II- (lik fzabás : Az első maradékhoz ( ha csak valami meg - maradhatott ) ragafztaísék a'
1 MEG-FEJTÉS
X ' X ' X
I. X + - — —• — -=A. EZ AZ ÁLLAMÁNY.
II. 64X-!~33X—I6X—8^=64« (§.364. IJI-dikfz.) XÏIvi
III, 640 < $ . so fzabás ).
64a ' - ' IV.* x=r—^— ( §. 364, IV-dik fzabds),
_ 64x99 ^ 6 3 3 6 ^ ••• .
72 72 ' i V I T T A T Á S .
M e r t az első egyenlet erre változik : 88 83 88 88
+ — 99} az-az; 3 3 - H 4 4 — 2 2
2 4 o «
— 1 1 = 9 9 , a z - a z : 1132—33=99, a z - a z1 99
= 9 9 . A'-mi V . V . V .
V - dik Fel- tétel.
§. 37°. Kérdeztetett egy - valaki el -adott házának áráról: azt feleié: vala d pinczémben egy-néhány 'hordó ( x ) ; ha mind-egygyikéf 5-aranyon adnám-el ( 5x ) , e' müv 3°" arannyal kevefebb volna d ház' áránál (y-nál ), ( tehát Sx<.y);-ha pedig mind- egygyik hordót el - ßi-wfm 6 - aranyon ( 6.%* ) , , e' müv 40 - arannyal nagyobb volna a' itóV drfWi (y-nál), (tehát
(>x>y ). Kerestetik mind d hordók' fzáma, mind a' háznak ára,
M E G - F E J T É S .
Mivel 5x<y ; léfzen I. Sx-mS0^ (§• I a9)«
Mivel 6 x > y ; lészen II. 6x—40=5y (§, 129), III. 5X-+-3O=6X—40 (§•
IV. 4 0 - h 3 0 = 6 x — 5 x ( § . 3Ó4. Ill-dik fzabás).
V. 7 o = x (§.364» T-sÔ fzabás),.
L
MegM e g v a l l tehát a' h o r d ó k ' MegM m a 70, melly MegM -mot az elsiS egyenletben x helyébe tévén, meg-lefe a' ház' á r a : 3 1 = 4 x 7 0 + 3 0 , a z - a z : y
= 3âo-arannyal. A' - mi meg - f e j t e n i , 's - egy-M r - ' s - m i n d V. V. V .
M Á S A D I K CZ I K K E L Y
Azon e g y - ü g y ű egyenletek' m e g - fejtésé-r ő l , mellyfekben egy az e g y e n l e t , 's - kettő az esmeretlen mekkoraság, 1,
MAGYARÁZAT.
§. 371. A1 Határozott Egyenlet (Aequatio determinata ) az : mellyben az esmeretlen
mek-"koraságnak olly bizonyos fzáma v a g y o n ; hogy más éppen ne leheffen. Illyek azon egyenletek, mellyeket az előbbeni czikkelyben elő - adtam.
MAGYARÁZAT.
§. 372. A' Határozatlan Egyenlet (Aequa-tio indeterminata) a z , mellyben az efmeretlen mekkoraságnak nincs olly bizonyos ízáma, hogy máft ne leheffen helyébe tenni. Illyek azon egyenletek mindnyájan , ihellyekben, keveífebb az egyenlet, mint az esmeretlen mekkoraság.
T É T E L .
§• 373«. Azon egy-ügyű egyenleteket meg-f ej-teni, mellyekben egy az egyenlet, 's-kettu az esmeret-len mekkoraság.
MEG.
M E G - F E J T É S .
I-so fzabás: Egygyik akár mellyik esme-retlen mekkoraság helyébe tétefsék akár - minő bizonyos f z á m , és így ennek divattya
me-g-tn-•dódik.
I I - dik fzabás : A' máfadik esmeretlen mek-korasúg kerefteísék - ki a' közönséges fzabá.fok
fzerént (§. 364). ' ' ;
J - ső Fel - tétel.
374. Ker ejtetnek kit fzámok ( x, és y ) illy államánnyal : hogy ezek'fommâja ( x -4- y ) egyenlő légyen 10- el.
MEG-FEJTÉS.
I. x -4- 10. ' Ez az államány. Már pe-dig az y helyett tegyünk z-t, léfzen :
II. X + 10.', ; * *
I I I . x = i ö —t-2, (§. 364. III-dik fzabás).
