Szimulációs eredmények

A szemcse-szemcse valamint a szemcse-fal ütközési gyakoriságok értékeit több tényező figyelembevételével tudjuk csak megbecsülni. Ilyen tényezők lehetnek például a gáz áramlási sebessége, a szemcsék mérete vagy éppen az egységnyi térfogatban található szemcsék száma. Ismert továbbá, hogy szilárd-fluid rendszerekben a fázisok

áramlási sebessége különböző értékeket vehetnek fel, ami a szemcse-szemcse ill. a szemcse-fal ütközési gyakoriságok változását eredményezheti. A jelenség leírása valószínűségi eloszlással kezelhető, ahol vagy a kinetikaelmélet, vagy kísérleti, tapasztalati ismeretek lehetnek segítségünkre. A szimulációs eredmények vizsgálata során az ütközési gyakoriságok értékeit állandónak tekintettem. A fluidizált ágy hidrodinamikai feltételeit a 4.1 táblázatban található (4.3) és (4.4) összefüggések segítségével számoltam, mely összefüggések garantálják például valós gázsebesség választását, míg a gáz-fal, fal-folyadék és a gáz-szemcse hőátadási paraméterek értékei a (4.5)-(4.7) egyenletekből származtak.

4.1. Táblázat: A numerikus kísérletekben alkalmazott hidrodinamikai és hőátadási paraméterek összefüggései (Re – Reynold szám, Nu – Nusselt szám, Ar – Archimedes

szám, Pr – Prandtl szám)

Összefüggés Irodalmi hivatkozás Egyenlet



^{33.72 0.0408}



^{1/2 33.7}

 Ar

Re_mf (Wen és Yu, 1966) (4.3)

Ar Ar

Re_t





556 . 2 78 . 2 1 065 . log 0

35 . 21

1  



 



  (Gumz és Frössling,

1960)

(4.4)

0.33 46 .

0175 0

.

0 _g

gw Ar Pr

Nu  (Baskakov és

Suprun, 1972)

(4.5)

0.3

023 0.8

.

0 _{lw l}

lw Re Pr

Nu  Dittus-Boelter

összefüggés

(4.6)

28 . 1

054 .

0 









 



p p

Nu Re

(Richardson és Ayers, 1959)

(4.7)

A fizikai és a különféle hőtermikus paraméterek értékeit konstans értékeknek tekintettem a kísérletek során. Ezen értékeket, jelentésüket valamint mértékegységeiket az alábbi 4.2. és 4.3. táblázatokban foglaltam össze. A szimuláció során természetesen olyan paraméterek is szerepet kapnak (így pl. a különféle ütközési gyakoriságok, szemcseátmérő, stb.), melyek értékei változnak a numerikus kísérletek során. Ezeket és szerepüket a szimulációs kísérleteknél minden esetben külön hangsúlyozom majd.

4.2. Táblázat: A numerikus kísérletekben alkalmazott fizikai és hőtermikus paraméterek

Paraméter Érték

Szilárd szemcsék:

tim-föld Átmérő, dp 1.810^-3 m

Sűrűség, _p 1040 kg m^-3 Fajhő, cp 944 J kg^-1 K^-1 Hővezetés, k_p 36 W m^-1 K^-1

Fluidum: levegő Sűrűség, g 0.946 kg m^-3

Fajhő, c_g 1010 J kg^-1 K^-1 Viszkozitás, g 2.17 10^-5 Pa s

Hővezetés, kg 2.39 10^-2 W m^-1 K^-1

A készülék fala: rozs- Tömeg, mw 145 kg

damentes acél Fajhő, cw 465 J kg^-1 K^-1 Hővezetés, kw 50.2 W m^-1 K^-1

Hűtőközeg: víz Sűrűség, l 998 kg m^-3

Fajhő, cl 4182 J kg^-1 K^-1 Hővezetés, kl 0.606 W m^-1 K^-1 Viszkozitás, l 1.0 10^-3 Pa s 4.3. Táblázat: A numerikus kísérletekben alkalmazott működési paraméterértékek

Paraméter Érték

Fluidizált ágy Átmérő, D 0.65 m

Magasság, H 0.9 m

Szemcsék térfogati áramlási sebessége, qp

1.010^-3 m³ s^-1 Fluidum térfogati áramlási

sebessége, q_g 1.2×10^-1 m³ s^-1 Fluidum-részecske

szuszpenzió gáz térfogathányad,  0.6

Hűtőköpeny Átmérő, Dl 0.75 m

Folyadék térfogati áramlási sebessége, ql

1.0×10^-3 m³ s^-1

4.4. Táblázat: A numerikus kísérletekben az egyes komponensek kezdeti és input hőmérsékletértékei

Komponens Érték

Beáramló

komponen-sek hőmérsékletértékei szemcse 20^◦C

gáz 180^◦C

külső folyadék 10^◦C

Kezdeti

hőmérséklet-értékek szemcsék 20^◦C

gáz 20^◦C

külső folyadék 10^◦C

a készülék fala 20^◦C

A numerikus kísérletek futtatásakor az ωpp és ωpw paramétereket a [0;1] intervallumon béta-eloszlás szerint az alábbiak alapján számoltam:

pw q pp

f p

q p

, ,

1 ha és 0

ha , 0

1 0

ha , ) 1 ) (

, (

1 )

(

1 1

 















 















 













_ (4.8)

beleértve a határértékként adódó degenerált Dirac-delta eloszlások sűrűségfüggvényeit is.

