Azegéföt'ít&c ) a\ - A' tudákosságnak első könyve : A' bötü-vetés. (Algebra)

A' töredék ; a ) ré-) fzeh m

abcmri-a

-d fon.

ILAz egéfz : mno ) d A'toredék mco )

ré-' ré-' yzek. nao mn'do -mco

nao a'fonu TÉTEL. ,

§. 231 Adatott vegyes töredékeket öfzvc-adni.

F 2

MEG-MEG-FEJTÉS.

Első mód. I-fzor : Adafsanak-öfzve az e-géízízek (§. '98.) Il-fzor : oíztán a' töredékek (§. 329.) ; lásd az következendő első Példát.

Mdsadik mód. I-fzer : Á' vegyes töredékek, vétefsenek tiízta töredékekre, (§. 228.). Il-fzor e' 'tiízta töredékek adafsauak-öfzve (§. 229.).

Lásd a' kevetkezendő másadik példát.

PÉLDÁK.

2 cmx ) I. 3 c?b 4

tab

)

, . 5eVr t ) A Refe<*' à b —• 2 N .

2a X )

„ 4a3cK'x-—i5abc~xm

4a'b4 . 4, •:—' A Somma.

babx

, 5a-ív'" z) ÁT Réfzek. ' Sa*b"'c ^

ZoamfxbcHm-\-i <)U~bmcmxy75arbmcHm~ 15a ~-b<ßxm-*

15c3+'" Somma.

T É T E L . .

332. Adatott tlfzta töredékeket el-venni, MEG-FEJTÉS.

I-fzer : A' külömb-nemő töredékek vétefsé- , nek egy-nemőségre (§. 217.).

Il-fzor:

77-/zor : A' keveüto töredék' refeefsének jele váltóztafsék ellenkező jelre.

. III-fzor : Ofztán adafsanak-ofeve a' réfzc-fek (§. 98.). : '

V I T T A T Á S . , "

A' külömb-nemŐek egymáftól el-nem-vétet-hetnek (§. 109.), 's-mivel az el-vevés, jel-meg-valtóztatva., nem e g y é b b , hanem Öfzveadús (§. I I I . ) , kitettfëik: mért kelletik a ' k e -vesítonek jelét meg-yáltóztatni, 's-ofztán csak a' réízeseket Öfzve adni. A'-mi V . V . V .

PÉLDA.

— 3-.-' Kevefitendo :— • Kevefito ; bcintfc-20ab*~xc3 •

—7 Maradék.

8c ,

T É T E L .

§. 233. Adatott egéfzből töredéket ; fluögy adatott töredékből egéfzfzet el-venni.

M E G - F E J T É S .

7-/zer : Az adatott egéfz alá tétefsék egy-fzám, .és igy k é t tiízta töredékek léfznek.

Il-fzor : Ezekkel azt m ü v e i d , a' mit ez-előtt (§. 333.).

F 3

PÉL-MEG-FEJTÉS.

Első mód. I-fzor : Adafsanak-öfzve az e-géízízek (§. '98.) Il-fzor : oíztán a' töredékek (§. 329.) ; lásd az következendő első Példát.

Mdsadik mód. I-fzer : Á' vegyes töredékek, vétefsenek tiízta töredékekre, (§. 228.). Il-fzor e' 'tiízta töredékek adafsauak-öfzve (§. 229.).

Lásd a' kevetkezendő másadik példát.

PÉLDÁK.

2 cmx ) I. 3 c?b 4

tab

)

, . 5eVr t ) A Refe<*' à b —• 2 N .

2a X )

„ 4a3cK'x-—i5abc~xm

4a'b4 . 4, •:—' A Somma.

babx

, 5a-ív'" z) ÁT Réfzek. ' Sa*b"'c ^

ZoamfxbcHm-\-i <)U~bmcmxy75arbmcHm~ 15a ~-b<ßxm-*

15c3+'" Somma.

T É T E L . .

332. Adatott tlfzta töredékeket el-venni, MEG-FEJTÉS.

I-fzer : A' külömb-nemő töredékek vétefsé- , nek egy-nemőségre (§. 217.).

Il-fzor:

77-/zor : A' keveüto töredék' refeefsének jele váltóztafsék ellenkező jelre.

. III-fzor : Ofztán adafsanak-ofeve a' réfzc-fek (§. 98.). : '

V I T T A T Á S . , "

PÉLDA.

— 3-.-' Kevefitendo :— • Kevefito ; bcintfc-20ab*~xc3 •

—7 Maradék.

8c ,

T É T E L .

§. 233. Adatott egéfzből töredéket ; fluögy adatott töredékből egéfzfzet el-venni.

M E G - F E J T É S .

7-/zer : Az adatott egéfz alá tétefsék egy-fzám, .és igy k é t tiízta töredékek léfznek.

Il-fzor : Ezekkel azt m ü v e i d , a' mit ez-előtt (§. 333.).

F 3

PÉL-PÉLDÁK I. a. keveßtendö, •

,

keveßto.

ctft—n m

~ maradik, rí^'

ÍI.w , „ . , hveßtendö»

T E T E L .

a. keveßto.

, m—-an ,.

maradék.

§. 334. Adatott vegye?, töredékeket el-vennü MEG-FEJTÉS.

Első mád. 1-fzeY Vétefsen-el az egéfötől az egéfz i l l . ) I Í / « o r : a' töredéktől a* tö-redék (§. 333.) lásd az első, példát.

