Az SNS-Multi optimális struktúráinak tulajdonságai

Ez az alfejezet az SNS-Multi feladattípus szigorú szuperstruktúráját határozza meg. Az SNS-Multi feladattípus célja, hogy megtalálja azt a legolcsóbb szétválasztó hálózatot, amely n komponenses betáplálásból vagy betáplálásokból előállítja a tiszta vagy kevert termékeket, megosztók, keverők és olyan egyszerű, éles, lineáris költségű szétválasztók felhasználásával, amelyek különböző elveken működhetnek. Egy hálózat költsége a benne lévő szétválasztók költségéből számítható.

Ahogy korábban említettük az SNS-Multi feladattípus az SNS-Single kiterjesztése, ezért az SNS-Multi szigorú szuperstruktúrájának a meghatározása hasonló

az SNS-Single szigorú szuperstruktúrájának a meghatározásához. A különbség abban rejlik, hogy SNS-Multi esetén a felhasználható szétválasztók nem feltétlenül egy szétválasztó családba tartoznak, amit a szuperstruktúrát generáló algoritmus során figyelembe kell venni. Ehhez az algoritmushoz úgy jutunk el, hogy bebizonyítjuk, hogy SNS-Multi minden példájának van olyan optimális struktúrája, amelyben keverők csak közvetlenül a termékek előtt találhatóak és az ilyen struktúráknak az unióját állítjuk elő.

A bizonyítás azért is fontos, mert az meghatározza a keverők számát és helyzetét, ezáltal nagymértékben csökkenti a keresési teret. A bizonyítás két lépésben történik. Először azt mutatjuk meg, hogy minden az adott típusba tartozó feladatnak létezik körmentes megoldása, ezután pedig azt, hogy olyan megoldás is létezik, amelyben keverők csak közvetlenül a termékek előtt helyezkednek el. A bizonyítások konstruktívak, vagyis egy kört tartalmazó optimális megoldás ismeretében, elő tudjuk állítani a keverőket csak a termékek előtt tartalmazó optimális hálózatot. Kovács és szerzőtársai (2000) megadták a bizonyításokat az SNS-Single feladattípusra. Megmutatjuk, hogy ezeknek a bizonyításoknak egyik lépése sem alapszik azon, hogy a felhasználható szétválasztók egy szétválasztó családnak tagjai, így azok az SNS-Multi feladattípusra is alkalmazhatóak.

Ezután megadjuk az SNS-Multi szigorú szuperstruktúráját generáló algoritmust, amely lényegileg különbözik az SNS-Single szigorú szuperstruktúráját generáló algoritmustól, hiszen több szétválasztó családba tartozó, valamint az extra szétválasztókat is kezelnie kell.

3-2. tétel: Az SNS-Multi feladattípus minden példájának létezik körmentes optimális megoldása.

Bizonyítás: Teljes indukcióval történik a betáplálások komponens száma (k) alapján.

Triviális eset: k = 2. Minden betáplálás 2 fajta komponenst tartalmaz. Ekkor betáplálásokként legfeljebb egy szétválasztóra van szükség, olyanra, amely a legkisebb költséggel választja szét a két komponenst. Nyilvánvaló, hogy a szétválasztók kimenetei már tiszta termékek és hogy a körmentes optimális hálózat kapjuk.

Indukciós feltevés: Az SNS-Multi feladattípus minden, legfeljebb k komponenses betáplálásokkal rendelkező példájának létezik körmentes optimális megoldása.

Bizonyítás k+1-re: A feladat kört tartalmazó optimális hálózatából indulunk ki.

Amennyiben ez a hálózat tartalmaz kikerülő folyamot, akkor azt töröljük és annak komponensáramaival csökkentjük a hozzá tartozó betáplálás és termék komponensáramait. Az így kapott hálózatot N-nek és a hozzá tartozó feladatot P-nek hívjuk. Megpróbáljuk N-t úgy átalakítani, hogy alkalmazható legyen rá az indukciós feltevés. Ehhez a bevezetjük az egyszerű út fogalmát, amely alatt egy olyan irányított utat értünk, amely betáplálással kezdődik és csak megosztókat valamint keverőket tartalmaz.

