50 2
=24·23 50·49= 276
1225. Hasonlóan
P(B) =
11 2
50 2
=11·10 50·49 = 11
245. Így a keresett valószín˝uség a két szám összege, vagyis 0,270 2.
1.2. Feltételes valószín ˝ uség
A valószín˝uségszámítás konkrét alkalmazásaiban aPvalószín˝uséget általában közvetett módon, a feltételes valószín˝uségek megadásával határozzuk meg.
1.2.1. Definíció. HaAésBlehetséges események ésP(B)>0, akkor definíció szerint P(A|B)$ P(A∩B)
P(B) .
A feltételes valószín˝uség segítségével megfogalmazhatjuk a teljes valószín˝uség tételét.
Ehhez szükségünk van egy további definícióra.
1.2.2. Definíció. Egy legfeljebb megszámlálható darab eseményb˝ol álló(Bk) esemény-rendszert teljes eseményrendszernek mondunk, ha
1. P(∪kBk) =1, 2. P Bk∩Bj
=0 valahányszorj6=k.
1.2.3. Tétel(Teljes valószín˝uség tétele). Ha(Bk)egy teljes eseményrendszer és minden k-raP(Bk)>0, akkor minden A∈A halmazra
P(A) =
∑
k
P(A|Bk)·P(Bk).
Bizonyítás:A tétel bizonyítása majdnem triviális. Az egyetlen „nehézség” abból ered, hogy a(Bk)teljes eseményrendszer definíciójában nem tettük fel, hogyBk∩Bj=/0, csak az ennél gyengébbP Bk∩Bj
=0 összefüggést követeltük meg. Vezessük be azNk j$Bk∩Bj halmazokat. Hak6= j, akkor a feltételek szerintP Nk j
=0. Le-gyen továbbáN0$Ω\(∪kBk). A teljes eseményrendszer definíciójából evidens, hogy P(N0) =0. JelöljeNaz imént bevezetett nulla valószín˝uség˝u halmazok egyesítését.
Mivel azNlegfeljebb megszámlálható nulla valószín˝uség˝u halmaz egyesítése, ezért a valószín˝uség már belátott szubadditivitása miatt azNvalószín˝usége szintén nulla. Nyil-vánvaló módon tetsz˝olegesCeseményre
P(C∩Nc) = P(C∩Nc) +0=P(C∩Nc) +P(C∩N) =
= P((C∩Nc)∪(C∩N)) =P(C∩(N∪Nc)) =P(C). Következésképpen aPvalószín˝uséget lesz˝ukítve azNchalmazra újra valószín˝uségi me-z˝ot kapunk, így feltehetjük, hogy a teljes eseményrendszer definíciójában a különböz˝o Bkhalmazok diszjunktak és az egyesítésük azΩbiztos esemény. Felhasználva, hogy a Bkhalmazok valószín˝usége pozitív,
P(A) = P(A∩Ω) =P(A∩(∪kBk)) =
∑
k
P(A∩Bk) =
=
∑
k
P(A∩Bk)
P(Bk) ·P(Bk)$
∑
k
P(A|Bk)·P(Bk).
A bizonyítás elemzéséb˝ol világos, hogy az egyetlen lépés, ahol aP(Bk)>0 feltételt felhasználtuk az a
P(A∩Bk) =P(A∩Bk) P(Bk) ·P(Bk)
egyenl˝oség, amely aP(Bk) =0 esetben értelmetlen. A valószín˝uségszámításban gyak-ran szokás élni avval a konvencióval, hogy ha egy szorzat valamelyik tényez˝oje nulla, akkor az egész szorzat értéke is nulla, függetlenül attól, hogy a másik tényez˝o véges, értelmes, vagy esetleg végtelen. Ha a teljes valószín˝uség tételében szerepl˝o szorzatokra alkalmazzuk ezt a megállapodást, akkor aP(Bk)>0 feltételek elhagyhatóak. Ilyenkor célszer˝u a teljes eseményrendszer definícióját is módosítani. Gyakran teljes esemény-rendszeren azΩtér eseményekb˝ol álló, legfeljebb megszámlálható számosságú par-tícióját szokás érteni, megengedve a nulla valószín˝uséggel rendelkez˝o halmazokat is.
