FOJADÉK
Y. JÉGYZET ;
§. lis.'Mivel minden egéfz egyenlő a' maga öfzve-fzedett réfzeivel (§. 87») Az el-vevésbeH pe-dig az Egéfzfzet kevefitendŐilek neveztük (§.
loo.) az égygyik adatott réfzt pedig kevefitőnek a kerefietettr.éfat. maradéknak , tehát a'
kevefi-
tendo-tendönek egyenlőnek kell lenni cd keVeíitő'nek, és
& maradéknak fómmajaval., , FOJADÉK.
X14. Tehát az el-vevésben akkor tajáltatott-meg valóságoífan a' maradék, ha ezt a* kevefitővel Öfzve adván, ezek' l'ommája egyenlő léfzen a' kevesí tendövel.
FOJADÉK,
§. 115. (Tehát a'-ki az el-vevéfnek jóságát vis-gállyn, azt akarja meg-tudni, ha vallyon azon ma*-radék valóságos egy réfz-e' a' kevefitendőnek ? i
; : FOJADÉK. 1
n 5 . Az'el-vevésnek jóságát tehát így tud-hatod-meg :,ha á' maradékot a' tulajdon jelű kevefi-tő vei öfzve-ad y á n , e ' f o m m á t egyenlőnek lenni talá-lod a' kevefitendövel (§. 87.).: •
FOJADÉK.
§, 117. Tehát az .el-vevésnek jósága az öfzve-ftdásból tettfzjk-ki.
JEGYZET.
§. 118. Jó volna pedig az ofzve-adásnak dáit .(§. 98.) az el-vevéfsel ; 's-az el-vevésnek pél-dáit (§. Hl.) az bfzve-adáfsal mcg-próbálgatni : mind azért, hogy fzem-látomdfi ki-tefsen az igaz-ság, mind pedig azért, hogy a' bötu-vctcsnek élő-munkáiban gyakorlottabb. légyen <Y tanítvány.
C g BAR*
PÉLDÁK.
I. Qab—yac-ttZcl A' kevcfitcndŐ.
Sab—Sac • - A" kevefitő tulajdon jeleivel.
—5ab~\-ßüc ' - A' kevefitő jel-valtoztatvçi. , Sab—zactt-Sd A' maradék.
ÏL Ijix—4-te—A' kevefitendo Sax-ttSbc—5de\ A!' kevefitő túl. jel.
—Sax—3k-4-5de A' kevefitő jel-vált.
— ax —ïbc-k-zde A' maradék.
IIL, zoaAb—pfxcp-\-zad'—()t\. n A\ kevefitendo ,, 6-+-5a(í'—4aAb-+Sbmcd^-—c~d A* kcv.tétl. jel.
—6—Bb"'cd"-+-c'd A' kev.jel-valt.
24.a&b—M"!cáz—Sad'—fo-r-c'd A' maradék,-IV*. A'
kevefitenát"'-Zbnfx"-ő-Bdnx~-Jr%—zábx A' À-er. */;/. jel.
—%bmcx~—5amx''—S-^za'bx Ä kev. jel-vált.
—zS-k-fab^x—ôb'^'x'-g-zaHix A' maradék, - ' JEGYZET.
• 112. Ha ezen Példákban fel-akadtal, ye/ő, hogy flZ bfzve-adásnak modgyát nem igen gya*
•kodottad.
Y. JÉGYZET ;
§. lis.'Mivel minden egéfz egyenlő a' maga öfzve-fzedett réfzeivel (§. 87») Az el-vevésbeH pe-dig az Egéfzfzet kevefitendŐilek neveztük (§.
loo.) az égygyik adatott réfzt pedig kevefitőnek a kerefietettr.éfat. maradéknak , tehát a'
kevefi-
tendo-tendönek egyenlőnek kell lenni cd keVeíitő'nek, és
& maradéknak fómmajaval., , FOJADÉK.
X14. Tehát az el-vevésben akkor tajáltatott-meg valóságoífan a' maradék, ha ezt a* kevefitővel Öfzve adván, ezek' l'ommája egyenlő léfzen a' kevesí tendövel.
FOJADÉK,
§. 115. (Tehát a'-ki az el-vevéfnek jóságát vis-gállyn, azt akarja meg-tudni, ha vallyon azon ma*-radék valóságos egy réfz-e' a' kevefitendőnek ? i
; : FOJADÉK. 1
n 5 . Az'el-vevésnek jóságát tehát így tud-hatod-meg :,ha á' maradékot a' tulajdon jelű kevefi-tő vei öfzve-ad y á n , e ' f o m m á t egyenlőnek lenni talá-lod a' kevefitendövel (§. 87.).: •
FOJADÉK.
§, 117. Tehát az .el-vevésnek jósága az öfzve-ftdásból tettfzjk-ki.
JEGYZET.
§. 118. Jó volna pedig az ofzve-adásnak dáit .(§. 98.) az el-vevéfsel ; 's-az el-vevésnek pél-dáit (§. Hl.) az bfzve-adáfsal mcg-próbálgatni : mind azért, hogy fzem-látomdfi ki-tefsen az igaz-ság, mind pedig azért, hogy a' bötu-vctcsnek élő-munkáiban gyakorlottabb. légyen <Y tanítvány.
