4. Energiaintegrált SNS feladat
4.7. Matematikai modell
A szakirodalomból ismert energiaintegrált SNS feladatot megoldó algoritmikus módszerek mindegyike nem-lineáris, még azokban az esetekben is, amikor a szétválasztók költségfüggvényei lineárisak, leggyakrabban egész és bináris változókat is tartalmaznak. Az ilyen modellek megoldása általában igen nehéz, sokszor még egy kiinduló lehetséges megoldás megtalálása is problémás. Ezen okok miatt célul tűztük ki, hogy a hSNS-Multi feladatnak lineáris modellt alkossunk. Ezt a célt a módszerünk kialakítása közben már a kezdetektől figyelembe vettük. A hSNS-Multi feladatot, ahogy azt neve is mutatja, az előző fejezetben bemutatott SNS-Multi feladatra építettük, amely amellett, hogy lineáris modellel rendelkezik, bizonyítottan tartalmazza az optimális megoldást és több szétválasztó család tagjait is felhasználhatja az optimális hálózatban. A szuperstruktúra létrehozása után azonosítottuk a hőforrásokat és a hőnyelőket, összegyűjtöttük a lehetséges hőcseréket és minden lehetséges hőcseréhez kiszámítottuk a hozzá tartozó LMTD értéket. Ahhoz, hogy az itt bemutatandó lineáris modell ugyanolyan pontos eredményeket szolgáltasson, mint a szakirodalomból ismert nem-lineáris modellek, jóval több változóra van szükség. Egyrészt a szétválasztó hálózat javasolt szuperstruktúrája rohamosan nő a komponens számmal, ami egyre több lehetséges hőáramot, ezzel együtt pedig, elemi áramot, illetve lehetséges látens hőt jelent. Másrészt pontosabb költség számolás érdekében bevezetett kompozit áramok ismételten tovább növelik a lehetséges hőcserék számát. Mindazonáltal, lineáris optimalizálási modellek megoldásához nagyon hatékony és megbízható megoldók állnak rendelkezésre. Ma már egy asztali számítógépen is meg lehet oldani többszázezer változót tartalmazó feladatokat reális időn belül.
A hSNS-Multi feladat matematikai modelljében betáplálási megosztás arány, xbi, és hőcsere, qe,g, típusú változók vannak. A betáplálási megosztás arány típusú változókat ugyanúgy definiáljuk, mint korábban, vagyis xbikifejezi azt, hogy a bi folyamhoz tartozó betáplálás, azon komponensáramainak, amelyek jelen vannak bi-ben, hányad része jut el bi-be. A hőcsere típusú változók a lehetséges hőcserékhez kapcsolódnak. qe,g megadja, hogy mekkora az átszármaztatott hő az e hőforrás és a g hőnyelő között. Mivel folyamatos üzemeltetésű rendszerről van szó, qe,g valójában időegység alatt átszármaztatott hőmennyiséget jelenti. Mielőtt rátérünk a matematikai modell részletes tárgyalására, összegyűjtjük azokat a jelöléseket, amelyek az energiaintegrációhoz kapcsolódnak. Természetesen a modellben megjelennek a szétválasztó hálózat szuperstruktúrájához kapcsolódó jelölések is. Ezek összefoglalva megtalálhatóak a 3.5.2.
alfejezetben és a disszertáció végén a jelölésjegyzékben is.
Halmazok:
CBS maradék hőáramokból képzett hideg elemi áramok halmaza CLH látens hő nyelők halmaza (a hidegenergia szolgáltatókat nem
beleértve)
CNS hagyományos hőáramokból képzett hideg elemi áramok halmaza
CS hidegáramok halmaza
CSS hideg kompozit áramok halmaza
CU hidegenergia szolgáltatók halmaza
HBS maradék hőáramokból képzett meleg elemi áramok halmaza HLH látens hő források halmaza (a melegenergia szolgáltatókat nem
beleértve)
HNS hagyományos hőáramokból képzett meleg elemi áramok halmaza
HS melegáramok halmaza
HSS meleg kompozit áramok halmaza
HU melegenergia szolgáltatók halmaza CSLU = CSS È CLH È CU
HSLU = HSS È HLH È HU
FMe azon g Î CSLU halmaza, amelyekre lehetséges hőátadás e és g között, e Î HSLU
FMg azon e Î HSLU halmaza, amelyekre lehetséges hőátadás e és g között, g Î CSLU
Paraméterek:
Be,g [$/(m2 s)] az egységnyi hőcserélő felület költsége, e Î HSLU, g Î CSLU CCUe [$/(kW s)] az e energiaszolgáltató költségegyütthatója
CHe,g [$/kJ] a qe,g hőcsere eredő költségegyütthatója, e Î HSLU, g Î CSLU
CSc [kJ/(kg °C)] a c komponens fajhője CSi,j [kJ/(kg °C)] az (i, j) Î A folyam fajhője ΔTmin [°C] minimális hőmérséklet különbség