Nem-egyszerű út alatt pedig olyan irányított utat értünk, amely betáplálással kezdődik és tartalmaz szétválasztót is. A 3.9. ábra példát mutat az egyszerű útra a 3.10. ábra pedig a

nem-egyszerű útra. Ha egy egyszerű út végéről elhagyunk megosztókat vagy keverőket, akkor az eredmény még mindig egyszerű út. Például a 3.9. ábrán egyszerű út található a betáplálástól az S szétválasztóig, de ennek az útnak a betáplálástól az M keverőig tartó része szintén egyszerű út. Nevezzük egy szétválasztót π tulajdonságúnak, ha igaz rá, hogy egyszerű és nem-egyszerű utak is vezetnek hozzá. Minden π tulajdonságú szétválasztóra végezzük el a tr1 transzformációt, lásd 3.11. ábra. Tr1 lényege a π tulajdonságú szétválasztók kiküszöbölése. Ezt úgy éri el, hogy a kiválasztott szétválasztót megduplázza olymódon, hogy az egyszerű utak az egyik, a nem-egyszerű utak a másik szétválasztóra lesznek rávezetve. A keletkezett hálózat, N*, ekvivalens N-el, hiszen tr1 úgy módosítja a hálózatot, hogy a módosított részbe befolyó és az onnan kifolyó folyamok nem változnak. N és N* költsége megegyezik, mert a hálózat költsége a szétválasztók költségéből adódik és lineáris költségfüggvény esetén egy nagyobb szétválasztó, helyettesíthető több kisebbel. Fontos megjegyezni, hogy ha egy szétválasztó nem rendelkezett π tulajdonsággal a tr1 transzformáció előtt, akkor utána sem fog vele rendelkezni, így N* véges sok lépésben előállítható.

D M

Betáplálás

S

3.9. ábra: Egyszerű út a betáplálástól az S szétválasztóig.

D1

Betáplálás

D2

S^a

S^b

3.10. ábra: Nem-egyszerű út a betáplálástól az S^b szétválasztóig.

3.11. ábra: tr1 transzformáció szemléltetése.

N* két részre vágható az egyszerű utakat követő szétválasztók kimenetei mentén, lásd 3.12. ábra. A betáplálásokat tartalmazó részt N₁^*-nak, a termékeket tartalmazó részt

N2^*-nak nevezzük.

Lemma: A két rész között a folyamok csak egy irányba, N₁^*-ből N₂^*-be, haladnak.

Bizonyítás índirekcióval: Tegyük fel, hogy létezik egy folyam az ellenkező irányba.

Ekkor ez a folyam egy nem-egyszerű utat jelent, amely elvezet egy szétválasztóig N1^*-ban. MivelN₁^* szétválasztóihoz egyszerű utak is vezetnek, N₁^*-ban lennie kell egy π tulajdonságú szétválasztónak. Az előbbi megállapítás ellentmond annak a ténynek, hogy N* nem tartalmaz π tulajdonságú szétválasztókat, így a kezdeti feltevés hamis. o

*

N1 nem tartalmaz kört, hiszen a benne lévő szétválasztók kimenetei egyúttal N₁^* határát is jelentik. N₁^* bemenetei, azaz N* bemenetei, legfeljebb k+1 komponenst tartalmaznak, a folyamok N₁^*-ban pontosan egy szétválasztón mennek keresztül, így N₁^* kimenetei, azaz N₂^* bemenetei, egyenként legfeljebb k nem nulla komponenst tartalmaznak. Az N₂^*-hoz tartozó feladatot nevezzük P₂-nek.

Lemma: N₂^* optimális megoldása P₂-nek.

