3. SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával felhasználásával
3.6. Az SNS-Multi matematikai modellje
A szakirodalomban az SNS struktúráknak általában két fajta modelljét használják, az összetétel és a komponensáram alapút. Például Floudas (1987) az első fajta modellt alkalmazta, míg Quesada és Grossmann (1995) a másodikat. Mindkét modell nem-lineáris, de a nem-lineáris egyenletek nem ugyanazon eszközöknél jelennek meg.
Komponensáram alapú modellek esetében két eltérő típusú változót használunk. Egyrészt a struktúra miden folyamának minden komponensáramához hozzárendelünk egy változót a komponensáramok nagyságának jelölésére, másrészt minden megosztó minden kimenetéhez hozzárendelünk egy megosztási arány nevű változót, amely kifejezi, hogy a bemenet hányad része halad át az adott kimeneten. A bevezetésben a szétválasztók, megosztók és keverők tulajdonságainak meghatározására komponensáram alapú modellt használtunk, lásd az 1.2.- 1.4. ábrákat és az 1.3.-1.9. egyenleteket. Ezekből kitűnik, hogy amíg a szétválasztó és a keverő leírható kizárólag lineáris egyenletekkel, addig ez a megosztóra nem igaz. A megosztó leírásából a megosztási hányados típusú változók kiküszöbölhetőek, a 3.2. és 3.3. egyenletek segítségével, de a nem-linearitás így is megmarad. A 3.2. egyenlet kifejezi azt, hogy a bemenetben és az összes kimenetben a komponenseknek az arányai megegyeznek, 3.3. pedig az anyagmegmaradást.
1 2
Összetétel alapú modellek esetén is kétféle változótípust kell bevezetni. Minden folyamra egyet a teljes folyam nagyságához és folyamonként komponens számút, annak kifejezésére, hogy a teljes folyam hányad részét teszi ki az adott komponensáram. A szétválasztóhoz, keverőhöz és megosztóhoz tartozó folyamok elnevezései a 3.16. ábrán láthatóak. A szétválasztó működését a 3.4.-3.7., a keverőét a 3.8. és a megosztóét pedig a 3.9. és 3.10. egyenletek írják le. ta jelöli az a folyam teljes nagyságát, za,2 pedig a 2.
komponens arányát az a folyamban. Ezen kívül minden folyamra igaz, hogy az adott folyamra vonatkozó kompozíciók összege egy, valamint minden változó nem-negatív.
Látható, hogy kompozíció alapú leírás esetén bilineáris tagok jelennek meg a szétválasztó és a megosztó egyenleteiben, vagyis ez a matematikai modell is nem-lineáris.
1 1
Si
3.16. ábra: Az SNS feladat műveleti egységei.
Kovács és szerzőtársai (2000) bemutatták a betáplálási megosztás arány alapú modellt az SNS-Single feladattípusra, amelyet most adaptálunk SNS-Multi-ra. Első lépésként betáplálási megosztás arány típusú változókat vezetünk be a szétválasztók kimenetéhez pontosan egy betáplálásból vezet irányított út. Az RSS-Multi algoritmus által generált szigorú szuperstruktúra pontosan ilyen tulajdonságú a 3-3. tétel alapján.
Ebből az is következik, hogy egy adott betáplálásból egy keverőig tartó út minden folyamára igaz, hogy a folyamban jelenlevő komponensek aránya ugyanaz, mint a betáplálásban ugyanazon komponenseknek az aránya. Az egyszerűbb szemléltetés érdekében bevezetünk betáplálási megosztás arány változókat a megosztók bemeneteihez is. Ezek a változók redundánsak, mert egy megosztó bemenetéhez tartozó betáplálási megosztás arány egyenlő a megosztó előtti szétválasztó bemenetéhez, ami egy másik megosztó kimenete, tartozó változóval. A változó definíciójából következik, hogy azt egy szétválasztó nem módosítja. A matematikai modell felírásakor már nem használjuk a redundáns változókat, hanem helyettük mindig a velük ekvivalens változóra hivatkozunk.
A szigorú szuperstruktúrában előforduló folyamok komponensáramai leírhatók a 3.11. egyenlet segítségével. fa,c értéke függ az a folyamhoz tartozó betáplálásban a c komponensáram nagyságától, hogy ez a komponensáram a folyamban egyáltalán jelen van-e, és a folyamhoz tartozó betáplálási megosztás aránytól.
