HSS 1 HSS 2 HSS 3 HLH 2 , HLH 3
6. SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel
6.4. Kevert termékek
Az SNS feladatok PNS feladattá történő konvertálása során eddig a tiszta termékes feladatokat tekintettük, először egy, aztán több szétválasztási család figyelembe vételével.
Kevert termékek esetén az eddig használt megközelítés nem alkalmazható, mert új anyagokra van szükség, amelyek a termékeket reprezentálják. A termékek és a többi anyag közötti kapcsolatot új műveleti egységek, keverők valósítják meg. Ezek szerint 3 komponenses betáplálás esetén a maximális struktúra a 6.14. ábrán bemutatott módon nézne ki.
6.14. ábra: Keverők és kevert termékek bevezetése a maximális struktúrába.
Megvizsgáljuk, hogy ez az ábra megfelelően reprezentálja-e az eredeti feladatot.
A 6.5. ábrához képest az aktuális pluszban tartalmaz explicit keverőket, amelynek bemenetei a kikerülő folyamok és kimenetei a termékek. A kérdés tehát az, hogy az új műveleti egységek ténylegesen keverőknek tekinthetőek-e. Sajnos nem, mert egy műveleti egység csak akkor működőképes, ha az összes bemeneti anyagát előállítja egy másik műveleti egység vagy az nyersanyag. Ellenben egy keverő akkor is működik, ha a bemenetei anyagai közül csak egyetlen érhető el. Ezt az elvárást úgy teljesíthetjük, hogy a keverőt több műveleti egységgel valósítjuk meg. Az előbbi ábrán lévő keverők minden bemenetéhez felveszünk egy olyan műveleti egységet, amelyeknek egy bemenete és egy kimenete van, lásd 6.15. ábra. A keverőt alkotó műveleti egységekre egyenként továbbra is igaz, hogy csak akkor működnek, ha a bemenetüket előállítják vagy az nyersanyag.
Mivel azonban a műveleti egységek önállóak, egynek a működése nem befolyásolja többiét.
6.15. ábra: Keverő megvalósítása több műveleti egységgel a maximális struktúrában.
Ez az elrendezés még mindig nem elégséges, mert nem tudjuk kikötni a termékek összetételét, csak azoknak a mennyiségét. A megoldás az, hogy egy termékeket annyi anyaggal reprezentálunk ahány komponenst tartalmaz. Amennyiben egy termék komponenseinek a nagyságát kikötjük, úgy egyúttal a kompozícióját is meghatározzuk.
Ezek után a termékek előtti keverőket alkotó műveleti egységeket újraértelmezzük a következő módon. Egy ilyen műveleti egység a terméket alkotó anyagok közül azokhoz kapcsolódik, amelyek olyan komponenseket reprezentálnak, amik a műveleti egység bemenetében is jelen vannak. Ezeknek a műveleti egységeknek a költsége zéró, az éleikhez tartozó arányszámokat pedig ugyanúgy határozzuk meg, mint a többi műveleti egység arányszámát.
Megállapíthatjuk tehát, hogy mind az SNS-Single, mind az SNS-Multi feladatosztály vizsgálható PNS eszközökkel. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a PNS feladattá történő átalakításhoz tudnunk kell az SNS feladat szuperstruktúráját.
Amikor közvetlenül a bemenet segítségével definiáljuk az anyagokat és a műveleti egységeket, akkor is azt használjuk ki, hogy ismerjük a szuperstruktúra szerkezetét.
Lényegében úgy jutunk el a megoldásig, hogy először előállítjuk a szuperstruktúrát, ez alapján definiáljuk a PNS csomópontjait, megoldjuk a PNS feladatot, majd az eredményt SNS struktúrává alakítjuk. Természetesen az SNS feladat közvetlen megoldása a 3.
fejezetben bemutatott módszerrel hatékonyabb. A PNS-ben alkalmazott eszközök nem lettek felkészítve arra, hogy kihasználják az SNS jellegzetességeit, így például arra sincs lehetőség, hogy olyan termékeket határozzunk meg, amelyek komponensáramai nem konkrétan, hanem lineáris feltételekkel adottak.
