs mérlegegyenleten alapuló axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modellt ismertetek turbulens

fluidizáció leírására, mely a cellás modellekhez hasonlóan képes a hőátadási folyamatok térbeli jellemzésére.

Végül dolgozatomat összefoglalással, a megfogalmazott új tudományos eredményeim ismertetésével és irodalomjegyzékkel zárom.

1. Irodalmi áttekintés

1.1. Szemcsés rendszerek és alapvető tulajdonságaik

A szilárd-fluidum rendszerek egy fontos osztályát a szemcsés rendszerek alkotják, melyek a szilárd szemcsék tulajdonságai okán felépítésükben és viselkedésükben is nagyon változatosak. A szilárd szemcsék lehetnek porózus vagy nemporózus szerkezetűek, a tekintett folyamat során változhat a méretük vagy éppen e tulajdonságuk változatlan is maradhat. Részt vehetnek katalitikus vagy nem katalitikus reakciókban, de éppúgy vizsgálhatók a különféle tulajdonságaik az oldás vagy kristályosítás, illetve az adszorpció vagy szárítás folyamatában. A szemcsés rendszerek mérettartományaikat megvizsgálva általában elmondható, hogy több nagyságrendet ölelnek fel, így például mikroheterogén rendszerekben a 10^-7[m] - 10^-2[m] értékekkel számolhatunk. E tulajdonság előrevetíti modellezésük egyik nehézségét is, nevezetesen azt, hogy a fent említett példában nyolc nagyságrendet kell alkalmas módon kezelnünk, melyet sok esetben nem könnyű áthidalni a numerikus számítások pontosságát szem előtt tartva.

A szemcserendszerek jellemző tulajdonságaiként Blickle és szerzőtársai (2001) az alábbi szempontokat emelték ki:

 mérettartomány;

 szemcsealak;

 porozitás;

 diszperz elemek eloszlásmódja;

 méretváltozás sebessége; valamint

 a kölcsönhatások jellege közötti különbségek.

E tulajdonságokat az alábbi 1.1. ábra szemléletesen mutatja.

A szemcsés rendszereket műveleti céljuk alapján vizsgálva három alapvető funkcionalitást emelhetünk ki. Ezek a szemcsék előállítása, szemcsék

alakítása/formázása, valamint a szemcsés halmazok mozgatása. Tekintsük elsőként az 1.1. táblázatot, mely gáz-szemcsés rendszerekben mutatja az alapvető műveleteket.

1.1. ábra: A szemcsés rendszerek jellemző tulajdonságai

1.1. táblázat: Gáz-szemcse rendszerek műveleti célok szerinti osztályozása (Blickle és szerzőtársai, 2001)

Művelet Relatív gáz/szemcse

sebesség

Szemcsehalmazok tárolása Zérus

Tárolók ürítése, mechanikus szállítás, szitálás, darabolás, szárítás tányéros

szárítóban

Nagyon kicsi

Szárítás rotációs szárítóban, égetés forgó kemencében, mozgó ágyas

érintkeztetés, keverés, őrlés golyósmalomban

Kicsi

Fluidizáció, sűrű-fázisú pneumatikus

szállítás, porlasztva szárítás Közepes Híg-fázisú pneumatikus szállítás, őrlés

sugármalomban, gyors fluidizáció, gáz/szemcse elválasztás gázciklonban

Nagy

Szemcseméret

A méretváltozás sebessége A kölcsönhatás

jellege

Porozitás

A folytonos fázisban való eloszlásmód Szemcsealak

Általában elmondható, hogy a különféle szemcsés rendszerek modellezésének nehézségeit az abban megfigyelhető fizikai-kémiai folyamatok eredményezik. Ezek három részfolyamatot egyesítenek: a folytonos fázison belüli folyamatokat; a diszkrét fázison belüli folyamatokat és a két fázis határán végbemenő folyamatokat.

A folytonos fázis vizsgálatakor a gáz/folyadék rendszerek ismert fizikai-kémiai folyamatait kell azonosítanunk. Hasonlóan a korábbi felosztáshoz, itt is megadhatjuk a műveleti célok szerinti besorolást folyadék/szemcse rendszerek esetén (1.2. táblázat).

