∑
k=0
zkλk
k! exp(−λ) =exp(−λ)
∞
∑
k=0
(zλ)k k! =
= exp(−λ)exp(zλ) =exp(λ(z−1)).
Ha aξkegyedi veszteségek nagysága exponenciális eloszlást követµparaméterrel:
Lξ(s) = Z∞
0 µexp(−µx)exp(−sx)dx=µ Z∞
0 exp(−(µ+s)x)dx=
= µ
−exp(−µ+s)x µ+s
∞ 0
= µ
µ+s LLoss(s) = exp
λ
µ µ+s−1
=exp −λs
µ+s
.
12.3. Negatív binomiális eloszlás
A Poisson-folyamatλ paramétere számos küls˝o tényez˝ot˝ol függ. Így nem tudjuk aλ partaméter értékét.Tegyük fel, hogy csak a darabszám feltételes eloszlása lesz Poisson:
P(N=n|λ) =λn
n! exp(−λ).
Tegyük fel, hogy aλeloszlása(α,β)paraméter˝u gamma eloszlást alkot, ahol(α,β)a küls˝o tényez˝ok eloszlásának függvénye. Mi lesz azNeloszlása?
P(N=n) =E(P(N=n|λ)) = 1
n!(E(λnexp(−λ))).
A gamma eloszlás s˝ur˝uségfüggvényének képlete alapján E(λnexp(−λ)) =
Z∞
0 xnexp(−x) βα
Γ(α)xα−1exp(−βx)dx=
= βα Γ(α)
Z∞
0 xα+n−1exp(−(β+1)x)dx=
= βα
Γ(α)Γ(α+n.β+1) = βαΓ(α+n) Γ(α) (β+1)α+n,
MivelΓ(x+1) =xΓ(x),ezért
12.3.1. Definíció. A pn$
α+n−1 n
pαqn, n=0,1, . . .
eloszlást(α,p)paraméter˝u negatív binomiális eloszlásnak szokás nevezni.
12.3.2. Példa. A geometriai és a negatív binomiális eloszlás kapcsolata.
Haα=1,akkor a gamma eloszlás exponenciális. Ekkor P(N=n) =pqn, n=0,1,2, . . . .
Emlékeztetünk, hogy ezt az eloszlást, hogy ne keverjük a geometriai eloszlással, szokás els˝orend˝u Pascal-eloszlásnak mondani.
Hanegy természetes szám, akkorΓ(n) = (n−1)! Így definíció szerint
α+n−1
amely kifejezés indokolja a negatív binomiális elnevezést. A Poisson-eloszlás generá-torfüggvényét és a gamma eloszlás s˝ur˝uségfüggvényét használva a negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye
G(z)$E
zN
=E
E
zN|λ
$E(Gλ(z)) =
= Z∞
0 Gλ(z)· βα
Γ(α)λα−1exp(−β λ)dλ=
= Z ∞
0
exp(λ(z−1))· βα
Γ(α)λα−1exp(−β λ)dλ=
= βα Γ(α)
Z∞
0 λα−1exp(−λ(β+1−z))dλ=
= βα
Γ(α)Γ(a,β+1−z) = βα Γ(α)
Γ(α) (β+1−z)α =
β β+1−z
α
.
12.3.3. Példa. Ha a veszteségek nagysága exponenciális eloszlásúµparaméterrel, ak-kor
LLoss(s) =G Lξ(z)
= β
β+1−µ+sµ
!α
.