6.4.1. Feladat
Tekintsünk a 6.5. táblázat által meghatározott feladatot, amely egy háromkomponenses betáplálást és kettő kevert terméket tartalmaz. A termékek előállításához a 6.6.
táblázatban szereplő szétválasztókat használhatjuk fel. Az SNS feladat redukált szuperstruktúrájából indulunk ki, amely alapján az előbbiek szerint definiáljuk az anyagokat és a műveleti egységeket. Mivel mindkét termék 3-3 komponenst tartalmaz, ezért így a hozzájuk tartozó anyagok elnevezései P1c1, P1c2, stb. Az SNS szuperstruktúra termék előtti keverőinek minden bemenetéhez hozzárendelünk egy-egy műveleti egységet, M1a, M1b, stb. Ezeknek a műveleti egységeknek annyi kimenetük van, ahány komponenst tartalmaz a bemenetük és a bemeneti komponensek határozzák meg azt is, hogy a kimenetek mely anyagokhoz kapcsolódnak a kérdéses termékben.
Tekintsük például az M2c műveleti egységet, amelynek bemenete c2c3, amiből az következik, hogy két kimenete van, méghozzá P2c2 és P2c3. M2c éleinek arányszámait ugyanúgy számoljuk ki, mint a szétválasztókat reprezentáló műveleti egységek esetén, azaz bemenetén az arányszám 14, kimenetein pedig 5 és 9. A műveleti egység költsége nulla, hiszen az egy keverő reprezentációjának egy része és a keverők költsége nulla. A
definiált csomópontokból az MSG algoritmus a 6.16. ábrán lévő maximálás struktúrát állítja elő. Az ABB által meghatározott optimális struktúra a 6.17. ábrán látható, amely ekvivalens az SNS-Multi által adott megoldással, lásd 6.18. ábra.
6.5. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 6.4.1. feladatnál
c1 (kg/s) c2 (kg/s) c3 (kg/s)
F1 6 5 9
P1 4 2 7
P2 2 3 2
6.6. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.4.1. feladatnál
Komponens sorrend c1 c2 c3
Szétválasztó S1 S2
Teljes költségegyüttható ($/kg) 4 2 c1c2c3
c2c3
c3 c1 c2
c1|c2c3 c1c2|c3
c2|c3 c1|c2
c1c2
M1 M2
P1 P2
M1a M1b M1c M1d M1e M1f
P1c1 P1c2 P1c3 P2c1 P2c2 P2c3
M2a M2b M2c M2d M2e M2f
6.16. ábra: Termék megvalósítása több anyaggal, a 6.4.1. feladat maximális struktúrája.
6.17. ábra: A 6.4.1. feladat optimális PNS struktúrája.
P1
P2
[6, 5, 9]
F1
S1 S2
[4, 2, 7]
[2, 3, 2]
1 2 1 1
, ,
0, 4 0, 222
D M D M
x x
=
=
D1 D2
2 2 2 1
, ,
0,111 0, 267
D M D S
x x
=
=
1, 2 0,378 xD S =
költség=26,844 $/s
6.18. ábra: A 6.4.1. feladat optimális SNS struktúrája.
7. Összefoglalás
Dolgozatomban a szétválasztási hálózatok szintézise témakört vizsgáltam. Egyik fő célom az volt, hogy rámutassak a több szétválasztó családon alapuló SNS feladatok fontosságára, és hogy kidolgozzak módszereket ilyen típusú feladatok megoldására. Az SNS-Single feladattípust, amely egyszerű, éles, lineáris költségű szétválasztókat használ fel, kiterjesztettem több szétválasztó család figyelembevételére. Elindultam az energiaintegráció megvalósítása irányába, azután vizsgáltam a két kiterjesztés kombinációját is. Kidolgoztam az SNS-Multi feladathoz egy kisebb szuperstruktúrát, amely lehetővé teszi nagyobb méretű feladatok megoldását. Ezek után az SNS feladatok PNS feladattá történő átfogalmazásával foglalkoztam. Munkám egyes lépései és a köztük lévő kapcsolatok a 7.1. ábrán láthatóak.
SNS-Multi hSNS-Single
SNS-Single
hSNS-Multi PNS
hPNS
kiterjesztés átfogalmazás
hagyományos és kompakt szuperstruktúra
saját munka 7.1. ábra: Vizsgált témák.
A 3. fejezetben megfogalmaztam és megoldottam az SNS-Multi feladatot.
