A súlyozott közép különböz® úthosszak esetén

Eddig feltételeztük, hogy az egyes mért pályaszakaszok hossza ugyanaz. A valós pályák esetén az úthosszak a mágneses térbeli elhajlás és a detektorelemek változatos elhelyezése miatt különfélék lehetnek. A mért energiaveszteségeket egy referencia-úthosszra korrigál-hatjuk. A ∆ energiaveszteség eloszlása függ a részecske β sebességét®l, és a keresztezett anyag t vastagságától. Jó közelítéssel a legvalószín¶bb ∆_p energiaveszteségre [9]:

∆_p =ξ

ln2mc²β²γ²ξ

I² + 0,2000−β²−δ

, (9.12)

ahol

ξ = K 2z²Z

Aρ t

β² (9.13)

a Landau paraméter; K = 4πN_Ar²_em_ec² = 0,307 075 MeV cm²/mol;z a részecske töltése elektrontöltés egységekben; Z, A és ρ az anyag rendszáma, atomszáma és s¶r¶sége [19].

Tekintsük az y= ∆/t mennyiség eloszlását egy adott részecskére, vagyis adott β-nál. Az eloszlás Γ_∆ félértékszélessége kissé függ t-t®l, ennek ellenére a legvalószín¶bb y_p értékett segítségével eltolhatjuk:

y_p(t) = y_p(t₀) + K 2z²Z

Aρln(t/t₀)

β² , (9.14)

ahol t0 a referencia-úthosszat jelöli. Ilyen módon a t függést csökkenthetjük, ha min-den egyes mérést y(t0)-re korrigálunk. A transzformáláshoz szükséges β-t az eredeti y értékekb®l becsülhetjük.

120 Energiaveszteség-ráta becslése lineáris kombináció

9.8. ábra. Optimális súlyok 300µm szilíciumra (balra felül) és 1 cm neonra (jobbra felül). Az értékeket βγ=1,00, 3,17 és 10,0 esetén adtuk meg. A βγ = 3,17esetén, 300, 600 és 1200 µm vastag szilíciumra (balra alul), valamint 1, 2 és 4 cm neonra (jobbra alul) kapott optimális súlyok is láthatók. Minden eredmény 15 mért szakasszal rendelkez® pályákra vonatkozik (i = 1, . . . ,15). Összehasonlításképpen a mértani középpel kapott súlyokat is ábrázoltuk (csúcsukra állított háromszögek és keresztek). A berajzolt vonalak a könnyebb megértést segítik.

9.6. Eredmények

A részecskék azonosítása és hozamuk meghatározása különösen nehéz azoknál az im-pulzusoknál, ahol a különböz® részecskék energiaveszteség-rátái egymáshoz közel esnek.

Hadronok esetében a pion-kaon felbontás problematikus 0,8 GeV/c felett, míg a pion-proton esetben 1,6 GeV/c felett. Így a számunkra fontos βγ tartomány 1−10közé esik.

Ebben a tanulmányban példaképpen olyan töltött részecskéket vizsgálunk, melyek-re βγ = 1,00, 3,16 és 10,0, mért pályaszakaszaik száma pedig 2−50. A félvezet® és a gáztöltés¶ detektorokkal is foglalkozunk: a szilíciumra a 300, 600 és 1200 µm, a neonra az 1, 2 és 4 cm vastagságokkal számoltunk. Minden egyes vizsgálatban egymillió szimu-lált részecskét használtunk. (Hogy a számolásokat felgyorsítsuk, el®zetesen több millió 300 µm-os (szilícium) és 1 cm (neon) pályaszakaszokon történ® energialeadásokat

dc_245_11

9.9. ábra. A javított becslés teljesítménye. A relatív felbontások aránya a mért szakaszok n számának függvényében: 300 µm szilíciumra (balra felül), és 1 cm neonra (jobbra felül), többféle βγ mellett;

szilíciumra (balra alul) és neonra (jobbra alul), βγ = 3,17esetén, többféle vastagság mellett. Összeha-sonlításképpen a súlyozott mértani közép teljesítményét is feltüntettük (csúcsukra állított háromszögek és keresztek). A berajzolt vonalak a könnyebb megértést segítik.

ráltunk mindegyik βγ beállításra, majd ezeket kombináltuk hosszabb úthosszakra.) Az energiaveszteség-eloszlások, valamint az 50%-os levágott átlag és optimalizálás után kapott súlyozott számtani közép eloszlásai a 9.7 ábrán láthatók, 6 mért pályaszakasz esetén.

