Ha(ξk)nk=1 az(Ω,A,P)téren értelmezett valószín˝uségi változók, ésgazRn téren értelmezett folytonos függvény, akkor az
η$g(ξ1, . . . ,ξn)
összefüggéssel definiált függvény szintén valószín˝uségi változó. Hogyan lehet megha-tározni azηeloszlását?
8.2.1. Tétel. Ha f a(ξ1, . . . ,ξk)vektor s˝ur˝uségfüggvénye, emellett (η1, . . . ,ηk)$ϕ(ξ1,ξ2, . . . ,ξk),
továbbá a T$ϕ−1függvény létezik és differenciálható, akkor az(η1, . . . ,ηk) s˝ur˝uség-függvénye
h(x1, . . . ,xk) $ f
ϕ−1(x1, . . . ,xn)
det d
dxϕ−1(x1, . . . ,xn)
=
= f(T(x1, . . . ,xn))
det d
dxT(x1, . . . ,xn)
.
Bizonyítás:A többdimenziós integráltranszformációs tétel alapján mindenBesetén8 P((η1,η2, . . .ηk)∈B)$
$P((ϕ1(ξ1, . . . ,ξk), . . . ,ϕk(ξ1, . . . ,ξk))∈B) =
=P
(ξ1, . . . ,ξk)∈ϕ−1(B)
=P((ξ1, . . . ,ξk)∈T(B)) =
= Z
T(B)f dλk= Z
Bf(T) det T0
dλk,
feltéve persze, hogy a tétel feltételei teljesülnek, vagyis aT$ϕ−1létezik és differen-ciálható. Vagyisf(T)|det(T0)|az(ηi)vektor s˝ur˝uségfüggvénye.
Az alkalmazásokban azηiváltozók száma általában kevesebb, mint aξiváltozók szá-ma. Ilyenkor aϕfüggvényt „kiegészítjük“, majd peremeloszlásokra térünk át. Ezt mu-tatja, a következ˝o példa:
8.2.2. Példa. Határozzuk meg az összeg, a szorzat és a hányados s˝ur˝uségfüggvényét.
8Akárcsak az integráltranszformációs tételben aBpontos karakterizációját most sem tisztázzuk.
1. Összeg: Ilyenkor
ϕ(x,y) = (x+y,y)$(u,v). ϕ−1(u,v) = (u−v,v) = (x,y).
Legyenξ s˝ur˝uségfüggvényeh,és η s˝ur˝uségfüggvénye pedig legyen g.Haξ és η függetlenek, akkor a (ξ,η) pár együttes s˝ur˝uségfüggvénye f(x,y) =h(x)g(y). A (ξ+η,η)s˝ur˝uségfüggvénye
Aξ+ηeloszlása az els˝o peremeloszlás, vagyis aξ+ηs˝ur˝uségfüggvénye Z∞
−∞h(u−v)g(v)dv.
Haξésηnem függetlenek, akkor az összeg s˝ur˝uségfüggvénye k(u) =
Z∞
−∞f(u−v,v)dv.
Azonnal látható, hogyw=u−vhelyettesítéssel Z∞ amely egybevág avval, hogy az összeadás kommutatív.
2. Szorzat. Ilyenkor
ϕ(x,y) = (xy,y)$(u,v). ϕ−1(u,v) = (u/v,v) = (x,y).
Haξésηfüggetlenek, akkor f(T)
Aξ ηeloszlása az els˝o peremeloszlás, vagyis aξ ηs˝ur˝uségfüggvénye Z∞
Ha a változók nem függetlenek, akkor a szorzat s˝ur˝uségfüggvénye Z∞
−∞fu v,v 1
|v|dv.
Ilyenkorw=u/vhelyettesítéssel v= u kép-z˝odik. Ezért a határokat fel kell cserélni. Ilyenkoru=|u|és ezért
Z∞ kép-z˝odik. Ilyenkor|u|=−u
Z∞
A szabály összhangban áll azzal, hogy a szorzat is kommutatív.
3. Hányados. Ilyenkor
ϕ(x,y) = (x/y,y)$(u,v).