I V . x = 8 (§.364. 7 - i f ff z a b á s ) . Tehát a4
máfadik esmeretlen x = 8-al. Az első pedig y = 2-vel.
V I T T A T Á S . *
Mert .az első egyeiilet erre változik : 8-4-2
£=10. Az-az'-. i q = 10. A - m i V . V . V.
JEGYZET."
§. 375- Lehetett volna pedig y helyett, akár mi más bizonyos fzámot tenni. Például ezt; 4 Avagy ezt-is : 4. Avagy ezt-is : — 100, f s, ha meg ~ próbálod , mindenkor ki - jön azon 10-fzám,
L 2 Tehát
Tehát azonlét fzámok véghetetlen fokfzor változ-tathatnak : ugyan azért üzon fzámok nem olly bi-zonyofok, hogy máfokat helyekbe ne tehetnénk : tt-.
hát ezen egyenlet-határozatlan.
II-dik F e l - t é t e l .
••'•' §. "376. Kereftetnek két fzámok ( x, és y ) illy es államánnyal : ha ezek müvéhöz (xy- h o z ) adandód azoknak fommáját (x-Ky), egyenlő lé-gyen 34 - el (=a). .
M È G - F E J T É S .
I. xy->rx-\ry=a. Ez az államáliy. Márpe-dig tegyünk y helyett 4 - t , léfzen :
II. 4 3 c + # + 4 = a.
III. Sx - j - 4 = a. ( § , 364.: 1- so fzahds ).
I V Sx = a— 4 ( §. 364. Ill - dik. fzabás ).
4 a— 4
V. ( § . 364. IV- dik fzabás).
. ! 5
34 — 4 30 VI. a s c a — - — - = = — • = = : 6.
, 5 • 5
; ' V I T T A T Á S .
Mert^az első egyenlet erre változik : 6 x 4 + 6 -4-4 = = 3 4 ; az-az : 2 4 - 4 - 6 - 4 - 4 = 3 4 , az-az: 3 4 = 3 4 . Á'-mi V. V. V.
Ill-dik F e l - tétel.
§• 377* -Kercfletnek két fzámok f x , y) illyes államánnyál : hagy ha a' nagyobbiknak (x-nck) dere-kábái ( x'-hU) el-vévenàecl a kiffebbiekn'ek Xy-nük) derekát {y"-t}j a' maradik é'gyenlő légyen 24-el (=«).
MEG- •
M E G - F E J T É S .
I . a t * — a . Ez a z i l l a m á n y . Már pe-dig y helyett tegyünk 5-t 9 léízen
II. x"—• 25 —ci» . III. ci'-kr 25 (§. 364. I I I - dik fzabds).
I V . x = V"(ß4-?5) (§• 364. V-clik fzabds), . V . x = V ( a 4 4 - 3 5 ) = v (49) = 7. ,
V I T T A T Á S . . ' ; Mert az első egyenlet erre változik : 4 9 — 2 5 = 2 4 , a z - a z : 24—24. A'-mi V. V. V .
H A R M A D I K C Z I K K E L Y .
Azon egy-ügyű egyenleteknek meg-fejté-fekröl, mellyekben kettő az egyenlet, 's-ketto az esmeretlen mekkoraság-is.
; • BLEV. "
§. 378. Adatott hét egyenletekből .( x-k-y=a.
És : ix-k-y—c), holott ugyan azon hét esmeretkneh ( x , és y ) elő-for dúlnak ; az egygyik esmér etlent ( x - i t ) H - iktatni, 's-a' kct egyenletből egygyet fzereznt.
MEG-FEJTÉS.
. 1 - ső fzabás : Mind. a' két egyenletben vi-tefsélt- által az egygyik tagból a' máükba az egygyik esmeretlen > Léfzen az első egyen-letből ez : x~a~-y. A' máfadikból ez : 2x=c—y.
II-dik fzabás: Ofztán azon légy.: h o g y mind a' két egyenletben azon t a g o t , mellyben
L 3 az
az x találtatik,, egyenlőre vidd, ha csak nem egyenlők. Lái'fuk a' két egyenletet.