Máfadik mód. l-fzer :• A' vegyes töredékek, vétefsenek tifzta töredékekre (§. 338.) ll-fzor : E tifzta töredékek Vétefsenek-el (§. 333.) lásd a' másadik példát. ,

PÉLDÁK, 3 cmx

I . 3a'b-k —* keveßtendö.

w 2 m

„, 5c X ^

a"b 5—keveßto»

3 a-x

. 4 a1cmx ^ l 5 a b f xm

—-—r~— • maradék. • ' ' bab'x

n . Ä ß W ^ - s a V .

—keveßtendö• . 4 db^x — Zab-x3 ,

— kevefit'ö.

. ; %r~x maradék

PÉLDA.

. " T É T E L . • "

§. 239, Adatott egifzfaei töredékkel ; avagy töredéket egéfzfeel fokfzoroznu

MEG-FEJTÉS,

Mind a' k é t történetben egy a" munka ; ügy-mint: az. adatott töredéknek réfeefíe fok-ízoroztafson az égéfelzel. (§, 199.)

PÉIDÁK.

b db ' m me ' ; I . a x — = — II. — X c = —

c -c n n T É T E L .

• §,23 f . Adatott vegyes töredékeket fokfzoroznL . MEG-FEJTÉS.

I-fzer : A' vegyes töredékek vétefsenek tifetákra (§• 228.)

II-fzor E' tiízták fokföorotafsanak egy-máfsal (§, 235.) 1 . :

•.'••.••••...: .. PÉLDÁK.. •. • ' r (12 á r - T V - S X h d b ' " ^ - z - l

4amx J K 2 ax )

24 4 YM x P V1^ - 4

'

' _;.;; z4otWbW — b

**U g* '**

. . s / V ^ d1 ; : , ,... ;

JEGY-T É JEGY-T E L .

§Í."MdMott\ tifzta töredékeket egy-más-sal főkfzoroznu

M E G - F E J T É S .

I- f z e r : Sokfzorozza az adatott töredéknek réfzefse a' máfik adatott töredéknek réízefsét (§. 140.), e' müv léfzen a z ú j réfzes.

II-fzor : Sokfzorozza az adatott töredéknek nemezöje a' máfik adatott töredéknek nemezö*

jét (§. 140.), e' müv léfzen az új nemezö'.

V I T T A T Á S .

Minden fokfzorozandó töredék elŐ-alíttat-háttik èzzel minden fokfzorozó ezzel :

•C K ha tehát itt' meg-vittatódik, hogy —* léfzen

az igaz m ü v , e' váló közönséges léfzen. í g y vittatódik pedig éz meg ; ha —fokfzoroztatnék az egéfc w-mel, a' müv e' lenne: — (§. 199«) c

de e' müv «-fzer nagyobb, mintsem kellene (§•

• , . am

193.). Tehát hogy — való müv l é g y e n , an*

••"... í. c

nak «rfzer kelletik kifsebedni, az-az :. nemezŐ-jének:-5 a' c-nek, «-fzer fokfzoroztatni (§. 205) ; így léfzen a' való müv : — ' A'-mi V . "V. V.

4

. PÉL-cn

J E G Y Z E T .

§. 238. ffa d müvefek kozM egygyik vegyes,

1 máfik [tifzta : lehet I-fzer : d tifztával mind az egéfzfzet fokfzorozni (§. 2.36.), mind • d töredéket (§• I35.). II-ízor : d vegye fi tifztára venni (§. 138.), 's-ofztán egy-máfsal fokfzorozni (§. 33.5.)*

T É T E L .

§. 339- Adatott tifzta töredékeket el-ofztanu M E G - F E J T É S .

ï-fzer : Az el-ofztó / töredék fordittafson-f e l , ú g y , hogy a' réfordittafson-fzes légyen n e m e z ö , a' nemezö pedig réfzes.

ïl-fzor : E' meg-forditás után fokfeoroz-tafsanak egymáfsal (§. 235.)

"'"• V I T T A T Á S . • . - . " • Mindén él-ofztandó .töredék elö-áUíttatha-tik e z z e l : és minden el-ofztó ezzel : — ;

c n ha tehát itt meg-vittatódik, h o g y — léfzen az

. • cm o & t á l y ; é' való közönséges léfzen : ï g y vítta-tódik pedig ez meg: ha el - ofztatnék az

egéfe m - m e l , a z ofztaly e' lenne«— (§. 207.)

- , . I cm

de ,ez ofztaly n-fzer kifseb.h, mintsem kellene ($> 193O t e h á t , hogy ^ való ofztaly légyen;

F S annak cw

fannak n-fzet kelletik nagyobbodni, az-az :

réfzefsének., az ö - n a k , n-ízer fokfzoroztatni Cífh

(§. 199«) így léfzen a' való ofztály — A'-mi V . ' Y . V. , cm

PÉLDA.

. " el-ofetandó. • - el-oízto.

3 a~bm—') 5a be

ÍV a»"—3 c x^

az ofztály.

13 aAIm bm~l e "3) T É T E L .

24.0. Adatott egéfz mekkoraságot adatott töredékkel el-ofztani. ,

' M E G - F E J T É S . L/iser: Az adatott egéfzfzel fokfzoroz-tafsék az adatott töredéknek n e m e z ő j e , ' s - e ' müv íéfzen új réfzes.

Il-fzor : E' müv alá irattafsék az adatott réfzes, új nemezo j y a n á f i t . .. ,/.

V I T T A T Á S .

Légyen az ofztandó egéfz V« : az el-ofztó töredék : — : Mái irattafsék az a alá egy-* w

í z á m , léízen az el-ofetandó » az oíztó : de ezek' ofztállya ez : — (§. 239.), ténat.

n m 's-a'-t. A'-mi V . V . V .

h •

PÉL-«H4MNMB8I $ B BWODBOP**

! PÉLDA«

. Az egész : 3«m b" X 3 el- osztandó, z rMm h3 r

A• töredék-S*T n * el-ofztó.

