I- fzer : A' rend ez;
1- ső fzabás : Mivel minden, el-rendelt köb- köb-nek ' első rajjában, a' gyök' első raj jáuak köbe
találtatik (§. 297), vonafsék-ki a z adatott köb-nek els<5 rajjából a' köb - gyök' ( § . 3 0 5 ) , 's-irafsék jobra az egyenlőség' jele után. Ofz-tán e' k ö b g y ö k kéböltelten ( § . 267), 's-vé-teffen-el a? adatott köbtől, a'-mi meg-marad, a' léfzen iz első maradék.
II -dik fzabás : Mivel az adatott köbben következik három-annyi dereka az első-gyok-rajnak fokfzorozva a' máfadikkal ( §. 297 ), ofztafsek - el az első maradék a' gyök első rajjának három-annyi derekával, 's - az ofztály irattafsék - le a' gyök' máfadik rajja gyanánt (§. 158) ; ofztán a* máfadik gyök - raj fokfzo-roztafsék az ofztóval ; ezután e' máfadik gyok-' rajgyok-' három - annyi dereka „ fokfzoroztafsék
az első rajjal ; végetére a' máfadik gyök-raj emelteffen köbre ; e' három müvet el-vévén az első maradéktól,, ami meg - marad, a' léfzen a' máfadik maradék,
I I I - dik fzabás : Mivel az adatott köbben következik három - annyi dereka az első , és máfadik gyök - rajnak f o k f z o r o z v a a' harma-dik g y ö k - rajjal ( § . 297), ofztafsék - el a' máfadik maradék á z eisŐ, és máfadik gyök-rajnak három - annyi derekával, 's-az ofztály
H 4
irat-irattafsék - le harmadik gyök - -raj gyanánt ( § . 1 5 8 ) ; ofztán e' harmadik gyök raj f o k -fzoroztafsék az ofztó val'; ezután e' harmadig gyök -rajnak három - annyi dereka fokfzoroz-tafsék az első, és máfadik gyök -rajjal ; vég-téré e' harmadik gyök - raj emeltelïen köbre ; e' három miivet el - vévén a' máfadik maradék-tól, a'mi meg-marad, a ' l é f z e n a' harmadik' ma-radék.
i
IF'dik fzabds: Mivel az adatott köbben következik három-annyi dereka az első, máfa-d i k , és harmamáfa-dik gyök -rajnak fokfzorozva a' negyedik gyök - rajjal (§. 297), ofztafsék - el a'- harmadik maradék az .első, máfadik, és har-madik gyök - rajnak három - annyi derekával,
• V a z ofztály irattafsék-le negyedik gyök - raj-gyanánt (§. 158) ; ofztán e' negyedik gyök-raj fokfzoroztafsék az ofztó val; ezután a' ne-gyedik gyök - rajnak három - annyi dereka fokfzoroztafsék az első, máfadik, és harmadik gyök - rajjal ; végtére- e' negyedik gyök - raj emeltefsék köbre ; e' három müvet: el-vévén a' harmadik maradéktól, a' - mi meg - m a r a d , a' léfzen a' negyedik maradék.
•', F- dik fzabds: i Ezen fzabáfok' módgya fze*
rént folytattaffon ezután - is a' munka mind ad-dé'g, még az adatott köbből femmi fem marad;
azt mondom : h o g y meglelő'dtak a' k ö b g y ö -köknek minden rajjai.
VITTATÁS. . » '
Az adatott köbnek való - gyöke akkor, találódott-meg, mikor' ennek köbe .egyenlő az adatott köbbel. Egyenlő pedig azért: mert a' meg - lelt gyöknek köbe réfzenként el - ve*
vődvén az adatott köbtől, femmi fem maradott;
tehát a' meg - lelt gyöknek valónak kelletik • lenni. A' - mi V. V. V.
JEGYZET.
§, 303. Ha valami térccUkből ! kellene ki-vonni á köb-gyököt, annak mind réfzefsébölf
mind nemezőjéból ki - kellene vonni ; lenne tehát :
K í ) « ?