, ( ( ), , ) ( ),
a c a first a c
f =x ×d first a a c FE× " c Î C, " a Î A, a = (i, j), j Ï P 3.11.
A következőkben megadjuk a betáplálási megosztás arány alapú modellben az egyes eszközök egyenleteit. Szétválasztó esetében a komponensáram alapú modellben látott módon írjuk le, hogy egyes komponensáramok pontosan a felső, a többi pontosan az alsó kimeneten jelennek meg. A 3.11. egyenletet behelyettesítve az 1.3. egyenletbe kapjuk a 3.12. egyenletet. Ez az egyenlet azokra a komponensekre vonatkozik, amelyek a felső anyagáramban jelennek meg. Mivel first(a) = first(b1) és δ értéke mindkét oldalon 1, így az egyenlet egyszerűsített formája xa =xb1. Ez azonban már a betáplálási megosztás arány definíciójából is következik, azaz a 3.12. egyenlet valójában azonosság. A 3.13.
egyenlet írja le, hogy a felső kimenetben mely komponensáramok nulla értékűek. Mivel ez az egyenlet olyan komponensekre vonatkozik, amelyekre δ(first(b1), b1, c) = 0, így az egyenlet jobb oldalának értéke nulla, vagyis megint azonossághoz jutunk. Hasonló képleteket írhatunk fel az alsó kimenetre is. Megállapítjuk tehát, hogy betáplálási megosztás arány alapú modell esetén a szétválasztók egyenletekkel történő leírása nem szükséges, mert azok azonosságokhoz vezetnek.
1 1 anyagmegmaradást, ahogy ezt a komponensáram és kompozíció alapú modellek esetén is megtettük. A 3.11. egyenletet behelyettesítve az 1.7.-be kapjuk a 3.14. egyenletet az m keverőre vonatkozóan. Kihasználjuk azt, hogy a keverők közvetlenül a termékekhez kapcsolódnak, így a jobb oldalra a keverőhöz tartozó termékek komponensáramai kerülnek.
Megosztónál a komponensáramok anyagmegmaradása mellett biztosítani kell azt is, hogy a komponens kompozíciók egyenlők legyenek a bemenetben és a kimenetekben, lásd a 3.2. és 3.3. egyenleteket. Megállapítottuk, hogy az utóbbi kikötés a vizsgált szuperstruktúra esetén automatikusan teljesül, ezért csak a 3.15. egyenletet írjuk fel a d megosztóra. Mivel (d first d d c( ), , )=d(first j j c( ), , ) és FEfirst d c( ), =FEfirst j c( ), , ezért a 3.15. egyenlet 3.16.-á egyszerűsödik. Vegyük észre, hogy ez az egyenlet nem függ c-től, ezért minden megosztóra csak egy ilyen egyenletet kell felírni.
( ), ( ), , ( ),
( ), ,
A 3.2. táblázat összehasonlítja az eddig bemutatott matematikai modelleket, abból a szempontból, hogy az egyes eszközök anyagmérlegei, milyen típusú egyenletekkel írhatóak le. Kitűnik belőle, hogy a betáplálási megosztás arány alapú modell esetén nincs szükség nem-lineáris egyenletekre. Ez a másik két modellhez képest hatalmas előny, hiszen az NLP feladatok megoldásai nemcsak, hogy jóval több időt igényelnek, hanem gyakran csak lokális optimumot adnak. Viszont a betáplálási megosztás arány alapú modellben a komponens szám növelésével a szétválasztó szám exponenciálisan nő, amiből a változók számának hasonló arányú növekedése is következik. Tapasztalataink azt mutatják, hogy a végrehajtási idő szempontjából két ellentétes hatás, a lineárisság és az exponenciális növekedés, közül az elsőnek nagyobb a szerepe. Szigorúsága és lineárissága miatt a betáplálási megosztás arány alapú modellt használjuk az SNS-Multi megoldása során.
3.2. táblázat: SNS hálózatok anyagmérlegeinek típusai különböző matematikai modellek esetén
Komponensáram Szétválasztó lineáris nem-lineáris azonosság
Megosztó nem-lineáris lineáris lineáris
Keverő lineáris nem-lineáris lineáris
min ( ), ( ),
Az SNS-Multi probléma megoldása érdekében már elkészítettük az SSG-Multi algoritmust, amely megadja a feladat szigorú szuperstruktúráját, most pedig megadjuk az azon alapuló matematikai modellt, amelyet a 3.17.-3.21. egyenletek írnak le. A cél a költségfüggvény, 3.17., minimalizálása, amely az egyes szétválasztók költségeinek az összege. Egy szétválasztó költsége a szétválasztóhoz tartozó teljes költségegyüttható és a
rajta átfolyó áram teljes nagyságának szorzata. Az utóbbi értéket a komponensáramok összegeként számoljuk ki. 3.19. a megosztók, 3.20. a keverők anyagegyensúlyai.
