5. A hálózati és impedancia módszer alkalmazásának szabályaiszabályai
5.3. Impedancia módszer
„passzív” része, vagy más néven „terhelés”. A keresett keresztváltozó természetesen megjelenhet egyetlen impedancián is, ebben az esetben ez az impedancia önmagában lesz a passzív „rész”. Ha a keresett mennyiség átmenő változó, akkor ebben az esetben is óvatosan kell eljárni. Lehetséges, hogy az adott átmenő változó nem csak egyetlen impedancián, hanem a vizsgált tagon, és az utána következő impedanciák eredőjén, együttesen lép fel. Az így kijelölt impedancia, vagy az impedanciák eredője képezi a passzív rendszert, ennek értékét a szétválasztáskor létrejövő kapcsok felől „betekintve” kell kiszámítani. Körülbelül úgy kell eljárni, mintha az aktív rész helyébe „képzelnénk magunkat”, és a „terhelés” irányába néznénk.
Minkét verzióra érvényes, hogy a visszamaradó impedanciák és források alkotják az un. „aktív” részt. Vigyázni kell azonban arra, hogy az aktív részt képező új forrás nem minden esetben azonos az eredeti forrással! Ha a szabad kapcsokra egy eredeti keresztváltozó-forrás csak keresztváltozó osztón keresztül jut el, akkor ezt figyelembe kell venni az új aktív forrás meghatározásakor! Hasonlóképpen kell eljárni az esetleges új átmenő forrás kiszámítása során is. Az aktív rész eredő belső impedanciáját a szabad kapcsok felől nézve kell számítani.
Szuperpozíció szabálya
Lineáris rendszerben, több forrás (mindegy, milyen típusúak) esetében nehézkessé teheti a módszer alkalmazását, hogy a szuperpozíció szabálya alapján minden egyes forrás hatását külön-külön kell vizsgálni a keresett passzív részen, majd a hatásokat előjelhelyesen összegezni kell. Egy adott forrás a többi forrást úgy
„látja”, mint annak belső ellenállását. A kiválasztott forrás felől nézve a hálózatban rövidzárral helyettesítjük a keresztváltozó forrásokat, és szakadással az átmenő változókat. Ezek után összevonjuk az aktív rész impedanciáit, és kiszámítjuk az aktív rész belső impedanciáját. Ha a forrás átszámítására is szükség van, akkor ezt is el kell végezni. impedanciái az energia átalakító(k) paraméterének felhasználásával átszámíthatóak egymásba. Ilyen esetek főként az aktuátorok és aktív szenzorok dinamikai modelljeinek meghatározása során fordulnak elő. Ha ez az
egyenértékűség nem volna érvényes, akkor az impedancia hálózatok egyszerűsítése vegyes rendszerek esetében nem lenne lehetséges. A gyakorlottság és a keresett változó típusa dönti el, hogy egy háromféle típusú alrendszert tartalmazó rendszer melyikében végezzük el a számításokat és az összevonásokat. Egy elektrodinamikus nyomásszenzor (dinamikus mikrofon) háromféle alrendszerből áll össze: akusztikai, mechanikai és villamos. Tekintettel arra, hogy a kimenőjel villamos mennyiség, a szakirodalomban azt látjuk, hogy a két másik rendszer impedanciáit egyenértékű villamos impedanciákká számítják át. Az átszámításhoz szükség van az átalakítók mindkét egyenletére.
Az átszámítást látni fogjuk a 6. fejezetben, a szenzorok és az aktuátorok modellezése során, de érdemes ezen a helyen összefoglalva is bemutatni az impedanciák egyenértékűségét. A következőkben egymás után bemutatjuk a váltó, a transzformátor és a fordító váltó esetében alkalmazott átszámításokat.
Elsőként nézzünk egy váltót, legyen ez az elektrodinamikus átalakító. Kiindulás minden esetben az átalakító két egyenlete. Jelen esetben az egyik egyenlet a Lorentz erőn, a másik az indukciós törvényen alapul, az igen részletes levezetést a 6.3. fejezetben találjuk. Ebben az esetben (ez nem általános) két külön fizikai törvény írja le a két irányban érvényes összefüggéseket.
Az „nv” váltó paraméter a DC motor esetében maga a gépállandó, vagy nyomatékállandó lesz, jele KM, más váltóknál esetleg geometriai paraméter, például a golyósorsós mozgásátalakító esetében h/2п, ahol „h” a menetemelkedés.
Az átmenő változókra felírt egyenletben zárójelbe került az előjel, mert az impedancia egyenérték kiszámítása során ennek nincs jelentősége.
Ha a két egyenletet elosztjuk egymással, akkor az admittanciák között kapunk összefüggést:
azaz mindkét oldalon admittanciákat látunk. Ezek reciprok értéke az impedancia, az átszámítás tehát elvégezhető.