12.3.4. Példa. A negatív binomiális eloszlás korlátlanul osztható.
Emlékeztetünk, hogy egy eloszlást korlátlanul oszthatónak mondunk, ha tetsz˝oleges n-re az eloszlás felbonthatóndarab azonos eloszlású független változó összegére. Mi-vel független diszkrét eloszlások összegének generátorfüggvénye összeszorzódik, ezért elég megjegyezni, hogyndarab(α/n,β)paraméter˝u független negatív binomiális el-oszlású változó összege(α,β)paraméter˝u negatív binomiális eloszlású változó. Miként a Lévy-folyamatok kapcsán említettük, igazolható egy fontos tétel, amely szerint min-den korlátlanul osztható eloszlás beágyazható egy Lévy-folyamatba. Ez alatt azt érjük, hogy minden korlátlanul osztható eloszláshoz van egy olyanX(t)Lévy-folyamat, hogy azX(1)eloszlása éppen az adott korlátlanul osztható eloszlás5. Ennek megfelel˝oen be-szélhetünk negatív binomiális folyamatról. A negatív binomiális folyamat egész értéke-ket felvev˝o folyamat, így joggal merülhet fel, hogy mennyiben különbözik a Poisson-folyamattól. Viszonylag könnyen megmutatható, hogy minden egész értékeket felvev˝o Lévy-folyamat összetett Poisson-folyamat6, vagyis alkalmasN(t)Poisson-folyamattal X(t) =ΣN(t)k=1ξkalakú véletlen összeg, ahol aξkváltozók független azonos eloszlásból
5Érdemes hangsúlyozni, hogy általában egy sztochasztikus folyamat eloszlásán az összes lehetséges X(t1), . . . ,X(tn) véges sorozat együttes eloszlásának rendszerét értjük. Lévy-folyamatok esetén azonban ele-gend˝o megadni az eloszlást egyetlent>0 id˝opontban, például azX(1),eloszlását.
6Általában a Lévy-folyamatokra nem igaz, hogy összetett Poisson-folyamatok. A Lévy-folyamatok struk-túrája ennél sokkal bonyolultabb.
vett ugrásnagyságok. Ennek igazolásához elegend˝o el˝oször venni az els˝o ugrás helyét megadó
τ1=inf{t| |X(t)| ≥1}
megállási id˝ot. A Poisson-folyamathoz hasonlóan a Lévy-folyamatok jobbról való foly-tonossága miattP(τ1≥t) =P(X(t) =0).Ebb˝ol a Poisson-folyamatnál követett mó-don azonnal látható, hogy aτ1 eloszlása exponenciális. Legyenξ1$X(τ1).AzX Lévy-folyamat, így érvényes rá az er˝os Markov-tulajdonság.τ2legyen azX∗ újraindí-tott folyamat els˝o ugrásának id˝opontja ésξ2$X∗(τ2)stb. A(τk)sorozat egy Poisson-folyamatot generál, és azX éppen aξk ugrásokkal vett összetett Poisson-folyamat.
Alább megmutatjuk, hogy a negatív binomiális eloszlás esetén az ugrások nagyságát megadó változók eloszlása úgynevezett logaritmikus eloszlás, amelyre
pn= 1
−ln(1−p) pn
n, n=1,2, . . .
Vagyis a negatív binomiális folyamat bár egész értékeket felvev˝o, monoton növeke-d˝o trajektóriákkal rendelkez˝o folyamat, nem számláló folyamat, ugyanis az ugrásainak nagysága lehet 1-nél nagyobb. A logaritmikus eloszlás várható értéke
M = A logaritmikus eloszlás generátorfüggvénye
G(z) = 1
Miként megjegyeztük az összetett eloszlás generátorfüggvényét úgy kapjuk, hogy a Poisson-eloszlás exp(λ(z−1))generátorfüggvényébe betesszük a logaritmikus elosz-lás generátorfüggvényét
Mivel a generátorfüggvény egyértelm˝uen megadja az eloszlást a Poisson-eloszlás sze-rint kevert logaritmikus eloszlás negatív binomiális eloszlású7.
12.3.5. Példa. A negatív binomiális folyamat várható értéke és szórása.
A fentiX(t)Lévy-folyamatot szokás negatív binomiális folyamatnak nevezni8. Jelöl-jeλ a Poisson-folyamat paraméterét és legyenpa logaritmikus eloszlás paramétere.
Ekkor a fenti (12.1.1) képlet alapján
E(X(t)) =λt· 1
−ln(1−p) p 1−p.
A varianciára vonatkozó (12.1.2) képlet alkalmazásakor vegyük figyelembe, hogy E(N(t)) =D2(N(t)) =λt,így
A logaritmikus eloszlás második momentuma E
Vagyis szemben a Poisson-folyamattal a variancia mindig nagyobb mint a várható érték.