1.2. táblázat: Folyadék/szemcse rendszerek műveleti célok szerinti osztályozása (Blickle et al., 2001)

Művelet Relatív sebesség

Granulálás, paszták és festékek keverése Nagyon kicsi Folyadék/szemcse elválasztás

folyadékciklonban, fajtázás, flokkulálás, szűrés, zagyszivattyúzás

Kicsi

Oldás, kristályosítás, centrifugálás,

hidraulikus szállítás, ülepítés Közepes

Derítés Nagy

Fontos hangsúlyoznunk, hogy a szemcsés fázison belül a szemcsék közötti és a szemcséken belüli folyamatok az elsődlegesek. Szemcsés fázison belüli folyamatként tekinthetjük az összetétel-, a hőmérséklet- vagy például a méretváltozást. E folyamatok nagymértékben bonyolítják a tekintett rendszer modellezését. Munkámban – mint a későbbi fejezetekben látni fogjuk – a szemcséken belüli folyamatokat mindig „elég gyorsnak” feltételezem majd; így például a szemcsék hőmérsékletét homogénnek tekintem a modellezés során.

A szemcsék közötti kölcsönhatások lényegében ütközések során valósulnak meg, mely egyidejűleg eredményezheti a részt vevő szemcsék mozgásának változását, méretváltozást, vagy éppenséggel anyag- és/vagy hőátadást.

Végül szólnunk kell a folytonos és a diszkrét fázisok közötti folyamatokról is, melyek a szemcsék mozgását, valamint a folytonos fázisban való eloszlásmódját határozzák meg. Lényeges ilyen esetekben a hő és anyagátadási folyamatok számbavétele is.

A fenti rövid bevezetés rámutat arra, hogy szemcsés rendszerek modellezésekor mely elemi folyamatokat kell figyelembe vennünk ahhoz, hogy a matematikai modell alappilléreit megadjuk, majd azokból, mint építőelemekből felépíthető legyen a teljes modell. Blickle és szerzőtársai (2001) valamint Lakatos és szerzőtársai (2006) egy ilyen modell felépítését végezték el, mely általánosan megadott megközelítés képezi munkám alapját, hiszen azt felhasználva és kibővítve jutottam fontos új eredményekre.

1.2. Termikus folyamatok modellezése: Euler, Lagrange modellek és populációs mérlegegyenletes megközelítés

Számos modellezési megközelítést találunk az irodalomban szilárd-szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak leírására. A legfontosabbakat és tulajdonságaikat foglalom össze röviden a következőkben. A modellezési eljárásokat az alábbi három fő csoportba oszthatjuk:

 Euler-féle megközelítés;

 Lagrange-féle megközelítés; valamint

 Populációs mérlegegyenletes megközelítés.

Tekintsük elsőként ezen csoportokat általános értelemben.

Az Euler-féle modellek kulcsfogalma a folytonosság (Gidaspow, 1994; Schmidt és Renz, 1999). Minden fázisra, illetve részecskére kontinuumként tekintenek, s ezekben a modellekben a különböző megmaradási egyenletekből (tömeg, energia, momentum, …) származnak a modell lokális paraméterei és változói. A módszer súlyos hátránya egyrészt az, hogy a változók értékei gyakran módosulnak, másrészt negatívumként értékelhető a modellezés során alkalmazott egyszerűsítés is, miszerint a részecskéket folytonos változásúnak tekintik, mely komoly mértékű modellezési hibához vezethet. Előnyként említhető viszont, hogy a kapott egyenletek megoldására szolgáló numerikus módszerek irodalma gazdag és jól kidolgozott.

A modellezés egy másik iránya a Lagrange típusú modelleket használja (Berlemont et al., 1990; Kaneko et al., 1999). Ezek fő jellemzője az, hogy az összes szemcse pillanatnyi állapotáról ad információt. A Lagrange modellek alkalmazásakor a rendszer minden szilárd komponensére megoldjuk a newtoni mozgásegyenletet, figyelembe véve a részecskeütközést és a gáz részecskékre gyakorolt hatását.

Összevetve a Lagrange modelleket az Euler-modellekkel, elmondható, hogy több időt, több számolást igényelnek, de általuk mélyebb betekintést nyerhetünk a szilárd-fluidum rendszerben végbemenő hőátadási folyamatokba. A Lagrange eljárások egyik nagy hátránya azonban a nagy számolási és nagy műveleti igényben keresendő. Több órát, néha napokat vesz igénybe egy-egy szimulációs kísérlet elvégzése, mely az alkalmazhatóságot nagyban csökkenti.