PÉLDÁK.
L V ( V + 3 Í V • + • 3 & V 4 - 3 c V + 6 y 4 ~ 6 B vs 4 - 3 b*cx'» -+-3C » X »4-3 bc* #4-e3>—x'-ybx-f-c.
II. V (c34-3c1 d-+-3cd * 4-d34-3 c * g-\-6cdg-4~3 d1S ó 4 - 3
III. V ( 63—3 6 * <Z4-3 61 c + 3 bd1—6&dc4~3&c < —
4-3 <24-60. ' ' "V JEGYZET.
309. Ä tanulók' kedvekért vegyük- elő c/xő példát. 4' .munkának képe ez ;
H 5 ^
+ 6hex3
1- ofztó : 35C4 (36^+36ï/+3w4+634c3+66cxî
-\-3b1cx*-Jr-3czxí-1r3bctx-hc'3) I.maradék.
+3cta:1+36ct3c+c') 1/. maradék.
3cx4-\-6bcx*-{-3b'lcx*
A' munka pedig e z : El - rendeltetvén a*
köb az. X betőnek, .jegye fzerént, ú g y , hogy a' leg-nagyobbik, balra előre t é t e t v é n , utánna következzenek azon betőknek kiffebb , 's-meg-meg-kiffebb- jegyeik ( e l - l e h e t e t t vohia pedig rendelni vagy. a' b, vagy a' c betŐnek jegye f z e r é n t ) , vonafsék-ki az / - b ó l e' k ö b - g y ö k : X*, 's-írafsék - le a ' , gyöknek első rajja gyanánt, Vannak köbe : x6, v é t é f s é k - e l az adatott köbnek első rajjától. Kereftefsék ofö-tán a' meg - lelt első gyök - rajnak három-annyi dereka; 3 / , hátiyfzor találtatik az eísŐ maradéknak első-rajjában, az 3 6 / - b e n ? 's-á'z
ofz-ofötály : bx, irattafsék a' gyöknek máfadik rajja g y a n á n t , 's-azt fokfzorozván az első o&-tóval, 3#4-el, ofztán annak három - annyi de- .'•' rekát fokfzorozván az első gyök - r a j j a l , vég-'tére azt k ö b ö l v é n , e ' h á r o m müv: Sbx^-ttSfx4
v é t e f s é k - el az első maradéktól, a-mi meg-marad, a' léfzen a' máfadik maradék, Ke-reftefsék ismét a' meg - lelt e l s ő , és máfadik gyök - rajnak három - annyi derekának eíso rajja : 3#4 hányfcor találtatik a' máfadik mara-déknak első rajjában : 3ctf+-ben ? az ofztály ; c, irattafsék a' gyöknek harmadik rajja gyanánt;
melly fozíkoroztatván az egéík o f z t ó v a l , ofz-tán annak három - annyi dereka fokízoroztat-váll az e l s ő , és másadik gyök-rajjal; vég-tére azt köbölvén ; e' három müv vétefsék - el a' máfadik maradéktól , femmi fem marad, tehát ' a' kévánt köb-gyök e' léfzen ; xz-k-bx-\-(,
H A R M A D I K R É S Z .
A' fzám - vetésű karokból a' gyököknek k i - vonáfokról.
" MAGYARÁZAT.
§. 310, A' fzámas Izek ( notae numericae ).
azon jelek, mellyekkel a' fzámokat jeientyük:
Példúál : 4 5 egy iz ; 8a , két iz ; 3 2 4 , három M , Egy íznél, többek fzerkeztetett izéknek-if
mon-124
mondatnak (notae compofitae ) [ezek tehát ízer-keztetett izek IQ, n , i s , 13» *oo, 1000, ' ' s - a ' - 1 . ' " . , . ' .
FEL-OSZTÁS.
31I, A' gyököt I-fzer:' a' Derekak-ból fogjuk k i - v o i i u i . II-fzor: a' KobekbŐl.
