A többdimenziós eloszlások vizsgálatának leggyakrabban használt eszköze a korreláci-ós együttható8.
6.2.1. Definíció. Legyenekξésηvalószín˝uségi változók. A cov(ξ,η)$E((ξ−E(ξ)) (η−E(η))) várható értéket aξés azηkovarianciájának, a
corr(ξ,η)$ cov(ξ,η) D(ξ)D(η)
hányadost pedig aξés azηkorrelációs együtthatójának mondjuk.9
Emlékeztetünk, hogy a kovariancia elnevezést a következ˝o állítás indokolja: A szórás-négyzetet szokás kovarianciának is mondani és tetsz˝olegesξésηvalószín˝uségi válto-zókra
D2(ξ+η) =D2(ξ) +D2(η) +2·cov(ξ,η).
Ennek bizonyítása során beláttuk a következ˝o fontos összefüggést: Haξésη valószí-n˝uségi változók, akkor
cov(ξ,η) =E(ξ η)−E(ξ)E(η).
Speciálisan, haξésηfüggetlenek, akkor a kovarianciájuk nulla.
6.2.2. Példa. Valószín˝uségi változók korrelációs együtthatója nulla, de a változók nem függetlenek.
A számos lehetséges példa közül talán a legegyszer˝ubb a következ˝o: Legyenξstandard normális eloszlású változó ésη$ξ2.Ilyenkorξ η=ξ3,amely várható értéke nulla. De ugyancsak nulla azE(ξ)E(η)szorzat is, így a korrelációs együttható értéke nulla. Egy
8Általában, némiképpen pontatlanul, szokás pusztán korrelációról is beszélni, amely alatt az együttmozgás
„szorosságát” szokás érteni. A korrelációs együttható a korrelációt próbálja, jól-rosszul, mérni. Szokás a korre-láció er˝osségér˝ol is beszélni. Ilyenkor az együttmozgás „szorosságát” akarjuk megragadni, el˝ojelt˝ol függetlenül.
A korreláció mérésére vannak egyéb mutatók is nem csak a korrelációs együttható.
9A korrelációs együttható létezéséhez a két szórásnak létezni kell és pozitívnak kell lenni. Vagyis egy konstans változó és egy másik változónak nincsen korrelációs együtthatója ámbár a két változónak van szórása és függetlenek. Ez analóg avval, hogy a nulla vektornak nincs közrezárt szöge egy másik nem nulla vektorral.
másik tanulságos példa a következ˝o: Ha a(ξ,η)eloszlása azytengelyre szimmetrikus, akkor a(ξ,η)eloszlása megegyezik a(−ξ,η)eloszlásával. Ebb˝ol következ˝oen
cov(ξ,η) =cov(−ξ,η) =−cov(ξ,η),
vagyis cov(ξ,η) =0.Így például a(−1,0),(1,0),(0,1)háromszögön egyenletes el-oszlású valószín˝uségi változó korrelációs együtthatója nulla, de aξ és azηnem füg-getlenek. De példaként vehetjük az egységkörlapon egyenletes eloszlású(ξ,η) való-szín˝uségi változókat is, amelyek korrelációs együtthatója nulla, de aξ és azη nem független.
6.2.3. Állítás(Cauchy-egyenl˝otlenség). Tetsz˝olegesξésηváltozók esetén
E2(ξ η)≤E
Speciálisan|corr(ξ,η)| ≤1,és az egyenl˝oség szükséges és elegend˝o feltétele, hogy a ξlineáris függvénye legyen azη-nak.
Bizonyítás:Tetsz˝olegesλesetén 0≤E diszk-rimináns nem pozitív, vagyis
D=4E2(ξ η)−4E
amib˝ol az egyenl˝otlenség nyilvánvaló. Az egyenl˝otlenség egy fontos következménye, hogy haξ ésη második momentumai végesek, akkor a kovarianciájuk is véges. Ép-pen ezért a korrelációs együtthatót és a kovarianciát csak olyan valószín˝uségi vál-tozókra definiáljuk, amelyek második momentuma véges. Aξ és az η helyébe a (ξ−E(ξ))/D(ξ)és az(η−E(η))/D(η)centralizált és normalizált változókat
vagyisξ=η.A corr(ξ,η) =−1 tárgyalása analóg, illetve a fordított irány evidens.
6.2.4. Példa. Legyen a(ξ,η)pár egyenletes eloszlású a(0,0),(1,0),(0,1) háromszö-gön. Számoljuk ki aξés azηkorrelációs együtthatóját.
Emlékeztetünk, hogy aξés azηs˝ur˝uségfüggvénye
g(x) =h(x) =2(1−x), 0<x<1.
Ahhoz, hogy a korrelációs együtthatót ki tudjuk számolni elegend˝o meghatározni az E(ξ η)várható értéket. A(ξ,η)együttes s˝ur˝uségfüggvénye a háromszögön 2,így
E(ξ η) = Ebb˝ol a korrelációs együttható
corr(ξ,η) =1/12−1/9 1/18 =−1
2.
6.2.5. Példa. Legyen(ξ,η)egyenletes eloszlású a
K$ n
(x,y)|x2+y2≤1,x,y≥0 o
negyedkörlapon. Számoljuk ki a korrelációs együtthatóját.
Az együttes eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye f(x,y) =
4/π ha (x,y)∈K 0 ha (x,y)∈/K .
Szimmetriaokokból elegend˝o az egyik peremeloszlással foglalkozni. Ha 0<x<1, ak-kor
A várható érték
A korrelációs együttható meghatározásához ki kell még számolni azE(ξ η) várható értéket. A korrelációs együttható tehát
corr(ξ,η) =1/(2π)−16/ 9π2
1/4−16/ 9π2 =−0,30014.