LMTDe,g [°C] e és g hőmérséklet különbségeinek logaritmikus közepe, e Î HSLU, g Î CSLU Ezek után a javasolt matematikai modell a következő:
{ }
, , egyenletek, a hőegyensúly egyenletek és a nem-negatívitási feltételek. Úgy is tekinthetjük a modellt, hogy az az SNS-Multi modelljének kibővítése az energiaintegrációra vonatkozó feltételekkel. A célfüggvény három tagból áll, a szétválasztás, a hőcserélés és az energiaszolgáltatók költségeiből. Az első tag formailag megegyezik az előző modell célfüggvényével. Azt fejezi ki, hogy a szétválasztó hálózat költsége az egyes szétválasztók költségeinek az összege, valamint, hogy egy szétválasztó költsége bemenetének nagyságától lineárisan függ és az arányossági tényező a teljes költségegyüttható. A bemenetnek a nagyságát a komponensáramok összegeként kapjuk meg és egy komponensáram nagyságát a 3.11. egyenlettel fejezhetjük ki. A szétválasztók teljes költségegyütthatói ebben a modellben általában kisebbek, mint az előzőben, hiszen nem tartalmazzák a szétválasztókban jelenlévő látens hők költségeit. A második tag a hőcserélők költségét fejezi ki. Egyenként kell tekinteni az egyes hőforrásokat, majd az FMe halmazok segítségével, egy hőforrással párosítható összes hőnyelőt. Egy párosítás, azaz egy lehetséges hőcsere költségét a 4.4. egyenlet fejezi ki. Ne felejtsük el, hogy ebben a tagban csak q a változó, U és LMTD értékét a matematikai modell megalkotása előtt számoljuk ki. A harmadik tag az energiaszolgáltatók költségét fejezik ki. Egy szolgáltató költsége az általa leadott vagy felvett energia nagyságának lineáris függvénye, ahol a költségegyüttható CCUe illetve CCUg. Általában, minél nagyobb hőmérsékleten adja le a hőt a melegenergia szolgáltató CCUe annál nagyobb, hidegenergia szolgáltató esetén pedig az alacsonyabb hőmérsékletű a drágább.
A 4.7. és 4.8. egyenletek a megosztók körüli anyagegyensúlyok egyszerűsített formái. A 3.6. alfejezetben mutattuk meg, hogy az adott szuperstruktúra esetén, hogyan végezhető el az egyszerűsítés. Ugyanitt bizonyítottuk azt is, hogy modellünkben a szétválasztók körüli anyagegyensúlyok automatikusan teljesülnek. A 4.9. egyenlet a termékek előtti keverők anyagegyensúlyát írja le.
A 4.10. egyenlet a meleg elemi áramokra vonatkozó hőegyensúly. Azt fejezi ki, hogy egy meleg elemi áram hőtartalma megegyezik az elemi áramból elszállított hő mennyiségével. Ez azt jelenti, hogy a meleg elemi áram hőmérséklete az elvárt módon
lecsökken. Nyilvánvaló, ha az összes meleg elemi áramra teljesül, hogy hőmérsékletük lecsökken az előírt módon, akkor ez minden melegárama is teljesül. Lehetséges hőáramok esetében a 4.18. egyenlettel számoljuk ki az a folyamon definiált n elemi áram hőtartalmát. Az egyenletet úgy kapjuk, hogy az 1.10. egyenletbe behelyettesítjük a 3.11.
egyenletet. Láthatjuk, hogy qnsn nem független változó, értéke lineárisan függ xa-tól.
Valójában csak azért vezettük be, hogy a modell matematikai leírása érthetőbb és egyszerűbb legyen. A 4.18. egyenlet azt is megmutatja, hogy egy lehetséges hőáram hő tartalma struktúrafüggő. Ha xa értéke például 0, akkor a hőáram egyáltalán nem is létezik.
Ezzel szemben a külső hőáramok mindig szerepelnek a hőcserélő hálózatban. Esetükben qnsn nem változó, hanem konstans, hiszen egy külső hőforrásnak konkrétan adott a tartalmazza, amelyeknek része az n elemi áram. Ugyanakkor azt is figyelembe kell venni, hogy egy e kompozit áram több elemi áramon is átívelhet, ezért a kompozit áramból történő hőátadás csak részben írható jóvá az n elemi áramnak. A pontos arányt az Rn,e paraméter fejezi ki, amelyet az n elemi áram és az e kompozit áram energiatartalmának hányadosaként számolhatunk ki a 4.19. képlet szerint. A képletbe behelyettesítve 4.18.-t és az egyszerűsítéseket elvégezve kapjuk a 4.20. egyenletet, ami szerint, Rn,e a kompozit és az elemi áram által átfogott hő tartományok arányaként számolható ki. Amennyiben a kompozit áram csak az n elemi áramot tartalmazza, akkor ez az arány egy.