12.3.6. Példa. A negatív binomiális eloszlás várható értéke és szórása.
A várható érték a generátorfüggvény els˝o deriváltja az=1 helyen:
d amib˝ol a várható érték éppen
E(ξ) =α
7Azαés aβparamétereknek pozitívnak kell lenni, ami teljesül!
8Helyesebb lenne a negatív binomiális Lévy-folyamat elnevezés.
ahol p$β/(1+β),q$1/(1+β).A logaritmikus eloszlás bevezetésekor aβ $ 1/p−1 jelöléssel éltünk9. Ebb˝olp=1/(1+β),amit viszont mostq-val jelöltünk. A negatív binomiális folyamat várható értékének és szórásnak hányadosa az ott használt jelöléssel 1−p,ami a most használt jelöléssel éppen p.Vagyis a negatív binomiális eloszlás varianciája
D2(ξ) = E(ξ) p =α q
p2 =α 1/(1+β) (β/(1+β))2=
= α 1
1+β
(1+β)2 β2
=α1+β β2
=
= α
β + α β2
=E(ξ) +1 αE2(ξ).
12.3.7. Példa. Az els˝o ugrás id˝opontja a negatív binomiális folyamatban.
Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés, hogy mi lesz a negatív binomiális folyamatban a várakozási id˝ok eloszlása. Mivel az ugrások nagysága lehet 1-nél nagyobb, ezért a τ$inf{t|X(t)≥1}találati id˝o eloszlására vagyunk kíváncsiak. Legyen(α,β)adott és legyenX(t)egy olyan negatív binomiális Lévy-folyamat, amelyreX(1)eloszlása (α,β)paraméter˝u negatív binomiális eloszlású változó. Mi lesz azX(t)eloszlása? Az X(1)generátorfüggvénye
G1(z) = β
β+1−z α
.
Ebb˝ol a korlátlanul való oszthatóság miatt tetsz˝olegesrracionális számra Gr(z) =
β β+1−z
rα
,
ami folytonosan kiterjeszthet˝o minden valóst-re. AP(X(t) =0)valószín˝uség éppen a generátorfüggvény értéke az=0 helyen, amib˝ol
P(τ≥t) = P(X(t) =0) = β
β+1 tα
=
= exp
−αln β+1
β
t
$exp(−λt),
9Vegyük észre, hogy a negatív binomiális eloszlás esetén aznaqkitev˝ojében szerepelt, a logaritmikus eloszlás esetén apkitev˝ojében. Ennek oka, hogy a negatív binomiális eloszlásban, akárcsak a geometriai elosz-lásban, az úgymond sikertelen próbálkozásokat számoljuk, ezért jelöljükq-val.
vagyis az exponenciális várakozási id˝o paramétere λ$αln
β+1 β
>0.
Ha most a logaritmikus eloszlásnál használtp=1/(1+β)konvenciót használjuk, ak-kor
λ=−αln(1−p).
Ezzel a jelöléssel a negatív binomiális folyamat várható értéke10 E(X(t)) =λt· 1
−ln(1−p) p
1−p=tαp q, varianciája
D2(X(t)) =tα p q2.
Apés a qfelcserélésével és at=1 behelyettesítéssel kapjuk a negatív binomiális eloszlás várható értékének és szórásának már ismert képletét.