Vegyük észre, hogy hasonlóan az el˝oz˝o példához a korrelációs együttható negatív, de értéke közelebb van a nullához, ugyanis aKnegyedkör tartalmazza az el˝oz˝o példában szerepl˝o háromszöget, vagyis aξés azη közötti kapcsolat a negyedkör esetén gyen-gébb.
6.2.6. Példa. Legyen a(ξ,η)egyenletes eloszlású a
P$n
(x,y)∈[0,1]2|y≤x2 o
halmazon. Számoljuk ki a corr(ξ,η)korrelációs együtthatót.
A parabola alatti terület 1/3,így f(x,y) =
3 ha (x,y)∈P 0 ha (x,y)∈/P .
A peremeloszlások 0≤x≤1,illetve 0≤y≤1 esetén A szorzat várható értéke
E(ξ η) = Így a korrelációs együttható
corr(ξ,η) = 1/4−3/4·3/10 p3/80p
37/700=0,56153.
Vegyük észre, hogy azy-tengelyre való tükrözés során a korrelációs együttható el˝ojelet vált, illetve azx-tengely mentén való eltolás nem módosítja a korrelációs együttha-tót, így a(0,0),(1,0),(1,1)háromszögön egyenletes eloszlású változópár korrelációs együtthatója 1/2.Mivel a parabola azy=xegyenes alatt halad aPrésze ennek a há-romszögnek, így a korrelációs együtthatója nagyobb.
GAMMA-BÉTA ARITMETIKA
Az el˝oz˝o fejezettel befejeztük a valószín˝uségszámítás alapfogalmainak ismertetését.
Ebben a rövid technikai fejezetben a gamma és a béta függvényekkel kapcsolatos leg-fontosabb ismereteket elevenítjük fel. A gamma és a béta függvények a valószín˝uség-számítás legfontosabb eszközei közé tartoznak és korábban is már érint˝olegesen hasz-náltuk ˝oket.
7.1. A gamma és béta függvények
El˝oször tekintsük a definíciókat1: 7.1.1. Definíció. A
Γ(x)$ Z∞
0
tx−1exp(−t)dt, x>0 függvényt gamma függvénynek, a
B(x,y)$ Z1
0
tx−1(1−t)y−1dt, x,y>0
függvényt béta függvénynek mondjuk. A gamma függvény mellett vezessük be a Γ(x,λ)$
Z∞ 0
tx−1exp(−λt)dt, x,λ>0.
függvényt. Egyszer˝uu=tλ helyettesítéssel Γ(x,λ) =
Z∞ 0
u λ
x−1
exp(−u)du λ =Γ(x)
λx .
7.1.2. Példa. Hax>0,akkorΓ(x+1) =xΓ(x).Speciálisan han>0 egész, akkor Γ(n) = (n−1)!
Parciálisan integrálva, és felhasználva, hogyx>0,így atxat=0 pontban nulla, Γ(x+1) =
Z∞
0 txexp(−t)dt=
txexp(−t)
−1 ∞
0
+ Z∞
0 xtx−1exp(−t)dt=
= 0+x Z∞
0
tx−1exp(−t)dt=xΓ(x).
7.1.3. Példa. Igazoljuk a
B(x,y) =Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) formulát!
1A gamma és béta függvényeket szokás szélesebb értelmezési tartományok felett is definiálni. Ilyenkor az integrálel˝oállítás a szélesebb értelmezési tartományokon már nem érvényes.
A formula indoklásának számos módja ismert. Mindegyik bizonyítás során valamilyen analízisb˝ol ismert tételt fel kell használni. Az itt bemutatott bizonyítás arra alapszik, hogy nem negatív függvények esetén az integrálás sorrendje felcserélhet˝o. Ezt a tételt az analízisben Fubini-tételként szokás emlegetni.s=t/(1−t)helyettesítéssel
I $
Az integrandus folytonos és nem negatív, ezért a Fubini-tételnek megfelel˝oen az alább a két integrál felcserélhet˝o:
I $ amib˝ol az azonosság már evidens módon adódik.
7.1.4. Példa. Hax>0,akkor
B(x+1,y) = x
x+yB(x,y).
A fenti összefüggés szerint Az integrálok felcserélése egy igen hatékony eszköz. Erre további példaként tekintsük a következ˝ot:
7.1.5. Példa. Számoljuk ki az Z∞
függvény azx,t≥0 tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel.u=xthelyettesítéssel
I =
páros volta alapján Z∞
u2=xhelyettesítéssel Egy másik bizonyítás a gamma és a béta függvények közötti azonosságra épül:
Az integrálbanx=sin2thelyettesítést végezve dx
π már evidens.
7.1.7. Példa. Számoljuk ki a standard normális eloszlás várható értékét és szórását.
Az
s˝ur˝uségfüggvényhez tartozó eloszlást standard normális eloszlásnak mondjuk.
1. f≥0, így az f s˝ur˝uségfüggvény voltához elég megmutatni, hogy az f integrálja a számegyenesen éppen 1. A kézenfekv˝ou=x/√
2 helyettesítéssel
2. A várható érték meghatározása igen egyszer˝u. Mivel a s˝ur˝uségfüggvény páros, így azx f(x)páratlan, és mivel azx f(x)integrálható, ezért
E(ξ) = Z ∞
−∞x f(x)dx=0.
3. A szórás kiszámolásához számoljuk ki a második momentumot: Az igen kézenfekv˝o u=x2helyettesítéssel
E