ϕ−1(u,v) = (u·v,v) = (x,y). Haξésηfüggetlenek, akkor
f(T)
Aξ/ηeloszlása az els˝o peremeloszlás, vagyis aξ/ηs˝ur˝uségfüggvénye Z ∞
−∞h(uv)g(v)|v|dv.
Ha nem függetlenek, akkorR−∞∞ f(uv,v)|v|dv.Ekkorw=uvhelyettesítéssel, hau po-zitív, akkor a határokat nem kell módosítani
dw
dv =u⇒dv=dw u ,
és
Z∞
−∞f(uv,v)|v|dv= Z∞
−∞f w,w
u w u
dw u , ami egybevág avval, hogy az osztás nem kommutatív.
8.2.3. Példa. Számoljuk ki a Laplace-eloszlás s˝ur˝uségfüggvényét.
Haξésηfüggetlenλ paraméter˝u exponenciális eloszlású valószín˝uségi változók, ak-kor aξ−ηeloszlását Laplace-eloszlásnak mondjuk. Ha valamelyζváltozó eloszlás-függvényeF(x),akkor
P(−ζ<x) = P(ζ>−x) =1−P(ζ≤ −x) =
= 1−F(−x+0).
Ezt deriválva ha f(x)aζs˝ur˝uségfüggvénye, akkor a−ζ s˝ur˝uségfüggvényef(−x), vagyis aζs˝ur˝uségfüggvényének azy-tengelyre való tükrözése. A konvolúciós szabály miatt aλparaméter˝u Laplace-eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye
h(z) = λ2 Z∞
−∞exp(−λy)χ(0,∞)(y)exp(λ(z−y))χ(−∞,0)(z−y)dy=
= λ2 Z∞
0 exp(−λy)exp(λ(z−y))χ(−∞,0)(z−y)dy=
= λ2exp(λz) Z∞
0
exp(−2λy)χ(−∞,0)(z−y)dy.
Haz>0,akkor
h(z) = λ2exp(λz) Z∞
z
exp(−2λy)dy=
= λ2exp(λz)
exp(−2λy)
−2λ ∞
z
=
= λ
2exp(λz)exp(−2λz) =λ
2exp(−λz). Haz<0,akkor
h(z) = λ2exp(λz) Z∞
0
exp(−2λy)dy=
= λ2exp(λz) 1 2λ =λ
2exp(λz). A két oldalt egy képletbe összefogva
h(z) =λ
2exp(−λ|z|).
8.2.4. Példa. Számoljuk ki az összeg várható értékét.
Ha ξ és η nem feltétlenül függetlenek, akkor az összeg s˝ur˝uségfüggvénye R∞
A bizonyításban kulcsszerepet játszott az integrálok felcserélhet˝osége. Korábban már többször jeleztük, hogy ez mindig megtehet˝o, ha az integrandus nem negatív. Itt általá-ban ez nem teljesül. Közvetett módon azonáltalá-ban a negatív és a pozitív részeket szétvá-lasztva a gondolatmenetet négyszer megismételve és kihasználva, hogy a várható érték létezése azt jelenti, hogy a pozitív és a negatív rész mindegyike végesen integrálható, a gondolatmenet pontosítható9.
8.2.5. Példa. Számoljuk ki aξ ηszorzat várható értékét.
A korábbi példából aξ ηs˝ur˝uségfüggvénye h(u) =
Z∞
−∞fu v,v 1
|v|dv.
A várható érték képlete alapján E(ξ η) =
9Valójában a bizonyítást fordítva kell olvasni, ugyanis a pontos állítás az, hogy amennyiben létezik aξés az η(véges) várható értéke, akkor az összegnek is létezik a (véges) várható értéke, és az a várható értékek összege lesz. Vagyis a várható értékek összevonhatóak. A várható érték azonban elvileg nem feltétlenül szedhet˝o szét.
A bels˝o integrálbanu/v=zhelyettesítést végezve és kihasználva, hogydu/dz=v E(ξ η) =
Z∞
−∞
Z∞
−∞vz f(z,v)|v|
|v|dzdv=
= Z∞
−∞
Z∞
−∞vz f(z,v)dzdv,
ami éppen a transzformált valószín˝uségi változók várható értékére vonatkozó képlet.