Vagyis mivel legfeljebb megszámlálható darab nulla valószín˝uség˝u halmazt szabadon hozzácsatolhatunk az eseményrendszerhez, ezért ilyenkor egyBk∈A halmazokból álló legfeljebb megszámlálható halmazrendszert akkor mondunk teljes eseményrend-szernek, ha a(Bk)család egy partíció, vagyis ha∪kBk=ΩésBk∩Bj=/0 valahányszor k6=j.
Miként a bizonyításból látszik, a teljes valószín˝uség tétele a feltételes valószín˝uség de-finíciójából következ˝o triviális azonosság. Ugyanakkor konkrét feladatokban általában aP(A)valószín˝uség nem ismert, csak a feltételes valószín˝uségekre, illetve a teljes ese-ményrendszer valószín˝uségeire tudunk következtetni. Ilyenkor az azonosságot aP meg-határozására használjuk.
1.2.4. Példa. Másodikra kihúzott golyó színének valószín˝usége az urnamodellben.
Az elemi valószín˝uségszámítás klasszikus modellje az urnamodell. Az urnamodellben megfogalmazható legegyszer˝ubb példában egy urnában két különböz˝o szín˝u golyó van, mondjuk öt darab piros és három darab fekete. A legegyszer˝ubb kérdés a következ˝o:
Ha egymás után kétszer húzunk, akkor mi lesz annak a valószín˝usége, hogy a másod-szorra kihúzott golyó piros lesz. A szokásos megoldás a következ˝o: Az els˝ore kihúzott golyó színe egy teljes eseményrendszert alkot. HaB1a piros ésB2a fekete golyóhoz tartozó esemény2, akkorP(B1) =5/8 ésP(B2) =3/8.HaAjelöli azt az eseményt, hogy a második golyó piros lesz, akkorP(A|B1) =4/7 ésP(A|B2) =5/7,ugyanis a második húzás el˝ott az urnában már csak hét golyó maradt, és attól függ˝oen, hogy pirosat vagy feketét húztunk az els˝o húzásra, a hét golyóból négy vagy öt lesz a piros.
Így a teljes valószín˝uség tétele miatt P(A) =4
7 5 8+5
7 3 8.
Ugyanakkor vegyük észre, hogy hallgatólagosan több feltételezéssel is éltünk. Egyrészt nyilván feltettük, hogy egy adott szín kihúzásának valószín˝usége az urnában lev˝o go-lyók arányával azonos, de azt is feltettük, hogy az els˝o húzás után valamilyen módon nem változik meg a golyók színe. Természetesen a feladat megfogalmazásából ez ké-zenfekv˝o, de ugyanakkor ez a hallgatólagos feltétel tipikus példáját adja annak, hogy konkrét példákban a feltételes valószín˝uség definiálja a valószín˝uséget és nem fordítva, miként azt az alfejezet elején tettük, vagy miként azt a feltételes valószín˝uség definíci-ója alapján gondolnánk.
