A részecskék energiaveszteség-rátájának becslése





1 2

t−m σ −22

, ha ^t−m_σ −2<0

0, másképpen.

Hogy a minimalizálást távol tartsuk az értelmetlen negatívyi értékekt®l, a közös χ²-hez egy[(Cy)i/σ]² büntet® tagot adtunk, ha (Cy)i <0.

A klaszterelemek közösP χ²_y0

i kifejezése a kezdetiy_ienergialeadások egy pozitív denit másodfokú függvénye, els® és második deriváltjai könnyen számolhatók, a minimalizálás a Newton módszerrel néhány lépésben elvégezhet®. Ha a minimumban vannak negatívy_i értékeink, a legkisebbet 0-ra rögzítjük, majd a minimalizálást újra lefolytatjuk. Végül egy olyan minimumot kapunk, melyre mindeny_i nemnegatív. A klaszter teljes energialeadása és annak varianciája:

ˆ

y_Fitter =X

i

y_i, σˆ²_Fitter =X

i,j

Var(y_i, y_j).

Eredmények A szimuláció részletei (detektorok, η és p_T eloszlások) megegyeznek a 11.3 szakaszban leírtakkal. A klaszterek rekonstruált energialeadásainak reziduáljai a 11.11 ábrán láthatók, pixel és strip detektorokra. Az egyszer¶ összegzés ((11.9) egyenlet) és a javasolt log-likelihood illesztés teljesítményét hasonlítottuk össze. Az összegzés egy

−3keV-es (pixelek) valamint egy−5keV-es (csíkok) átlagos eltérés mutat, amely 35% ef-fektusnak felel meg minimum ionizáló részecskékre, 300µm úthossz mellett. Ugyanakkor az illesztés torzításmentes, felbontása jobb, különösen a csíkokra, ahol az eloszlás 1,5 1,6-szor keskenyebb. A reziduálok eloszlásai alig függnek a klaszterben található érzékeny elemek (n_pixel vagy n_strip) számától.

11.5. A részecskék energiaveszteség-rátájának becslése

A részecskepálya rekonstruáltyi energialeadásainak ismeretében a következ® lépésben az összes mért beütés segítségével megbecsüljük a részecske legvalószín¶bb energiaveszteség-rátáját, egy adott referencia úthosszra.⁵ A feladat nagyon hasonlít a 11.3 szakaszban látotthoz, de most csak εˆ-t kell optimalizálnunk, hiszen az lj szakaszhosszak már a pá-lyakeresésb®l és -illesztésb®l ismertek. A következ® összeget kell minimalizálnunk:

χ²(ˆε) = X

j

χ²_y

j ∆(ˆε, l_j) .

Mivel a jobb oldalon álló tagok lineáris, vagy pozitív denit másodfokú tagokat tartal-maznak, a gyors konvergencia biztosított. A deriváltak számolhatók.

5A következ®kben j indexeli a részecskepálya szilíciumban haladó szakaszait.

dc_245_11

Felbontás A σ(ˆε) szórást a Fisher információ segítségével becsülhetjük:

I(ε) = 1 2

X

j

E ∂²χ²_j

∂ε²

, ahol E a várható értéket jelöli, a második derivált tagok pedig

1 2

∂²χ²_j

∂ε² =





 _l

j[1+alog(lj/l0)]

σ∆(y)

2

, a gaussos részben

0, az exponenciális részben.

11.12. ábra. A σ⁻²_∆ várható értékének függése az l úthossztól, több βγ beállítás esetén (pontok). A görbék a (11.12) egyenletben megadott függvényt ábrázolják. Az εˆésl megfelel® kitev®it is kiírtuk.

A 11.12 ábrán látható illesztés alapján σ⁻²_∆ várható értéke a εˆ és l hatványfüggvénye-ként viselkedik,

σ_∆⁻²

∝εˆ^−1,6l^−1,8. (11.12) Felhasználva a parametrizációt és közelítve azalog(lj/l0)kifejezést azl=50 1000µm tartományban,

σ²(ˆε)∝ εˆ^1,6 P

jl^0,2_j .