7 ß fc* ;

3 1 ßM I~2 fc3 «r'B "'- ,

... TÉTEL.

§. 241. Adatott töredéket egéfzfzel el-ofztant, M E G - F E J T É S .

ï-fzer: Az adatott egéfzfzel fokfzoroztaf-sék az adatott töredéknek nemezője, 's-e' müv léfzen az új nemező.

( I I - fzór: Ezen müy fölibe irattaffon, az adatott réfzes , új réfzes gyanánt.

' V I T T A T Á S . '

Légyen az el - ofetandó töredék ; ~ a z el-nv ofctó egéfz; ß , Ifáttafsék az a alá egy - f z á m , Aéfzen a^ e l - o f z t ó : de ezekofetállya e z ; a

, . .

§. »39. ) , tehát: ' s - a V t . A'-mi V . V . V .

' A PÉLDA. ..

•

⁽ 3

a

~~

b

^3m

c

A' Tördék ': ^

^{a m}

~

⁴

bc

ⁿ

"

'~

⁶

f

*andó.

• Az egéfz: 4 ß"m+3 b~ c X3 az ofztó»

2

a--m b3m c3 •

13 ß3— ' fr» cH9» ** o f z t â y- ' T É T E L .

92 S B 'HMhbhbiv

T É T E L .

§. 242. Adatott vegyes töredéket adatott vegyes ' töredékkel el-ofztani.

M E G - F E J T É S .

I -fzer : Az adatott vegyes töredékek ve-teffenek tifzta töredékekre ( § . 228.).,

Hi -fzor : E' tifzta töredékek ofztaffanak-el, mint ez előtt fzóllottuuk. ( §. 239. ).

PÉLDA..

Sam K - c ^ + ^ r - n l . (d-™ be l - A ^ ,,„ - ,

3 ab X ) V 4 ab c1

36 y-'H1 & H V * " .y" + 8 a4 bn-mc3 X . , , 12 a4 bmY- c4V..xh — 9 a™ &4*"+a, ' : M

; M Á S A D I R S Z A K A S Z . • A' Karoknak fzerk'eztetéfekriSl, és fel-oldáfokról.

F E L - OSZTÁS.

§. 243. E' feakafz három réfzekre ofzolhat.

Szólhatunk I -fzer : A* Karoknak- terméízetek-r o l , és fzáterméízetek-rmazáfokterméízetek-ról, II -fzoterméízetek-r A' be tő - ve-tésű karokból a' gyökök'ki-vonásáról. III-/zor:

A' M m - v e t é s ű károkból ugyan azon gyökök-nek , ki - vonásáról.

ELSŐ

E L S Ő R É S Z .

;A' Karok TerméfzetekrSl, és fzármazáfokról.

-/ MAGYARÁZAT;

244. À' Kar ( Potentia , vei .Dignitas ) oPyas müv, melly ugyan-, a z o n - e g y mekkora-ságnak egyiken, vagy többfzeri fokizorozáffal való tételéből fzármazik. - ." / V ' •"

' . ; FOJADÉK. *

245. Kar tehát e z : a ; mert e' betö egy-fzer van fokfzorozva téve. Kar e z - i s : a X « = a- ( § . 125. ) : mert itt ugyan - akon-egy makkoraság, úgy-mint az: a , kétfzer vagyon lokfzorozva téve.

Kar e z - i s : Kar ez - is : a4cr;aXaXűX<*

Nem más okból a' fzáinokban kar léfzen ez : 2: ez.

is: 4 = 2 X 2 . E z - i s : 8 = 2 X 2 X 2 . ' s - a ' - t . * FOJADÉK. ••

$. 246. Külömböznek tehát ezek :³a , és « V Mert 3a=za~\-a-\-a (§. 68.) Y pedig : (§.71 ) az - az : tegyük: hogy A n ágyét-érjen, léfzen; 3«

= 4 4 - 4 - H 4 = i 2 ; d e : <z³=4X4X4=64.

; FOJADÉK.

§. 247. Mivel a'jegy meg - mütattya, hányfzor tevődik valami mekkorság fokfzorozva ( §. 71, ) <ó niekkoraság pedig Karnak mondatik ( §. 244. ) ; a' jegy meg-mutattya a z t - i s : hányadik karban légyenvala-melly mekkoraság.

; / FOJADÉK.

§•, 248. Tehát : ácséi¹ ($. 73. ) első kar . ^ m á f a -dik kar : û3 harmadik kar. «4 negyedik kar. am

m-mtdik

kar. 's-a- • t, '

ÁLLÁ-• ÁLLAMÍNY.

. 259. Kulönöffeii a' máfadik kart nevez*

izük ez - után egyfzóval : Dereknak ( G,nadratUm) ; a'harinadik kart pedig egyfzóval : Köbnek (Cubus).

MAGYARÁZAT.

250. A' Kar* gyök ( R a d i x Potentine, Vél radix dignitatis, ) azon mekkoraság, melly fokfzorozva egyfzer , .vagy tobbfzer tévődvéii ; valami kart.nemzett, Példáúl; 3 , gyöke a' 4-nek, a , gyöke ennek : a \

ÁLLAMÁNY.

§. 2 5 í . ,Ha- hem magát a' k a r t , hanem annak gyökét akarjuk értépi, e' jellel éllyiiuk, V , melly ha valamelly mekkoraság eleibe így fúggefztetik : V a j így mondafsék - ki : gyöke . az a"* nek. Ez - is ; V 25 , így mondaísék-kii gyöke a' 25 - nek.