1.2.5. Példa. Átmenetvalószín˝uségek a Markov-láncokban.
Az egyik legegyszer˝ubb sztochasztikus folyamatok a Markov-láncok. Tegyük fel, hogy egy rendszer véges számú állapot valamelyikében lehet. A legegyszer˝ubb esetben a fo-lyamat at=1,2, . . .id˝opontokban az egyik állapotból átugrik egy másik állapotba. Az alapfeltétel, vagyis a Markov-láncot definiáló tulajdonság, hogy annak a valószín˝usége, hogy hova ugrik a következ˝o id˝opontban a rendszer csak az aktuális állapottól függ, és nem függ például attól, hogy miként jutott a rendszer az aktuális állapotba. A mo-dell megadásához meg kell mondani, hogy milyen valószín˝uséggel ugrik a rendszer az egyik állapotból a másikba. Jelölje pi j annak a valószín˝uségét, hogy a rendszer azi állapotból ajállapotba ugrik. Vegyük észre, hogy hallgatólagosan azt is feltettük, hogy api játmenetvalószín˝uségek nem függnek az id˝ot˝ol. Api jegy feltételes valószín˝uség:
annak a valószín˝usége, hogy a rendszer at+1 id˝opontban a jállapotban lesz, feltéve, hogy atid˝opontban aziállapotban volt. Ha a rendszer lehetséges állapotainak szá-maN,akkor a pi j átmenetvalószín˝uségekb˝ol alkothatunk egyN×N-esPmátrixot. A rendszert=0 id˝opontban felvett állapotai egy teljes eseményrendszert alkotnak. Ha a t=0 id˝opontban a rendszerrivalószín˝uséggel van aziállapotban, akkor a teljes való-szín˝uség tétele alapján annak a valóvaló-szín˝usége, hogy a rendszer at=1 id˝opontban a j
2Természetesen az els˝o húzáshoz tartozó színekr˝ol van szó.
állapotban lesz∑Ni=1ripi j. Ha azrifeltétel nélküli valószín˝uségeket egyq0sorvektorba rendezzük, akkor a∑Ni=1ripi j éppen aq0Pszorzat j-edik eleme. Haq1$q0P, akkor a gondolatmenetet at=1 és at=2 id˝opontok között alkalmazva aq2$q1P=q0P2 sorvektor a rendszer lehetséges állapotainak valószín˝uségét adja meg at=2 id˝opont-ban. Az eljárást nyilván tetsz˝olegestid˝opontra folytathatjuk. A példában ismét azt látjuk, hogy közvetlenül a valószín˝uségek nem adottak és a modell alapadatai (részben) feltételes valószín˝uségek.
1.2.6. Példa. Péter és Pál pingpongoznak. Mindkett˝o 1/2 valószín˝uséggel nyer minden játszmát. A játék tétje egy tábla csokoládé, és ezt az nyeri el, aki három játszmát tud egymás után megnyerni. Az els˝o játszmát Péter nyeri, mi a valószín˝usége, hogy övé lesz a csokoládé?
Jelöljük egyessel, ha Péter nyer egy játszmát, és nullával, ha veszít. A keresett valószí-n˝uséget pedig jelöljükP(A) =p-vel. Ha a következ˝o két játszma közül Péter bármelyi-ket elveszti, vagyis alább a feltétel valamelyik indexe nulla, onnantól a nyerésének való-szín˝usége 1−plesz, hiszen Pál kerül ugyanolyan helyzetbe, mint Péter volt korábban.
A következ˝o két játszma alakulása szerint bontsuk fel az eseményteret, és alkalmazzuk a teljes valószín˝uség tételét aB11,B10ésB0teljes eseményrendszerre. Eszerint
P(A) = P(A|B11)P(B11) +P(A|B10)P(B10) +P(A|B0)P(B0) =
= 11
4+ (1−p)1
4+ (1−p)1 2=1−3
4p.