A számolás során kihasználtuk, hogy havnegatív, akkor a helyettesítés során az in-tegrálás iránya megváltozik, és így változatlan integrációs határok mellett adu=vdz helyettesítés helyett adu=|v|dzhelyettesítést kell alkalmazni. Vegyük észre, hogy a bizonyítás els˝o felében az integrálokat csak akkor lehet felcserélni, ha a|ξ η| változó-nak létezik várható értéke, ami persze ekvivalens avval, hogy aξ ηszorzatnak létezik várható értéke. Haξésηfüggetlenek, akkor
E(ξ η) = Z∞
−∞
Z∞
−∞vzg(z)r(v)dzdv=
= Z∞
−∞vr(v) Z ∞
−∞zg(z)dzdv=
= Z∞
−∞vr(v)E(ξ)dv=E(ξ) Z∞
−∞vr(v)dv=
= E(ξ)E(η).
Diszkrét változók esetén a transzformációs formula igazolása lényegében azonos mó-don végezhet˝o el. Ilyenkor hapi j$P(ξ=i,η=j),akkor
P(ξ η=k) =
∑
l
plk/l ahol értelemszer˝uenplk/l=0,ha ak/lnem egész.
E(ξ η) =
∑
k
kP(ξ η=k) =
∑
k
k
∑
l
plk/l=
=
∑
k
∑
l
k plk/l=
∑
i
∑
j
i j pi j.
A NORMÁLIS ELOSZLÁS ÉS BARÁTAI
Ebben a fejezetben a standard normális eloszlás és a bel˝ole származtatható eloszlásokat tekintjük át. A standard normális eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye
ϕ(x) = 1
√2πexp
−x2 2
.
A standard normális eloszlás várható értéke nulla, a szórása pedig egy. AzN(µ,σ) eloszlást, vagyis aµ várható érték˝u ésσ szórású normális eloszlást azη=σ ξ+µ transzformációval kaphatjuk, ahol értelemszer˝uen aξeloszlásaN(0,1). Azy=σx+ µ függvény inverzex= (y−µ)/σ.A transzformált változók s˝ur˝uségfüggvényének képlete alapján azN(µ,σ)eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye1
f(x) =ϕµ,σ(x) = 1 σ
√2πexp −(x−µ)2 2σ2
! .
Független normális eloszlású valószín˝uségi változók összege szintén normális elosz-lású, ahol a várható értékek összeadódnak és a szórások a
q
σ21+σ22 képlet szerint alakulnak. Ennek igazolása, mármint hogy az összeg normális eloszlású, viszonylag kö-rülményes és a legegyszer˝ubben a karakterisztikus függvények segítségével végezhet˝o el. Egy viszonylag átlátható közvetlen igazolás a következ˝o: Legyenekξ1ésξ2 függet-len standard normális eloszlású változók. Be kell látni, hogy aσ1ξ1+µ1+σ2ξ2+µ2 eloszlása szintén normális. Ehhez elég belátni, hogy azη$σ1ξ1+σ2ξ2 összeg el-oszlása normális, ugyanis a konstans hozzáadása nem módosítja a normalitást. A kon-volúciós formula direkt használata hosszú számolást eredményez, ezért egy közvetlen utat választunk:
P(η<z) = P(σ1ξ1+σ2ξ2<z) =
= 1
2π Z Z
σ1x+σ2y<zexp
−x2+y2 2
dxdy.
Az integrandus körszimmetrikus, így az integrál értéke csak attól függ, hogy aσ1x+ σ2y=zegyenes az origótól milyen távolságra van, ugyanis alkalmas módon elforgatva a síkot, azσ1x+σ2y<zfélsík egyy<cfélsíkba megy át, ahol acértéke éppen aσ1x+
σ2y=zegyenesnek az origótól való (el˝ojeles) távolságával egyezik meg. Könnyen
1Illik hangsúlyozni, hogy az irodalomban azN(µ,σ)jelölés nem egyértelm˝u. Gyakran találkozhatunk azN µ,σ2jelöléssel is, amit a többdimenziós eloszlás kapcsán használt formalizmussal való kompatibilitás indokol.
kiszámolható, hogy az egyenes az origótól c=z/
ahol aΦa standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Így az összegσ$ q
σ21+σ22 szórással és nulla várható értékkel rendelkez˝o normális eloszlású változó. A távolság értékére azonban nincs szükség, elég azt tudni, hogy actávolság azlineáris függvénye.