MAGYARÁZAT. : ,

§. 252. A' Gyök - jel (Signum Radicale, vei Signum Radicis) az: melly valamelly mekko-raság eleibe tétvén ; amiak gyökét jelenti, ( S» » 5 i . >

ÁLLAMÁNY.

253. Mivel a' kar f o k - f é l e : úgy "mint első, máfadik, harmadik , ' s - a ' t. ( §. 244. );

Mikség a' g y ö k n e k - i s fok - félének lenni, ú g y - m i n t : elsőnek, nulladiknak, harmadiknak, 's - a' - t . • H o g y tehát bizouyofíak legy'úukbenne,

hánya-hányadik g y ö t értődik a* jel áltál -, gyök jelbe helyheztefsük azon fzámot, melly a' gyök-nek hányadikát jelenti. Példáül : ^ c f ; itten a' máfadik gyököt értem ezen kárból : a" ; x/ / ' itten a' harmadik gyököt értem ezen karból ; a6 ; ^ 6 4 ; Itt-is a' harmadik gyököt értem", de

ezen karból: 64. V; an Itt m- medik gyököt értem ezen karból : a". ; ; r

' " MAGYARÁZAT. •

§. 245. A' gyök-jegy ( E x p o n e n s radi-cis) azon mekkoraság, melly a* g y ö k - j e l b e n tétetvén ( §. 353. ) 9 ki - jelenti a' gyöknek hanyadikát.

. ÁLLAMÁNY. .

§ 355. H a a' máfadik gyököt akarjuk érteni, a' gyök - j e l b e n , femmi g y ö k - jegyet ne tegyünk: hanem a' 3-t ott' lenni gondollyuk:

légyen tehát V a * = * V a \ és V d 1 1 . ^ . . ' MAYGARAZÀT.

§. 356. A7 gyökös mekkoraság ( Quautitas radicalis) a z , mellynek eleibe a' g y ö k - j e l függefetetik: Példáúi / 3 5 , "itt a ' , 3 5 , . gyökös mekkoraság. E z e k - i s gyökös mekkoraságok;

/ a , As V ß3, ésV amf . < '

; ÁLLAMÁNY.

257. Valamint a' máfadik kait nevez-tük : Deréknak ; a' harmadik k a r t : Köbnek

( § . 349.)

( § . 249«) ógy a' máfadik gyököt nevezzük I ezután: &erék- gyöknek ( Radix quadrata ) ; a*

harmadik gyököt: Köb-gyöknek (Radix eubica.) ÁLLAMÁNY.- .

§. 258. Ha több-rajú mekköraságiiak karát akarjuk érteni, azon több - rajú mekkoraságot foglalatba vévén, utánnok, egy kévésé föllyebb^

írjuk a' k a r - j e g y e t : e' k é p p e n : (a-hb)' i Né*

mellyek igy irják n-f-c.

• _ ÁLLAMÁNY..

..y §.. 259. Ha a' több-rajú mekkorságuak gyö-két értyük -,. azon. több, - rajú xnékkoraságot

foglalatban v é v é n , eleibe fúgeízízük• a- = • gyok-jelt : e'-képpen: y- (a-H>); némellyekígy írják:

y/a —,c. . . ;. ..rí.' .. ; J E G Y Z E T .

, §* 260. • Midim, Például az a, egyfzer i f , tetik fokfzorozva, léfzen e müv : a x I = al c= a ( § . 7 3 . ) de még ekkor egyfzer fevivödöt maga-magába. Ha azon a kétfzer tétetik fokfzorozva, léfzen e' müv : a X ä = a % már ekköt egyfzer vivo-fiiitt maga -magába, a3 három] zor van fokfzo-rozva téve, de kétfzer- m a g -a-m agába vive, a4 nigy-fzer van fokfzorozva fève, de báromfzot

maga-magába vive. Tehát közönségeden fzóüván ' ' a\

kar - jegy ki - nyilatkoztattya, hányfzor vagyon valami mekkoraság fokfzorozva téve, azon kar-jegy pedig egy-fzámmal meg-kurtülván, khiyilatkoz-1

tattya :

91

tatty a hányfzor vagyon • valami mekkoraság maga - magába vive. Például :' a'" 1, itt' az m

•jegyé', á fokfzorozáffal tételnek, az m — I , á maga - magába vitelnek.

J E G Y Z E T .

§.261. Az egy-fzám akár mennyifzer té-tefsék fokfzorozva, mindenkor egy-fzdmot nemez : '

mert x x i X l = i ( § . 222.); tehát az egy-fzám*

nak akár dereka, akár köbe, akár negyedik kara, azaz ; közönségeffen fzóllván : az egy - fzámnák akár menő kara cfak ugyan, egy gyet téjzen» '

•VÉTEL.

§. 362. Minden dereknak vagyonosnak kel-letik lenni. ,

• V I T T A T Á S . •

Minden derek - gyök vagy I-fzer • Va-gyonos: Példáúl: a ; de ennek dereka vagyonos : inert axa=a" ( 140. ) vagy II - fzor : héá-nos: Példáúl : — a ; de ennek- is dereka Vagyo-nos ; mert — a X — a = a ~ ( 140.); tehát. 's-a'-t, A'-mi V. V . V ,

V É T E L . V

§» 363. A' vagyonos gyökből vagyonos köb, a héánosbóí heános fzármazik.

V I T T A T Á S .

Mert I -fzer : aXaxa^a3 ( § . 140.) I I -Ifzor.

—aX—aX~~a~—a3 ( § . 14.0. ) tehát;' V a' -1, A'-mi V . ' V . V.