C g BAR*
H A R M A D I K C Z Ï K K E L Y ,
, A' Sokfzorozásról.
MAGYARÁZAT.
• 119. A' Sokfzorozás (multiplicatio) nein egyébb, hanem egy adatott mekkoraságnakan-nyifeor való t é t e l e , mennyi egy-fzám. vagyon valami más adatott mekkoraságban.
J E G Y Z E T . •
§. 120. Például : 8-t fokfzorozni %-mal, an-nyit téfzen., mint 8-t 3-fzor tenni : az az : 8-t .maga magához 3-fzor adni Így : 8 4 - 8 4 - 8 = 2 4 . Ismét a-t Jokfzorózni b-vel annyit téfzen: mint
a-t annyijzor tenni•> mennyi egy-fzám vagyon ,a b-ben: az az: a-t h-fzer tenni.
V „ ÁLLAMÁNY.
§. I2r. Azon mekkoraságot, melly egy-nehánfzor tétetik, nevezzük Sokfzorozandónak ( miiltiplicanduin ). Azon mekkoraságot pedig, melly jelenti r hányíkor tétefsék a' fokfzoro-zandó, mondgytik Sokfzoro'zónak (multiplicator).
Egy fzóval a' íbkfzorozandót, és a' fokfzorozót nevezzük Müvcfeknék (Fadores). Azon raekko-faságot pedig, melly fzármazik a' fokfzorozan-dónak .annyifzor való tételéből, mennyi egy-fzám vagyon a' foklzorozóban, mondgyuk
Müv-nek, (Fadum).
FO-FOJADÉK.
123. Tehát a' Sokfzorozás ismét ném egyébb, hanem a' fokfzorozandónak annyifzor való tétele:
'mennyi egy-fzám vagyon a' íokf&orozdban, hogy meg-találtafsék a' müv.
1 FOJADÉK.
' ' §. 123. ÍA'-ki SókfzorozáO: ád : àdgya a' So/Jzo-rozandót, és á' fokfzorozót, kéri pedig a' müvet.
JEGYZET,
: ,. § . 1 3 4 . Nem fzükséges, hogy a' fokfzoro*
zandó. egy-nemu légyen a' fokfzorozóval : mert akár mi-nemu. cd fok fzor ózandó , a' fokfzorozó mindenkor pufztán vétetik (§. 39.) £ ' való Jzem-látomáji; ki-tettfzik, midőn .azt mondom: nyolez forintot háromfzor tenni. íme itten a*
fokfzoro-zandó nyolez forint öfzveségefsen mondatik (§.
28.) Itt' pedig; Jháromízor t e n n i , ezen fzám ; három, pi'.fzta mekkoraság (§. 39.)
ÁLLAMÁNY. .
135. A' fokízorozásnak jele (valamint ez előtt-is mondottuk) e' légyen: X : melly ha két mekkoraságok közé igy tétetik : 8X3. vagy i g y . a x b , így mondafsék-ki : , Nyolez íbkföo-rozva bárommal; avagy igy : a fokfcoíbkföo-rozva6-vel.
ÁLLAMÁNY. sr
§. 126. De a' Sokfzorozásnak eV jelével:
X = csak akkor éllyünk, midőn el-nem kerub hettyük- (fo-képpen a' máfadik könyvemben)
C 5 Másként
Másként a' Bötíi-vetésii fokfzorozásnak jele a' légyen : Ka a'fokfzoroZandónak bottije a' fok-.
jzorozónak bötíijével minden jel nélkül öízve-íiigafztatik; légyen tehát aXb=ab.
ÁLLAMÁNY.
§. .127. IIa .mind a' fokízorozandó, mind pedig a1 íbkfzorozó több. rajúak, akkor mind a' ketten foglalatba ( parentheíis ) vétefsenek, V köztök a' fokfzorozásnak e' j e l e : X : í g y tétef-sék: ( rt+b ) X (e-\~d). Ha pedig vallamel-lyilt köznlök egy r a j ú , a' jelet el-hagyván így Irattathatik '• (a-k-b) c, avagy 2 (d+c). avagy
c(a-hb) 3. [' : - »
RPI--'.- JEGYZET. : •• "
§.^128. Mhel a' Müvben annyifzor van téve d ;fokfzor ózandó, mennyi egy-fzdm vagyon d folfzorozóban (§. 122.) könnyen ki-tettfzik, hogy
7-ÍZer : d müv mindenkor nagyobb légyen d. fok-fzorozandónál (az egéfz mekkoraságokról
fzóll-vdn). \És Il-fzor : d műv annyifzor nagyobb d fokfzor ozandénál, mennyi• egy-fzdm va-gyon d folfzorozóban. Például : ebben d müvben:
3x3=24. d' 24 nagyobb d %-nál, és éppen fcárom-fzor. Tehát 24>8. Már moft, ha ezen lét fzámok közé : 24>3; egyenlőségnek c' jelété akarnád -tenni., ezt a' jelet: pedig > ki-vetni, fzükség képpen a 8-t hár.omfzor kellene tenni j'ok-fiéorozáfsal., így. lenne, ofztán : 24=8x3,
FO
-43 FOJADÉK.