Ezeket két czikkelyekre fzorítom.
E L S Ő C Z I K K E L Y .
A' Derek - Gyökök' ki - vonáfokról.
.. VÉTEL,,. .
§. 312.. A' fzàm-vctèsû der ele éppen azon izekből áll, mellyekből d bető-vetésú. .
V I T T A T Á S . :
Mivel cíak a' fzerkeztetett izekről lehet a' beföed (§.310)» mindeu két-izbő'l álló gyök eíő - állíttathatik e z z e l : a-\~b, ú g y , hogy az a tizefeket, a' b egygye feltet érjen. Min-den három izbŐl álló gyökér e z z e l : ß-f-M-c 'úgy hogy az d fzázafokat, a' Î? t i z e f e k e t , az
c egygyefeket érjen : minden négy ízből álló gyök ezzel : a-k-b~+-c-\~d , úgy , hogy az a e z r e f e k e t , a' b' fzázafokat, a' c t i z e f e k e t , a' à egygyefeket érjen, és így tovább." Tehát közön-ségeiken fzóllván : á' fzám vetéfsíi derek - gyÖ-, kök elŐ-állittathatnak bető - vetésű derek gyö' L ö k k e l , tehát a' fzám-vetésű d e r e k a k - i s
elő-
állít-- állíttathatnak a' bető állít-- vetésű derekkai ; tehát
» ugyan aZon réfzekböl állanak. A'-mi V . V . V . JEGYZET.
§. 313. Ezen fzám : , 34, melly két Ízből áll, egyenlő ezzel: 3 ° 4 - 4 . Mert mind á hét-tőnek f.zárna harmincz négyet téfzen; de ezen fzdm: 30-4-4,' elo állíttathatik e z z e l a 4 b ,
tehát ez - is: 34. Tehát ( a H - b ) " = ( 3 0 4 - 4 )5
= (34)2 ; és valóban mind a' hármat a' máfadik karra fel - emelvép léfzen : a24^2ab4-bc—900 4 - 2 4 0 4 - 1 6 = 1 1 5 6 .
F O J A D É K
314. Tehát minden fzám - vetésű derek két réfzböl áll, mint a' betö - vetésű ( § . 2 7 9 ) . I-fzer : mind-egygyik iznek derekából,'/7-A0'" • két-annyiá»
bólaz elöbbeni izeknek fokfzorozva az utóbbi izekkel.
TÉTEL.
315. Minden adatott fzám - vetésű de-rékban meg - visgálni: hanyadik helyen végződik mind ~ egygyik iznek dereka.
MEG-FEJTÉS.
I-fzer : Mivel az egygyefeknek dereka csak egygyefeket jelent ( m e r t i x i — I ) , és az egy-gyefek az adatott derekban jobb - kéz felől utólsó helyen végeződnek, azoknak derekok-is fzükség, h o g y ott végezŐdgyenek.
II-fzof : Mivel a' tizefeknek dereka fzázafokat jelent (mert 1 0 x 1 0 = too ) , és a' M
-zafok
Ï30
zaíbk az adatott derekban jobb - kéz - felől har-madik: helyen yégezodnek, azoknak derekok-is fzükség, 'hogy ott végeződgyeuek.
-IJl-fzor: Mivel a' fzázafoknak dereka tiz-ezerfeket jelent (mert i o q X i o o = = i q o o o ) , . és a' tiz - ezrefek az adatott derekban jobb - kéz-fe-löl ötödik helyen végeződnek,, azoknak dere-kok-is fzükség hogy ott végeződgyeuek. Te-hát azon helyek, mellyekben a' derekak vége-ződnek , jobb-kéz felől kezdvén, vifzfea -men-nek e' M m o k fzerént : 1 . 3 , 5 . 7- W - t .
FOJADÉK.
5. 316, Tehát, ha minden adatott fzám-vetésft derekban, j o b b - k é z felől kezdvén , minden két iz után vonás tétetik, vonáíTal meg - külomböztetett minden tagban lappang egy iznek dereka; 's-azért;
annyi izek lefznék a4 gyökben, mennyi von által ínég - külömböztetett tagok vadnak a' derekban.