Aσ(ˆε)/ˆεrelatív felbontás, azazlog ˆε felbon-tása, csak kissé függεˆ-tól. Mivel az úthossz kitev®je kicsi (0,2), nem az úthosszak össze-ge, hanem számuk, vagyis a mért beütések száma számít. Ha az úthosszak összege adott, a relatív felbontásn^−0,4-el arányos, aholn a beütések száma. Mindez az energialeadás eloszlásának nem gaussos természetében gyöke-rezik. (A gaussos esetben a felbontás csak az érzékeny detektorban lev® teljes úthossztól függene.)

Hamis beütések eltávolítása Mivel a beütések pályákhoz rendelése nem mindig egyértelm¶, lehetséges, hogy néhány beütés nem a megfelel® trajektórián található. Bár a kapott energialeadásuk korrekt, a nyomkövetésb®l számolt szakaszhossz hibás lehet.

Feltéve, hogy egy pálya csak kevés ilyen hamis beütést tartalmaz, a nem odavaló klasz-terek felismerhet®k és eltávolíthatók, hiszen egy ilyen kilógó beütés kizárása jelent®sen csökkenti a közös energiaveszteség-χ²-et.

A becslések eloszlása Bár a pálya legvalószín¶bbεˆértékét és annak szórását megbe-csültük, egyaránt fontos levezetni, vagy szintén megbecsülni, a becslés eloszlásfüggvényét is. Az eredeti valószín¶ségs¶r¶ség-függvény elnyúlt alakú. így a becsl® eloszlása nem lesz

156 Az analitikus energiaveszteség modell

11.13. ábra. A legvalószín¶bb energiaveszteség-ráta (annak logaritmusát,log ˆε-t ábrázoltuk) eloszlása egy referencia úthosszonp=0,8 GeV/cesetén, a négy vizsgáltp_Tbeállítással. Többféle módszert hasonlítunk össze: a tanulmányban tárgyalt log-likelihood illesztés (Fitter), az 50%-os levágott átlag, a hatványátlag (−2kitev®), a harmonikus átlag (-1), és a számtani átlag (1).

gaussos. Eloszlását pályánként meghatározhatnánk Monte Carlo szimulációval, de annak hatalmas számolásigénye miatt ez az út nem járható. Egy másik lehet®ség a statisztikus bootstrap alkalmazása [22], amely egy véletlen mintavétel ismétléssel. A jackknife mód-szer [22] szintén érdekes lehet: itt a becslést egy-egy beütés kihagyásával újraszámoljuk.

Mindkét módon becsülhet® a torzítás (bias), a szórás, valamint az eloszlás alakja is, de egyikük sem m¶ködik kis beütésszámra.

Megoldásként alog ˆεeloszlás alakját az energialeadások megújításával, regenerálásával határozhatjuk meg. Egypimpulzusú részecskét akkor használunk fel egy adott részecske-típus (m tömeg) mintaeloszlásának (template) építésére, ha becsült εˆértéke összeegyez-tethet® ap/m-nél várt értékkel. Míg a kinematikai paramétereket és a pálya szilíciumban haladó szakaszainak hosszait változatlanul hagyjuk, az összes energialeadást a

dc_245_11

metrizációnak megfelel®en véletlenszer¶en megújítjuk. A választott eljárás értelmes függvényalakokat ad még nagyon kevés (akár 2) beütés esetében is.

11.14. ábra. A hengeres szilícium rétegek (5, 10, 15, . . . , 80 cm sugarakkal) és a négyp=0,8 GeV/c im-pulzusú, p_T =0,5, 0,6, 0,7 és 0,8 GeV/c transzver-zális impulzusú részecskepálya. A nyalábtengelyre mer®leges síkra való vetületeket ábrázoltuk. A két folytonos körív a 10 és 50 cm sugarú rétegeket je-löli, melyeket a 11.3 szakasz szimulációjában hasz-náltunk. A nyaláb helyét egy b bet¶ mutatja.