G §» 261,

MAGYARÁZAT.

§.,264. A' vak-gyök ( Radix Imaginaria, vei radix impofíibilis ) .az,' mellyet f o h o l , fem-mi - íele - képpeu fel-nem lehet találni. Fél-dául : mivel lehetetlen ezen derek: —a" (§. 262.) lehetetlen a'gyök-is= \ / — < r . Noha —a~ így fzármazhatik: aX—a==~-a", dé e' nem derek , mert" nem ugyan-azon-egy a vivődik egyfzer maga-magában, hanem külömb a : mert a kü-lömbözik ettől : — a.

MAGYARÁZAT.

§. 265; A' vefzett gyök (Radix fiirdä, vei radix irrationalis ) a z , mellyet cfak a' ízámba fel nein találhatni, hanem hozzája vég nélkől lehet közeliteni. Példáúl : -mert egy bizonyos ízám fines, melly maga - magát fok-ízorozván e' kart adná : 5.

FOLYADÉK. :

§. S66, MidÖn a'töredék karra emeltetik, fzükség, hogy azon töredék maga - magával fokfzoroztaílbn ; ( §. 244. ) az-az, annak nemezöjét maga - magával, réfzefsét-is maga-magával kelletik fokfzorozni.

Pél-a

dáúl e' töredék : ~ emeltefsék a' máfadik karra,

le-tt a a13

ízen : ~ X — => —f Ismét e' töredék : a. emel-771 m ni T tel'sék a' harmadik karra, léfzen :

TÉT EL.

99 TÉTjSL.; /

§, 267. Adatott akar mi egy-rajú kart, más adatott jegyű karra fel- emelni.

M E G - F E J T É S . ,

Az adatott e g y - r a j ú karnak jegye fokfzo-roztafsék a' kévánt karnak adatott jegyével.

V I T T A T Á S . ' ' Minden egy rajú kár elő'-állittathatik ezzel-"

d " , 's - minden kévánt karnak jegye ezzel : n.

Ha tehát itt' meg - vittatódik , hogy : {am ) n

~ ám n ; e' való közönséges léfzen. í g y vit-tatódik pedig ez meg: H o g y a " fel - emeltefsék.

w-dik karra, föükség az a'"-ct fokfzorozva n- fzer tenni ( § . 2 4 4 1 . ) ; de a"-et fokfeorozva

•n - feer t e n n i , aiuiyit téfeen-, mint aiinak jegyét, az w - met, maga-magához ?rfzer adni (§. 139.);

m-et pedig maga-magához «-fzer adni; annyit téfeen, mint m-met •«-nelfokfeorozni (§. 1x9.), tehát az adatott kar-jegynek, az m-nek, fokTz'o-roztatni kell a' kévánt kar - jegygyei az w- nel.

, így léfzen am'. A' - mi V . V . V .

' FOJADÉK. '

(•'"

^{' m ^ mn}

an Jn = à ' V = am. I s m é t :

C

v f f l tnn_ , 1

a~~nJ n = u— b=ö—»

s - a' - t.

FOJADÉK.

2típ. H a m á s karra f e l - e m e l e n d ő karnak t ö b b bet.íSi Híznék, m i n d - e g y g y i k b e t ó n e k j e g y é t p z o k í z o r o z u i

G 3 k e l l

IOO • • jiimiiiu-. »

kell a' k é v á n t k a r - j e g y g y e i . P é l d á u l ( b- am y r=s b-namn-y ismét (a3 b - k y ^ a 6 i"—*.

V É T E L . ttl

§.270. Ollyas kar (an) mellynek jegye va-gyonos töredék, egyenlő ollyas gyökével ( V ) mellynek jegye a' töredék nemezője, azon karnak • ( V " ) mellynek jegye a' töredék réfzeffe. (az-az:

V I T T A T Á S . '

Minden ollyas kar elő - állíttathatik ezzel:

fl~, tehát ha itt meg-yittatódik; a™n = ^ am, e ' v a l ó közönséges léfzen. Igy vittatódik pedig ez meg : emeltefsék - fel ezen kar « 7 n - dik karra, léfzen :' ( § . 267.) aw ( §. 2Ó8. ) tehát a1 «-dik kara é' g y ö k n e k : a f f , teliét a -~ «-dik gyöke am k a r n a k , de ez - is : V a'",

n - dik gyöke am karnak, t e h á t : a m

A ' - m i V . V. V. , ' , V E T É L ,

§. 271, Ollyas kar (la m) mellynek jegye héános egéfz mekkoraság, egyenlő egy - müvüjével (b-vel) el - ofztva ugyan azon karral. ( a~~h) de vagyonosra változtatván d jegyet, ( dn ) (az-az

' ' b . !' •. . • • ba-m = -J,.) / •

> - ^ V I T T A T Á S . (

Minden ollyas kar elő - állíttathatik ezzel1

h ( f -m, tehát ha itt meg - vittatódik, hogy :

ba~ m — e' való közönséges léfzen : így D et

vittatódik pedig az meg: E'műves: ba~m fok-feorözMsék e' müveffel ba"m, léfzen a' miiv:

b l am

b" am ( §. 139. ) de ba m = ( §. 158. ) Már e' töredéket el oíztvá» elsőben b - v e i , b

. '

mafadfzor d"-el, léfzen: ba w = (§. 215.) A'-mi V. V. V.

FOJADÉK.

§. 372. Tehát a » ' = — y , mert e" kárban: I a~~m, az egy - miivil = J, ( § . 70.) Ismét: 2c *

= - ~ j V ' s - a ' - t .

FOJADÉK.