A különféle technológiai folyamatok nagy részében mind a szemcsék, mind a szemcse-populációk tulajdonságai az időben változnak. Az ilyen rendszerek populációs modellekkel való leírásának alapelemeit Hulburt és Katz 1964-ben megjelent cikkükben adták meg, akik az un. statisztikus mechanika eszköztárát felhasználva kidolgozták diszperz rendszerek populációs modelljeinek az alapjait. Az így bevezetett megközelítés számos alkalmazási területen vált kulcsfontosságúvá, így például különféle matematikai modellek alapjául szolgál a kristályosítás (Randolph és Larson, 1988), a keverés (Naumann és Buffham, 1983), a granulálás (Sastry és Fuerstenau, 1970), az őrlés (Mihálykó és Blickle, 1996), az oldás (Leblanc és Fogler, 1987) valamint a fluidum- szilárd szemcsék reakcióinak (Lakatos és Blickle, 1990) leírásánál. A populációs modellek általános értelemben vett leírásáról Ramkrishna (1985) valamint Ramkrishna és Borwanker (1973) publikációiban részletesen olvashatunk, ahol a szerzők egyúttal rámutatnak a populációs mérlegegyenletek és a különféle sztochasztikus pontfolyamatok momentumegyenlet-sorozatai közötti ekvivalenciára. A populációs mérlegegyenlet felírására az irodalomban több módot találunk, így például Nigmatulin (1979) térbeli átlagolás révén, Fan és munkatársai (1991) Markov-láncok felhasználásával, míg Lakatos és szerzőtársai (2008) a tömegmérleg térfogati átlagolásával határozták azt meg. Szemcsés rendszerek populációs mérlegegyenlettel történő modellezésekor élünk azzal a feltételezéssel, hogy a tekintett szilárd-fluidum rendszerben a szemcséket sok, ismétlődő, véletlennek tekinthető hatás éri. Bizonyos folyamatokban elegendő csupán a szilárd szemcsék és a fluidum közötti kölcsönhatásokat figyelembe vennünk, a szemcse-szemcse kapcsolat során fellépő folyamatok mellőzhetők. Az ilyen rendszereket pszeudofüggetlen

szemcsepopulációknak nevezi a szakirodalom. Más folyamatok vizsgálata esetén gyakran előfordul, hogy a direkt szemcse-szemcse kölcsönhatások is meghatározó jelentőségűek, hiszen e kölcsönhatások adják meg a folyamat alapvető jellegét, vagy más esetekben ugyan csak járulékos szerepet töltenek be, de ezen kölcsönhatások olyan gyakoriak, hogy elhanyagolásuk komoly modellezési hibához vezetne. Értekezésemben, mint később látni fogjuk, ezen folyamatokat vizsgálom majd részletesebben, hiszen az ilyen típusú folyamatok rendkívül fontos szerepet játszanak a folyamatmérnöki és műszaki tudományterületeken, azonban matematikai szempontú vizsgálataik ez idáig háttérbe szorultak. A következőkben néhány olyan publikációt/matematikai megközelítést emelek ki az irodalomból, melyek a direkt szemcse-szemcse hőátadás leírását is célul tűzték ki.

Li és Mason (2002) a szemcse-szemcse hőátadási folyamatokat a DEM (Distinct Element Method) eljárás segítségével vizsgálta részletesen, szimulálva a nem-izoterm reakciókat. Lathouwers és Bellan (2001) nagy sűrűségű reagens elegyek dinamikai tulajdonságait elemezték kísérleteik során un. „multi-fluidum” megközelítési metodikát alkalmazva, mely műveletkor figyelembe vették a direkt szemcse-szemcse hőátadási folyamatokat is. Mansoori és munkatársai (2002) munkájukban függőleges irányú turbulens gáz-szemcsés rendszereket vizsgáltak Euler-Lagrange modellek segítségével, melyben szintén figyelembe vették a direkt szemcse-szemcse ütközéseket és így az ekkor végbemenő hőátadási folyamatokat is. A folytonos folyamatokat az Euler modellekre jellemző módon tekintették, míg a szemcsés fázis jellemzőit Lagrange metodikával írták le. Burgschwieger és Tsotas (2002) un. generáció alapú eloszlás modellt (age distribution model) vezettek be a szemcse-szemcse hőátadási folyamatok modellezésére és leírására szárítási folyamatok vizsgálatakor. Zhou és munkatársai 2004-es munkájukban kőszén égetésének modelljét vizsgálták fluidágyakban un. DEM- LES (discrete element method-large eddy simulation) metodika alkalmazásával.