JEGYZET.
§. 317, Mind ezeket, mellyeket eddig a' fzám-vetésű karokrófmondottam, jól meg-értse, a'-ki a"
gyököt ki-akarja vonni, másként homályosok léfz, uek a' következendők.
! TÉTEL.
§• 318. Minden egy, vagy kei- izîi derek' hál d gyököt H vonni.
MEG-FEJTÉS.
Jelen légyen e' következendő kis táblácska, mellyben az egy - izti gyökök az első
ofzlop-fean
ban, , azoknak derekai a' máfadik ofelopban vadnak. Ezt könyv nélkül-is tuthatod. ~
T-'sü 'ofzlop I T T a T f y j T s ' l 7~| 8 Ï 9 I f - d i f o f z l o p ,1V.l. 4 j _ 9„1 J 6 [ g5j_36j49j64 j g i
I-fzer : Tehát, ha ollyas derek adatik, Példáúl : 8 1 , melly a' mafadik ofelopban 'éppen meg - találta tik, annak, gyökét, a' 9 - 1 , fö-lötte látod az első ofelopban.
II-fzor : Ha pedig ollyas derek adatik, Példáúl : 18, melly a' máfadik ofelopban nem találtatik,* annak való - gyökét fem látod az első ofelopban; azt tudod hogy a' 4 kiffebb gyök, az 5 pedig nagyobb ; ekkor a' kifíeb-bik gyököt feoktuk venni.
TÉTEL. " , „ ' . • •
§.319. Minden adatott fzàm-vetçsê derek- • bél d gyököt ki-vonni.
MEG-FEJTÉS. ' I-fzer: A' ien'd ez:
I -fyer : Vétefsék foglalatokba a' derek.
II - fzor :. Jobb - kéz-felől kezdvén, minden két iz után tétefsék egy vonás ( §. 316 ). A' tagodnak, utóbbikka egy izbŐl-is álhat.
III- fzor : A' foglalatokon kivŐl tijj&s&T' balra a' derek - gyöknek e? jele ; V .
IV- fzer A' foglalatokon kivŐl ^teíséfeÁ;
'jobra az egyenlőségnek e' jele: ==. i f t •
' imkf*~
II'fzoT-: Á fzabáfok. e z e k :
J-sŐ fzabds : Mivel minden dereknak bal-kéz - felől - való első tagjában a' gyök' első ízének dereka találtatik ( § . 2 8 5 ) , kereftefsék:
énnek gyöke ( §. 319 ) , 's -irattafsék balra az egyenlőség' jele után a' gyöknek, első ize gyanánt, 's-annak dereka vétefsék-el azon első t a g t ó l , 's-ha mi meg - marad , a' léfzen az első maradék. •
l í - dik fzabds i Az első maradékhoz (ha csak -valami m e g - m a r a d h a t o t t ) ragafztafsék a' máfadik tag , mellyben (hozzá értvén a' mara«
d é k o t - i s ) találtatik a' gyök' első ízének két-annyía fokfzorozva a' máfadik gyök - izzel, és a ' m á f a d i k iznek dereka ( § . 285) ; mivel "
pedig a' máfadik iznek dereka az utolsó izbeu lappang ( §. 3 1 5 ) , ezt Vonáífal el - rekefetvétt, úgy - mint a' máfadik gyök - iznek derekát, á többibe talaltatik az első gyök - iznek két-annyia fokfzorozva a' máfadik gyök - izzel, melly müv ha el - ofztatik az első gyök - iz-nek k é t - a n n y i a v a l , az ofztály léfzen a' máfa-dik g y ö k - i z ( §, 158 ) : írattafsék - le tehát ezen ofztály máfadik gyök - iz gyanánt, 's-egy - fzer - Vmind ragafztafsék az ofztóhoz-is jobb - k é z - felől, ofztán fokfzoroztaffon az ofz-tály az egéfz o f z t ó v a l , a' müv léízen mind az
élsŐ
első g y ö k - í z n e k k k é t * annyia fokfzorozva a' máfadikkal, • mind pedig a' máfadik gyök * íz-nek dereka mellyeket el- vévén a' máfadik tagtól, lm mi meg - marad, a' léfzen a' máfa-dik maradék.