Megállapítottuk, hogy a betáplálási megosztás arány alapú modell esetén a szétválasztókat nem kell egyenletekkel leírni. A betáplálásokhoz közvetlenül kapcsolódó megosztókhoz külön kell felírni az anyagegyensúlyokat. Egy ilyen megosztó kimeneteihez kapcsolódó betáplálási megosztás arányok összege, a változó definíciójából következően 1, lásd 3.18. egyenlet. 3.21. a változók nem-negatív voltát köti ki. A komponensáram alapú modellnél ismertetett megosztási arány és a jelenleg használt betáplálási megosztás arány típusú változók közötti hasonlóság, hogy mindkettő az anyagmegmaradást írja le a megosztók körül. Míg az előbbinél, adott szétválasztó kimeneteire összegezve a változókat egyet kapunk, addig az utóbbinál a megosztó bemenetéhez tartozó értéket kapjuk.
Elképzelhető, hogy egy termék expliciten nem ismert, hanem különböző feltételek adottak komponensáramaira. Például egy SNS feladat harmadik termékét megadhatjuk úgy, hogy benne c1 és c2 aránya 2:3 és c3 mennyisége pedig kevesebb, mint 8. Ezeket a feltételeket a 3.22. és 3.23. egyenletek írják le. Adott termék adott komponensáramát a 3.20. egyenlet bal oldala adja meg. Bármilyen feltételt felírhatunk, amelyben a termék komponensáramai, mint változók szerepelnek tetszőleges paraméterekkel és jobb oldallal, amennyiben ezekre a változókra az egyenlet lineáris.
3
Az SNS-Multi feladattípus megoldása során ugyanazt a fajta matematikai modellt használjuk, amelyet SNS-Single esetében is, de azt más szuperstruktúrára alkalmazzuk.
Azt, hogy a modell ténylegesen adaptálható erre a feladattípusra is a 3-3. tétel bizonyításával mutattuk meg. A matematikai modell megoldásához egy akadémiai LP megoldót választottunk, lásd Mészáros (1996), amely különösen alkalmas nagyon nagy méretű feladatok megoldásához. A matematikai modell megoldása után úgy kapjuk meg az optimális struktúrát, hogy a szuperstruktúrából töröljük azokat az éleket, amelyekhez a betáplálási megosztás arány változó értéke nulla. Ezután töröljük azokat a műveleti egységeket, amelyekhez már nem kapcsolódnak élek.
Az SNS-Multi általunk javasolt szuperstruktúrája nagyszámú szétválasztót tartalmaz és a lineáris költségfüggvénye miatt, lásd 3.17. egyenlet, elképzelhető, hogy ez az optimális megoldásra is igaz lesz. Gyakorlati szempontból kedvező, ha az optimális megoldás a lehető legkevesebb szétválasztót tartalmazza, ezért az elkövetkezőkben
bemutatunk egy módszert az optimális struktúra egyszerűsítésére. Általános esetben nem lehet megmondani, hogy az egyszerűsítő eljárás végrehajtása mennyivel csökkenti a szétválasztók számát és az sem garantálható, hogy az egy adott érték, például n-1, alatt lesz. Ez abból következik, hogy célunk nem a szétválasztók, hanem az adott feltételek mellett a költség minimalizálása volt. A későbbi fejezetben megmutatjuk az SNS-Multi egy új szigorú szuperstruktúráját, amely adott feladatra lényegesen kevesebb szétválasztót tartalmaz.
Bizonyos feltételek mellett az optimális struktúra egyszerűsíthető. A 3.13. ábrán már láthattuk, hogy egy szétválasztó két kisebbel felcserélhető költségváltozás nélkül, most pedig ennek a folyamatnak az ellentettjét mutatjuk meg. Amennyiben az optimális struktúra tartalmaz két olyan szétválasztót, amelyekre igaz, hogy azonos típusúak, az egyik szétválasztó felső kimenetéhez kötött megosztó megosztási arányai egyenlők a másik szétválasztó hasonló értékeivel, a kimenetek páronként ugyanahhoz a keverőkhöz kapcsolódnak és hasonló állítások igazak az alsó kimenetekre, akkor a két szétválasztó összevonható. Az összevonás a költséget nem befolyásolja, vagyis az így konstruált struktúra is optimális, de rá már nem teljesül, hogy keverő csak a termékek előtt jelenik meg.