Matematikai modelljük felépítésekor vizsgálták a szemcse-szemcse hőátadást, mert mint munkájukban írják, komoly modellezési hiba lépne fel, ha mellőznék az ütközésekből származó hőátadási folyamatok hatásait. Mihálykó és szerzőtársai (2004a) a direkt szemcse-szemcse ütközéseket, valamint azok hatásait sztochasztikus modellel írták le. Az általuk bevezetett populációs mérlegegyenlet-modell véletlen paraméterek alkalmazásával definiálja a szemcsék közötti hőátadási folyamatokat. Mansoori és kollégái felismerve elsőként a szemcsék közötti direkt folyamatok jelentőségét 2005-

reakciófolyamatok is elsődleges fontosságúak szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatakor. Ezt a megállapításukat alátámasztandó, eredményeket és Euler-Lagrange típusú modellt adnak meg munkájukban, mellyel szilárd-szemcsés rendszerek turbulens fluidizációját elemzik. Ugyancsak a turbulens fluidizáció vizsgálata állt Chagras és munkatársai 2005-ben megjelent dolgozatának középpontjában. Írásukban megadnak egy olyan Euler-Lagrange megközelítést, mellyel modellezhető egyrészt a direkt szemcse-szemcse hőátadás, másrészt a szemcsék és a fal ütközése során fellépő hővezetési folyamat is leírható. Mindezt egy valószínűségelméleti modellből kiindulva adják meg.

Az irodalomban megjelent hőátadási folyamatokat elemző és vizsgáló publikációk nagyobb hányada a szemcse-fal ütközési gyakoriságokat determinisztikus modellek segítségével írják le és sok esetben a Sun és Chen (1988) valamint Molerus (1997) publikációiban megadott analitikus összefüggéseket alkalmazzák. Kísérleti eredmények azonban azt igazolják, hogy a szemcse-fal hőátadások pontos leírásához ezen determinisztikus modellek és összefüggések nem elegendőek. Ezt a megállapítást támasztják alá Sommerfeld 2001 és 2002-ben megjelent munkái, ahol bizonyítást nyert fizikai kísérletei és szimulációi során, hogy a direkt szemcse-fal hőátadási folyamatnak meghatározó szerepe van a szemcse-fal ütközésekkor; alapvető véletlen paraméterek ilyen esetben a kontaktus ideje, vagy hasonlóan az érintkezési felület is elsődleges más egyéb paraméterek mellett. Mindezt kétfázisú turbulens fluidizációs készülékkel végzett eredményei alapján állapította meg. Hasonló eredményeket közöl Hamidipour 2005-ös cikkeiben is, aki radioaktív szemcsekövetést alkalmazva kísérletei során fluidágyban vizsgálta a szemcsék és a fal ütközésének jellemzőit és megállapította annak véletlenszerű voltát.

Mihálykó és szerzőtársai (2004a) valamint Lakatos et al. (2006) munkái alapján egy olyan sztochasztikus modellezési megközelítés alkalmazására nyílik mód, melyben populációs mérlegegyenletek felhasználásával a direkt szemcse-szemcse ütközéseken és hőátadási folyamatokon túl, a szemcse és fal ütközési jellemzők és hőátadások is leírhatóvá válnak. Értekezésem egyik célkitűzése, a korábban Mihálykó et al. (2004a) és Lakatos et al. (2006) által közölt megközelítés továbbgondolása és kiegészítése olyan matematikai elemekkel, melyek tartalmazzák egyrészt a szemcsék-fluidum, a szemcse- szemcse közötti hőátadások mellett a szemcse-fal ütközések során megjelenő hőátadási folyamatokat és módot adnak azok modellezésére.