, n változó. A 4.12. és a 4.13. egyenlőtlenségek a meleg illetve hideg maradék hőáramokból előállított elemi áramok hőegyensúlyai. Azért használunk egyenlőtlenséget, mert definíciónk szerint a maradék hőáram hő tartalmát fel lehet használni, de nem kötelező.
A 4.14. és a 4.15. egyenletek a látens hő forrásokra és nyelőkre vonatkozó hőegyensúlyok. Azt fejezik ki, hogy a látens hő hőtartalma megegyezik a belőle elszállított illetve odaszállított hők összegével. Lehetséges látens hők esetén a hőtartalmat a 4.21. egyenlet segítségével számoljuk, ahol s a látens hőt tartalmazó szétválasztó. Az egyenletet a 3.11. egyenletet 1.11.-be történő behelyettesítésével kapjuk. A modell számítógépes implementációjakor nem hozunk létre külön qlhe változókat, mert az feleslegesen megnövelné a változók számát, qlhe helyett közvetlenül a 4.21. egyenlet jobb oldalát használjuk. Külső látens hők esetén qlhe konkrét paramétert jelöl, amelynek értékét a feladat bemenetében kell megadni. Végezetül, a modellt az elemi változókra, betáplálási megosztás arányokra és hőátadásokra vonatkozó nem-negatívitási feltételek teszik teljessé, lásd a 4.16., 4.17. egyenletek.
( ),
{ }
( ( ), , ) )
e e s first s c
c C
qlh PLH x d first s s c FE
" Î
æ ö
= ×ççè
å
× × ÷÷ø e Î HLH È CLH, s Î S 4.21.Modellünkben a szétválasztók hőmérsékletei paraméterek, vagyis fixen adottak.
Elképzelhető viszont, hogy kedvezőbb megoldást kapnánk, ha egy szétválasztó be- és kimeneti hőmérsékleteit egységesen eltolnánk. Ezt a lehetőséget úgy tudjuk figyelembe venni, hogy a feladat bemenetében egy szétválasztó típust többször veszünk fel, különböző hőmérséklet értékekkel. Ez természetesen megnöveli a feladat méretét.
4.8. Feladatok
4.8.1. Feladat
Az első példán keresztül részletesen bemutatjuk a hSNS-Multi megoldás menetét és összehasonlítjuk az integrált megoldást a soros végrehajtással. A cél egy háromkomponenses szétválasztási feladat energiaintegrált optimális megoldásának a meghatározása. A feladat bemenete a 4.1. és a 4.2. táblázatokban található, ahol megadjuk mind a szétválasztással, mind az energiaintegrációval kapcsolatos adatokat. Az egyszerűség kedvéért minden lehetséges hőcserélésnél ugyanazt a hőátbocsátási együttható értéket használjuk, habár ez nem kötelező, ahogy ezt a matematikai modell tárgyalásánál kifejtettük. Hasonlóképpen a hőcserélők egységnyi felületének a költsége, Be,g, is ugyanaz minden e, g párra ennél a feladatnál, de ennek sem kellene feltétlenül így lenni. A szétválasztási hálózat folyamait ideális elegyeknek tekintjük, így azok fajhőit a komponenseik fajhőiből számoljuk. Ebben a példában az energiaintegráció során nem vesszük figyelembe a maradék hőáramokat, azaz azoknak a folyamoknak a hő-tartalmát, amelyek keverőben végződnek. A rendszerben csak egy hideg és egy melegenergia szolgáltató van és csak egy szétválasztó család, a relatív illékonyságon alapuló, tagjait tekintjük, amelyek mindegyike egy látens hő forrást és egy látens hő nyelőt tartalmaz.
Külső látens hőket és hőáramokat most nem tekintünk.
4.1. táblázat: A 4.8.1. feladat adatai
4.2. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.1. feladatnál
Komponensek
A feladat szuperstruktúrájának generálása, megegyezik az SNS-Multi feladat osztálynál bemutatottal, így arra itt nem térünk ki külön. A szuperstruktúra generálása után a következő feladat a hőforrások és a hőnyelők azonosítása. Egyrészt tudjuk, hogy minden szétválasztó tartalmaz egy lehetséges látens hő forrást és lehetséges látens hő nyelőt. Másrészt a hőáramokat úgy találjuk meg, hogy a szuperstruktúrán feltüntetjük a feladat bemenetében adott hőmérsékleteket. Ha egy folyam kiinduló és befejező hőmérséklete különbözik, akkor az egy lehetséges hőáramot jelöl. A 4.10. ábra megmutatja a feladat szuperstruktúráját, a hőmérsékleteket, hőáramokat és a látens hőket.
