Minden valószín˝uségszámítási modell megadásakor meg kell adni a lehetséges kime-netelekΩhalmazát, azΩ halmaz részhalmazaiból álló megfigyelhet˝o eseményekA családját és azA∈A megfigyelhet˝o eseményekP(A)valószín˝uségét. AzΩ alaphal-mazt szokás biztos eseménynek is nevezni. Az(Ω,A,P)hármast együtt valószín˝uségi mez˝onek mondjuk. AzA halmaz elemei tehát maguk is halmazok, mégpedig azΩ biztos esemény részhalmazai. Vagyis haA∈A, akkorA⊆Ω.Bár nyilvánvaló, azért érdemes hangsúlyozni, hogy aPvalószín˝uség egy azA halmazrendszeren értelme-zett halmazfüggvény, vagyis egyrészt halmazokhoz rendel számokat, másrészt csak az A halmazrendszerben szerepl˝o halmazokhoz rendel számot. Ha azΩvalamely rész-halmaza nem eleme a lehetséges eseményekA családjának, akkor ezt a halmazt érte-lemszer˝uen nem tekintjük eseménynek, és ezért nem is tulajdonítunk neki valószín˝usé-get. Szemléletesen a lehetséges eseményekA halmaza azokból az eseményekb˝ol áll, amelyeket, legalábbis elvileg, meg tudunk figyelni, vagyis amelyekr˝ol el tudjuk dön-teni, hogy bekövetkeztek vagy sem. Elvileg tehát különbséget kell tenni események és (rész)halmazok között, vagyis minden esemény részhalmaz, de nem megfordítva. En-nek ellenére, némiképpen pontatlanul, hacsak nem okoz zavart, a halmaz és az esemény elnevezést egymás szinonimájaként fogjuk kezelni.
1.1.1. Definíció. A valószín˝uségszámítás axiómái szerint az(Ω,A,P)valószín˝uségi mez˝o a következ˝o tulajdonságokkal rendelkezik:
1. MindenA∈A esetén aP(A)értelmes ésP(A)≥0.
2. Ω∈A ésP(Ω) =1. AzΩbiztos esemény egyúttal lehetséges esemény is, és a biztos esemény valószín˝usége 1.
3. HaA∈A, akkor azAc∈A szintén teljesül. Vagyis egy megfigyelhet˝o esemény komplementere is megfigyelhet˝o, így lehetséges esemény.
4. HaA1,A2, . . . legfeljebb megszámlálható sok esemény, vagyisAk∈A, akkor
∪∞k=1Ak∈A. Tehát azAzárt a legfeljebb megszámlálható egyesítés m˝uveletére.
5. HaA1,A2, . . .legfeljebb megszámlálható sok páronként diszjunkt esemény, akkor P
∞ [
k=1
Ak
!
=
∞
∑
k=1
P(Ak),
vagyis legfeljebb megszámlálható sok páronként diszjunkt esemény egyesítésé-nek valószín˝usége éppen az egyesítésben szerepl˝o események valószín˝uségéegyesítésé-nek összege. Érdemes felidézni, hogy páronként való diszjunktságon értelemszer˝uen azt értjük, hogy han6=mkét különböz˝o index, akkorAn∩Am=/0.
Mivel∩kAk=∩k Ackc
= ∪kAckc
, ezért a lehetséges eseményekA halmaza nemcsak a legfeljebb megszámlálható egyesítésre, hanem a legfeljebb megszámlálható metszetre nézve is zárt, vagyis megszámlálható sok lehetséges esemény metszete is lehetséges esemény.