Szilárd-fluidum rendszerek populációs mérlegegyenlettel történő modellezését az utóbbi években több publikációmban ismertettem (Süle et al., 2004, 2005, 2006, Lakatos et al. 2008). Felépítettem egy populációs mérlegegyenlet-rendszert szilárd- fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak leírására, mely megközelítés segítségével vizsgálhatók a direkt szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközések hatásai is. A megadott eszköztárat későbbi munkáimban (Süle et al., 2007a, 2007b, 2008, 2009a, 2009b) kiterjesztettem a szemcsék térbeli hőmérséklet-eloszlásának vizsgálatára is, mely megközelítést turbulens fluidizáció és hőcserélők vizsgálatakor alkalmaztam elsősorban. A megközelítés részleteit az értekezésem későbbi fejezeteiben részletesen bemutatom.

Dolgozatom következő, még az irodalmi áttekintéshez tartozó része szemcsés rendszerek modellezését mutatja be populációs mérlegegyenlet alkalmazásával, egy a korábban már említett sztochasztikus megközelítés felhasználásával. A modellek felépítésének ilyen értelmű tárgyalása kulcsfontosságú dolgozatomban, mivel e megközelítés kibővítése képezi új eredményeim alapjait.

1.3. Populációs modellek: Markov folyamatok

1.3.1. Alapvetés

Vegyünk egy szemcsékből álló halmazt, amelyben a tekintett szemcsék jellemzőit egy X

X 



(₁,₂,...,_K) , R^K

ξ tulajdonságvektorral írjuk le (Lakatos et al., 2006). A ξ vektort a továbbiakban egy részecske állapotának, míg az R^K halmazt a részecskék állapotterének nevezzük. ξ elemei a szemcsék egy-egy mérhető tulajdonságára utalnak, melyet Hulburt és Katz (1964) értelmezése alapján külső és belső tulajdonságokra bontunk szét. Külső tulajdonságként olyan jellemzőket veszünk figyelembe, mely a szemcséktől függetlenül is fennállnak (pl. idő, axiális koordináta, …), míg a szemcsékhez köthető tulajdonságokat belső jellemzőknek tekintjük (pl. a részecske tömege, mérete, sebessége, …). Mivel a tulajdonságok számos sztochasztikus hatástól függnek, így ξ-t vektor valószínűségi változónak tekintjük. A ξ tulajdonságvektor meghatározott, ha ismerjük annak eloszlását, illetve eloszlásfüggvényét. Ha egy szemcse állapota változik az időben (jelölje itt T az időpontok halmazát), akkor ezt az

állapotváltozást a



ξ(t):tT



vektor valószínűségi változók összessége írja le, mely egy sztochasztikus folyamat. Kijelenthető (Gardiner, 1983; Skorokhod, 1983; Sobczyk 1991) alapján az is, hogy



ξ(t):tT



egy Markov-folyamat, ahol az átmenet- valószínűségek a következőképpen adottak:

 



ξ(t) x|ξ(s) y

 

Ps,y;t,x



P    (1.1)

Ez azt jelenti, hogy Markov-folyamatok esetén – a teljes valószínűség tételét felhasználva – a rendszer teljes leírását egyszerű feltételes eloszlásfüggvényekkel (un.

átmenetvalószínűségekkel) megadhatjuk.

Jelölje P

 

ξ(s) x

 



 

x,s a ξ(s) valószínűségi változó eloszlásfüggvényét rögzített s időpillanatban. Ekkor a 

 

.,s eloszlásfüggvény tetszőleges ts esetén a következő összefüggéssel adható meg:



, ; ,



( , ) )

,

( t P s t d s

X

y x y

x  





^{, t>s. (1.2)}

Jelölje N(t) a szemcsepopuláció darabszámát a t-edik időpillanatban. Kijelenthető, hogy ha a részecskék viselkedése egymáshoz hasonló és a szemcsék száma konstans, akkor az (1.2) egyenlet leírja a szemcsepopuláció egészének viselkedését. Ha a szemcsepopuláció darabszáma (.)N nem állandó, akkor a fenti egyenlet nem elegendő ahhoz, hogy a vizsgált populáció egészének tulajdonságait leírja, mivel a szemcsék darabszáma ez esetben ismeretlen. A következőkben az (1.1) és (1.2) összefüggések analógiájára modellt adunk meg, mellyel makroszinten leírhatók a szemcsefázis különféle tulajdonságai.