A 128. Tehát közönségefsebben fzollván: l-Jzer:
ab>a, és ugyan. á-fzer nagyobb, hogy tehát >
hellyet = tehei's, az .a-t- b-vel kelletik fokfzorozni, így lél'zen ab = ab. llßor : ab > b, és ugyan fl-Jzor nagyobb, hogy tehát itt-is > hellyet e= tehefs , a' b-t a-val kelletik fokfzorozni, így Jéfzen abs=zbm.
TUDTOM.
§., 130. Ha mik egy harmadikkal egyenlők, inagok között-is egyenlők.
JEGYZET.
' §. 13P.- Khnondhatatlan nagy hafznu ezen Tudtom , nem • csak a' tudákofságban , hanem akár mi más elmè.kedô tudomány ökban-ís. Ugyan azért méltónak Kélem 'f hogy valóságos értelmét e' pel-ehíval meg'vUágosítfam.. Ha nékem i o forintom ú vágyóit U'm- tegyek äzon közép-harmadik , kinek
pénzével más két embereknek (Péternek, és Pálnak) pénzei egybe-vetefsenek. Ha Péternek ennyi fo-rintya vagyon : -54-5. egyenlő léfzcn az én TÔ forintommal. Ha Pálnak ennyi forintya vagyon ':
7"+*3» ezc-is egyenlő lefzen az én 10 forintom-mal. Ekkor- két .embernek'pénze, mifid egygyiket különöfscn véven, egyenlő az én pénzemmel, azt mondhatom hogy Péternek-is c pénze : 54-5 egyr , enlő fog lenni Pálnak é pénzével: 74-3. Az (az) a' mik (54-5, és 7-lx3) egyenlők egy harma-dikkal (úgy-mint ezzel : lo) másközt-is egy-enlők,; az az : 5 4 - 5 = 7 4 - 3 ) .
• F 0
-44
FOJADÉK.
§. :13s. T e h á t , ha léfzen 5 4 - 5 = 1 0 , és ismét léfzen : 74-3=10. E' két egyenlőségből ki-vetvén ugyan azon karmadikát a' 10-et ; tudni 'illik minden kor azt, melly egyformán kétfzer tétetik, a" meg maradott rajok közé így teheted az egyenlőség' je.
lét: 5 + 5 = 7 4 - 3 .
FOJADÉK.
§. 133. Tehát, közönségefsen fzóllván, légyen abzzab, és a buziba , léfzen abzxba*
J E G Y Z E T .
134. Hogy e* Judtomnak hafznát a1 -ii-lági okoskodáshan-is tapafztalhafsad, vegyük bc-fzedrküzbe ezen két nyihántalan egyenlőséget :
ISzQf.-ezt : Ember halandó, JJ-fzor : Péter ember, e két nyihántalan egyenlőségből ki-vetvén a' har-madikát , ugy-mint ezen fzót e m b e r , melly egy formán kétfzer tétetik, a' megymar adott többiből ezen egyenlet léfzen : tehát Péter-is halandó. Ez dm a' világi elmélkedésnek farka, • mellyben forog az emberi okoskodás., és végtére a' bölcsefség.
V É T E L . ' 1
§. 135. Midőn két mekkoraság ( a ex b) fokfzoroztatik, ugyan-csak egyenlő müv
fzárma-zik, akár az első ( a ) fokfzorozza a' máfikat . (b-t) ; akár a' máfadik (b) fokfzorozza az ,elsőt
(a-t) (az az : a b = b a ) .
V I T
-45
: ; VITATÁS.
Mivel ab > a (§. 128.) tehát ab == ab (§. 139,) és ismét, mivel ab > b ( §. 128.) tehát a b = b a (§. I39.) tehát a b = b a (§. 139.
ISS«) A'-mi V. V. V .
FOJADÉK. •
§. 136. Tehát a' müvefek közül akár mellyik lehet fokfzorozó-i», fokfzorozandó-is.
FOJADÉK.
§. 137. Tehát egyg'yik akár mellyik mùVçs ák-űyifzor találtatik a' miivbe, mennyi egygyes-ízám vagyon a' máflk miivesbe ; jól mondhattam tejlát a*
fokfzorozandót, és a' fokfzorozót egy fzóvaí m&v**
seknek (§. 121J ' "" " » -TUDTOM..
§. 138. Ha
az egyenlőket egyenlőkkel fok-f z o r o z o d , a' miivek egyenlők lefok-fenek. Pél-dáúl : ezen egyenlőket : 4 -+-3 = 5- 4- 2 fok-föorozzuk 2-vel, léfeen: (4 + 3) 3 = (5+3) 2; az az 7 x 2 = 7 x 2 , avagy-is 1 4 = 1 4 .
FOJADÉK.
139. Tehát e' femmit: a—a (§. 60.) akár mivel, Vakár mi módon fokízorozod, csak femmi lefz belőle, tehát (a—-aj <5=o ismét (a—a) —bsszo,
T É T E L , •-•••
§• 140. Ä büiu-vetésü egéfz mekkeraságokat fokfzorozni.
MÉCb ;
44
FOJADÉK.