A 3.17. és 3.18. ábrák egy konkrét példán szemléltetik az azonos típusú szétválasztók összevonását. Az első ábra az összevonás előtti állapot mutatja, ahol a szétválasztók kimenetei ketté vannak osztva egy megosztó segítségével, de a b1, c1, a b2, c2, a b3, c3, a b4, c4 kimenetek páronként ugyanahhoz a keverőhöz csatlakoznak és
1 1
b c
l =l , lb2 =lc2, lb3 =lc3, lb4 =lc4. A megosztási arányokat a betáplálási megosztás arányok egyre történő normalizálásával számolhatjuk ki. A 3.18. ábra az egyszerűsítés utáni állapotot mutatja be.
c1
3.17. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás előtt.
c1
3.18. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás után.
Ezek után az egyszerűsítő eljárás a következő. Ha egy keverő vagy megosztó pontosan egy bemenettel és egy kimenettel rendelkezik, akkor azt elhagyhatjuk. Ha két keverő vagy két megosztó egymás után helyezkedik el, akkor őket össze lehet vonni, lásd 3.19. ábra. Szisztematikusan ellenőrizzünk minden szétválasztó párt, hogy azok összevonhatóak-e. Az első a feltételeket kielégítő párra végezzük el az összevonást és kezdjük a legelejéről az egyszerűsítő eljárást, ha nincs ilyen pár, akkor vége az eljárásnak. Azért csak az első párra kell elvégezni az összevonást, mert ekkor a struktúra megváltozik, így a korábbi struktúrán történő keresésnek nincs értelme. Elképzelhető,
M2
M1
a1 a2
a3
b a1 M3
a2 a3
b
D1 D2
a b1
b2 b3
D1
a b1
b2 b3
3.19. ábra: Keverők és megosztók összevonása.
3.7. Feladatok
A jelen alfejezetben néhány az SNS-Multi feladattípusba tartozó példát mutatunk be és oldunk meg. A példák a feladattípus különböző jellegzetességeire koncentrálnak, úgymint a több szétválasztó család, extra szétválasztók, impliciten meghatározott termékek, optimális struktúra egyszerűsítése, nagy méretű példák végrehajtási ideje.
3.7.1. Feladat
Az első példával célunk a megoldás menetének részletes bemutatása és az SNS-Multi eredményének összehasonlítása az SNS-Single eredményével. Egy háromkomponenses betáplálásból kell két terméket létrehozni, három különféle szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. A betáplálások és termékek komponensáramait a 3.3., a szétválasztók leírását pedig a 3.4. táblázat tartalmazza. Minden szétválasztónak megadjuk a nevét, a teljes költségegyütthatóját és hogy milyen módon válassza szét a komponenseket. Például az Sb2 szétválasztó teljes költségegyütthatója 1,3 és felső kimenetén a c2 és a c1 komponens jelenhet meg, az alsó kimenetén pedig c3, hiszen a szétválasztó a b családhoz tartozó komponens sorrend szerint a második komponens után vág.
3.3. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.1. feladatnál
c1 (kg/s) c2 (kg/s) c3 (kg/s)
F1 12 10 14
P1 2 8 6
P2 10 2 8
3.4. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.1. feladatnál
a. család
Komponens sorrend c1 c2 c3
Szétválasztó Sa1 Sa2
Teljes költségegyüttható ($/kg) 1 1,5 b. család
Komponens sorrend c2 c1 c3
Szétválasztó Sb1 Sb2
Teljes költségegyüttható ($/kg) 0,4 1,3 c. család
Komponens sorrend c3 c1 c2
Szétválasztó Sc1 Sc2
Teljes költségegyüttható ($/kg) 0,9 1,3
Az első lépés a módosított RSS-Multi végrehajtása, amelyet 3.20.- 3.24. ábrák szemléltetnek. A 3.20. ábra mutatja a feladat iniciálását, amikor felvesszük a betáplálást megosztójával és a termékeket a hozzájuk tartozó keverőkkel. A következő ábra, 3.21., mutatja az algoritmus első fő iterációját. A bekarikázott megosztót választjuk ki és felveszünk minden olyan szétválasztót, amely a hozzá tartozó folyamon szétválasztást tud végrehajtani. Mind a 6 szétválasztó képes erre, de az algoritmus módosítása értelmében, ha két szétválasztó ugyanazokat a kimeneteket állítja elő, akkor közülük csak az olcsóbbat kell bevenni a szuperstruktúrába. Ezek szerint Sa2, Sb2 és Sc1 közül Sc1, Sb1és Sc2 közül Sb1 a kedvezőbb, Sa1-nak pedig nincs párja, így azt mindenképpen be kell venni. A felvett szétválasztók alsó és felső kimeneteihez rögtön létrehozunk egy-egy új megosztót.