Bizonyítás índirekcióval: Tegyük fel, hogy N₂^* nem optimális megoldása P2-nek. Ha N2^* nem optimális megoldása P₂-nek, akkor N*-ban N₂^*-t kicserélve P₂ optimális megoldására N*-nál olcsóbb megoldást kapunk. Ez ellentmond annak, hogy N* optimális megoldása P-nek. o

Az indukciós feltétel szerint létezik egy az N₂^*-al ekvivalens körmentes hálózat, amit nevezzünk N₃^*-nak. N₂^* és N₃^* költsége megegyezik, mert mindkettő optimális megoldása P2-nek. N₁^*-t összekapcsolva N₃^*-al körmentes hálózatot kapunk, mert mindkét részhálózat körmentes és köztük a folyamok N₁^*-ből N₃^* felé haladnak. Az így kapott hálózathoz hozzáadva a bizonyítás elején törölt kikerülő folyamokat megkapjuk az eredeti feladat körmentes, optimális hálózatát. Ezzel az eredeti állítást bizonyítottuk. n

P2

F

1

F

2

P1

P3

N1* N2*

k+1 komponens

k komponens anyagáramok

3.12. ábra: N* partícionálása a tr1 transzformációkat követően.

3-3. tétel: Az SNS-Multi feladattípus minden példájának létezik olyan optimális megoldása, amelyben keverők csak a termékek előtt fordulnak elő.

Bizonyítás: A feladat egy optimális megoldásából indulunk ki. Amennyiben az kört tartalmaz, akkor az előző tétel segítségével képezzük belőle a kört nem tartalmazó optimális hálózatot. Ha az így kapott hálózatban van olyan szétválasztó vagy megosztó, amely előtt egy keverő szerepel, akkor alkalmazzuk rá a tr2 transzformációt, lásd 3.13.

ábra, ahol a megosztó közvetlenül egy szétválasztó előtt helyezkedik el. A transzformáció lényege, hogy a keverő bemeneteinek a számát csökkentjük eggyel, úgy hogy ezt a

bemenetet a szétválasztó vagy megosztó egy másolatára vezetjük rá. Tr2 lényegileg nem módosítja a struktúrát, mert a módosított részbe befolyó és az onnan kifolyó áramok nem változnak. Ezenfelül a költség sem módosul, hiszen az SNS-Multi feladatban a szétválasztók költségfüggvénye lineáris, a keverők költsége pedig nulla. Ha tr2 után két megosztó közvetlenül egymás után kerül, akkor azokat összevonjuk. Tr2 transzformációt addig ismételjük, amíg a hálózatban a termékek előtti keverőkön kívül más keverő is előfordul. Tr2 az aktuális szétválasztó vagy megosztó előtti keverő bemeneteinek a számát csökkenti, de utánuk új keverőt vezet be vagy egy meglévőnek növeli a bemenet számát. Tr2 tehát úgy is tekinthető, hogy a hálózat keverőit hátrébb helyezi a termékek felé. Amikor egy keverő bemeneteinek a száma egyre csökken, akkor az gyakorlatilag megszűnik. Az optimális struktúra körmentessége biztosítja az eljárás végességét, hiszen a termékek előtti keverőket már nem lehet tovább mozgatni. n

M₁

M₂ Sⁱ

Sⁱ Sⁱ

... M

... M tr2 transzformáció D₁ ...

D₂ ...

D₁ ...

D2 ...

1

2

3.13. ábra: tr2 transzformáció szemléltetése.

A bizonyítások során a szétválasztók tulajdonságai közül két dolgot használtunk ki. Először is, hogy egy szétválasztó kimenetein, a kimeneteket külön-külön tekintve, a komponens szám legalább eggyel kisebb, mint a bemenet komponens száma, éles szétválasztás esetén. Másodszor azt, hogy a költségfüggvény lineáris volta miatt, egy szétválasztó költsége megegyezik, két azonos típusú, kisebb szétválasztó költségével, ha a kisebb szétválasztók kapacitásainak az összege ugyanannyi, mint az eredeti szétválasztó kapacitása. Ellenben nem használtunk ki a szétválasztók típusára vonatkozó információkat illetve, hogy egy vagy több szétválasztó család tagjai szerepelnek az optimális hálózatban. Ebből következik, hogy mindkét bizonyítás egyaránt érvényes az SNS-Single és az SNS-Multi feladatosztályra is.