§. 273. Vifzontag : ~~Zm === àa^m j mert a' töredék.

ben e' helyett : ezt tévén : (§. 272.) léfzen -7" 1 b

t=zba^m, és a' töredéket valóban el-ofotván ( § . 240.) léfzen az'ofztály bcüⁿ -=iba^m. E' módon k i - t e t f z i k :

hogy a^m.

VÉTEL.

§. 274« Ollyas kar ( bcíLfj ) mellynek jegye hédnos töredék , egyenlő egy - müvújével (b-vel) el - ofztva olly g y ö k é v e l , mellynek j'egye a'

ftf-G 3 redc'fc

redèk nemezője (Xf ) azon karnak, mellynek jegye a' töredék réfzeffc (ß~~m ), de vagyonosra váltósf t'atván a' jegyet (d") Çasr-az :

V I T T A T Á S .

Minden ollyas' kar elő - állittathatik ezzel;

ba~At; tehát ha itt meg-vittatódik : hogy baZK

= «' való közönséges léfzen : így vit-b tatódik pedig ez m e g: E ' műves fokfzo-roztafsék e' müveiiel : b a ^ (§. 139. ) , léfzen

' • 1 b" a—~ v

a' m ü v : f ' a f : d e ( § . iS 8. ) . Már n

e' töredéket e l o f z t v á n elsőben : 6 - "vei,

máfad-• 6

•&or e l , íéfzen (§• 315. )

vég-" vég-" a «

tére ezen töredéknek nemezőjét erre

változtat-' • • I

hatod :V am ( §. 3 7 0 . ) tehát-:, baZK^

A' - mi V . V . V .

r FOJADÉK.

§. 375. T e h á t : a — , mert e' karban

» f / am

« Z L E a z egy-müvil = i . l Ismét: a c — ²

n 8 3 7T7-'

FOJADÉK.

§. 27Ö. T e h á t minden g y ö k ö s m e k k p r a s á g b ó l kari fzerezhetí'z , h a , ei-hagyván a' g y ö k - j e l t , a z o n gyök-j e l n e k ' gyök-j e g y é v e l e l - o f z t o d a ' I g y ö k ö s gyök-j mekkoraságnak

je-jegyét : Például : V V = 5.*. : ifmét a* =3a4.: ifmót:

* W3" '' , • ' ' . T É T E L .

; 277. Adatott két - rajú gysfó't ( a 4- b ) máfadik karra emelni, az-az; derekalni.

M E G - F E J T É S .

, Minden két - rajú gyök eliS - állíttathatik ezzel : a-+-b. E z t tehát maga - magával fpkfzo-rozván : a z - a z : ( a-f 6 ) X (a-\~b) , léfzen e' derek; A--HSŰH-Í0 ( §. 140. ) ..

V É T E L .

§. 278« Minden két - fajú gyöknek dereka e' kírom rajtól a// ; I - fzer '• Az elsőnek dereká-ból. I I - f z o r Az elsőnek két - annyiából fokfzo-rozva a' máfadikkal. III - 'fzor : d máfadiknak derekából.

V I T T A T Á S .

Minden k é t - r a j ú gyöknek dereka elo-állittathatik ezzel : aM-2a&4-6" ( §. 277. ) dc.

ebbeu fel - találhatod azon említett három rajt, t e h á t , 's - a ' - 1 . A' - mi V . V . ,V.

FOJADÉK.

• §.279. Avagy kurtábra vévén a' vételt: min-den két - rajú. gyöknek dereka e' két réfzböl áll:

I-fzer ; mind - egygyik rájnak derekából. 11-fzör ; Az elöbbeni rajoknak két - annyiából fokfzorozva az utóbbiakkal, ,

„, G

4

: TÉ- .

' ; . T É T E L . .

§. 38o. Adatott három - rajú gyököt dere-kaim* . . • /

M E G - F E J T É S .

Minden három - rajú gyök elo - állittatlia-tik e z z e l : c-k-d-hg* Már pediglégyeu c-k-d—a.

és g=b, minden három rajú, gyök clo - állít-tathatik ezzel : a-+-b's- ennek dereka ezzel : a~-+-2ab-+-bz ( § . 377.) 5 mellyben az a és b he-lyett egyenlőket tévén léfzen :

I-fzer : cf= (c+d)z—cz-ú-2cd-k-dz (§. 377.) II-fzor: 2 ab=>2 (c-+-d) g=2cg-k-2dg.

III-fzor: bz=?gz léfzen tehát : FOJADÉK.

28X. M i n d e n h á r o m - rajú g y ö k n e k dereka h a t rajból á l l ; m e l l y e k e' két. réfzre v e r ő d h e t n e k : I-fzer: M i n d • e g y g y i k rajnak d e r e k á b ó l : II-fzor:

Két - a n n y i d b ó l a z e l ő b b e n i rajoknak fojkízorozva az ' Utóbbiakkal. - ,

T É T E L .

§. 383. Adatott négy - rajú gyököt derekaim.

M E G - F E J T É S .

Minden n é g y - r a j ú gyök elő - állíttatha-tik ezzel : c-yd-k-gti-b. Már pedig legyen1

és h=-b : minden négy - rajú gyök elő - állíttathatik ezzel: a-k-b, es ennek.de-reka ezzel: cC-\-2ab-k-h~. Mellyben az a, és b helyett egyenlőket tévén, léfzen.; ' •

I-fzer:

«•»M-,— • *

105

I-fzer :eC~(,cMd-f-gT~cz-\-2cd-\~d*A-2cg II-fzor • 2ab~2(c~hd-\-g) h-2ch~\- 2db-h2gh III - fzor : ; tehát léfzen:

( c-hd-hg-d-h ) ° = c24 - 2cd-¥-dz •+-2cg-+-2dg-\-gi

-\-2ch~\-2dh +2g7j FOJADÉK.