Az iteráción belül a második lépés a kiválasztott megosztó összekötése a keverőkkel.
Mivel mind a két termékben jelen van minden komponens ezért a megosztót mindkét keverővel összekötjük és ezzel zárjuk az első iteráció végrehajtását. A második iterációban, 3.22. ábra, szintén kiválasztunk egy megosztót. Mivel ezen megosztó bemenetén csak a c1 komponens lehet jelen, ezért nincs értelme új szétválasztót létrehozni, hanem rögtön a második lépéssel kezdünk, a megosztó és a keverők összekötésével. Valójában minden megosztó-keverő kapcsolathoz külön él tartozik.
Azért, hogy az ábra egyszerű maradjon, az azonos keverőkbe futó éleket csak egy vonallal jelöljük. Az egyértelműség érdekében pontokkal jelezzük azt, ha két él ilyen módon csatlakozik egymáshoz. A harmadik iterációban újabb megosztót választunk ki, lásd 3.23. ábra. Ha a kiválasztott megosztó benne lesz az optimális megoldásban, akkor bemenetén a c2 és c3 komponens található meg. Ezeket a komponenseket az Sa2, Sb1,Sb2, Sc1és Sc2 tudja elválasztani, de közülük az Sb1 a legolcsóbb, így csak azt vesszük fel.
Ezután ismételten a megosztók és a keverők összekötése következik. Az algoritmust addig folytatjuk, amíg minden megosztót ki nem választunk egyszer. A teljes
szuperstruktúrát a 3.24. ábra mutatja. Az ábrán a szétválasztók felső indexe továbbra is azok a típusát jelöli, míg az alsó index egy egyértelmű azonosító.
P1
P2
F1
[12, 10, 14]
[2, 8, 6]
[10, 2, 8]
3.20. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: Iniciálás.
P1
P2
F1
Sc1 Sb1 Sa1
[12, 10, 14]
[2, 8, 6]
[10, 2, 8]
3.21. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 1. iteráció.
P1
P2
F1
Sc1 Sb1 Sa1
[12, 10, 14]
[2, 8, 6]
[10, 2, 8]
3.22. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 2. iteráció.
P1
P2
F1
Sc1 Sb1 Sa1
Sb1 [12, 10, 14]
[2, 8, 6]
[10, 2, 8]
3.23. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 3. iteráció.
P1
3.24. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 13. iteráció, teljes szuperstruktúra.
A második lépés a matematikai modell felírása. Ehhez először meg kell határozni a hálózatot alkotó halmazokat, azután ezek segítségével fel tudjuk írni a modellt alkotó egyenleteket, lásd 3.24.-3.43. egyenletek.
ahol összehasonlítás érdekében meghatároztuk az optimális hálózatot azokra az esetekre is,
különféle SNS-Single feladatot oldottunk meg. Az egyes feladatokhoz tartozó optimális megoldások a 3.26.- 3.28. ábrákon láthatóak. Figyeljük meg, hogy a 3.28. ábrán az S2-es szétválasztó előtt keverő áll. Ez azért van így, mert az ábra az optimális megoldás összevont formáját mutatja. A négy hálózat célfüggvény értékét a 3.5. táblázat hasonlítja össze. Az SNS-Multi megoldása 17%-al kedvezőbb, mint a legolcsóbb SNS-Single
3.25. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: mindhárom szétválasztó család felhasználható.
Sa1
3.26. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: az 'a' szétválasztó család használható fel.
Sb1
3.27. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: a 'b' szétválasztó család használható fel.
Sc1
3.28. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: a 'c' szétválasztó család használható fel.