Legyen N(.,t)monoton nem-csökkenő függvény úgy, hogy az tetszőleges folytonos korlátos g függvény esetében elégítse ki az alábbi egyenlőséget:

 





X

t N

n

n t x g t

dx N x g

) (

1

)) ( ( )

, ( )

( , (1.3)

ahol x_n jelöli a szemcsehalmaz n-edik szemcséjének állapotát és N(t) a szemcsék darabszámát mutatja a t-edik időpillanatban.

A szemcsés fázis N(.,t) populációs eloszlásfüggvénye megadható és teljesül az alábbi egyenlőség:



 X

t dx N t

N( ) ( , ). (1.4)

Az N(.,t) függvényt a populáció t-edik időpillanatbeli állapotának nevezzük. Mivel diszperz rendszerek esetén a  valószínűségi eloszlásfüggvény nem adható meg közvetlenül, ezért annak közelítésére az F_N(x,t) függvényt alkalmazhatjuk a következő módon:

) (

) , ( ) , (

) , ) (

,

( N t

t N t d N

t t N

F

X N

x x

x  x 



^{. (1.5)}

Tegyük fel, hogy N(t) elég nagy és így F_N(x,t) egyenletesen közelíthető (x-ben és t- ben) egy x és t szerint differenciálható F(x,t) eloszláscsaláddal. Tekintsük F K- adrendű parciális deriváltját:

... . ) , ) (

, (

2

1 K

K

x x x

t t F

f   

  x

x (1.6)

Jelölje most n(x,t)N(t) f(x,t). Az F_N(x,t) és az F(x,t) közötti elhanyagolható különbség miatt a továbbiakban F(x,t)-t használjuk F_N(x,t) helyett és ennek megfelelően N(x,t)-t az F(x,t)N(t) szorzattal azonosítjuk.

Természetesen ennek következtében az

K K

x x x

t t N

n   

 

...

) , ) (

, (

2 1

x x (1.7)

egyenlőség is fenn fog állni, melyet populációs sűrűségfüggvénynek nevezünk.

Az N(.,t) szemcsepopuláció állapotának változásait az átmenetmértékek segítségével adjuk meg, melyet az (1.1) analógiájára fogalmazunk meg a következőképpen:

A Pˆ:TX TX R₀^ függvényt a populációs rendszer átmenetmértékeinek nevezzük, ahol Pˆ(s,y;t,x), ts azon szemcsék „valószínű” számát adja meg, amelyek állapota a t időpontban x-nél kisebb értékkel rendelkezik, feltéve, hogy az s időpontban az y és y+dy állapotban található szemcsék száma N(dy,s) volt.

Belátható (Blickle et al., 2001), hogy ezen átmenetértékek kielégítik a Chapman- Kolmogorov egyenletet, azaz

t s

d s P t P t

s P

X









^{ˆ(, ; , )ˆ( , ;, ), }

) ,

; ,

ˆ( y x z x y z , (1.8)

továbbá feltételezve, hogy valamely szemcsepopulációban elég nagyszámú szemcse található az egyes állapotokban, és azok viselkedése egymástól független, valamint felhasználva az (1.4) összefüggést, teljesül az alábbi (1.9) egyenlőség:

t s s d N t s P t N

X







^{ˆ( , ; , ) ( ; ),}

) ,

(x y x y (1.9)

azaz a rendszer változását leíró Pˆ függvények ismeretében tetszőleges jövőbeli időpontban meg tudjuk határozni a szemcsék várható állapotát.

1.3.2. Szemcsepopulációk kölcsönhatásai

A szemcséket alakító események és folyamatok jól definiálható feltételek mellett valósulnak meg. Itt sok esetben a szemcséken kívüli külső feltételekre kell gondolnunk, melyek hatását a továbbiakban egy statikus, időben nem változó Θ paraméterrel írjuk le. Így a szemcserendszer változásait megadó egyenletekben e Θ paraméter jelenik majd meg, meghatározva a külső körülmények hatását a rendszerre. Explicit módon a következő összefüggés írható fel:

t s s d N t

s P t

N

X



 _

^{(x, )}



^{ˆ( ,y; ,x|Θ) ( y; ), (1.10)}

A fenti kifejezés alapjában véve a szemcsepopuláció egyes egyedeire ható változásokat azonos, Θ értékű külső hatás mellett írja le.