§ . 2 8 3 . T e h á t minden n é g y . rajú g y ö k n e k de< j reka e' két r é f z b ó l á l l : I-fzer: mind - e g y g y í k

rajnak d e r e k á b ó l . Ilfzor : két a n n y i d b ó l az e l ö b b e n i e k -nek f o k f z o r o z y a a z u t ó b b i a k k a l .

JEGYZET.

§. 284. így mutatódik - meg ezen igazság akár mi más több -rajú gyökökben - is : tehát kö- , zönségefj'en azt lehet mondani : hogy akdr-memy'v rajú gyök dérekaltatik, annak dereka mindenkor c két réfzekbol áll ; I - feer : mind - egygyik faj-nak derekából : I I - f z o r : két - annyidból minden előbbieknek fokfzorozva minden utóbbiakkal., •

FOJADÉK.

. §. 285. H a a k á r mi dereknak rajjai rend - fze*

rént k ö v e t k e z n e k , e g y m á s u t á n e * - k é p p e n v a d n a k h e l y h e z t e t v e :

I • fzer : Az e l s ő rajnak d e r e k a .

II - fzor : K é t - a n n y i a az e l s ő n e k í b k f z o r o z v a a*

máfadikkal.

III- fzor : A' m á f a d i k rajnak d e r e k a .

IVfzer: K é t a n n y i a a z e l s ő n e k , és m á f a d i k -nak f o k f z o r o z v a a' h a r m a d i k k a l .

V-fzer : A' h a r m a d i k rajnak dereka. T

1 G $ /,- Vl-fzor s ^ "'

' .• » • >' fv I . I, ~J ü . » /. f f • Sl\

T« t V n I "• • • '^l!"^{• • •} * 1

;iöő 1 ï «—-«m» a « .www»-«'

VI-fzor ; K é t . a n u y i a az elsőnel^, máfadiknak, és harmadiknak fokfzorozva a' negyedikkel.

VII-fzer: A' negyedik rajnak dereka, V a' - t .

MAGYARÁZAT.

286. A' lökélletes derek ( Quadratum complefcum) a z , mellynek minden réfzei jeleit vadnak : Például : (a-\-by-=az->r2ab-k-b", e' tö-kélletes d e r e k , . mert jelen vadnak minden ré-fzei (§. 277.).

MAGYARÁZAT.

. §. 237. • A' Tókélletlen derek (Q,uadratum Incompletum) a z , mellyben a' máíadik rajnak

dereka nincs jelen. Például : ezen d e r e k : a"

4-2ab, tokélle,tien d e r e k , mert a' máfadik raj-nak : a' 6 - n e k nincs j e l e n e ' dereka: bz.

T É T E L . .

§. 288. A' tökélletlen derekat (a".-+- 3a b ) tö<

Hlletefsé tenni.

M E G - F E J T É S '

I-fzcr : Az első rajnak derekából (if ) Andafsék-meg a' gyök ( a ) ( § . 250. )

II- fzor : Ezen gyök : ( a ) fokfzoroztaf-fon 2 - v e i , léfzen : 2a.

III-fzor: Ezen íjtiivvel: 2a , ofztafsék-el a' defekliak következő több rajja : mert a' ren-des derekban máfadfzor következik k é t - annyia az elsőnek fokfzorozva a' máfadikkal ( § . 285.)»

H o g y tehác a'máílidik rajt meg-talállyad, fz'iik-, ' ség

ség az elsőnek két-annyiával el-ofztaui (§, 158.).

2ab ••• : A

tehát —— = & • ezen b léfzen a5 máfadik raj a'

2 Cl

gyökben. *

IF-fzer: Á gyöknek e' meg - l e l t máfa- , dik rajja : b, emelteffen - fel a' máfadik karra, lé-fzen : bz, a' máfadik rajnak d e r e k a , 's-mivel e' nélkől fzítkolködik a' tökélletlen derek (§. 387«%

„ F-fzer:. Ezen máfadik rajnak dereka b\

ragafztafsék vagyonos jellel a' tökélletlen de-rekhoz ; léfzen a' tpkélletes dei'ek -a'-k-Zab-k-b".

P ' L D Á K . I. ax. Tökélletlen.•

jc"-f"3 dx-k-—— Ttíkelletes II. xz-k-cx—()x Tökélletlen » rt

6x-k-~~ —Tökelletes 2 an , '

III. « " - h —y —n , Tökélleten d

'I 2 an d" a

—~T —n-f-tv—T-+-•£• Tökelletes IV. x~—~-—"Hb—-« Tökélletlen

• 3 2 2X àx

2x ax

§. 389. Adatott kct-rajú gyököt harmadik karra fel-emelni: az-az : köbölni.

MEG-, ""fi««« « I m ' ' . , . . . MEG-FEJTÉS.

Minden k é t - r a j ú gyök elő - állíttathatik ezzel ; a~)-b, de ha ez háromfcor tétetik fokfzo-rozva : ( a-+-b ) X (a-bh)X ( a-+-b ) léfzen e'

müv : ( § . 1 4 0 » )

• , V É T E L . .

§, 390. Minden két-rajú gyöknek köbe e . négyréfzkbol áll: I-fzer : az első -rajnak köbéből:

II-fzor: három - annyi derekábái az elsőnek fokfzo-rozva a" máfadikkal : Ill-fzor: három-annyi dere-kéiből cé máfadiknak fokfzorozva az elsővel IV-fztr : a máfadik rajnak köbéből. , '

V I T T A T Á S .