3.5. táblázat: Célfüggvény értékek összehasonlítása a 3.7.1. feladatnál
Felhasználható
A második példával célunk az optimális struktúra egyszerűsítésének bemutatása. SNS feladatok megoldásakor legtöbbször feltételezik, hogy egy n komponenses feladat esetén az optimális megoldás n-1 szétválasztót tartalmaz. Ebből a feltételezésből kiindulva született olyan optimálisnak gondolt megoldás, amelyről később bizonyították, hogy nem volt az, lásd Kovács és szerzőtársai (2000). Az SNS-Multi az optimális költséget garantálja, de nem korlátozza az optimális megoldásban előfordulható szétválasztók
számát. Mindazonáltal, gyakorlati szempontból az a kedvező, ha az optimális megoldás a lehető legkevesebb szétválasztót tartalmazza, ezért ha lehetséges, a megoldást mindig egyszerűsítjük.
Egy négy komponenses betáplálásból kell előállítunk három különféle terméket, két szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. A betáplálások és termékek komponensáramait a 3.6., a szétválasztók leírását pedig a 3.7. táblázat tartalmazza. A szigorú szuperstruktúra 20 szétválasztót tartalmaz, az optimális struktúra pedig 4-t, lásd 3.29. ábra. Megjegyezzük, hogy a könnyebb átláthatóság végett már ezen az ábrán is elvégeztük a megosztókra és keverőkre vonatkozó egyszerűsítéseket. Például az S4 szétválasztó esetén, az alsó kimeneten megjelenik egy megosztó, de a felsőn nem, mert annak csak egy kimenete lenne, így a megosztó a struktúra lényegi módosulása nélkül elhagyható. Az egyszerűsítés következő lépése egy összevonható szétválasztó pár megtalálása. Hatékonyság szempontjából érdemes mindig azt ellenőrizni először, hogy két szétválasztó ugyanolyan típusú-e és csak utána a többi feltételt. Ezenkívül célszerű először a termékekhez közelebb lévő szétválasztó párokat megvizsgálni, mert ezen szétválasztók alsó és felső anyagáramához tartozó megosztók kimenet száma általában kisebb, így nagyobb az esély az összevonhatóságra. A jelen példában az S1 és az S3 szétválasztók összevonhatóak, mert mindegyik b3-as típusú és a felső kimenetek az M2
az alsó kimenetek pedig az M1 keverőkhöz vannak kapcsolva. Mivel a kimenetek nincsenek megosztva, így az arányokra vonatkozó feltételek automatikusan teljesülnek. A módosított struktúrában nincs mód további egyszerűsítésre, hiszen minden szétválasztó típusa különbözik, vagyis megkaptuk az egyszerűsített optimális megoldást, lásd 3.30.
ábra.
A struktúra egyszerűsítése felfogható úgy is, hogy az optimális megoldás meghatározása után alternatív optimális megoldásokat keresünk. Ha az optimális megoldás egyedi, akkor egyszerűsítés nem lehetséges.
3.6. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.2. feladatnál
c1 (kg/s) c2 (kg/s) c3 (kg/s) c4 (kg/s)
F1 9 6 12 7
P1 3 0 9 0
P2 0 2 1 3
P3 6 4 2 4
3.7. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.2. feladatnál
3.29. ábra: A 3.7.2. feladat optimális struktúrája.
Sb3
3.30. ábra: A 3.7.2. feladat egyszerűsített optimális struktúrája.
3.7.3. Feladat
A harmadik példával célunk, hogy bemutassuk az extra szétválasztók használatának fontosságát. Az extra szétválasztókat úgy definiáltuk, hogy esetükben a bemenet komponensáram vektora nem folytonos az adott szétválasztó komponens sorrendje alapján. Az ilyen szétválasztóknak a jelenléte erősen befolyásolhatja az optimumot.
Egy háromkomponenses betáplálásból kell előállítunk két terméket, két szétválasztó család tagjainak, összesen hat szétválasztónak, a felhasználásával. A betáplálások és a termékek komponensáramait a 3.8., a szétválasztók leírását pedig a 3.9.
táblázat tartalmazza. Mivel a szétválasztók között most extra szétválasztók is vannak, nem elégséges csak azt megadni, hogy hol vág az adott szétválasztó. Ehelyett minden szétválasztó esetén megadjuk, hogy mely komponensek szerepelhetnek a bemenetén és a
táblázat tartalmazza. Mivel a szétválasztók között most extra szétválasztók is vannak, nem elégséges csak azt megadni, hogy hol vág az adott szétválasztó. Ehelyett minden szétválasztó esetén megadjuk, hogy mely komponensek szerepelhetnek a bemenetén és a