11.2.1. Definíció. Legyen
(x)n$x(x−1) (x−2)· · ·(x−n+1) =
n−1
∏
k=0
(x−k). AzE((ξ)n)értékre mintn-edik faktoriális momentum fogunk hivatkozni.
11.2.2. Példa. Deriváltak és a faktoriális momentumok.
EgyG(z)generátorfüggvény, mint minden hatványsorösszeg, a konvergenciakörén be-lül mindig végtelen sokszor deriválható és a deriválás tagonként elvégezhet˝o. Mivel (pk)valószín˝uségeloszlás, ezértG(1) =1,így a konvergenciasugár mindig legalább 1, vagyis a(−1,1)nyílt intervallumbanG(z)végtelen sokszor deriválható. A tagonként való deriválhatóság miatt ha|z|<1,akkor
G(n)(z) =
∞
∑
k=n
k(k−1). . .(k−n+1)pkzk−n$
$
∞
∑
k=n
(k)npkzk−n.
Tegyük fel, hogy azn-edik momentum véges. Ilyenkor a 0≤E((ξ)n)≤E(ξn)n-edik faktoriális momentum is véges, így
E((ξ)n) =
∞
∑
k=n
k(k−1). . .(k−n+1)pk=
∞
∑
k=n
(k)npk<∞.
Mivel a G(n)(z) hatványsor együtthatói nem negatívak, ezért a G(z) hatványsora a Weierstrass-kritérium miatt a teljes [0,1] szakaszon egyenletesen konvergens. Az egyenletesen konvergens függvénysorok tagonként való deriválhatósága alapján9 a G(n)(1)mint bal oldali derivált létezik ésG(n)(1) =E((ξ)n).
11.2.3. Definíció. Jelölje n
k egyn elem˝u halmazból készíthet˝ok elem˝u partíciók számát. Azn
k számokat másodfajú Stirling-számoknak mondjuk.
Könnyen látható, hogy teljesül az n+1
k
= n
k−1
+k n
k
(11.2.1) rekurzió. Ugyanis egyn+1 elemb˝ol álló halmaz valamelykelemb˝ol álló partíciója úgy keletkezhet, hogy az utolsó lépésben kapottn+1 sorszámú elemet vagy egy külön még
9Emlékeztetünk, hogy a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálni.
üres „rekeszbe” tesszük és így a megmaradtnelemb˝olk−1 halmazból álló partíciókat készítünk, vagy azn+1 sorszámú elemet a már meglev˝ok darab nem üres halmaz valamelyikébe tesszük be. Definíció szerint
0
A rekurziós szabály alapján elemi számolással 1
11.2.4. Példa. A momentumgeneráló függvény és a generátorfüggvény kapcsolata.
Vegyük észre, hogy hamésnegész számok, akkor érvényes az mn=
∑
azonosság, ahol értelemszer˝uenP az nelemb˝ol álló halmaz összes partícióján fut végig és szintén értelemszer˝uen|P|jelöli a partíció elemeinek számát. Valóban: te-kintsük egynelemb˝ol álló halmaz összes leképezését egymelemb˝ol álló halmazba.
Az így kapott függvények száma nyilvánmn. Ugyanakkor minden f függvény egy-értelm˝uen azonosítható az f−1(y)alakú teljes inverzkép-függvényével. Minden ilyen teljes inverzkép-függvény egyértelm˝uen azonosítható egy partícióval10, illetve a partí-ció halmazain különböz˝o konstans értékeket felvev˝o leképezéssel. Ha tehát adott egyk halmazból álló partíció, akkor az els˝o halmazon még a teljes értékkészletb˝ol vagyism elemb˝ol választhatunk, a következ˝on pedig már csakm−1 elemb˝ol. Az eljárást egész addig folytathatjuk, amíg a partíció elemei el nem fogynak. Miként láttuk
G(n)(1) =
∑
10De persze nem minden partícióhoz tartozik függvény. Ha egyPpartíció halmazainak száma nagyobb mintm,akkor nincs függvény a partícióhoz, és ilyenkor(m)|P|=0.