Gyakran azonban nem feltételezhető a külső hatások állandó értéke, hiszen az egyes szemcsékre érvényes hatások véletlenszerűen kialakuló értékeket jelentenek. Ekkor a Θ paraméter nagyon sok realizációja megvalósulhat a paraméter F_Θ(.) eloszlásfüggvényének megfelelően, és így a Pˆ átmenetmértékekkel leírt változások a fenti (1.10) egyenlet randomizálásával az alábbi várható értékként írhatók fel:

t s d F s d N t

s P t

N

X





 

^{ˆ( , ; , ) ( ; ) ( ),}

) , (

Θ

Θ Θ Θ y

| x y

x . (1.11)

A szemcsék különféle tulajdonságát alakító események és folyamatok létrejöttéhez sokszor nem elegendő valamely külső tulajdonság megléte, mert a szemcsepopuláció egy/több belső tulajdonsága is meghatározó. Ez nem jelent mást, minthogy egy Pˆ átmenetmértékekkel leírt eseményben az s időpillanatban a szemcsehalmaz szemcséi olyan mértékben vesznek részt, amilyen mértékben eleget tesznek valamely z belső

feltételnek is. Ez egy – vagy esetleg több – másik, adott állapotú szemcsével való kölcsönhatást (is) jelenthet. Általánosabban tekintve azonban a kérdéskört, ide sorolható például más diszperz elemekkel (például folyadékcseppekkel) való kölcsönhatás is. Ha a zZ feltétel az s időpontban az F_z(.,s) eloszlásfüggvénnyel leírt eloszlással lép fel, akkor a feltételes valószínűségekre vonatkozó összefüggéseknek megfelelően az alábbi feltételes Markov-folyamatot leíró egyenlet adható meg (feltételezve, hogy

) ,Z X F

F_z   :

t s s dz F s d N t

s P t

N

X X

c 



 

^{ˆ ( , ; , ) ( ; ) ( , ),}

) ,

(x y x|z y , ahol (1.12)

Pˆ feltételes átmenetmértéket definiál, mivel a leírt esemény eredménye függhet a c z feltételtől, azaz attól, hogy az s időpontban z milyen realizációja jött létre.

Szemléletesebben fogalmazva: a fenti (1.12) egyenlet adódik az (1.11) összefüggésből, ha valamely esemény létrejöttének feltétele az, hogy egy szemcse találkozzon egy másik, z állapotú szemcsével.

A Pˆ átmenetmértékekkel leírt esemény akkor megy végbe, amikor egy _c y állapotú szemcse egy másik z állapotú szemcsével kerül kölcsönhatásba és e két állapot által meghatározott Pˆ mértékben (mennyiségben) eredményez _c x-nél kisebb állapotú szemcséket.

Felhasználva a fent bevezetett mértékeket és feltéve, hogy a kétszemcsés rendszerek (olyan rendszerek, ahol két szemcse kölcsönhatásából eredő folyamatokat tekintünk csak) eseményeinek eredményei egy külső Θ véletlen paramétertől is függnek, melynek eloszlásfüggvényét továbbra is F_Θ(.) jelöli, az alábbi (1.13) összefüggés adható meg (Blickle et al., 2001), mely tehát két szemcse véletlen jellegű kölcsönhatásának valamely véletlen paramétertől függő eseménye hatására létrejövő változásait írja le. A véletlen jellegű kölcsönhatás – mint a későbbiekben látni fogjuk – elsősorban ütközések formájában realizálódik.

t s d F s d N s d N , t s s P

t N N

X X

c 





¹_{( )}

 

^{ˆ ( , ; , ) ( , ) ( , ) ( ),}

) ,

(x y x|zΘ y z _Θ Θ

Θ

(1.13) A következőkben felhasználva a már megismert összefüggéseket, a szemcsés rendszerek populációs mérlegegyenletét vezetem be.

1.3.3. Populációs mérlegegyenlet

Legyen adott továbbra is egy szemcsehalmaz annak N(.,.) populációs eloszlásfüggvényével. Jelöljük tetszőleges  0 valós számra valamely yX állapot

-környezetét, valamint annak komplementerét az alábbi módon:

} ) , ( : { )

( 

 y  x d y x  U

} ) , ( : { )

( 

 y  x d y x 

V (1.14)

X y y) ( )

( _

 V

U , ahol

) , (y x

d két állapot euklidészi távolságát jelöli.