Ebb˝ol a normalitás már következik, és a szórásra vonatkozó képlet pedig már általános megfontolások alapján is nyilvánvaló.
9.1. Normális eloszlású változók szimulálása
Érdemes felidézni, hogy ha ξ eloszlása egyenletes a [0,1] intervallumon, és η $ F−1(ξ),aholFegy folytonos, szigorúan monoton növeked˝o eloszlásfüggvény, akkor
P(η<x)$P
F−1(ξ)<x
=P(ξ<F(x)) =F(x),
vagyis azηeloszlásfüggvényeF. Megfordítva, haηeloszlásfüggvényeFés 0<x<1, akkor
vagyis ilyenkorF(η)eloszlása egyenletes. Ez az összefüggés számos eloszlás generá-lását teszi lehet˝ové.
9.1.1. Példa. Exponenciális eloszlású változó generálása.
LegyenF(x) =1−exp(−λx).Ebb˝ol
F−1(y) =−λ−1ln(1−y). Haξegyenletes a[0,1]-en, akkor az 1−ξis az, így az
η$−λ−1lnξ eloszlásaλ paraméter˝u exponenciális.
9.1.2. Példa. Cauchy-eloszlású változó szimulálása.
Haηegy Cauchy-eloszlású valószín˝uségi változó, akkorηs˝ur˝uségfüggvénye f(x) = 1
π 1+x2. Ebb˝ol az eloszlásfüggvénye
F(x) = 1
Haξegyenletes a[0,1]szakaszon, akkor azη$tanπ(ξ−1/2)Cauchy-eloszlású.
Mivel a standard normális eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye
ϕ(x) = 1
ezért a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye Φ(x) = 1
Az el˝oz˝oek alapján kézenfekv˝onek látszik, hogy azN(0,1)változók szimulálására a Φ−1(y)függvényt használjuk. Azonban ennek kiszámolása bonyolult, így ritkán hasz-nálatos. Az alább bemutatott módszert szokás Box–Müller módszernek is mondani.
9.1.3. Tétel. Haδ1,δ2független, a(0,1)intervallumon egyenletes eloszlású változók, akkor a
ξ$p
−2 lnδ1cos(2π δ2), η$p
−2 lnδ1sin(2π δ2) változók függetlenek, és aξésηváltozók eloszlása N(0,1).
Bizonyítás:A módszer igazolása céljából vegyünk két függetlenN(0,1)változót, és a(ξ,η)párt tekintsük azR2 sík véletlenül kiválasztott pontjának. Mivel a változók függetlenek, ezért az együttes s˝ur˝uségfüggvényük a s˝ur˝uségfüggvények szorzata
f(x,y) = 1
Mi történik, ha(ρ,ϕ)polárkoordinátákra térünk át? Legyen T(ρ,ϕ)$ρ(cosϕ,sinϕ) = (ξ,η)
a polárkoordinátákról való visszatérést megadó inverz leképezés. AT az origón kívül, vagyis aρ>0 tartományon injektív, és az origótól eltekintve teljesíti az integráltransz-formációs tétel feltételeit.
det T0 Az el˝oz˝o fejezet alapján polárkoordinátákban a s˝ur˝uségfüggvény
s(r,ϕ) =f(T)
vagyis a polárkoordinátákra való áttérés után aρ sugár és aϕszög függetlenek. Aϕ szög a(0,2π)intervallumban egyenletes eloszlású, aρ sugár eloszlásának s˝ur˝uség-függvénye pedig
g(r) =rexp
−r2/2 .
A gondolatmenet megfordítható: ha a(ρ,ϕ)pár eloszlása éppen ilyen, akkor a(ξ,η) két független normális eloszlást definiál. Normális eloszlású változók szimulálása tehát visszavezethet˝o egy egyenletes, és egyrexp −r2/2
s˝ur˝uségfüggvény˝u változó szi-mulálására. Haδ a(0,1)intervallumon egyenletes eloszlású, akkor aρ$√
−2 lnδ amely s˝ur˝uségfüggvénye éppen azrexp −r2/2
.