1.1.2. Példa. Két kockával való dobáshoz tartozó valószín˝uségi mez˝o.
Tegyük fel, hogy két kockát egyszerre feldobunk. Ilyenkor a lehetséges kimenetelek halmaza az(i,j) számpárokból áll, aholiés jaz 1,2,3,4,5,6 számok valamelyikét vehetik fel. Vagyis azΩelemeinek száma 36. AzA elemei azok a halmazok, ame-lyek megfigyelhet˝oek. Hogy mely számpárok figyelhet˝oek meg, az attól függ, hogy a kockák különböz˝oek vagy sem. Ha megkülönböztethet˝oek, akkor azΩminden rész-halmaza eleme azA eseményrendszernek. Ha azonban nem, akkor például az(1,2) kimenetelb˝ol álló halmaz, vagyis az{(1,2)}egy elem˝u halmaz nem esemény, csak az {(1,2),(2,1)}két elem˝u halmaz lesz eleme azA megfigyelhet˝o eseményrendszernek.
Ennek megfelel˝oen aPvalószín˝uség nem lesz feltétlenül értelmezve az összes részhal-mazra, és lesznek olyan kimenetelek is, amelyekhez tartozó egy elem˝u halmazoknak nem lesz valószín˝usége. Például aP({(1,1)}) =1/36 egyenl˝oség teljesül, függetlenül attól, hogy a kockák megkülönböztethet˝oek vagy sem, de aP({(1,2)}) =1/36 egyen-l˝oség csak akkor értelmes, ha a kockák megkülönböztethet˝oek. Ennek kapcsán érdemes nyomatékosan hangsúlyozni, hogy aPa részhalmazokon és nem a kimeneteleken van értelmezve, ezért semmi sem biztosítja azt hogy az egy elem˝u halmazok rendelkeznek valószín˝uséggel.
1.1.3. Példa. Sztochasztikus folyamatok, filtrációk.
Az el˝oz˝o példában szerepl˝o kockákat a legegyszer˝ubben úgy tudjuk megkülönböztetni, ha egymás után dobjuk fel ˝oket. Ha azΩkimenetelei függnek az id˝ot˝ol, akkor szto-chasztikus folyamatról beszélünk. Ilyenkor azΩelemeit azonosíthatjuk a sztochaszti-kus folyamat trajektóriáival, ahol trajektórián a folyamat lehetséges lefutásait megadó (id˝ováltozós) függvényeket értjük. Sztochasztikus folyamatok esetén kézenfekv˝o be-szélni valamely id˝opontig megfigyelhet˝o eseményekr˝ol. HaFt jelöli at id˝opontig bezárólag megfigyelhet˝o események összességét, akkor nyilvánFt⊆Fsvalahányszor t≤s. Az(Ω,Ft,P)hármas mindent-re egy önálló valószín˝uségi mez˝ot definiál. A
tid˝oparaméterrel indexelt(Ft)eseményrendszert szokás filtrációnak mondani. Példá-ul ha egy kockát egymás után kétszer dobunk fel, akkor azA eseményrendszer a 36 elemb˝ol álló
Ω={(i,j)|i,j=1,2, . . . ,6}=R6×R6,
Descartes-szorzat összes részhalmazából áll, aholR6${1,2,3,4,5,6}. Értelemszer˝uen F2=A. Ugyanakkor azF1elemei az olyanA⊆Ωhalmazok, amely els˝o koordinátája azR6egy részhalmaza, a második koordinátája azonban mindig a teljesR6 halmaz, ugyanis az els˝o kocka feldobása után csak a számpár els˝o elemét tudjuk meghatározni, a második elem ekkor még azR6tetsz˝oleges eleme lehet.