Az optimális súlyokat 300 µm szilíciumra és 1 cm neonra a 9.8-fels® ábrák mutatják, többféle βγ érték esetén. A kapott súlyok βγ = 3,17 mellett, többféle vastagság esetén, a 9.8-alsó ábrákon láthatók. Mindegyik eredmény 15 mért szakaszból álló pályákra vo-natkozik, i = 1, . . . ,15. A súlyok felt¶n®en függetlenek βγ-ról és az anyagvastagságtól szilícium esetén, neonra kisebb változásokat vehetünk észre növekv® vastagság mellett.

Szilíciumnál a 10 ≤ i ≤ 15 szakaszok súlyai nagyon kicsik, egyes esetekben negatívak, ugyanakkor a legkisebb energialadásokhoz tartoznak a legnagyobb súlyok. Az 1 cm-es neonnál a 1≤i ≤8 szakaszok fontossága hasonló, a többiek nem fontosak. Összehason-lításképpen a mértani közép optimális súlyait is feltüntettük. Amíg a szilícium esetén a

122 Energiaveszteség-ráta becslése lineáris kombináció

9.10. ábra. A szakaszok számával skálázott optimális súlyok (n·wi) a normált(i−1)/(n−1) szakasz-sorszám függvényében, ha4 ≤ n≤ 20és βγ = 3,17. Az értékeket 300 µm szilíciumra (balra) és 1 cm neonra (jobbra) mutatjuk. Az árnyékolt tartományok a súlyok egyszer¶en megfogalmazható leírását ábrázolják: lineáris és állandó függvények kombinációja, melyek a szilícium esetén 0,65-nél, neonra pedig 0,55-nél váltják egymást.

számtani közép súlyaival jó egyezést kapunk, neonra kissé eltérnek, de min®ségi jellemz®ik hasonlóak.

Az így javított becslést teljesítményét kifejezhetjük a relatív felbontások arányával: a súlyozott és 50%-os levágott átlag hányadosával. A kapott értékeket a mért szakaszok szá-mának függvényében különféleβγ-ra (9.9-fels® ábrák), és vastagságokra (9.9-alsó ábrák) adjuk meg. Nyilvánvaló, hogy lényeges javulást értünk el mindkét anyagnál, mindegyik βγ és vastagság esetében. Kevés mérésnél (például n= 3) a felbontás 20-30%-kal is jobb lehet. A javulás mértéke egy határértékhez tart és az arány folyamatosan 1 alatt marad sok mérés esetén. Összehasonlításképpen a súlyozott mértani közép teljesítményét is fel-tüntettük, melynek viselkedése a számtani középhez hasonló, s®t neonra kisnesetén még kedvez®bb képet is mutat.

Egyéb meggondolások A detektor és a kiolvasás zaja fontosabb szerepet játszik a szilícium esetében, hiszen mértéke a jellemz® energiaveszteségekhez képes jelent®sebb. A tanulmányban használt értékekt®l (3 keV szilíciumra, 0,01 keV neonra) függetlenül meg-vizsgáltuk az optimális súlyok zajfüggését (9.11 ábra). Amíg a magasabb zajértékek nem befolyásolják a neonnál kapott súlyokat, addig szilíciumra a 10 keV-es zaj már egy doboz-eloszlás felé deformál. Ez a viselkedés érthet®: a gaussos zaj hozzáadása felpuhítja az energiaveszteség-eloszlás alsó meredek élét (9.3-bal ábra), így az alsó értékek fontosságát csökkenti.

Egy teljesebb detektor-szimulációban a kiolvasási küszöböt (baloldali levágás) és a detektor linearitásának fels® határát (telítés, jobb oldali cenzúra) is gyelembe kellene

dc_245_11

9.11. ábra. A szakaszok számával skálázott optimális súlyok (n·w_i) a normált(i−1)/(n−1) szakasz-sorszám függvényében, hannagy ésβγ= 3,17. Az értékeket 300µm szilíciumra (balra) és 1 cm neonra (jobbra) mutatjuk, mindkét esetben többféle zajszint beállítás mellett.

venni. Ez utóbbi valószín¶leg nem annyira fontos, mivel a nagy energialeadásokhoz min-denképpen kis súlyokat rendeltünk.³

Univerzalitás, összefüggések Bár a súlyokat a mért szakaszok számának függvé-nyében táblázatos formában megadhatjuk, sokkal könnyebb lenne a dolgunk, ha kiszá-mításukra egy egyszer¶ képletet adhatnánk. A szakaszok számával skálázott optimális súlyokat (n ·w_i) a normált (i−1)/(n −1) szakasz-sorszám függvényében a 9.10 ábra mutatja, ha 4 ≤ n ≤ 20. A normált szakasz-sorszámtól való függést lineáris és állandó függvények kombinációjával írhatjuk le. Szilíciumra, z_Si≈0,65-tel

n·w_i =







2(z_Si−z)/z_Si² ha z < z_Si

0, másképp (9.15)

míg neonra, z_Ne ≈0,55-tel,

n·wi =







1/z_Ne haz < z_Ne

0, másképp. (9.16)

Sok mérés esetén az optimális súlyokat az energiaveszteség eloszlásából közvetlenül is megkaphatjuk (9.11 ábra).