A szimulációs kísérleteim során megengedett az is, hogy belépő szemcsepopulációt két különböző hőmérsékletű szemcsetömeg adja. Az első ilyen populáció darabszámát

M_0,in

 , míg a másik populáció mennyiségét jelölje (1)M_0,in, ahol 01. A két különböző populáció hőmérsékletét rendre T_p⁽¹_,in⁾ és T_p⁽²_,in⁾ mutatja. A 4.1.ábrán figyelhetjük meg a rendszerbe belépő szemcsepopulációk hőmérséklet szerinti megoszlását.

4.1. ábra: A rendszerbe belépő két különböző mennyiségű és hőmérsékletű szemcsepopuláció hőmérséklet szerinti megoszlása

A fent leírt hőmérsékleteloszlást megadó populáció eloszlásfüggvény az alábbi formában adható meg, melyet grafikusan a 4.2. ábra szemlélet:

 

^,

 

^{(1 )} 0,



⁽²_,⁾



^{, 0 1}

) 1 ( , ,

0      

 _{in p pin}  _{in p pin} 

p

in T t M T T M T T

N 1 1 (4.9)

A (4.9) eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény ez esetben a következőképpen definiálható:

 

^,

 

^{(1 )} 0,



⁽²,⁾



^{, 0 1}

) 1 ( , ,

0      

 _in _{p pin}  _in _{p pin} 

p

in T t M T T M T T

n (4.10)

4.2. ábra: A rendszerbe belépő két különböző mennyiségű és hőmérsékletű szemcsepopuláció eloszlásfüggvénye

A numerikus kísérletek során alkalmazott szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok értékeit az irodalomból vett eredményeknek megfelelően rögzítettem.

) 1 (

,in

Tp

T

) 2 (

,in

Tp

M_0,in



M_0,in M0 max

,

Tp

min

Tp_,

) 1 (

,in

Tp ⁽²⁾

T

,in

Tp

 1

min

Tp_, Tp_,max

in p in

M t T N

, 0

) (

Sommerfeld (2001; 2002) és Hamidipour et al. (2005a; 2005b) kísérleti eredményei alapján ezen paraméterek nagyságrendjei (jelölése: Ο) számolásaim során Spp=Ο(10)÷Ο(100) és Spw=Ο(1) voltak. Tekintve, hogy az Spp és az Spw mértékegységei s^-1, ez a másodpercenkénti ütközési gyakoriságokat mutatja. A matematikai modell megoldásához Matlab környezetet felhasználva egy szimulációs programrendszert hoztam létre, mellyel megkönnyítettem a különféle paraméterértékek beállítását és a megkonstruált modellegyenletek megoldását. Ezen egyenletek megoldására az ODE15s megoldót alkalmaztam.

A következőkben néhány számítási eredményt mutatok be, ahol többek között az egyes paraméterértékek változtatásának hatását is vizsgáltam. A 4.3. ábra a gáz fázis áramlási sebesség változtatásának hatását mutatja stacionárius állapotban a szemcsék átlaghőmérsékletére, ill. a gáz, a fal és a folyadék fázisok hőmérsékletére. Látható, hogy a kezdeti gáz áramlási sebesség növelése monoton növeli a rendszer többi komponenseinek (szemcsék, fal és a külső hűtőfolyadék) hőmérsékletét. Megfigyelhető az is, hogy a gáz hőmérséklete elsőként eléri minimumát, majd a további gáz sebesség növelése a gáz hőmérsékletében is monoton növekedést eredményez.

4.3. ábra: A gáz fázis áramlási sebessége változtatásának hatása (a 4.1. táblázat alapján) a szemcsés fázis átlaghőmérsékletére ill. a gáz, a fal és a folyadék hőmérsékletére

stacionárius állapotban

T

u

g

T

g

m

1

T

w

T

l

A szemcsék mérete – ahogy várható – szintén meghatározó a szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatakor. Az alábbi 4.4. ábra a részecskék átmérőjének változtatása mellett állandó áramlási sebességnél mutatja a rendszerben jelen levő komponensek hőmérséklet-jellemzőit. Megfigyelhető, hogy a dp átmérőparaméter értékének növelésével a gáz hőmérséklete és a szemcsék átlaghőmérséklete csökken, hiszen nagyobb szemcse méret esetén a szemcsék felmelegítése nagyobb hőmennyiséget igényel, mely a gáz hőmérsékletének csökkenését eredményezni.