§. :13s. T e h á t , ha léfzen 5 4 - 5 = 1 0 , és ismét léfzen : 74-3=10. E' két egyenlőségből ki-vetvén ugyan azon karmadikát a' 10-et ; tudni 'illik minden kor azt, melly egyformán kétfzer tétetik, a" meg maradott rajok közé így teheted az egyenlőség' je.
lét: 5 + 5 = 7 4 - 3 .
FOJADÉK.
§. 133. Tehát, közönségefsen fzóllván, légyen abzzab, és a buziba , léfzen abzxba*
J E G Y Z E T .
134. Hogy e* Judtomnak hafznát a1 -ii-lági okoskodáshan-is tapafztalhafsad, vegyük bc-fzedrküzbe ezen két nyihántalan egyenlőséget :
ISzQf.-ezt : Ember halandó, JJ-fzor : Péter ember, e két nyihántalan egyenlőségből ki-vetvén a' har-madikát , ugy-mint ezen fzót e m b e r , melly egy formán kétfzer tétetik, a' megymar adott többiből ezen egyenlet léfzen : tehát Péter-is halandó. Ez dm a' világi elmélkedésnek farka, • mellyben forog az emberi okoskodás., és végtére a' bölcsefség.
V É T E L . ' 1
§. 135. Midőn két mekkoraság ( a ex b) fokfzoroztatik, ugyan-csak egyenlő müv
fzárma-zik, akár az első ( a ) fokfzorozza a' máfikat . (b-t) ; akár a' máfadik (b) fokfzorozza az ,elsőt
(a-t) (az az : a b = b a ) .
V I T
-45
: ; VITATÁS.
Mivel ab > a (§. 128.) tehát ab == ab (§. 139,) és ismét, mivel ab > b ( §. 128.) tehát a b = b a (§. I39.) tehát a b = b a (§. 139.
ISS«) A'-mi V. V. V .
FOJADÉK. •
§. 136. Tehát a' müvefek közül akár mellyik lehet fokfzorozó-i», fokfzorozandó-is.
FOJADÉK.
§. 137. Tehát egyg'yik akár mellyik mùVçs ák-űyifzor találtatik a' miivbe, mennyi egygyes-ízám vagyon a' máflk miivesbe ; jól mondhattam tejlát a*
fokfzorozandót, és a' fokfzorozót egy fzóvaí m&v**
seknek (§. 121J ' "" " » -TUDTOM..
§. 138. Ha
az egyenlőket egyenlőkkel fok-f z o r o z o d , a' miivek egyenlők lefok-fenek. Pél-dáúl : ezen egyenlőket : 4 -+-3 = 5- 4- 2 fok-föorozzuk 2-vel, léfeen: (4 + 3) 3 = (5+3) 2; az az 7 x 2 = 7 x 2 , avagy-is 1 4 = 1 4 .
FOJADÉK.
139. Tehát e' femmit: a—a (§. 60.) akár mivel, Vakár mi módon fokízorozod, csak femmi lefz belőle, tehát (a—-aj <5=o ismét (a—a) —bsszo,
T É T E L , •-•••
§• 140. Ä büiu-vetésü egéfz mekkeraságokat fokfzorozni.
MÉCb ;
MEG-FEJTÉS.
ï-fzer : A"
Rend ez :
I-fzer: A' fokföorozaiidó alá irattafsëk a' (bkfzorozó.
II - f z o r : Alattok vonafsék egy Hofe , hogy a1 müv Öizve-ne-keveredgyen a' m'dvefekkel.
• ' Uïrfzor : Bal-kézrŐl kezdvén a' fokfzoro-z n f t , a' fokfeorofokfzoro-zóiiak mmd-egygyik rafiával Ibkfzoroztafsék al fokfeorozandónak mind-egy-gyik r a j j a , hogy meg-találcafsanak a' különös t
m'ûvek.;:'
• Ti-fzer : E' különös müvek vétefsenek egy fömiüáim (§. 98.)
ll-fzor: A,
Szabáfok ezek.
I-sri Szabás. A' mtivefeknele egyenlő jeleik vagyonos müvet adnak,- ellenkező jelçik hé mail 'Mert I-fzer : fokfzorozzuk az a-t fc-vel, lefeevt a' műv : ab (§. 126.) nem tudgyuk pedig meg, minő jelet, kelletik eleibe fùggefzteui, azt mon-dom : tehát e' vagyotioft - h mert ha a' vagyonoft egyneháuyfeor vagyonofsan vefzfzük, vagyonos-ra találunk.ll-fzor : légyen a' fokfzorozaiidó-.—a, á' fokfzorozó V b.léfeeil a'müv : ab (§. 126.) nem tudgyuk pedig m é g , minő jelet kelletik elei-hefiiggefeteni ; azt mondom tehát» e' héúnoít;—1
Ez így vittatódik-meg : légyen a' fokfzor ózandó e' femmi: a—a (§. 60.) a' fokfzorozó pedig;
b. az
47 h. az elöbbení rendnek lll-dilui fzerént léfznek a' különös müvek e z e k ; ab, és ab. már a bi-zonyos : liogy az első ab eleibe e' jelet kel-letik fiiggeízteni : - K (ezen ElsŐ fzabásnak l-sője fzerént) de a' máíhdik ab eleibe nem íuggefzt-hetem e' jelet : - H mert akkor e' mtiv fzár-mazua : a b - t t d b ^ i a b (§. 98.) ; e' pétiig nem feriimi, mellynek kelletett volna lenni (§. 129.) Tehát ha a* fokfzorozandónak jele : — ; a ' f o k -jfeorozónak : -+- ; a' művnek jele :— léfzen.