Rámutattam arra, hogy a szakirodalomban korábban nem, vagy csak érintőlegesen foglalkoztak olyan szétválasztó hálózatokkal, amelyekben nem minden szétválasztó ugyanazon elv alapján működött. Az azonos fiziko-kémiai tulajdonságot felhasználó szétválasztók halmazát, szétválasztó családnak neveztem el. Célul tűztem ki, hogy megmutassam az olyan SNS feladatok fontosságát, amelyek megengedik több szétválasztó család tagjainak a felhasználását. Kiválasztottam a több betáplálásos, kevert termékes, lineáris költségű szétválasztókat alkalmazó SNS feladatot, amelyet egy szétválasztó család tagjainak a felhasználásával már megoldottak. A feladat több szétválasztó családos változatát SNS-Multi-nak neveztem el. Bebizonyítottam, hogy az SNS-Multi feladatosztály minden tagjának létezik körmenetes optimális megoldása, az egy szétválasztó családos változathoz hasonlóan. Ennek következménye, hogy mindig létezik olyan optimális megoldás is, amely keverőt csak a termékek előtt tartalmaz. Az ilyen típusú hálózatok uniójaként megadtam a feladat szigorú szuperstruktúráját és kidolgoztam egy algoritmust a szuperstruktúra közvetlen generálására. Javasoltam a
szuperstruktúra azon részeinek az elhagyását, amelyek nem jelenhetnek meg optimális megoldásban. Bevezettem az extra szétválasztók fogalmát, amellyel olyan szétválasztókat jelöltem, amelyek a szétválasztóra jellemző komponens sorrend alapján nem szomszédos komponensek között vágnak. Megvizsgáltam a szétválasztó hálózatokra alkalmazható matematikai modelleket és közülük a betáplálási megosztás arányon alapulót adaptáltam az SNS-Multi szuperstruktúrájára. Elkészítettem a módszer számítógépes implementációját és öt példával demonstráltam annak alkalmazhatóságát.
A 4. fejezetben az SNS-Multi energiaintegrált változatát oldottam meg.
Rámutattam, hogy a szétválasztási és a hőcserélő hálózatok között szoros kapcsolat van, ezért érdemes megvizsgálni a két hálózat együttes generálásnak a lehetőségét. Az SNS-Multi előző fejezetben bemutatott szigorú szuperstruktúrájából indultam ki, amelyen azonosítottam a lehetséges hőforrásokat és hőnyelőket. Nem csak szétválasztók látens hőit tekintettem, ami a szakirodalomban megszokott, hanem figyelembe vettem a lehetséges hőáramokat, valamint külső forrásokat is. Megmutattam, hogy megosztó körül kétféleképpen is definiálhatóak a lehetséges hőáramok és meghatároztam, hogy melyik a kedvezőbb. Egy hatékony matematikai modell felírása érdekében a hőáramokat elemi áramokra bontottam a hőmérséklet intervallum diagram intervallum határainak az alapján. Az egymáshoz kapcsolódó elemi áramokból kompozit áramokat alkottam, hogy a hőcsere költségét pontosabban számíthassam. A strukturális modellhez elkészítettem egy matematikai modellt. A modell sok változót tartalmaz, mert a hőáramok és különösen a kompozit áramok figyelembe vételével a lehetséges hőcserék száma nagyon nagy.
Másrészről viszont a modell lineáris, ezért többszázezer változó nagyságú feladatot is meg tudunk oldani belátható időn belül. Programot készítettem a módszer megvalósítására és a hatékonyságát több példával demonstráltam. Összehasonlítottam a soros és az integrált megoldás eredményét, amely megmutatta, hogy a költségcsökkenés igazolja az integráció szükségességét.
Az 5. fejezetben az SNS-Multi feladatosztályhoz kidolgoztam egy új szuperstruktúrát, amely a hagyományosnál kisebb méretű, így a belőle származtatható matematikai modell gyorsabban megoldható, illetve nagyobb méretű feladatok is megoldhatóak segítségével reális időn belül. A hagyományos szuperstruktúrából indultam ki, és megvizsgáltam, hogy az milyen feltételek mellett egyszerűsíthető. A megoldás struktúra két szétválasztójának összevonhatóságára már a 3. fejezetben megadtam egy feltételt szövegesen, amit ebben a fejezetben egzakt módon, egyenletrendszer segítségével is megfogalmaztam. Az egyenletrendszer elemzése megmutatta, hogy az összevonás akkor is elvégezhető, amikor két azonos típusú szétválasztó bemeneteinek az összetételei megegyeznek. Felhívtam a figyelmet arra, hogy ezeket a feltételeket már a matematikai modell megoldása előtt tudjuk ellenőrizni.