I-fzer: x==:a—y II-fzor: Zx-c—iy
E' két egyenletben tehát az a' munka, hogy az első t a g o k , x és zx 1 egyenlők legye-nek. ' E ' k é t féle képpen eshetik-meg itten;
I-fzer: Ha az első egyenletnek mind aV két tagját a' máfadik egyenlet' első tagjának egy-miivűjévei, s - v e l , f o k f z o r o z o d , léfzen :
• I- fzer : Zx— Za— zy II - fzor zx = c—y
Ez cselekedvén, léfzen a' két egyenletből egy egyenlet: za—zy=:c^~y. (§. 130 ).
II-fzor : Ha a' máfadik egyenletnek mind a' két tagját a' máfadik egyenlet' első tagjának e g y - m ü v u j é v e l , 2-vel, el-ofztod, léfzen :
I-fzer: x — a—y II-fzor: x = c-— y
, Ezt cselekedvén, léfzen e' két egyenletből egy egyenlet, a y «=s ( §• r3 0 ) ; ezen
egyenlet éppen egyenlő ezzel : Za — Zy==c—y Más módokat az éfz, és alkalmatofság mutathat.
É T T E L .
-§. 379. Azon egy - ügyti egyenleteket meg-fejteni, mellyckben kettő az egyenlet, 's - ugyan-azon kettő az esmeretlen mekkoraság - is.
M E G - F E J T É S . t . #
I-ső fzabás: A' két egyenlet vevő'dgyön egy egyenletre (§, 378 ).
TI- dik fzabás : Ezen egy egyenletben ke-reftefíék-ki az esineretleiniek divattya ( §. 364).
III - dik fzabás : Ezen moít meg - lelt má~"
fadik efineretlcn , úgy - mint immár meg - es-mért, az adatott két egyenletek' akár - mellyi-kébe téteísék, é ' - k é p p e n meg - tudódik a' ki-iktatott esmeretlen mekkoraság-is.
I-ső Fel - tétel.
§. 380. Keresetnek két fzamok ( x , is y ) illyes két áílamanyokkal : I - fzer : hogy azok' fom-mája ( x 4 - y ) , egyenlő légyen 10-el. Il-fzor-.
• Azok' maradéka (x—y), egyenlő légyen 8 - al.
MEG-FEJTÉS.
I . tf + y - - 10. Ez az első államány.
II. x— y = 8. Ez a' máfadik államány, III. 1 0— y = 8 4 - y C 379* T-sŐ fzabás ).
I V . y= i ( §. 379. Il-dik fzabás).
V . x 4 - 1= 1 0 (§.379. III-dik fzabás ) v i . x = 10 — i = 9 (§. 364 . III-dik fzabás).
VIT-V I T T A T Á S .
Mert az első egyenlet erre változik.: 9-4-r
*=?ïo, az-az : 10 = 10. A' máfadik pedig erre :
, 9 — 1 = 85 az-az: 8 = 8. A'-mi V . V . Y . I I - dik F e l - t é t e l .
§.381. Némely Gazda így alkudott a Ka-pápával: minden-napra ( x ) , mellyben dolgozni fogfz, fizetek 6-garafl ( 6x ) ; de minden napra
( y ) , mellyben. benyélni-fogfz, te fizetfz vifzfza 4.-garaft ( 4y). El-telvén ^ó-napok, egygyik a' máfiknak femmivel fem tartozik, Kereftetik : hány nap dolgozott, 'S-hány nap henyélt a' kapás ?
MEG-FEJTÉS,
Mivel a' dolog, és henyélés-napok egyen-lők 30-al. Köve tkezendo-képpen léízen :
I.
Mivel iünét az Úr femmivel fem tartozik a' fzolgáuak, 's-ez fe amannak : a' bérnek egyen-lőnek kell lenni a' buntetéffçl, tehát :
. II. 6x — 4y ; tehát ; ,
III. 3 0 — . 3 , = - - — (§. 319.1-s'ô fzabás ). 4y I V . y = l 8 ( § . 3 7 9 . II-dikfzabás).
V. X -fi 18 = 3 ° ( §• 379. Ill-dik fzabás ).
1 V I . X = 30 —-13 ( § . 364. Ill-dik fzabás ), VII. X = I 2 .
Tehát 12-nap dolgozott ; I S-nap henyélt.
VIT-. V I T T A T Á S VIT-.
Mert az első egyenlet erre változik : 12 + 1 8 = 3 0 ,, a z - a z ; 30 = 30. À máfadik pedig -erre: 6 x 1 2 = 4 X 1 8 , az-az : 7 2 = 7 2 . A'-nri V.V.V.