HI-/zor : légyen a' fokfzorozandó : a; a' f o k - ' ' f z ö r o z ó — ő , léfzen ' a' miiv; ab (§. 126.) nein
tudgyuk pedig még , minő jelet kelletik eleibe függefztcni ; azt mondom : e' héánoíl : — . E z így vittatódik-meg : —a x b = —• ab (OZ elŐb-beni II-cZíí: fzerént) ofztán : —a b = —ha (§,
135.); t e h á t : — a X & = —ha. ( § . 1 0 3 . ) M á r moft: mivel —a x b — —ba (amint éppen moft mondottuk), és — — b X a (§, 126.) tehát
—axb= —bxa (§. 130.) végrére : mivel — aXb=—bxa (amint éppen moft mondottuk) és —bXa—aX—b (§. 135.) tehát : —aXh=*
aX—b (§. 130.) de —axb a' mii vb en e' jelet . adgya : . (e' l l - d ü fzerént) tehát ax—b-h
fe' jelet adandgya : — . IV-J'zcr : légyen a' fok-fzorozandó: — a; a' fokfzorozó : — b ; léfeen a' m'nv: ab (§. 126.) nem tudgyuk pedig még, minő jelet kelletik eleibe függeízteni; azt
mon-dom :
dorn: e' vagyoiioít: 4 - . Ez így vittatódik-meg;
légyen à''fokfzorandó e' femmi : a—a (§. 60.) a' fokfzorozó pedig: — b . (Az elobbeni rend-nek íll-dika Izerént) léízrend-nek a' különös müvek e z e k ; ab, és ab. már a' bizonyos, hogy az első ab eleibe e' jelet kelletik függefzteni : — (ezen első fzabásnak III-dika izerént) ; de a' máfadik ab eleibe nem függeízthetein e' jelet : -— : mert akkpr e' inüv fzái'inazna : — ab —
— 2ab (§. 93.) : e' pedig nem femmi, mellynek-kelletett volna lenni (§, 139.) Tehát ha a' fokfzorozandónak jele : —-; a' fokfzoro-zónak-is : — ; a' müvnek jele '4- léfzen. Igaz tehát a5 föabás, -(pedig a' négy lehetséges tör-ténetekben) hogy a' müvefeknek egyenlő jeleik (eV fzabásnak I , és IV-dike fzerént vagyonos müvet adnak; A' müvefeknek ellenkező jeleik (e' fzabásnak I I , és III-dika Izerént) héános müvet adnak.
II-dik Szabás : Az egy-müvuek éppen úgy fokfzorozzák egy-máft , mint a' l'zám-vctésben
( § . § . 6 9 . 1 1 9 . ) •
lU+dík Szabás-. Mind a' fokfzorozandúban ; mind a' fokfzorozóbau elŐ-forgó akár egyenlő, akár külömb-fél'e bottik egyfzer irattafsanak-lé, Öfzve-ragafztva, minden, jel nélkül* (§. 126,) ÍY-dik Szabás : A' külömb. bötükuek jegyeik irattafsanak-le mhíden változás nélkül; az
»egy-enlő
eülŐ bÔtûknek jegyeik pedig adattalsauak-ofzve.
E z így vittatódik-meg : legyen a' íbkfzorozan-dó : ö3, a' fokfeorozó: <sf , azt mondom: a*
müv léfzeu : c? : mert cd = aXaXa ( § , 7 1 . ) és d~ =3 axa (§• 71») tehát a3Xa" (ßXßXß) (uxá) (§*• 138.) u% (§. 72.)
PÉLDÁK*
I . 3«í>—iccl-k-f)
2c—3/a ) Ä mü
6ak—4c'd-+-2cf ) ,.,..
—^ a b f ' - k - b c d f '— S / '3) ^
I L f + t f — a t ) A, M.. r i
ïïï»;'
^ m - S ^ — J > M ü v efd % )
^ ő ^ 3 ^ 1 ^ ^ — g ő n - ^ V - 8 " yi' M m ) I V .
ô d b ^ - k - 3 — W + 1 )
a á 3 Ä Müvcfekt )
1 y - I A' Mtít. )
Ë' Példákban .fel-nem akadhatfz , ki-véyén az egyenlő botűk jegyeinek Öízve-adásában.Szülí-séges tehát erre-is az üfzve-adúsnak gyakorláíá»,
D - FO»
FOJADÉK.
141. Mivel a' fokfzorozás nem egyébb,haïrent a' fokfzorozandónak annyifzor való tétele, mennyi egy-fzám vagyon a* fokfzorozóban, .a' fokfzorozás.
nak jósága abból álkha a' íbkfzorozandó csak annyifzor tétetett, mennyi egy-fzám vagyon, e' fokfzorozóbari.
FOJADÉK.
§. 143. Tehát a' ki a' fokfzorozásnak jóságát tudni kívánhya, azt akarjai meg-tudni : ha vallyon a' Íbkízorozandó annyifzor tétetett-e', mennyi egy í'zám vagyon a' fokízorozóban ?