12.3.8. Példa. Poisson-folyamat megállítása.
Az imént bemutatott keverés egy másik lehetséges interpretációja a következ˝o: Legyen N(t)egy Poisson-folyamat és legyenτ<∞egy véletlen id˝opont. Mi lesz az
N(τ) (ω)$N(τ(ω),ω) megállított változó eloszlása? Mivel
P(N(τ) =n|τ=t) =(λt)n
n! exp(−λt),
ezért, ha aτgamma eloszlású, akkor a megállított változó eloszlása negatív binomiális lesz. Vegyük észre, hogy aτváltozót nem aλ,hanem athelyébe tettük. Ha azN(t) Poisson-folyamat paramétereλ,aτváltozó paraméterei pedig(α,β)akkor azN(τ) tekinthet˝o egy olyan keverésnek, amikor a kever˝o változóλ τ.Aτs˝ur˝uségfüggvénye
f(x) = βα
Γ(α)xα−1exp(−βx),
amib˝ol a transzformált változók s˝ur˝uségfüggvényére vonatkozó képlet alapján aλ τ s˝ur˝uségfüggvénye
g(x) = βα Γ(α)
x λ
α−1
exp
−βx λ
1 λ =
= (β/λ)α
Γ(α) xα−1exp
−βx λ
, ami gamma eloszlású, de aβ paraméter helyébeβ/λírandó.
10Ismét ügyeljünk apés aqkét eltér˝o használatára.
12.3.9. Példa. Szubordinált, vagy más néven alárendelt Poisson-folyamatok.
Lévy-folyamatok konstruálásának jól ismert és a gyakorlatban el˝oszeretettel használt módszere a szubordináció, vagy alárendelt folyamatok konstruálása. A szubordináció alapgondolata az, hogy a megfigyelt folyamat két komponensb˝ol áll. Egyrészt a folya-matnak van egy véletlen „bels˝o” órája, ami egy monoton növeked˝o Lévy-folyamattal írható le, másrészt van egy másik Lévy-folyamat, amely a rendszer reakcióit írja le a de-terminisztikusan változó id˝oben11. Az els˝o folyamatot szokás alárendelt folyamatnak mondani. A két Lévy-folyamat kompozíciója adja a megfigyelt folyamatot, amelyr˝ol megmutatható, hogy szintén Lévy-folyamat. Mivel a gamma eloszlás korlátlanul oszt-ható, ezért létezik gamma folyamat, vagyis olyanX(t)Lévy-folyamat, amelyre azX(1) eloszlása adott(α,β)paraméter˝u gamma eloszlást követ. Mivel azX(t)−X(s)minden t>sesetén gamma eloszlást követ(α(t−s),β)paraméterekkel, ezért azX(t)−X(s) egy valószín˝uséggel pozitív, így a gamma folyamat használható alárendelt id˝otransz-formáltnak. Ha mostN(t)egy Poisson-folyamat, akkor azY(t) =N(X(t))folyamatot szubordinált, vagy alárendelt Poisson-folyamatnak mondjuk. Mivel tetsz˝olegestesetén azX(t)gamma eloszlású, az elmondottak alapján azY(t)eloszlása negatív binomiá-lis lesz. Ha a Poisson-folyamat paramétereλ,akkor azY(t)eloszlásának paraméterei (αt,β/λ)lesznek. Megmutatható, hogy egy független növekmény˝u folyamat csak ak-kor lehet folytonos, ha minden id˝opontban az eloszlása normális, ezért egyX(t) szub-ordinátor, azX(t) =t triviális esett˝ol eltekintve12, nem lehet folytonos. Szemléletesen azX(t)szubordinátor egy ugró folyamat, vagyis hosszabb-rövidebb szakaszokon az értéke konstans, majd egy kisebb-nagyobb ugrással az értéke megváltozik stb. Ha az id˝ougrás elég nagy, akkor az ugráshoz tartozó id˝oszak alatt azN(t)Poisson-folyamat több ugrása is lezajlik, így az összetett folyamatban egyszerre több ugrást is megfi-gyelhetünk. Célszer˝u hangsúlyozni, hogy mivel az alárendelt Lévy-folyamatok szintén Lévy-folyamatok, ezért a gamma folyamattal szubordinált Poisson-folyamat, a paramé-terek egyezése esetén, eloszlásban megegyezik a korábban konstruált negatív binomiá-lis Lévy-folyamattal.
11Ezt a módszert el˝oszeretettel szokás használni az árfolyamok id˝oben való alakulásának modellezésére.
A szokásos interpretáció, hogy például a piacon az aktivitás id˝oben változik. Amikor a kereskedés aktívabb, a
„bels˝o” id˝o gyorsabban pörög.
12Aztértéket nulla szórással rendelkez˝o normális eloszlású változónak tekintjük.