A fenti (11.2.2) képletetξ-re alkalmazva 11.2.5. Példa. Számoljuk ki a Poisson-eloszlás karakterisztikus, momentum- és a ku-mulánsgeneráló függvényeit! Számoljuk ki az eloszlás momentumait és kumulánsait!
1. A momentumgeneráló függvény M(s) = Poisson-eloszlás összes kumulánsaλ.A kumulánsok felhasználásával a Poisson-eloszlás ferde-sége
3. A Poisson-eloszlás esetén a G(z) =exp(λ(z−1)) sorfejtéséb˝ol világos, hogy G(k)(1) =λk,következésképpen
4. Végül a momentumok segítségével is számoljuk ki a kurtózist: Ehhez definíció sze-rint ki kell számolni a negyedik centrális momentumot.
E(ξ−E(ξ))4=
Ezt osztva a variancia négyzetével, vagyisλ2-tel, a kurtózis, miként már láttuk, 3+ 1/λ.Mivel az összes kumulánsaλ,ezért a negyedik centrális momentuma
E(ξ−E(ξ))4=c4+4D4(ξ) =λ+3λ2.
11.2.6. Példa. Számoljuk ki a geometriai eloszlás momentumait a generátorfüggvénye segítségével.
A geometriai eloszlás generátorfüggvényének deriváltjait viszonylag egyszer˝u kiszá-molni.
Például han=2,akkor felhasználva, hogy2 1 =2 11.2.7. Példa. Számoljuk ki a geometriai eloszlás momenmtumgeneráló függvényét, majd ennek segítségével számoljuk ki a kumulánsokat!
A momentumgeneráló függvény definíciója szerint
M(s) = E(exp(sξ)) =G(exp(s)) =
= pexp(s) 1−qexp(s). A kumulánsgeneráló függvény
C(s) =lnM(s) =lnp+s−ln(1−qexp(s)). Ebb˝ol a ferdeség
c3 Ismételten deriválva és azshelyébe nullát téve
c4=C(iv)(0) =
= q(1+2q) (1−q) +3q(1+q)q
p4 =
= q 1+4q+q2
p4 .
A kurtózis tehát 11.2.8. Példa. Számoljuk ki azN(0,1)eloszlás momentumgeneráló és karakterisztikus függvényét, majd határozzuk meg az eloszlás momentumait és kumulánsait!
A momentumgeneráló függvény
M(s) = 1
a teljes komplex síkban értelmezett, ezért ϕ(t) =M(it) =exp sorfejtés alapján a páratlan momentumok mindegyike nulla, a páros momentumok pe-dig
E ξ2k
= (2k−1)!!$(2k−1) (2k−3)· · ·1.
Ebb˝ol speciálisan a negyedik momentum 3.Mivel C(s)$ln exps2
2 =s2 2,
ezértc1=0,c2=1,a többi kumuláns pedig nulla. Ez alapján a kurtózis 3+c4/c22=3.
11.2.9. Példa. A centrális határeloszlás tétele és a kumulánsok.
Legyenek(ξk)független, azonos eloszlású valószín˝uségi változók és tegyük fel, hogy a közös eloszlásnak létezik a negyedik momentuma. Jelöljeµa közös várható értéket ésσa közös szórást. Tekintsük az
ηn$
n
∑
k=1
ξk−nµ σ√
n
normalizált és centralizált összeget. A centralizáció miatt azηn várható értéke nulla, a normalizáció miatt a szórása pedig 1. De mi történik a ferdeséggel és a kurtózissal?
Ha egyξvalószín˝uségi változó momentumgeneráló függvényeM(s),akkor azaξ+b momentumgeneráló függvénye
E(exp(s(aξ+b))) =exp(sb)M(as).
Ebb˝ol azaξ+bkumulánsgeneráló függvényesb+C(as).Az összetett függvény deri-válási szabálya miatt ak-adik kumuláns kiszámolásakor egyakszorzót kell alkalmazni.
Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogyµ=0 ésσ=1.Ha aξkváltozók közös el-oszlásának kumulánsaick,akkor azηnferdesége azc3/c3/22 képlet szerint
(nc3)
√1 n
3
nc2
√1 n
23/2 = c3√1n
c3/22
amely kifejezés 1/√
nnagyságrenddel nullához tart. A kurtózis pedig a 3+c4/c22képlet szerint
3+ nc4
√1 n
4
nc2
√1 n
22=3+c4/n c22
amely pedig 1/nsebességgel 3-hoz tart. Vagyis a centralizált normalizált összeg ferde-sége és kurtózisa a standard normális eloszlás ferdeségéhez és kurtózisához tart.
11.2.10. Példa. Az els˝o négy kumuláns és az eloszlás normalitása.
Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés, miszerint, ha egy centralizált és normalizált elosz-lás ferdesége nulla és kurtózisa 3, akkor az eloszelosz-lás normális-e? A válasz: nem. Le-gyenξegyλparaméter˝u Poisson-eloszlású változó, és tükrözzükp
ξeloszlását az y-tengelyre. Vagyisp
ξeloszlását mérjük fel szimmetrikus módon azx-tengelyre, majd
a megfelel˝o valószín˝uségeket osszuk el 2-vel. Az így kapott eloszlás szimmetrikus, így a várható értéke és a ferdesége nulla. Könnyen látható, hogy a szórása éppen aξ várha-tó értéke,λ, a negyedik momentuma pedig aξ második momentuma, vagyisλ+λ2. Ebb˝ol a kurtózis éppen
λ+λ2
/λ2=1+1/λ. Így haλ =1/2,akkor a kurtózis három. A kurtózis nem függ a skálázástól, a variancia pedig négyzetesen szorzódik, így aξhelyett a√
2ξváltozót véve a variancia is 1 lesz.
11.2.11. Példa. Számoljuk ki az exponenciális eloszlás momentumgeneráló és karak-terisztikus függvényét, és határozzuk meg a momentumait és a kumulánsokat!
M(s) = A függvény értelmezve van azs<λ halmazon és az
λ sorfejtés alapján ak-dik momentumE
ξk
=k!/λk.A kumulánsgeneráló függvény az amib˝olck= (k−1)!/λk.Ebb˝ol az exponenciális eloszlás ferdesége
c3
A kurtózis pedig
3+c4
Az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye értelmezve van a 0(−∞,λ) környezetében, ami alapján
ϕ(t) = 1 1−it/λ.
11.2.12. Példa. Számoljuk ki az(a,λ)paraméter˝u gamma eloszlás momentumgene-ráló függvényét, karakterisztikus függvényét és határozzuk meg a momentumait és a kumulánsokat!
Az(a,λ)paraméter˝u gamma eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye λa A(−λ,λ)intervallumban a binomiális sor összegképlete alapján
amib˝ol ak-dik momentum E
Érdemes ezt közvetlenül is kiszámolni:
E
A kumulánsgeneráló függvény C(s) =ln
amib˝olck=a(k−1)!/λk. Ebb˝ol a ferdeség c3
c3/22
=a·2!
λ3
λ2 2/3
a3/2 = 2
√a. A kurtózis
3+c4
c22=3+a·3!
λ4 λ2
a
!2
=3+6 a. A karakterisztikus függvény pedig
ϕ(t) =
1−it λ
−a
.