1.1.4. Példa. Egy kockával addig dobunk, amíg 6-os nem jön ki. Adjuk meg a valószí-n˝uségi mez˝ot!
A lehetséges kimenetelekΩhalmaza az(i1,i2, . . . ,in−1,6)alakú véges sorozatok hal-maza, ahol azikaz 1,2,3,4,5 számok valamelyike. Mivel el˝ofordulhat, hogy végtelen sok dobás esetén sem lesz a dobott szám hatos, ezért azΩalaptérhez hozzá kell még csapni az(i1,i2, . . .)alakú végtelen sorozatokat is. A lehetséges eseményekA halma-zának vehetjük azΩösszes részhalmazának halmazát. A végtelen sorozatok halma-zának valószín˝usége nulla, azω= (i1,i2, . . . ,in−1,6)alakú kimenetelek valószín˝usége 1/6n.Alternatív módon, kényelmi megfontolásokból, azΩalaptérnek tekinthetjük az R6${1,2,3,4,5,6}érték˝u végtelen sorozatok halmazát is, vagyis feltehetjük, hogy a kockát mindig végtelen sokszor feldobjuk. De aPvalószín˝uség meghatározásakor a már elmondottak szerint kell eljárni. HaNaz olyan sorozatok halmaza, amelyek nem tartalmazzák a hatos számjegyet, akkorP(N) =0,a hatos számjegyet tartalmazó so-rozatok valószín˝usége 1/6n,aholnaz els˝o hatos indexe. Bármennyire is ártatlannak t˝unik a definíció, potenciálisan tartalmaz egy matematikai ellentmondást. A példában A az összes részhalmazok halmaza. Az axiómák szerint azA minden elemének kell valószín˝uséget tulajdonítanunk. AzΩösszes részhalmaza között vannak olyanok is, amelyek elemeinek száma nem megszámlálható. APvalószín˝uség megadásakor azon-ban látszólag csak az egyes kimenetelek valószín˝uségeit adtuk meg. Ha ismerjük az egyes kimenetelek, azΩbiztos eseményω∈Ωelemeinek valószín˝uségét, akkor a va-lószín˝uség definíciója alapján csak az olyanA⊂Ωesemények valószín˝uségét tudjuk megadni, amelyek elemeinek számossága legfeljebb megszámlálható. A hatosra vég-z˝od˝o véges sorozatok számossága megszámlálható, így azΩminden részhalmazának tudunk valószín˝uséget definiálni1.
1Ha azΩtéren az összes sorozatok halmazát értjük, akkor azokat a sorozatokat, amelyek az els˝o hatosig megegyeznek ekvivalensnek tekintjük. Így azΩelemei valójában ekvivalenciaosztályok. Vegyük észre, hogy mivel az axiómák nem teszik lehet˝ové a valószín˝uség minden további megfontolás nélküli kiterjesztését, elvileg matematikai ellentmondások származhatnak az(Ω,A,P)definiálásakor. Ezen problémák tárgyalásától azonban eltekintünk.
A valószín˝uségi mez˝o definíciójából egy sor kézenfekv˝o tulajdonság vezethet˝o le. Ezek közül tekintsük néhány igen egyszer˝ut:
1. Tetsz˝olegesA∈A eseténP(Ac) =1−P(A). Valóban: mivelA∪Ac=ΩésA∩Ac= /0, ezért
1=P(Ω) =P(A∪Ac) =P(A) +P(Ac), amib˝ol az egyenl˝oség már triviális.
2. HaA,B∈A ésA⊆B,akkorP(B\A) =P(B)−P(A),speciálisan aP(B\A)≥0 miattP(B)≥P(A).A bizonyításhoz emlékeztetünk arra, hogyB\A$B∩Ac,ahol az
$egyenl˝oség a definíció szerint való egyenl˝oséget jelenti. AB\Aés azAhalmazok diszjunktak, és mivel a feltétel szerintA⊆B, ezért
(B\A)∪A$(B∩Ac)∪A= (B∩Ac)∪(B∩A) =B∩(A∪Ac) =B∩Ω=B, ebb˝ol
P(B\A) +P(A) =P(B), amib˝ol az egyenl˝oség már evidens.
3. Tetsz˝olegesA,B∈A eseténP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).A bizonyításhoz vegyük észre, hogy
A∪B= (A\B)∪(A∩B)∪(B\A), ahol az egyesítés páronként diszjunkt, ugyanis például
(A\B)∩(A∩B) = (A∩Bc)∩(A∩B) =
= (A∩A)∩(B∩Bc) =/0.
Ebb˝ol, kihasználva, hogyB∩A⊆AésB∩A⊆B
P(A∪B) = P(A\B) +P(A∩B) +P(B\A) =
= P(A)−P(A∩B) +P(A∩B) +P(B)−P(A∩B), amib˝ol az egyenl˝oség már ismét evidens.