Tegyük fel, hogy a Pˆ átmenetmérték kielégíti az alábbi feltételeket:

(a) Létezik az r függvény úgy, hogy bármely yX, 0 és t0-ra:

) ( ) ,

| , ( ) ,

; , ˆ ( lim 1

) 0 (





o z

t y r , d t t t t P

y U t c



















 y x|z (1.15)

(b) Léteznek az u=[u_k]_K és D=[D_jk]_K×K függvények úgy, hogy bármely

0

X,

y és t0-ra:

) ( ) ,

| , ( ) ,

; , ˆ ( ) 1 (

lim

) 0 (





o z

t ,

d t t t t P

y U t c



















 x y y x|z u y Θ (1.16)

és

) ( ) ,

| , ( ) ,

; , ˆ ( ) )(

1 ( lim

) 0 (





o z

t ,

d t t t t P

y U

T c t





















 x y x y y x|z D y Θ (1.17)

(c) Bármely yX, 0, xV_(y)és t0-ra:

) ,

| , ) ( ,

; , ˆ ( lim

0

Θ x z y

| x

y q t , z

t

, d t t t P_c

t

 









 , (1.18)

ahol q minden változójában folytonos függvény és a következő formában írható fel:

].

1 ) ,

| , ( )[

,

| , ( ) ,

| ,

(t y,x z Θ S y t z Θ B t y,x z Θ 

q (1.19)

A következőkben definiáljuk a fenti kifejezésekben található S és B függvényeket:

Az S:X TX ΘR₀^ függvényt aktivitási függvénynek nevezzük ahol )

( ) ,

| ,

( t t o t

S y z Θ    annak valószínűségét mutatja, hogy egy ξ(t) y jellemzőjű

szemcse állapota megváltozik a t0 időpillanatban azon feltételek mellett, hogy ekkor egy Θ paraméterű állapotváltoztató folyamat megy végbe közte és egy z állapotú másik szemcse között a (t,tt) időintervallumban.

A B:TX X X ΘR₀^ függvényt konverziós eloszlásfüggvénynek nevezzük ahol B(t,y,x|z,Θ) annak mértékét mutatja, hogy egy ξ(t) y jellemzőjű szemcse állapota a t0 időpillanatban kisebb lesz mint x, azon feltételek mellett, hogy ekkor egy z állapotú szemcsével történő kölcsönhatás során Θ paraméterű állapotváltoztató folyamat megy végbe közöttük.

Tegyük fel, hogy a Pˆ feltételes átmeneti mérték kielégíti az (1.15)-(1.19) _c feltételeket, továbbá S és B a fent bevezetett aktivitási és konverziós függvények. Ekkor a populációs sűrűségfüggvény kielégíti az alábbi integro-differenciálegyenletet:

), , ( ) , ( ) ,

| , ) ( ( 1

) , ( ) , ( ) , ( ) ,

| , ( ) ,

| , ) (

( 1

) , ( ) , ( ) , ( ) ,

| , ( ) ,

| , ) (

( 1

) , ( ) , ( ) ,

| , ) (

( 2

) , (

) , ( ) , ( ) ,

| , ) (

( ) , ( )

, (

1 1

2

1 1

1

t d F d t n t

t r N

t d F d t n d t n t

b t

t S N

t d F d t n d t n t

b t

t S N

t d F d t n t

t D N

t n x x

t d F d t n t

t u N

t n x t

t n

X X

k X

k K

k

X

k X

k K

k

X jk j

k K

k K j

X k k

K k

Θ z

Θ z z x

Θ z

z y Θ y

z x Θ y,

z y

Θ z

z y Θ x

z y Θ x,

z x

Θ z

Θ z z x x

Θ z

Θ z z x x

x

Θ Θ

Θ Θ

Θ Θ

Θ Θ

Θ Θ





 

 

 

 

   

  





























 

















 

 







 



(1.20)

, ) , ( )

( ^



X

d t n t

N x x

ahol a konverziós sűrűségfüggvények az alábbi módon kerülnek bevezetésre:

.' ) ,

| , , ( )

,

| , ,

(









x k

k t b t d

B y x z Θ y x' z Θ x (1.21)

.' ) ,

| , , ( )

,

| , ,

(









x k

k t b t d

B x y z Θ x y' z Θ y (1.22)