Az ábra egyúttal definiálja a következő halmazokat.
FS = {F1}
4.10. ábra: A 4.8.1. feladat szuperstruktúrája és az azonosított hőforrások és hőnyelők.
A következő feladat a hőmérséklet intervallum diagram megkonstruálása és a két hidegáram illetve egy melegáram felbontása elemi és kompozit áramokká. A feladat bemenetében levő hőmérsékletek alapján öt intervallumot definiálunk, amelyek két meleg és öt hideg elemi áramra vágják a hőáramokat, lásd 4.11. ábra. Az elemi áramokat minden lehetséges módon összekapcsoljuk és így kapjuk meg a kompozit áramokat, lásd 4.12. ábra.
250T(oC)
HS1 170 HNS1
110
30 70 120
CS1
CS2 HU1
HLH2
CU1 CNS1
CNS3
CNS4 CNS5 Tmin=10 °C
HLH3
HLH1 HLH4
CLH2 CLH3
CLH4 CLH1
HNS2 CNS2
4.11. ábra: A 4.8.1. feladat elemi áramai és látens hői hőmérséklet intervallum diagramon.
4.12. ábra: A 4.8.1. feladat kompozit áramai és látens hői hőmérséklet intervallum diagramon.
Ezek után határozzuk meg a lehetséges hőcseréket, amik az FM halmazok definiálását jelentik. Akkor lehetséges hőcsere egy meleg és egy hideg kompozit áram között, ha egyrészt a melegáram bemeneti hőmérséklete legalább DTmin-el magasabb,
mint a hidegáram kimeneti hőmérséklete, másrészt hasonló összefüggés áll fenn a melegáram kimenetének és a hidegáram bemenetének a hőmérséklete között is. Ne felejtsük el, hogy a hőmérséklet intervallum diagramon, a hideg oldal el van tolva felfelé DTmin-el.
FMHSS1 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9,CU1} FMHSS2 = {CSS2, CSS3, CSS5, CSS7, CSS8, CSS9, CU1}
FMHSS3 = {CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9,CU1} FMHLH1 = {CU1}
FMHLH2 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9,CLH1,CLH4,CU1} FMHLH3 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9,CLH1,CLH4,CU1} FMHLH4 = {CU1}
FMHU1 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9,CU1} FMCSS1 = {HSS1, HLH2, HLH3, HU1}
FMCSS2 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS3 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS4 = {HSS1, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS5 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS6 = {HSS1, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS7 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS8 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS9 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCLH1 = {HLH2, HLH3, HU1}
FMCLH2 = {HU1} FMCLH3 = {HU1}
FMCLH4 = {HLH2, HLH3, HU1}
FMCU1 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH1, HLH2, HLH3, HLH4, HU1}
A következő feladat a matematikai modell felírásához szükséges különféle paraméterek kiszámolása. A hőáramok fajhőit, ideális elegyek lévén, a 4.3. egyenlet segítségével számoljuk ki, a komponens és kompozit áramok arányait pedig a 4.20.
egyenlettel, lásd 4.3. táblázat. Ipari feladat esetén az egyes hőátbocsátási együtthatókat is itt kéne kiszámolni. Ezután jön a lehetséges hőcserékhez tartozó LMTD értékek kiszámítása, majd a 4.4. képlet szerint a hőcserélőkhöz tartozó egyesített költségegyütthatók meghatározása, lásd 4.4. táblázat. Ez utóbbi magába foglalja az egységnyi hőcserélő felület költségét, a hőátbocsátási együtthatót és az LMTD-t. Az e és g közötti hőcserélőhöz tartozó egyesített költségegyütthatót CHe,g-el jelöljük.
CSD4,S4=CSHNS1=CSHNS2=(15*2+3*10)/(15+10)=2,4
CSD1,S3=CSCNS1=CSCNS2=CSCNS3=(15*2+3*10+1*5)/(15+10+5)=2,166 CSD1,S1=CSCNS4=CSHNS5=(15*2+3*10+1*5)/(15+10+5)=2,166
4.3. táblázat: A komponens és kompozit áramok arányai a 4.8.1. feladatnál
CS1
CSS1 CSS2 CSS3 CSS4 CSS5 CSS6
CNS1 1 0,833 0,5
CNS2 1 0,166 0,2 0,1
CNS3 1 0,8 0,4
CS2
CSS7 CSS8 CSS9
CNS4 1 0,2
CNS5 1 0,8
HS1
HSS1 HSS2 HSS3
HNS1 1 0,833
HNS2 1 0,166
4.4. táblázat: A hőcserélők egyesített költségegyütthatói a 4.8.1. feladatnál
HSS1 HSS2 HSS3 HLH2,