4. HaAn%A,vagyis haAn⊆An+1ésA=∪∞n=1An,akkorP(An)%P(A).A bizonyí-táshoz vezessük be azA0$/0 ésBk$Ak\Ak−1halmazokat. AzAn⊆An+1tartalmazás miattAn=∪nk=1Bk. Nyilván aBkhalmazok páronként diszjunktak, következésképpen
P(A) = P(∪nAn) =P(∪kBk) =
∞
∑
k=1
P(Bk) = lim
n→∞
n
∑
k=1
P(Bk) =
= lim
n→∞P(An) és a(P(An))sorozat nyilván monoton n˝o.
5. HaAn&A,vagyis haAn+1⊆AnésA=∩∞n=1An,akkorP(An)&P(A). Az össze-függés igazolásához elég a komplementer halmazokra áttérni. HaBn$AcnésB$Ac, akkorBn%B.Ebb˝ol
1−P(An) =P(Bn)%P(B) =1−P(A),
amib˝ol aP(An)&P(A)konvergencia már evidens. A két utóbbi tulajdonságot szokás a valószín˝uség folytonossági tulajdonságainak is mondani.
6. A valószín˝uség megszámlálhatóan szubadditív, vagyis tetsz˝oleges(An)legfeljebb megszámlálható halmazból álló eseményrendszer eseténP(∪nAn)≤∑nP(An). Speci-álisan ha az(Nn)eseményekreP(Nn) =0,akkorP(∪nNn) =0.Valóban: véges ese-ményrendszer esetén az egyenl˝otlenség a korábbi tulajdonságokból indukcióval kapha-tó:
P
∪n+1k=1Ak
= P(∪nk=1Ak) +P(An+1)−P((∪nk=1Ak)∩An+1)≤
≤
n
∑
k=1
P(Ak) +P(An+1) =
n+1
∑
k=1
P(Ak).
A végtelen eset igazolásához vegyük észre, hogyBn$∪nk=1Ak%B=∪∞k=1Ak,így az egyenl˝otlenség mind a két oldalán határértéket véve és felhasználva a valószín˝uség már belátott folytonossági tulajdonságát
P(∪∞k=1Ak)$P(B) =lim
n→∞P(Bn)≤ lim
n→∞
n
∑
k=1
P(Ak) =
∞
∑
k=1
P(Ak).
1.1.5. Példa. Mi a valószín˝usége, hogy három kockával történ˝o dobás esetén a legna-gyobb dobott érték 5-ös?
Anjelentse azt, hogy a legnagyobb dobott érték nem haladja megn-et, vagyis, hogy egyik kockával sem dobunkn-nél nagyobbat. NyilvánP(A5) = (5/6)3 ésP(A4) = (4/6)3. Annak a valószín˝usége, hogy a legnagyobb dobott érték pontosan 5 egyenl˝o P(A5\A4) =P(A5)−P(A4) = (5/6)3−(4/6)3ugyanisA4⊂A5. Speciálisan(5/6)3− (4/6)3=61/216.
1.1.6. Példa. A társasági bridzs játéknál szokás szerint húzás dönti el, hogy ki kivel játszik: a két legnagyobb, illetve a két legkisebb lapot húzó játszik együtt. Péter a 12.
legnagyobbat, Kati a 28. legnagyobbat húzza az 52 lapból. Mi a valószín˝usége, hogy együtt fognak játszani?
Ajelentse azt az eseményt, hogy ˝ok húzták a két legnagyobbat,Bpedig azt, hogy a két legkisebbet húzták.AésBdiszjunkt események, tehátP(A∪B) =P(A) +P(B). Az
Aesemény akkor következik be, ha a további két húzás a Katiénál kisebb 24 lapból történik, ennek valószín˝usége:
P(A) =
24 2
50 2
=24·23 50·49= 276
1225. Hasonlóan
P(B) =
11 2
50 2
=11·10 50·49 = 11
245. Így a keresett valószín˝uség a két szám összege, vagyis 0,270 2.