FOJADÉK,
§ . 1 4 3 . H a , a*-mikbÖl fzármazik valami, azok attól el-vevödnek, a'fzármazatnak el-kelletik romlani, de a' naitv fzármazik a' fokfzorozandónak annyifzor való tételéből, mennyi egy-fzám vagyon a'fokfzoro--zóban (§. 112,) tehát,lia a' fokfzorozaudó annyifzor
•el-vevödik a' müvtöl, mennyi egy-fzám vagyon a' fokfzorozóban, a' müvnek el-kelletik romlani.
FOJADÉK.
144. A' fokfzorözandót pedig annyifzor el-venni a' miivtöl, mennyi egy-fzám vagyon a' fokfzo-rozóban , nem egyébb , hanem a' müvet a' fokizoro-zondóval el-ofztani (§.92,). Ha tehát a' mi'lvet a' fok-ízorozandóval el-,oíztod , a' müvnek el-keíletik-romla.
ni. Az-áz (a'-mint ez után jobban meg-értödik) a' fokfzorozónak kelletik ofztály gyanánt ki-jönni.
FOJADÉK.
§v 145. Tehát jósága a' fokfzorozásnak az el-ofztásból tetí'zik-ki , mellyröl rnoít mindgyári fzóllok,
NEGYE-N E G Y E D I K C Z I K K E L Y .
Az. El-ofótásról.
MAGYARÁZAT.
§, 146. Az El-ofztás (Diuifio) nem egyébb*
hanem egy adatott mekkoraságtól más adatott mekkoraságnak annyifzor való el-vétcle, men-nyi egy-fzám vagyon egy valami mekkoraság-b a n , melly jelenti: hányföor.találtatik mekkoraság-benne,.
JEGYZET.
147. Például: ^ 2-t, z-vel el-ofztani : an-nyit téjzen : mint 8-túl 2-t annyifzor ehvenni, pennyifzer benne találtatik , tudni-illik: uégyfzcr.
ÁLLAMÁNY.
§. 148. Azon mekkóraságot, mellytől va-lami el-vétetik, nevezzük; ofztandónak (Dini-dendnm). Azt pedig , mélly el-vétetik ; ofztának (Dinifor). Végtére azt, melly meg-mutatty.i, hányfzor vevodhetík-el az öfztó az ofztandó*
tói, mondgyuk ofztálynak (Quotus, vei Quotiens).
FOJADÉK*
149. Tehát At El-oßtds ismét nem e g y é b b , hatlem az ofztaiidótól az oí'ztónak alinyifzor Való eb Vétele, mennyi egy-fzám vagyon az ofztályban.
— . FOJADÉK,
§• 150. A'-ki el-afziást ád ; adgya Ai ofztânddt, és az ofztót^ kéri pedig az ofxtályt»
à
JÉ*
52
JEGYZET.
§. 1-5L áz el'Ofxtandó mindenkor egy-nem&
vagy az ofztóval, vagy az ofztdllyal. És ugyan I-izer : egyenlő az ojztóval, ha az cl-ofztáts a' ' magyarázat jzcrént vétetik (§, 149,) mert itt az el-ofztó mint-egy réfze az el-ofztandónah Pél-dáúl : ha azt mondanád : bárom forintot hányfzor lehet el-vemi. tizenkét forintéi, azt mondanád : ' négyfzer. Itt tehát csak az ofztály vétetik pufz-tán. U-fzor : Az ofztandó az ofztdllyal egy-nemű akkor 5 midőn így tefzed . a' kcrdcß : ha' nyolcz forint két-felé ofztódik, hány forint jön egyre ? azt felelnéd ; négy forint. Itt látod : hogy . az ofztály 4 forint az ofztandóval 8 forintal egy-nemû ; Az ojztó pedig púfziám vétetik. Äkia . miként eJ'J'en a' dolog, elég az, hogy a' munka : >
nem küiómbözik.
JEGYZET.
§» 152. A'-ki az el-ofztásnak magyarázat-1
tyát (§. §. 146. 149.) jól efzébe nyomta, kön• ; nyen 'által-kithaitya, hogy minden el-ofztásbau é . bárom dçlognak kelletik elo-for dúlni : I-fzer : hogy
az öfztó annyifzor vétető dhefj'en-cl aZ ofztandó- : tói, mennyi egy-fzám vagyon az ofztályban, «' fzükség-képpen meg kelletik elsőben lelni az
ofz-tályt. IMior. hogy pedig egyjzerre vitetődhejfen-el az ojztó az ofztandótól (js-pedig annyifzor,
mennyi egy-fzám vagyon az ojztálybmi) az ojztá-nah ;
ml annyifzor kelletik elébb tevődni, mennyi egy fzm vagyon az ofztályban : az-az : az ofztót fokfzorozni kell az ofztcíllyal. IIMz'ot Ef
mü-vet el-kelletik utóllyárd verni az ofztandótól.
FOJADÉK.
§. 153. Az cl-oTztásnak való-értelméből; 's-azolc-riak, mcllyeket előbb mondottam 152.) meg-vis-gálásából, könnyű meg-érteni : hogy valósága az el-ofztásnak a' harmadik munkából á l l , tudniállik; mi dön az ofztandótól el-vétetilc a' müv.