Egyúttal azonban a nagyobb szemcseméretű populáció ellentétes irányban fejti ki hatását a fal illetve a folyadék fázis esetén. Azok hőmérséklete szigorúan monoton növő függvénnyel írható le. Fontos hangsúlyoznom, hogy a külső hűtőfolyadék hőmérséklete is lassú „ütemben”, de monoton növekedő tendenciát mutat.

4.4. ábra: A részecskék átmérőjének hatása a szemcsés fázis átlaghőmérsékletére és a gáz, a fal és a folyadék hőmérsékletértékeire

Az előbbiekben külön-külön vizsgált és bemutatott paraméterek változtatásának eredményét mutatja be a 4.5. ábra, ahol három dimenzióban figyelhetjük meg a gáz áramlási sebességének és a szemcsék átmérőjének változtatásával járó, a szemcsékre vonatkozó hőmérsékletprofilt. Ahogy az természetesen várható, a kapott

T

d

p

T

g

m

1

T

w

T

l

átlaghőmérséklet-felület mutatja a hőmérséklet növekedését az áramlási sebesség értékének növelésével, valamint a szemcsék átmérőjének csökkenésével.

További hasznos információt mutathat az előbbiekben vizsgált szemcsehőmérsékletek szórásnégyzeteinek alakulása is. A bemutatott átlaghőmérséklet grafikonokat kiegészítve a nulladik és második momentum felhasználásával számított szórásnégyzet-értékekkel már pontosabb képet adhatunk a szemcsés fázis jellemzőiről.

A 4.6. ábra a részecskék hőmérsékletértékeinek szorásnégyzet-értékeit mutatja a gáz áramlási sebessége és a szemcseméret függvényében. Látható, hogy a szemcsék szórásnégyzet-értékei nőnek a gáz áramlási sebességének növelésével, ugyanakkor csökkennek a szemcseátmérők növelésével. Ezen eredmények ismeretében kimondható, hogy a 4.5. és 4.6. ábrák egyúttal azt is mutatják, hogy a kisebb átmérőjű szemcsék dinamikusabban tudnak viselkedni a hőátadás szempontjából, mint a nagyobb átmérőjű szemcse-komponensek.

4.5. ábra: A szemcsepopuláció átlaghőmérsékletének változása a szemcseátmérő és a gáz térfogati áramlási sebességének változtatása mellett

dp

ug

m1

A bemutatott ábrák alapján nyilvánvaló, hogy a gáz térfogati áramlási sebességének növelésével a szemcsék átlaghőmérséklete nő, és ezzel párhuzamosan a szemcse populáció szórásnégyzet-értékei is nőnek (nagyobb növekedési tendencia nagyobb szemcseátmérő esetén figyelhető meg). A megemelkedett szórásértékek kedvezőtlen hatása a szemcse-szemcse és a szemcse-fal ütközési gyakoriságok mértékének növekedésével csökken.

4.6. ábra: A szemcsepopuláció hőmérsékletének szórásnégyzet-értékei a szemcseátmérő és a gáz áramlási sebességének változtatása mellett

Az alábbi grafikon a szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok intenzitásának változásával előálló szórásnégyzet eredményeket mutatja be. E tulajdonság vizsgálata fontos, hiszen a szemcse populáció hőmérsékleti homogenitásának kérdése meghatározó pl. a nemlineáris hőmérsékletfüggő katalitikus reakcióknál vagy különféle szárítási eljárásoknál. Az egyes komponensek közötti hőátadási paraméterek értékeit nem változtattam a különféle futtatások során.

dp

u

g



2

Az eredményekből látható, hogy a szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok intenzitásának növelése a szórásnégyzet-értékek csökkenését eredményezi.

4.7. ábra: A szemcsepopuláció hőmérsékletének szórásnégyzet-értékei a szemcse-szemcse és szemcse-szemcse-fal ütközési gyakoriságok függvényében

Ugyanakkor világos, hogy a direkt szemcse-szemcse ütközések gyakorisága nincs hatással a szemcse fázis átlag-hőmérsékletértékeinek alakulására. Ez mérnöki szempontból érthető, hiszen az átlaghőmérsékletet vizsgálva a szemcsés fázis átlaghőmérséklet-értékeire ez az ütközési gyakoriság nem lehet hatással, hiszen a rendszer hőmennyisége nem változik. Ezt támasztja alá a levezetett modellegyenletek (3.24)-es összefüggése is, mely egyenletben – mint látható – az S_pp paraméter nem jelenik meg.