Redukált szuperstruktúrának neveztem el azt a struktúrát, amelyet úgy kaptam, hogy a hagyományos szuperstruktúrán elvégeztem az új típusú összevonásokat. A
redukált szuperstruktúra azért előnyös, mert kevesebb megosztót tartalmaz, így a változók száma is kisebb. Kidolgoztam egy algoritmust, amely a hagyományos szuperstruktúra létrehozása nélkül, közvetlenül a feladat bemenetéből állítja elő a redukált szuperstruktúrát. Felírtam a redukált szuperstruktúrához tartozó matematikai modellt, amelyben egy megosztót és az előtte lévő keverőt egy egyenlet ír le.
Összehasonlítottam a hagyományos és a redukált szuperstruktúra méretét, az általuk tartalmazott szétválasztók száma alapján. Mindkét szuperstruktúra méretét megadtam formulával, majd azokat egyszerűsítettem. Megállapítottam, hogy amíg a hagyományos szuperstruktúra mérete exponenciálisan növekszik a komponensszám változásával, addig a redukált szuperstruktúra esetén a növekedés csak köbös.
A 6. fejezetben megvizsgáltam, hogy a PNS feladatokhoz kifejlesztett eszközöket és módszereket lehetséges-e és ha igen, akkor hogyan, alkalmazni SNS feladatokra.
Megállapítottam, hogy habár az SNS a PNS feladatosztály része, mégis alapvetően különböznek egymástól. PNS feladatnál véges, SNS feladatnál végtelen számú anyag jelentkezhet. Megmutattam, hogy az általam vizsgált SNS-Multi feladatosztály esetén lehetséges egy SNS feladatot PNS feladattá alakítani. Ezt az tette lehetővé, hogy az SNS feladatnak két olyan szuperstruktúráját adtam meg, amelyben az anyagok száma véges.
Részletesen leírtam, hogy az SNS szuperstruktúrából kiindulva, hogyan definiálhatunk anyagokat és műveleti egységeket, amelyek a PNS feladat bemenetei. Eljárást adtam ezeknek az anyagoknak és műveleti egységeknek az SNS feladat bemenetéből történő közvetlen generálásra is. Megmutattam, hogy az eredeti SNS feladat PNS feladattá alakítása után az MSG, SSG és ABB algoritmusok bizonyos megszorításokkal alkalmazhatóak. Ilyen megszorítás például az, hogy a műveleti egységek költségfüggvényeinek nem lehet fix része. Példákat adtam három és négykomponenses, tisztatermékes SNS feladatok átalakítására. Megmutattam azt is, hogyan kell bővíteni a módszert ahhoz, hogy több bemenetet, több szétválasztó családot illetve kevert termékeket is figyelembe lehessen venni.
8. Melléklet: Hőcsere módozatok
8.1. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy mindkét esetben ugyanazzal a hőforrással (e) elégítjük ki az energia igényeket. A következő egyenlőtlenséget akarjuk belátni.
coste,g1+coste,g2£coste,g3+coste,g4 8.1.
Az e és g közötti hőcseréhez tartozó költséget az 8.2. egyenlet írja le.
,
Mivel a hőcsere költsége az átadott hőtől lineárisan függ, így coste,g3 = coste,g31 + coste,g32, ahol g31-t és g32-t úgy kapjuk, hogy g3-t megosztjuk f1:f2 arányban. Mivel g31=g1, így behelyettesítve és egyszerűsítve kapjuk a következő egyenlőtlenséget.
coste,g2£coste,g32+coste,g4 8.3.
g2, g32 és g4 fajhői és folyamértékei megegyeznek, valamint g32 és g4 együttesen ugyanazt a hőmérséklet tartomány öleli fel, mint g2. A 8.3. egyenlőtlenség tehát azt fejezi ki, hogy egy hőmérséklet alapján kétfelé vágott folyam esetén, a két részen külön