A (9.15) és (9.16) egyenletekben megadott egyszer¶ függvényalakoknak mélyebb okai is vannak, ugyanis ezek szoros kapcsolatban állnak az energiaveszteség-eloszlás alakjával.

Ha a s¶r¶ségfüggvény (9.3 ábra) lokálisan leírható

3Az itt, valamint a következ® bekezdésekben ismertetett eredmények és összefüggések részletes leírása, valamint a kapcsolódó ábrák [1]-ben találhatók.

124 Energiaveszteség-ráta becslése lineáris kombináció

egy hatványfüggvényel, akkor a helyi súlyok nullák;

exponenciális- és hatványfüggvények szorzatával, akkor a helyi súlyok állandók;

Gauss- és hatványfüggvények szorzatával, akkor a helyi súlyokz-ben lineárisak.

Ezen tanulmányban csak a mért értékek lineárkombinációival foglalkoztunk. Megmu-tatható, hogy amíg a félvezet® detektorok esetén a súlyozott közepet tovább javíthatjuk maximum likelihood módszerek alkalmazásával (11. fejezet), addig a gáztöltés¶ detekto-rokra a (0%,55%)-os levágott átlag ((9.16) egyenlet) már kiváló eredményeket ad.

9.7. Összegzés

Töltött részecskék energiaveszteség-ráta becslését tanulmányoztuk, nyomkövet® de-tektorokban. Megmutattuk, hogy a levágott átlagolást általánosíthatjuk az energialeadá-sok lineáris kombinációinak körében. Az optimalizált súlyok meglehet®sen függetlenek a részecske impulzusától és az anyagvastagságtól, így a becslésben jól használhatók. A sú-lyozott számtani és mértani közepek jobb részecske-szétválasztást tesznek lehet®vé, mind a szilícium-alapú, mind a gáztöltés¶ detektorokban. További vizsgálatok azt mutatták, hogy a kapott súlyok szorosan kapcsolódnak az energiaveszteség-eloszlások alakjához, és így lehet®vé teszik a súlyok egyszer¶ meghatározását a mérési pontok számának függvé-nyében.

Irodalomjegyzék

[1] F. Siklér and S. Szeles, Optimized estimation of energy loss rate for charged particles from energy deposit measurements in tracking detectors, Nucl. Instrum.

Meth. A 687 (2012) 3039, arXiv:1111.2491 [physics.data-an].

[2] W. Allison and J. Cobb, Relativistic Charged Particle Identication by Energy Loss, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 30 (1980) 253298.

[3] O. Ullaland, Update in particle identication, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 125 (2003) 9099.

[4] M. van Beuzekom, Hadronic particle identication with silicon detectors by means of dE/dx sampling, Nucl. Instrum. Meth. A 568 (2006) 359363.

[5] M. Shao, O. Y. Barannikova, X. Dong, Y. Fisyak, L. Ruan, et al., Extensive particle identication with TPC and TOF at the STAR experiment, Nucl.

Instrum. Meth. A 558 (2006) 419429, arXiv:nucl-ex/0505026 [nucl-ex].

dc_245_11

[6] ALICE Collaboration, Measurement ofπ, K, p transverse momentum spectra with ALICE in proton-proton collisions at √

s= 0.9 and 7 TeV, J. Phys. G 38 (2011) 124074, arXiv:1109.6744 [hep-ex].

[7] BABAR Collaboration, The BaBar silicon vertex tracker, Nucl. Instrum. Meth.

A 461 (2001) 162167.

[8] CMS Collaboration, Particle identication by ionization energy loss in the CMS silicon strip tracker, Int. J. Mod. Phys. E 20 (2011) 16461650.

[9] H. Bichsel, Straggling in thin silicon detectors, Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 663699.

[10] H. Bichsel, Inelastic electronic collision cross sections for Monte Carlo calculations, Nucl. Instrum. Meth. B 52 (1990) 136.

[11] H. Bethe, Theory of the passage of fast corpuscular rays through matter, Annalen Phys. 5 (1930) 325400.

[12] U. Fano, Penetration of protons, alpha particles, and mesons, Ann. Rev. Nucl.

Part. Sci. 13 (1963) 166.