S

pp

S

^pw



2

8 . 0

5 . 0

, 1

,

1





pw pp

m m





4.8. ábra: A rendszer egyes komponenseinek tranziens hőmérsékletértékei különböző szemcse-szemcse ütközési gyakoriságok mellett

A 4.8. ábra a szilárd-fluidum rendszer komponenseinek hőmérsékletértékeit mutatja.

Látható – mint korábban már utaltam is rá –, hogy a szemcse-szemcse ütközési gyakoriság mértékének módosítása a szemcse fázis átlaghőmérsékletére és a többi komponens hőmérsékletprofiljára sincs hatással. Látható, hogy a hat különböző szemcse-szemcse ütközési gyakorisági érték esetén (1, 10, 20, 40, 80, 100) a szemcsék átlaghőmérsékletét (és az egyéb komponensek hőmérsékletét) mutató görbék teljesen egybeesnek.

A következő négy ábra (4.9, 4.10, 4.11, 4.12) a gáz fázis hőmérsékletét és a szemcsés fázis átlaghőmérsékletét mutatja a szemcse-fal ütközési gyakoriságok ill. az

m_1,pw

paraméter függvényében. Nagyobb szemcse-fal ütközési gyakoriságok mellett mind a gáz, mind a szemcsés fázis hőmérséklete csökken. Ennek oka a szemcsés fázisból a fal irányába történő hőátadásában keresendő, hiszen a hidegebb fal a gyakoribb ütközések miatt melegebb lesz. Ennek hatása megjelenik a gáz és a szemcsék hőmérsékletében is.

Az m_1,pw paraméter a fal és a szemcsék közötti hőátadás minőségét jellemzi mint

T

t )

(t T

_g

)

1

( t m

) (t T

_w

) (t T

_l 8

. 0

5 . 0 1

100 , 80 , 40 , 20 , 10 , 1

, 1 , 1 

pw pp

m m S S

pw pp





láttuk korábban. Ahogy az várható, 0-hoz közeli értékek esetén a gáz fázis hőmérséklete sokkal kisebb mértékben csökken, mint 1-hez közeledve, hiszen az egyre jobb hőátadás következményeképpen a szemcsék egyre nagyobb mértékben adják át hőmérsékletüket a falnak, ami a szemcsék hőmérsékletének csökkenésében nyilvánul meg. Ilyen esetben a szemcsék jobban fűtik a falat, melynek eredménye a kisebb szemcse átlaghőmérséklet.

Ez egyúttal azt is jelenti, hogy a szemcsék több hőt vonnak el a gáz fázistól is.

4.9. ábra: A gáz fázis tranziens hőmérsékletváltozása különböző szemcse-fal ütközési gyakoriságok esetén

) (t T

_g

t

 1 S

pw

 2 S

pw

 4 S

pw

 8 S

pw

 16 S

pw

8 . 0

5 . 0 100

, 1 ,

1



 

pw pp

m m S

_pp





4.10. ábra: A gáz fázis tranziens hőmérsékletváltozása különböző

m_1,pw paraméter esetén

4.11. ábra: A szemcsék tranziens átlaghőmérséklet-változása különböző szemcse-fal ütközési gyakoriságok esetén

t )

(t T

_g

5 .

,

0

1



m

_pw

3 .

,

0

1



m

_pw

2 .

,

0

1



m

_pw

1 .

,

0

1



m

_pw

09 .

,

0

1



m

_pw

,

1

1



m

_pw

5 . 0 1 100

, 1

   m

pp

S S

pw pp



8 .

,

0

1



m

_pw

)

1

( t m

t

 1 S

pw

 2 S

pw

 4 S

pw

 8 S

pw

 16 S

pw

8 . 0

5 . 0 100

, 1 ,

1



 

pw pp

m m S

_pp





4.12. ábra: A szemcsék tranziens átlaghőmérséklet-változása különböző m_1,pw

paraméter esetén

Saját eredmények publikálása

Jelen 4. fejezetben közölt eredményeimet a [P2], [P4], [P11] és [P12] munkáimban publikáltam.

)

1

( t m

t 2 .

,

0

1



m

_pw

1 .

,

0

1



m

_pw

09 .

,

0

1



m

_pw

,

1

1



m

_pw

5 . 0 1 100

, 1

   m

pp

S S

pw pp



8 .

,

0

1



m

_pw

5 .

,

0

1



m

_pw

3 .

,

0

1



m

_pw

1. cella q

Rq

2. cella … ^{K. cella}

Rq

q q R) 1 ( 

Rq q

R) 1 ( 

5. Térbeli hőmérséklet-eloszlás vizsgálata cellás modell

In document Hőátadási folyamatok számítógéppel segített elemzése és tervezése populációs modellekkel (Pldal 70-84)