Súlyozott átlagok









0, ha2i > n+ 1 1/2, ha2i=n+ 1 1, ha2i < n+ 1.

(9.2)

A fejezet további részében az 50%-os levágott átlag alatt ezt a kifejezést fogjuk érteni.

A következ® diszkusszió során állandó t_i értékekkel dolgozunk, de a változó úthosszak kezelését a 9.5 szakaszban megvitatjuk.

9.4. Súlyozott átlagok

A fenti becslést általánosíthatjuk és a súlyokat optimalizálhatjuk. Az általánosítás kétféle lehet. Egyrészt az 50%-os levágott átlag helyett a b®vebb súlyozott átlagot vehet-jük, ahol a súlyok nem csak 0, 1/2 és 1 értékeket vehetnek fel. Másrészt lehetséges, hogy a súlyozott átlaggal jobb teljesítményt érhetünk el, ha azy_i értékek helyett azok egyx_i =

=R(y_i)monoton függvényét használjuk az átlagolás során. Világos, hogy a transzformált értékek is rendezettek lesznek: x_i ≤x_i+1. Tekintsük az n mérés lineárkombinációját:

y =R⁻¹

n

X

i=1

w_iR(y_i)

!

, R(y)≡x=

n

X

i=1

w_ix_i, (9.3) aholPn

i=1w_i = 1. A következ®kben két esetet fogunk tovább vizsgálni. HaRaz identitás, visszakapjuk a súlyozott számtani közepet, az R(y) = logy esetében pedig a súlyozott mértani közepet. Amíg az el®bbi választás a legegyszer¶bb, a mértani közép is hasznos lehet, mert az energiaveszteség eloszlása jól közelíthet® egy lognormális eloszlással. Emiatt a log(y)eloszlása az y hosszú farkú eloszlásánál szimmetrikusabb.

Igazából az R transzformációs függvény optimalizálása koronázhatná meg ezt a ta-nulmányt, de ez a feladat korántsem egyszer¶. Másrészt a számtani és a mértani közép egyaránt a hatványátlagok speciális esetei (R(y) = y^p), p= 1 ésp→0 választással:

y_arith=X

w_iy_i, y_geom = expX

w_ilny_i ,

valamint még ide sorolhatjuk a p=−∞ (minimum) és a p =∞ (maximum) különleges eseteket is.

Az optimalizálás célja A könnyebb részecskeazonosítás és a hozamok pontos meg-határozása érdekében a becslésre használt mennyiség eloszlásának minél keskenyebbnek és az átlagos energiaveszteség megváltozására érzékenynek kell lennie. Ha a részecske im-pulzusát és tömegét megváltoztatjuk, a leadott energia is megfelel® módon változik. Egy

116 Energiaveszteség-ráta becslése lineáris kombináció

9.5. ábra. Az(i, j)energialeadások korrelációs mátrixa 300µm szilícium (balra) és 1 cm neon (jobbra) esetén,βγ= 3,17mellett, ha a pályán 20 mért szakaszunk van.

kis eltérést úgy modellezhetünk, hogy a pálya minden egyes energialeadását megszoroz-zuk egy1 +α faktorral, aholα kicsi. Ha a becslés eloszlása a gaussoshoz közeli (m átlag, σszórás), várható értéke eltolódik. A kezdeti és a megváltoztatott eloszlás közti távolság, a szétválás (separation power), a szórás egységeiben:

1 σ

∂m

∂α.

A számtani közép esetén a becslés lineáris,∂m/∂α=m, így aσ/mrelatív felbontást kell minimalizálnunk (Súlyozott számtani közép bekezdés). A mértani középnél a szorzás egy α-val való eltolást jelent, így a σ abszolút felbontást kell minimalizálni (Súlyozott mértani közép bekezdés).

Az i-edik sorba rendezett mérés várható értéke, valamint az i-edik és j-edik mérés kovarianciája központi szerepet játszik az optimalizálásban:

m_i =hx_ii, V_ij =hx_ix_ji − hx_iihx_ji.

mi-et és Vij-t a 9.2 szakaszban ismertetett szimuláció segítségével kiszámíthatjuk. A szi-líciumra és neonra vonatkozó korrelációs mátrixokat a 9.5 ábra mutatja, adott anyagvas-tagság ésβγválasztása esetén, 20 mért pályaszakasz mellett. A nagy energialeadások er®-sen korreláltak, így kevesebb információt tartalmaznak, emiatt a többi szakasznál kisebb súllyal fognak szerepelni. APn

i=1wixi súlyozott összeg ((9.3) egyenlet) várható értéke és szórásnégyzete

m=

n

X

i=1

m_iw_i, σ² =

n

X

i,j=1

w_iV_ijw_j. (9.4) Az optimális súlyokkal nem csak az energiaveszteség-ráta, hanem annak szórása is becsülhet®, amely mindenképpen el®ny a levágott átlag, vagy más egyszer¶ átlagokkal szemben. A kapott súlyoknak akkor van gyakorlati haszna, ha azok a mérések szá-mának széles tartományában érzéketlenek a βγ értékére és az anyagvastagságra. A következ®ben megmutatjuk, hogy valóban ez a helyzet.

dc_245_11

Súlyozott számtani közép Célunk a relatív felbontás σ

m =

√

w^TVw

mw , (9.5)

minimalizálása awsúlyok változtatásával. (Itt vektor- és mátrix-jelölésre váltottunk,w^T a w oszlopvektor transzponáltja.) Ezen mennyiség négyzete

q(w) = w^TVw

(w^Tm)(m^Tw) = w^TVw w^TMw.