[13] E. Fermi, On the Theory of the impact between atoms and electrically charged particles, Z. Phys. 29 (1924) 315327.

[14] E. Fermi, On the theory of collisions between atoms and electrically charged particles, Nuovo Cim. (1925) 2,143, arXiv:hep-th/0205086 [hep-th].

[15] H. Bichsel, A method to improve tracking and particle identication in TPCs and silicon detectors, Nucl. Instrum. Meth. A 562 (2006) 154197.

[16] J. F. Bak et al., Large departures from Landau distributions for high-energy particles traversing thin Si and Ge targets, Nucl. Phys. B 288 (1987) 681.

[17] R. C. Fernow, Introduction to experimental particle physics. Cambridge University Press, 1986. pages 253-255.

[18] C. Grupen, B. Shwartz, and H. Spieler, Particle Detectors. Cambridge University Press, 2nd ed., 2008. pages 278-280.

[19] Particle Data Group Collaboration, Review of particle physics, J. Phys. G 37 (2010) 075021.

126 Energiaveszteség-ráta becslése lineáris kombináció

dc_245_11

10. fejezet

Részecskeazonosítás a pálya-illesztés χ ² /ndf értékével

A részecskezikában széles körben elterjedt a részecskepályák Kalman-lterre alapuló illesztése. A többszörös Coulomb-szórás és az energiaveszteség ismert zikája segítségével a sz¶r® χ² értéke felhasználható a töltött részecskék sebességének becslésére. A javasolt eljárás független a részecskék hagyományos, energiaveszteségre alapozott azonosításától.

A zikai eektusok, majd a felbontás detektorjellemz®kt®l való függésének tárgyalása után az új módszert három LHC kísérletre (ATLAS, ALICE, CMS) alkalmazva megmu-tattam, hogy jóπK ésπp szétválasztást kapunk ap < 0,9 GeV/cilletve ap <1,4 GeV/c tartományban.

Az eredményeket ismertet® cikkem [1] a Nucl. Instrum. Meth. A folyóiratban jelent meg. A munkát 2010. májusában a RICH2010 (7th International Workshop on Ring Imaging Cherenkov Detectors) konferencia alternatív részecskeazonosítási módszerekkel foglalkozó szekciójában mutattam be [2]. A CMS kísérlet azonosított töltött hadronok eloszlásairól szóló analízisében az itt ismertetett eredmények fontos szerepet kaptak: fel-használásuk jelent®sen javította az energiaveszteségen alapuló részecskeazonosítást tisz-taságát, a cikket hivatkozzák [3].

10.1. Bevezet®

A töltött részecskék impulzusát megmérhetjük, ha megvizsgáljuk a pálya kisszög¶

szóródásait, melyek a detektor anyagán való áthaladás során keletkeztek. Egy újabb al-kalmazásban [4] minden pályára a szórási szögek eloszlásának négyzetes közepét számítják ki, majd összehasonlítják az elméleti jóslattal, amely 1/βp-vel arányos. Ha feltételezzük a részecske tömegét, vagy ha a részecske impulzusa nagy (β ≈ 1), p-t becsülhet®. Ez a klasszikus módszer alulbecsli az impulzust, hiszen a részecske a haladása során energiát veszít és impulzusa csökken.

127

128 Részecskeazonosítás a pálya-illesztés χ²/ndf értékével

A Kalman-ltert széles körben használják napjaink részecskezikai kísérleteiben a töltött részecskék pályáinak és a kölcsönhatási pontok helyének illesztésére. Az eljárás ugyanakkor egy koherens keretet is ad az ismert zikai hatások és mérési bizonytalansá-gok megfelel® kezelésére [5]. A sz¶r® egyenérték¶ egy teljes lineáris legkisebb négyzetek illesztéssel, amely gyelembe veszi a folyamat zajának korrelációit is. Egyúttal ez a leg-kedvez®bb megoldás, mivel minimalizálja a becslés átlagos hibájának négyzetét. Újabb tanulmányok szerint ezt a technikát sikeresen használták a részecskék impulzusmérésének javítására, akár olyan esetekben is, ahol a kísérletben nem alkalmaztak mágneses teret [6].

Mindez a többszörös szórás tulajdonságain keresztül volt lehetséges. Ugyanakkor, ha de-tektorunk mágneses térben van, a töltött részecske impulzusát a pálya görbületéb®l már ismerjük. Így a pálya illesztése további információval szolgál, amely segíthet a részecs-ke sebességének meghatározásában, ily módon hozzájárulva a részecskék elkülönítéséhez vagy azonosításához.

In document Új kiértékelési módszerek és alkalmazásuk az er®s kölcsönhatás vizsgálatában (Pldal 125-134)