Ebb˝olp=4/7.A figyelmes olvasó felvetheti, hogy el˝ofordulhat-e, hogy pozitív va-lószín˝uséggel nem lesz a játéknak nyertese. A játéknak akkor van vége, ha valame-lyik játékos háromszor egymás után nyer. AzΩtekinthet˝o a nulla és egy számokból álló végtelen sorozatok halmazának. JelöljeAazokat a kimeneteleket, azokat a soro-zatokat, amely során valaki nyer. AzAesemény olyan sorozatokból áll, amelyben van legalább három egymás után következ˝o nulla vagy egyes. HaBjelöli azokat a soroza-tokat, amelyekben legalább három darab egymás utáni egyes van, mégpedig úgy, hogy az egyesek az 1,2,3 vagy az 4,5,6 stb. helyeken vannak, akkorB⊂A.ABhalmaz által leírt kísérlet tekinthet˝o egy geometriai eloszlású változónak, ahol a siker valószín˝usé-gep=1/8.A geometriai eloszlásal kés˝obb részletesen foglalkozni fogunk. Most csak azt jegyezzük meg, hogy egy független kísérletsorozatban annak a valószín˝usége, hogy azn-edik lépésben következik be valamilyenpvalószín˝uség˝u kívánt esemény el˝oször, p(1−p)n−1$pqn−1.Az, hogy az esemény valamikor bekövetkezik
∞
∑
k=1
p(1−p)k−1$
∞
∑
k=1
pqk−1= p
1−q= p
1−(1−p)=1.
1.2.7. Példa. 52 lapos kártyából 3 piros lap elveszett. Mi a valószín˝usége, hogy a cso-magból ászt húzunk?
JelöljeAazt az eseményt, hogy ászt húzunk, ésB0,B1,illetveB2azt, hogy nulla, egy vagy két piros ász veszett el. Vegyük észre, hogyB3= /0,ugyanis mivel piros lapok vesztek el, ezért maximum két ász veszhetett el. Mivel 26 darab piros lap van, amelyek közül 24 nem ász és kett˝o pedig ász, ezért
P(Bk) =
Ugyanakkor mivel összesen négy ász van, és a megmaradt lapok száma 49, ezért P(A|Bk) =4−k
49 . Ebb˝ol a teljes valószín˝uség tétele alapján
P(A) = A teljes valószín˝uség tételének egy gyakran használt következménye a következ˝o:
1.2.8. Következmény(Bayes-tétel). Legyen(Bk)egy teljes eseményrendszer és tegyük fel, hogy az A esemény valószín˝usége pozitív. Ekkor
P(Bk|A) = P(A|Bk)·P(Bk)
∑nP(A|Bn)·P(Bn).
Bizonyítás:Bayes-tétele elemi következménye a feltételes valószín˝uség definíciójának és a teljes valószín˝uség tételének. Mivel a feltétel szerintP(A)>0,ezért aP(Bk|A) feltételes valószín˝uség értelmezhet˝o. A feltételes valószín˝uség definíciója szerint
P(Bk|A)$P(A∩Bk)
P(A) $P(A|Bk)·P(Bk) P(A) . A teljes valószín˝uség tétele alapján
P(A) =
∑
n
P(A|Bn)·P(Bn),
amit a nevez˝obe beírva éppen a bizonyítandó összefüggést kapjuk. Érdemes megje-gyezni, hogy aP(A)>0 feltételre valójában nincs szükség, ugyanis haP(A) =0, ak-kor mind a két oldal értelmetlen, így valójában az egyenl˝oség akak-kor is azonos értelm˝u kifejezést eredményez, vagyis a két oldal egyszerre értelmes vagy értelmetlen.
1.2.9. Példa. Tesztvizsgán minden kérdésre a megadott három válaszból egy a helyes.
A vizsgázópvalószín˝uséggel tudja a helyes választ, továbbá ha nem tudja, akkor tippel, és 1/3 valószín˝uséggel találja el a helyes választ.
1. Milyen valószín˝uséggel ad a vizsgázó helyes választ?
2. Ha helyes választ adott a vizsgázó egy kérdésre, akkor mi a valószín˝usége, hogy tudta a választ?
Ajelentse azt, hogy tudja a választ,Bazt, hogy helyes választ ad. A teljes valószín˝uség illetve Bayes tétele alapján
P(B) = P(B|A)P(A) +P(B|Ac)P(Ac) =
= 1·p+1
3·(1−p) =1 3+2
3p P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B|A)P(A) +P(B|Ac)P(Ac)= p