A jobb oldalon álló kifejezés egy Rayleigh-hányados, M = m⊗m^T egy diád. Az els®

variációra

δq = δ[w^T(V −qM)w]

w^TMw .

A q-t minimalizálów vektornak ki kell elégítenie a δq = 0 egyenletet, így aVw=qMw összefüggést, melyet átrendezve kapjuk:

w =q(V⁻¹m)(m^Tw).

Itt a w és V⁻¹m vektoroknak párhuzamosaknak kell lenniük. Ha a súlyok összegének 1-et kell adnia, az optimális súlyok

w = V⁻¹m

1^TV⁻¹m, (9.6)

ahol 1 egy egyesekb®l álló oszlopvektor. A relatív felbontás a minimumban:

minσ m

=√

q = 1

√

m^TV⁻¹m. (9.7)

A súlyokra való érzékenységet a Hesse-mátrix segítségével kaphatjuk, amely H = 2 V −qM

(w^Tm)(m^Tw).

Mivel a minimumban Hw=0, a Cramer-szabály miattdetH= 0, ezértHszinguláris. A relatív felbontás 1%-os növekedésének megfelel® érzékenységet ezért a következ® módon jellemezhetjük:

∆wi =p

10⁻²·2q/Hii. (9.8)

Súlyozott mértani közép Célunk a σ² szórásnégyzet minimalizálása, a P

iwi = 1 kényszerrel. A minimalizálandó kifejezés

q(w) =w^TVw+λ 1^Tw−1

. (9.9)

118 Energiaveszteség-ráta becslése lineáris kombináció

aholλegy Lagrange-féle multiplikátor. A minimumban egy lineáris egyenletrendszert kell megoldanunk,

2Vw+λ1=0, 1^Tw−1 = 0, vagy mátrix jelöléssel

H w

λ

!

= 0 1

!

, H= 2V 1

1^T 0

! ,

aholHaq-hoz tartozó Hesse-mátrix. A

blok-9.6. ábra. Fentr®l lefelé: normalizáló faktorok 300µm szilícium és 1 cm neon esetén, többféleβγ érték mellett; normalizáló faktorokβγ= 3,17 mel-lett szilíciumra és neonra, különféle anyagvastagsá-gok mellett. A berajzolt vonalak a könnyebb meg-értést segítik.

kos szerkezet¶ H mátrix invertálható:

H⁻¹ = 1 1^TV⁻¹1

−V⁻¹−V⁻¹11^TV⁻¹ V⁻¹1 1^TV⁻¹ −2

!

és az egyenletrendszert megoldhatjuk. Az optimális súlyok

w= V⁻¹1

1^TV⁻¹1, (9.10) a multiplikátor pedig λ = −2/(1^TV⁻¹1). A (9.6) és (9.10) egyenletek szerkezete ha-sonló. A szórás értéke a minimumban

min(σ) = 1

√

1^TV⁻¹1, (9.11) amely egyben a visszatranszformáltexp(x)≡

≡y relatív felbontása is. A súlyok a rela-tív felbontás 1%-os növekedéséhez tartozó érzékenysége a fentiekhez hasonló módon kapható.

A súlyok átskálázása A kapott súlyok a számtani és a mértani közepek esetében is a mérési pontok n számának függvényei.

Ugyanakkor a közepek várható értékei és szórásai is függenek n-t®l. Hogy megszün-tessük a várható érték függését, a súlyokat az n → ∞ határesethez normáljuk. A szükséges normálási faktorokat a 9.6 ábra mutatja. Látszik, hogy az értékek gyorsan 1-hez tartanak. Még alacsony számú mérési pont esetén is (n≤4) elmondhatjuk, hogy a faktorok meglehet®sen függetlenekβγ-tól és az anyagvastagságtól, különösen a szilí-cium esetében.

dc_245_11

9.7. ábra. Energiaveszteség-eloszlások összehasonlítása 300 µm szilícium (balra) és 1 cm neon (jobbra) esetén, βγ= 3,17mellett, ha a pályának 6 mért szakasza van. A s¶r¶ségfüggvényt (folytonos vonal), az 50%-os levágott átlagot (szaggatott vonal) és a súlyozott számtani közép eloszlását (szaggatott-pontozott vonal) ábrázoltuk, az optimalizálás után. A vízszintes szakasz a zaj nagyságát jellemzi (3 keV szilíciumra, 0,01 keV neonra).

In document Új kiértékelési módszerek és alkalmazásuk az er®s kölcsönhatás vizsgálatában (Pldal 121-125)