; FOJADÉK.
§. 154. Mivel ismét az ofztó'el-ncm vétethetik annyifzor az ofztandótúl, mennyi egy-fzám vagyon 'az ofztályban, ha csak előbb annyifzor nem tétetik;
világossan ki-tcttfzik : h o g y , ha az ofztó fokfzoroz-tátik az ofztállyal, vifzfza-állitatik az ofztandó.
ÁLLAMÁNY.
§. 155« Az. el-ofztásnak jele a' légyen : ha
%-fzer: az el-ofztandó felöl íratik. Il-fzor : alája egy hofö vonatik. I I F / z o r : e' hofz alá az ofztö tétetik. Például: ha nyolezat, el kellene
" s « qfztani kettővel, légyen igy írva : — ismét : ~
TUDTOM.
§ , 1 5 6 . Ha egyenlőket egyenlőkkel el-o,fz-tafz , az ofötályok egyenlők lefzuek. Pél-dául: ha ezen egyenlőket: 8=4-4-4, el-ofz-tafz 2-vel, léfzen az ofztály : 4 = 3 + 3 . le-gyen a=*b, es. c = w léfzen : 7 = ~ a b
S '
TUD-TUDTOM, '
157, Miiideu mekkoraság maga-magában çgyfzei találtatik ; tehát ~ = I , és -- = I.
' V É T E L . a
§, 158. Ha egy miiv (ab) el-ofzut'à egy müvefsével (a-val) az ofztdly léfzen d máfik
műves (b).
, , VITTATÁS, ,
Ha az ofztályt fökfzorozod az ofctóval, vifzíza-állítatik az ofztandó (§., 154.) de ha e' müvet.: ab 9 az a-val e l - o f z t v á n a z ofztályban ki nem jönne a' máfik műves : b ; hanem valami más; vifzfza nem állíttatnék az ofztaüdó ;
ha-nem valami más..; tehát: 's-a'-t. A'-mr V.V.V»
FOJADÉK.
159. Legyének e' művefek : az egygyik : 04, bg-og-d. a' másik-, cc. léfzen a' müv : aocg-bx-^cxg-dx
140-) aLaz : valahányfzor ollyas müv adatik.elő, mellyben egy rnekkoraság (valamint itt a z : x ) fok.
fzor tétetik , azon fokfzor tevődött mekkoraság : se, mindenkor az egygyik műves : a' máfik milves pedig az, amit ezen egy x fokfzoroz, úgymint : a+A-f-c+a!
ax-ßbx-g-Gx-ydx cx-\~x tehát:' , - • • - — = ismét x, E'fo-ag-.bg-cg-d. c + t jadéknak meg-értéfe nagy hafznot bajt.
TÉTEL;
§. 160. Betti-vetésű egéfz mekkorátágokat tl-ffj'ztani.
'
MEG-MEG-FEJTÉS.
l-fzer:
A' Rend ez:
I-fzer : Irattafsék balra -az ofztó.
I I- f z o r : Azon rendbe irattafsék utánna a' foglalatba-vett ofztaudó.
III-fzor : Kerestefsék : az ofctónak első rajja hányfzor találtatik az ofztaüdónak vala-mellyik alkalmatos rajjában?
ïV-fzer: A' meg-leltt ofztály irattafsék jobra.
az oíztandó utánn.
, V-fzör : A' meg-leltt ofztállyal fokfeoroz-tafsék az egéîz ofztó.
Yl-fzor : E' műv irattafsék az oíztandó alá; .
NIL-fzer : Ugyan e' műv véteísék-el ' az ofztandótól.
VIIF/zor : A' maradékok mindnyájan oly-bá tartafsanak, mint új ofztandók, 's-ezekben kereftefsék az új ofztály.
IX-fzér : E' munka mind. addig fojtattas-f o n , míg az egéfojtattas-fz el-ofojtattas-fztásnak vege fojtattas-fzakad.
X-fzer : Ha utóllyára valami marad, melly-ben immár az ofztó egy-fzer fem találtatik, jelé léfzen annak, hogy az el-ofztás maradék nélkül végbe nem mehet. Tehát akkor e' végső maradékot, jelével egygyütt, az ofztály-hoz ragazd, 's-alája egy hofzfzat v o n v á n , e' hofz alá írd az egéfz ofztót.
D 4 II-fzor : >
ïl-fzoY : A
Szabáfok ezek.
I
. I-j5' Szakis ; Az ofztónak, és az ofztan.-dónak egyenlő jeleik az ofztályban vagyonos jelt adnak; -4-; azoknak ellenkező jeleik , héá-noft: — M e r t %-fzer ; _0£çfeav.çl;. a, az. akt ;
az oíztály e' léfzen: b (§. 158.) és ugyan va-gyonos jellel : mert máskép' az ofztót fokfzo-rozván az ofztállyal, vifzíza nem állíttatna az ofztandó; vifzfza kell pedig állíttatni (§. 154.) tehát : ll-fzor;, Öfzfza-el : — a, — ab-t ; léfzen az ofztály í! Íí:( §i 458.) és ugyan vagyonos jellel : az ellőbeni okra nézve. III-/zor; ofz*
fza-el: —a, ab-1; léfzen az ofztály: b (§J58*
és ugyan héános jellel: azon okból. TV-Jzerß Ofzfza-el ; a , —ab-1, léfzen az ofztály •• b (§.