Minden két-rajú gyöknek köbe elő-állít-tathatik ezzel: a3-h3a"b-+-3ab~-+-b3 (§. 289.) De ebben azon említett négy réfct fel -találhatod:

tehát, ' s - a ' - t . A ' - m i V.. V. V . FOJADÉK.

291, Avagy kurtáb'ra vévén c' vételt: min-den két-rajú gyöknek köbe e' réfzekból áll: I-fzer:

Mind-egygyik rajnak köbéböl : llfzor : három-annyi derekából az elöbbeqieknek fokfzorozva az kal: III-Jzor : három - annyi derekából az utóbbiak-nak fokfzorozva az elöbbeniekkel.

. T É T E L . i

§. 293. Adatott három - rajú gyököt kö-böhn.

MEG-MEG-FEJTÉS. '

' .Minden három -rajú gyök elő - állíttatha-dik ezzel, c-k-d-f-g. Már pedig légyen : c-+-d és,g=b: minden három - rajú gyök elŐ-állítathatik ezzel : , a + 6 , 's-ennek köbe ezzel : a³-+-3a"b-+-3ab"-+-bⁱ 5 mellyben az a, és b he-lyett egyenlőket tévén, léfzen ;

I-fzer : (c-f-d)3 *=c3 4 - 3 c'd 4-3 cdr-k-cl*

( S/289- ) \

II-fzor : 3<r/"6=3( c"-+-2cd -+-d" )g=3c"g

• -\-6cdg~\-3d~g\

III-fzor : 3ab~=3( c-hd) g'—Zcg^-h-Sdgf IF-fzer : b3=g3. Tehát léfzen :

(e4^4-g-)3==c34- 3c"cb-\- 3ccf-g-d* -+- 3c"g -H 6cäg

FOJADÉK.

393. Minden három - rajú gyöknek köbe e*

réfzekböl áll: I-fzer: mind-egygyik rajnak köbéböl."

II-fzor: három - annyi derekából az elöbbenieknek fokl'zorozva az utóbbiakkal,Ill-Jzor : három-annyi de-rekából az utóbbiaknak fokl'zorozva az elöhbeniekkel.

TÉTEL.

§. 294. Adatott négy-rajú gyököt koholni.

; . ; MEG-FEJTÉS.

Minden adatott négy - rajú gyök elo-t állíelo-telo-taelo-thaelo-tik ezzel : Már pedig lé, r gyén , és h=b : mitiden négy- rajú gyök, elő - állíttathatik ezzel : a-+-b, "s-ennek köbe ezzel-' f-\-3a~bA-3ab"-Fb³, mellyben az a és b helyett egyenlőket tévén, léfzen :

, • I-fzer:

n o ; ——»^{* »} w*—

. I- fzer : a3= ( c-\-d-\-g ) 3—c3-hSc'd4- 3c f

4-ú³4-3c"á-H- 6cdg-\-sd~g ->rídg^z 4 - Y ( § . 2 9 2 . )

II - fzor •

4- / 4 - 2cg-4-2dg-4~g⁵ ) /j=3c=/j 4 - 6c(il) . •+-3d/h-+-6dgh-\-g"-h

III- fzor : 3 « t e — 3 ( c 4 - ú 4 - f f ) tó=3cte4-úte IV-fzer ï I f — i f . ' Léfzen tehát:

4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 3 fte '

4-3dte4-3S'te"4-/j³.

. FOJADÉK.

• •'$. 295. Minden négy - raju gyöknek köbe e' réfzekböl áll : I-.fzer: mind egygyik rajnak köbéből:

I ft fzor: három - annyi derekából az előbbenieknek fokfzorozva az utóbbiakkal : III-fzor: három-annyi derekából az utóbbiaknak fokfzorozva az elöbbeni-ekkeh

FOJADÉK.

296. így mutatódik-meg ez* igazság akár mi más több-rajú gyökökben-is ; tehát közönségeJTea azt lehet mondani: h o g y , ha akár - mennyi - rajú gyök köboltetik, annak köbe e' réfzekböl áll:, I-fzer mind-egygyik rajnak köbéből II-fzor : há-rom - annyi derekából minden előbbenieknek fokfzo-rozva minden utóbbiakkal: III-fzor: három - annyj derekából minden utóbbiaknak fokfzorozva minden elöbbeniekkel.

FO-I l l

FOJADÉK.

§. 297. Ha akármi köbnek rajjai rend - fzerént következnek, egy - más után e' - képpen vadnak hely-lieztetve.

I-fzer : Az első rajnait köbe.

II-fzor: Három-annyi dereka az elsőnek fok-, fzorozva a' máfadikkalfok-,

III-fzor : Három -annyi dereka a' máfadiknak fokfzorozva el elsővel,

í:" IF-fzer: A' máfadik rajnak köbe.

V-J'zer : Három-annyi dereka az felsőnek, és máfadiknak fokfzorozva a' harmadikkal.

Fl-fzor: Három - annyi dereka a'harmadiknak fokfzorozva az elsővel, és má/adikkal.

FII-J'zer: A'harmadik rajnak köbe;.

FlII-fzor: Három-annyi dereka az Elsőnek má-fadiknak, és harmadiknak fokfzorozva a'negyedikkel.

IX-fzer : Három - annyi dereka a' negyediknek fokfzorozva az elsővel, máfadikkal, és harmadikkal.

X-fzer : A' negyedik rajnak köbe. ' s - a ' -1.

In document A' tudákosságnak első könyve : A' bötü-vetés. (Algebra) (Pldal 83-111)