III-dik F e l - t é t e l .
§. 382. Egy-nehápy fzegények között ( x ) tl- ofztatnak egy - néhány pénzek (y ) ülyes két állományokkal : 1-fzer: Ha minden fzegénynek két pénz adatik ( z x ) , á pénznek fzámu (y) két pén-zel kijjebb (2x > y). II-fzor : Ha pedig minden fzegénynek egy pénz adatik ( x X i = x ) , a' pénz->
nek J'záma ( y ) tiz pénzel nagyobb ( x < y ) , keres-tetik mind ct pénzeknek, mind pediglen d d fze-gény embereknek fzámok.
• M E G F E J T É S .
M i v e l - 2 x > y ; léfzen I. 2 ^ = 7 + 2 (§.129).
Mivel x<y ; III.
y+2
A
I V . y=22 (§. 379. II-dik fzabás ), '
y . # — 2 2 — 1 0 = 1 2 ( §. 379. irí-dik fzabás ), V I T T A T Â S .
Mert az első egyenlet erre változik 2 x 1 2 3= 2 2 + 2 , az-az; 24 = 24. A' mafadii erre;
1 2 = 2 2 — 1 0 , az-az: I 2 = ï a . A'-mi V . V. V . IV- dik Fel - tétel.
§.383. Kerejtetnek két fzámok ( x , és y ) illyes két állományokkal ; I - f z e r ; hogy ezek
Jom-L 5 mája "
léfzen: II. 10 ( §. 129 y y — Io (§. 379. I-sÖfzabás).
mája (x-4-y) egyenlő légyen Srcil, I l - f z o r : de-rekok' maradéka (x'—y"" l) egyenlő 16-aL
' , M E G - F E J T É S . I. Ez az első államány.
II. -—-/=16. Ez a'másadik államány. j H í . 64—íóy-hy"=16+31- (§. 379.1-sŐ fzabás).
IV. 3>=3 ( § . 379. II-dik fzabás).
V. x = S — 3 = 5 (§. 379- III-dik fzabás).
V I T T A T Á S .
Mert az első egyenlet erre változik : 5-4-3
= 8 , az-az : 8 = 8.' A1 máfadik erre-. 25 — 9
= 1 6 , az-az: 16=16. A'-mi V. V. V.
"V V - dik Fel - tétel.
§. 384. EFKLIDES ezt tette vala fel ré-genten á meg-f ejtéfre : A1 Szamár vitt vala a' hátán néhány mérőt ( x ) ; az Öfzvér - is egynehányat Cy). i
Ä terb alatt ordító Szamárnak azt feleié az Öfzvér:
íiafztalam ordítafzfz: hifzen, I - í'zer : Ha te né-kem egy mérőt adnál, ket annyit vinnék, mint te.
I I - fzor : Ha pedig. én adnék egy mérőt, egyenlő terhet vinnének. Mennyit vitt a' Szamár ? men-, nyit az Öfzvér ?
M E G - F E J T É S .
Ha a' Számár egy,mérőd adua az Öfzvér-n e k , maradÖfzvér-na a' fzamárÖfzvér-nak : x — I ; leÖfzvér-nÖfzvér-ne pedig
az öfzvéraek : 3H-1 ; 's-mivel az Öfzvéré több leune, mint a' Szamáré ; tehát : x - H < y + i ;
& ugyan két annyit vinne az Ö f z v é r , mint a'
Sza-Szamár, tehát a' Szamárnak terhét ha kettő vei foltfzorozod, :meg-lefz az egyenlőség, ligy-mint :
I. 2x—2=31+1. C §• 129 ).'
Ha pedig az ö f z v é r egy mérőt adna a' Szamár-nak, akkor vinne a'Szamár : x - h i : Az Öfzvér pedig : ; és mivel ekkor egyenlő volna a' t e r h , lenne:
II. .*,••+-1 = 3 ) — I . , .
III. 31+3=231—4. ($-319- I-sŐ fzabás >
IV.' 31=7 (§. 379. Il-dik fzabás). . V. . v = 7 — ( §. 379. III-dik fzabás X
V I T T A T Á S .
Mert az első egyenlet erre változik : 2X5
— 2 = 7 + 1 , az - az : 8 + 8. A' máfadik erre : 5 + 1 = 7 — ir a z - a z : A ' - m i V. V . V .