-158.) és ugyan héános jellel • ugyan azon ok-ból. Tehát az egyenlő jelek vagyonos jelt
adnak, az ellenkezők héáuoft. ' lí-dik Szabás:' Az ofztóhalt e g y - m ü v ü j e
ofzfza-el az ofztandónak egy-müviijét, mint a"
Szám-vetésben: . ;
Ilí-dik Szabás : Az ofztójiak, és az ofztan-dónak egyenlő bötüi egyízer irattaffanak-le az ofztályban ; ofztán az ofztónak jegye véfeefsék-cl az ofztandónak jegyétől, p' maradék léfzen az-.ofztálynak jegye,: .mert ofzfza-el: ezt:
• .4 ; mivel 4 (§« *39») ha. a" el«
ofztya ezt: a ' X c f , léfzeii az ofztúly ; d (§•
158.) tehát Jm ß" el-ofetya e z t á L a?, az ofe- i tály léföémtó3 (§. 156.) •' de fez- annyit t é f ö e á y . mintha az ofetc/nak jegyét el vennéd az ofe-taiidó' jegyétől (mert 5 — 2 = 3 ) t e h á t , 's-a'-t.
iV-dik SzabásHa áz ofijtandóban ollyas bőtök találkoznak, mellyek .az pfztában nincse-nek ; azon bötíik ragafetaffanak-óizve az pfetál-l y a pfetál-l , jegyeikkepfetál-l egygyütt (§. 158.).
V-dik Szabás • Ha az ofetóban ollyas botlik találkoznak, mellyek nincsenek az ofetandÖ-han ; akkor az ofetó nagyobb az ofztandónál az el-ofötás tehát lehetetlen ; hanem á g y kel-letik le-ími, mint ez-elott- feóllottimk, (§. 155.) 1
; V É T E L .
§. 161. Ollyas mehkoraság, mellynek' jegye Semmi (davagy : Xo°) egyenlő cgy->f%ámmal . (ß°=i , avagy xo°=:I).
i V I T T A T Á S , ..'
. M e r t : ~ = I (§. 157.) és — = ß ° ( § . 160.
• < a a
Ttl-dik Szabás) tehát a° *= I. ( § . 1 3 0 . ) Éppen igy vittatódik-meg az-is : h o g y i o ° = i . t e h á t ,
• Va'-t: A ' - m i V . V . V .
A FOJAHÉK*
§. 16a, Mivel tehát a°br=~iá (§. tói») és (§, 70.) léfeen: a°bz=zb (§. 130.)
' V - ' : PÉLDÁK.
I. Az Ofztó: 3V—2èV~-+-5 (Az Ofztandó:
6amUf--hioa":b—9abcd'" —15 cdm-¥-l2a3 fc—4^*
—S^fcV )- Az Ofztály':
II. ^ Ofztó : , 2a"c1—Zanbm (Az Ofztandó .:
ioaW — MaWc3 — 15 anPf~m + 36 «Wc
—ófl'k3) . Az Ofztály. Sabm~l2b3c—6amc3' V ' , 2a2c"-—3a"bm.
.III. Az Ofztó.:
-4-8(Az,Ofztandó : W V ' V— ba?r"wbm~*x"
—2'aBK~JxMn, • . • - • IV.AzOfztó :
U* Ofztandó: 6aH"-"!b W
bwAx1 V 7 ) ^ Ofztály.:
F O J A D É K . ~
KÍ3. Mivel az el-ofztás nem egyébb, hanem az ofztónak annyifzor való el-vétele az ofztantódól, menpyi egy-fzám vagyon az ofztályban (§. 149.; az el-ofztásnak jósága abban áll: ha az ofztó annyifzor vevifdött el az ofztandótól, mennyi egy-fzám vagyon az ofztályban.;:
.FOJADÉK.
§. 164. Tehát a* ki az el-ofztásnak jóságát ki-vánnya meg-tudni, azt akarja meg-tudni: ha vallyon az ofztó annyifzor vevÖdÖtt-e*-elaz ofztandótól, men-nyi egy-fzám vagyon az ofztályban ?
FOJADÉK.
S, I<5j, Ha, miket el-vévén valamitől, azon fzár-mázat el romlott, azoknak vifzfza-tételévei a'fzárma-zatnak vifzfza kelletik állíttatni ; de az ofztandó ak-kor romlott el, midőn tőle az ofztó annyifzor véte-.
tett-el , menuyi egy-fzám vagyon az ofztályban ; tehát az ofztandó akkor állitatik vifzfza , midőn az ofztó annyifzor tétetik, mennyi egy-fzám vagyon az ofztályban.
FOJADÉK.
§.~i66. Mivel pedig az ofztót annyifzor tenni », mennyi egy-fzám vagyon az ofztályban, éppen an-nyit téfzen: mint az ofztót az 1 ofztállyal fokfzorozni (§. U j j ) az ofztandó akkor állítatik-vifzfza, midőn az ofztó fokfzoroztatik az ofztállyal.
FOJADÉK.
167, Tehát az el-ofztásnak jósága a'fokfzoro-zásból tettfzik-ki.