Eredmények A részecskeszint¶ alkal-mazások bemutatására egy egyszer¶ detek-tormodellt használunk: 16 szilíciumhenger rendre 5, 10, 15, . . . , 80 cm sugárral. A ré-tegek vastagsága 300µm (11.14 ábra). Csak a pályaszakaszokban történt energialeadást szimuláltuk, így a klaszterszint¶ részletek-kel nem foglalkoztunk. Összesen 100 000 pi-ont és 30 000 kapi-ont generáltunk egy közös p = 0,8GeV/c impulzussal, de többféle p_T értékkel: 0,5, 0,6, 0,7 és 0,8 GeV/c. A négy p_T beállítás η = 1,05, 0,80, 0,53 és 0,00 pszeudorapiditásnak felel meg. A mágneses tér által meghajlított pályák változatos szi-líciumban mért szakaszhosszakat eredmé-nyeznek. Míg p_T =0,8 GeV/c esetében csak a 300375µm tartományt fedik le, p_T = 0,5 GeV/c-nél már a 4801710µm régióban változnak. Minden energialeadáshoz 3 keV szórású gaussos zajt adtunk.

A legvalószín¶bb energiaveszteség-ráta (annak logaritmusa, log ˆε) eloszlásai egy re-ferencia úthosszon a négy p_T beállításra a 11.13 ábrán láthatók (Fitter). Több más, a dierenciális energiaveszteségy_j/l_j értékeit használó eljárást is ábrázoltunk: 50%-os levá-gott átlag (az y_j/l_j számok kisebb felének átlaga) [23, 24]; az összes beütést felhasználó hatványátlag (kitev®−2), a harmonikus átlag (−1) és a számtani közép (1). Míg a legjobb eredményeket a log-likelihood illesztés adja, a hatványátlag felbontása a legrosszabb. Az 50%-os levágott átlag is jól teljesít.

A kapott eloszlásokat Gaussok összegével illesztjük. A módszerek teljesítményét a pion-kaon szétválással, a szeparáció er®sségével jellemezzük, melyet a

|mπ −mK|

p(σ_π² +σ_K²)/2 (11.13)

kifejezés deniál, ahol m(·) és σ(·) a pionok és kaonok átlagos értéke és szórása. A mód-szerek összehasonlítását a 11.15-bal ábra mutatja, a négy vizsgált p_T beállításra. Ismét a log-likelihood illesztés adja a legjobb eredményeket. A szétválás nagyobb, ha a pályasza-kaszok hosszabbak (11.5 szakasz).

Ideális esetben a log ˆε becslések átlaga nem függhetne a mért szakaszok hosszától és a detektor egyéb részleteit®l. A középértékek pT függését a 11.15-jobb ábrán láthatjuk.

158 Az analitikus energiaveszteség modell

11.15. ábra. Balra: A pion-kaon szétválasztó er® a négyp_Tbeállítás mellett, többféle módszert vizsgálva:

a tanulmányban bemutatott log-likelihood illesztés (Fitter), az 50%-os levágott átlag, a hatványátlag (kitev®−2) és a harmonikus átlag (−1). Jobbra: A legvalószín¶bb energiaveszteség-ráta (annak logarit-musa,log ˆε) egy referencia úthosszon (annak a négyp_T beállításra. A vízszintes nyilak a várt elméleti értéket jelölik. A berajzolt vonalak a könnyebb megértést segítik.

A vízszintes nyilak a várt elméleti értéket jelölik. Világos, hogy a log-likelihood illesz-tés stabil középértékeket ad, míg a többi eljárás csökkenést mutat növekv® p_T-vel. Bár a függések egy részét ellensúlyozhatjuk, a változatos szakaszhossz-eloszlással rendelkez®

pályák esetén csak a javasolt módszer m¶ködik megfelel®en.

In document Új kiértékelési módszerek és alkalmazásuk az er®s kölcsönhatás vizsgálatában (Pldal 160-164)