EGY HITELKOCKÁZATI MODELL
Ebben a fejezetben egy összefoglaló alkalmazást mutatunk be és az összetett, vagy másnéven kevert eloszlások problémáit tárgyaljuk. Matematikai szempontból a feje-zet a Poisson-eloszlás és a geometriai eloszlás kapcsolatát tárgyalja. A fejefeje-zet egyik f˝o eredménye, hogy a geometriai eloszlás is korlátlanul osztható. Ha egyξ valószí-n˝uségi változó eloszlása korlátlanul osztható, akkor tetsz˝olegesakonstans esetén a ξ+aeloszlása is korlátlanul osztható. Így a geometriai eloszlás helyett érdemesebb a pqnalakú els˝orend˝u Pascal-eloszlásokkal foglalkozni. Ennek el˝onye, hogy az els˝orend˝u Pascal-eloszlás tartója, megegyezik a Poisson-eloszlás tartójával. Miként az exponenci-ális eloszlás gamma eloszlások összegére bomlik, az els˝orend˝u Pascal-eloszlás negatív binomiális eloszlásokra bontható szét. A két eloszláscsalád kapcsolatát a kevert elosz-lások fogalma biztosítja. Az els˝orend˝u Pascal-eloszlás Poisson-eloszlás exponenciális eloszlással való keveréseként állítható el˝o, a negatív binomiális eloszlás pedig Poisson-eloszlás gamma Poisson-eloszlással való keveréseként vezethet˝o be.
12.1. Összetett eloszlások
12.1.1. Definíció. HaN egy a 0,1,2, . . . értékeket felvev˝o valószín˝uségi változó és ξ1,ξ2, . . .valószín˝uségi változók egy sorozata, akkor azη$ΣNk=1ξkvéletlen tagszámú összeget összetett valószín˝uségi változónak mondjuk. Általában eloszlások keverésén azt az eljárást értjük, amikor egy valószín˝uségi változó értékét két lépésben határozzuk meg. Az els˝o lépésben kiválasztunk egy valószín˝uségi változót, majd ennek felhasz-nálásával egy másik változót veszünk, amely értéke lesz a kevert változó értéke. Leg-többször a keverés a keverend˝o eloszlás valamelyik paraméterének randomizációjával történik. A kevert eloszlások speciális esete az összetett eloszlások, amikor a darabszá-mot randomizáljuk.
12.1.2. Állítás. Ha a(ξk)változók azonos eloszlásúak és egymástól és az N változótól is függetlenek, akkor azη$ΣNk=1ξkvéletlen tagszámú összeg várható értéke
E(η) =E(ξ)·E(N), (12.1.1) szórása pedig
D(η) = q
D2(ξ)E(N) +E2(ξ)D2(N), (12.1.2) aholξa(ξk)változók bármelyike. Az azonosságok felírásakor értelemszer˝uen feltettük, hogy a képletekben szerepl˝o várható értékek léteznek.
Bizonyítás:Az els˝o egyenl˝oség kiszámolása a teljes várható érték tétele alapján igen
A második momentum kiszámolása a következ˝o:
E
Ebb˝ol a szórás definíciója szerint
amib˝ol a második (12.1.2) egyenl˝oség már evidens. A számolások során használtuk a
E
egyenl˝oséget, amely során azNvéletlen tagszám helyébe betettük azN= jfeltételt és elhagytuk a feltételt. Hasonló összefüggést használtunk a négyzetes tagokra is. Vegyük észre, hogyP(N=j)>0,ugyanis ellenkez˝o esetben ezt a jértéket nem használjuk.
A feltételes eloszlás, illetve a feltételes várható érték definíciója szerint
E
AzNés a(ξk)változók függetlensége miatt a szorzat várható értéke a várható értékek szorzata, így amib˝ol az egyenl˝oség már evidens.
12.1.3. Példa. Poisson-eloszlás szerint összetett eloszlás szórása és várható értéke.
LegyenNPoisson-eloszlásúλ paraméterrel. EkkorE(N) =D2(N) =λ,és ilyenkor E(η) = λE(ξ),
D(η) = √ λ
q
D2(ξ) +E2(ξ) = r
λE ξ2
.
Érdemes megjegyezni, hogy ha azN egy Poisson-folyamat szerint alakul, akkor az X(t)$
N(t)
∑
k=1
ξkösszetett folyamat várható értéke és a varianciája az id˝o szerint lineárisan változik.