• III- d'à fzabds : À' máfadik maradékhoz (ha-csak valami meg-maradhatott)', ragafztafsék a', következendő harmadik t a g , mellyben ( h o z z á értvén a' maradékot-is) találtatik az e l s ő , és máfadik gyök-iznek két - annyia fokizorozva a' harmadik gyök - izzel, és a' harmadik gyök-Íznek dereka (§. 285) Mivel pedig a'
har-• madík gyök - íznek dereka az maradéknak utolsó izében lappang ( § . 3 1 5 ) , ezt vonallal el - rekeíztvéu, úgy - mint a' harmadik gyök-izuek derekát, a' többibe találtatik az felső, és.
máfadik gyök - iznek két - annyia fokfzorozva a'harmadik gyök - Ízzel; melly müv ha el- , ofztatik az első , és máfadik gyök - iznék két-annyiával ; az ofztály léfzen a' harmadik gyök-iz ( § . 1 5 8 ) ; irattaísék -le tehát ezen ofz-tály harmadik g y ö k - i z gyanánt, ' s - e g y •> fzer-'s - mind ragaíztaisék az ofztóhoz - is jobb - kéz felől, ofztáu. fokfzol-oztaffon ezen ofztály az
egéfz öfztóval, a' müv léfzen mind az első, és máfadik gyök-iziiek két-aítnyia fokfzoroz-va a' harmadik gyök. - izzet, múld pedig a' harmadik' gyök - iznek dereka ; mellyeket
el-, I „ el-,'VÉ"
vévén a' harmadik t a g t ó l , ha mi meg marad , a' léfzen a' harmadik maradék.
IV- dik fzabds : A' harmadik maradékhoz ragafötafsék a' következendő negyedik t a g , 's
az előbbeni fzabáfok fzerént folytattafsék a' mnnka miiid - a d d é g , még minden tagok egy*
más-után le - tétettek ; azt mondom : hogy így meg - találtattak a' gyöknek minden jzei.
• ' V I T T A T Á S .
A' Vittatás egyenlő az előbbivel ( § . 302.).
J E G Y Z E T .
§. 320. IIa az utolsó el - vevés 'után femmi fem marad; jele lejz annak-: hogyha' gyök ép-pen H - vagyon - vonva ; es az adatott derek t'tí-kélletes. Ha pedig valami meg - marad ; jele lefz annak : hogy az adatott derekalt fzám nem tö-kélletes derckalds , és hogy a' meg - talált gyök az adatott derek - fzdmnak gyükénél kijjebb mert ennek dereka réfzenként el-vevi'idvén az, ada-tott derek-fzámtál, még-is valami meg - maradott.
Ezen meg-talált gyök pediglen még fem kijjebb egy egéfz fzámmal az adatott derek fzdmnak gyö-kénél, hanem egy - fzdmnak valami töredékjével kijjebb, Melly monddfomnak igazsága ki-tcttfzik önnön magából a' gyök ki - vonásának munkájá-ból ; 's-abmunkájá-ból-is: hogy, ha illyes gyök (egy egéfz fzámmal nagyobbúhdn) derekaltatik,1 dereka nagyobb léjz az adatott derekalt fzdmndl.
PÉL-PÉLDÁK.
I. V"(II>97» T<5)=346' II. y/(9,12, .64, 4D==3°2I:
ILÍVCASÍ 20,04, 00)=^5020. IV.\/(I, 52, 27,56)-1234.
JEGYZET.
§,321. H' Tanulóknak kedvekért vegyük ' elő d máfadik példát. A' munkának képe ez :
VÁ9/IM4/4I)==;303I.-.
9 • .. :