Fontos kiemelni, hogy az átalakító paraméterének négyzete - dimenzióját tekintve - összetett! Az átalakító paramétere csak számértékét tekintve azonos a két egyenletben! Látható, hogy dimenziójuknak különbözniük kell. Az elektrodinamikus váltó (forgó mozgás) esetében az átmenő változók közötti paraméter dimenziója mNm/A, esetleg Nm/A, a keresztváltozók közötti paraméteré pedig Vs/rad.
Hasonló módon kell eljárni az átalakítók egyenleteinek felhasználásával a transzformátorok és a fordító váltók esetében is.
A hajtómű transzformátor típusú átalakító, amelynek az egyenletei a következőek. Az 1-es index a bemeneti (behajtás), a 2-es a kimeneti oldalt (kihajtás) jelöli:
A két egyenletet elosztjuk egymással:
Látható, hogy mindkét oldalon azonos rendszertípushoz tartozó impedanciák szerepelnek:
ahol nT=i, a módosítás. A mechatronikában lassító, nyomatéknövelő hajtóműveket alkalmazunk, tehát i>1. Az impedanciák közötti átszámítás az alapja a géptervezésben alkalmazott „redukálásnak”. A redukálás azt jelenti, hogy a bemeneti és kimeneti oldal tehetetlenségi nyomatékait nem lehet algebrai úton összegezni. Attól függően, hogy melyik oldalról vizsgáljuk a rendszert, a tehetetlenségi nyomatékokat a módosítás négyzetével, vagy annak reciprokával kell súlyozni az összegezés során. A kihajtó oldalra redukálva a behajtó oldal tehetetlenségi nyomatékát, látjuk, hogy azt i2-tel kell szorozni:
Ha a behajtás, tehát a motor felől nézzük a rendszert, akkor a kihajtó oldal tehetetlenségi nyomatékát (esetleg több eredőjét) i2-tel osztva kell a behajtó oldali értékhez, például „n” db bemenő oldali tehetetlenségi nyomaték összegéhez hozzáadni:
Az átszámítás, redukció gyakorlati alkalmazására a későbbi tervezési feladatokban visszatérünk még (golyósorsós szakasz, fogazott szíjas szakasz méretezése, motorválasztás).
A fordító váltók esete kissé bonyolultabb, a dualógia (duálisan analóg rendszerek) miatt. Az energiatárolók ellentétes típusra váltanak, mert ellenkező esetben az „s” operátortól való függés benne maradna az átszámítás képletében. A források típusa is ellentétesre vált, és megváltozik a kapcsolás jellege is. Sorosan kapcsolt impedanciákból párhuzamosan kapcsoltak, és párhuzamosan kapcsoltakból soros kapcsolásúak lesznek.
Példaként a közismert hidraulikus/pneumatikus munkahengert vizsgáljuk. A negatív előjel nem minden fordító váltó esetében jelenik meg, ebben az esetben arra utal, hogy az „A” dugattyú felület normál vektora és az „F”
erő ellentétes irányúak. Az impedancia átszámításnál az előjelnek nincs szerepe, ugyanúgy, mint a transzformátor és a váltó esetében láttuk.
Osztjuk a két egyenletet egymással (figyelmen kívül hagyva az előjelet), és látjuk, hogy közvetlen módon impedanciákhoz admittanciák tartoznak:
Olyan impedanciákat és admittanciákat kell tehát egymáshoz rendelni, amelyek esetében az „s” operátor kiegyszerűsíthető:
A gyakorlati tapasztalatot igazolja, hogy a pneumatikus kapacitás (összenyomható közeggel töltött üreg) mechanikai szempontból rugalmasságnak „érződik”, a rugómerevség értéke az üreg kapacitásából számítható:
ahol p0 a külső nyomás, V0 az üreg (dugattyú) kiinduló térfogata, κ az adiabatikus kitevő.
A további ismereteket az adott rendszerek vizsgálatánál mutatjuk be.
Osztó szabályok alkalmazása az átviteli függvény felírásához
Az impedancia módszer tulajdonképpen „rajzos”, egyszerűsítő módszer. A végső alakig több lépésben kell átalakítani a kapcsolást, amíg végül a legegyszerűbb alakhoz jutunk.
Az aktív és passzív részre szétválasztott rendszer összevonások utáni kapcsolása alapján az átviteli függvény közvetlen felírására a következő lehetőségek vannak:
• Keresztváltozó osztó, ha a mind a keresett mennyiség, mind pedig a forrás keresztváltozó.
• Átmenő változó osztó, ha a keresett mennyiség és a forrás átmenő változó.
• Ohm törvény, ha a két változó különböző.
Szakirodalom
[3.1.] Fodor, György. Lineáris rendszerek analízise. Műszaki Könyvkiadó. Budapest . 1967.
[3.2.] Reichardt, W.. Grundlagen der technischen Akustik. Akademische Verlagsgesellschaft. Leipzig . 1968.
[3.3.] Dahl, P. R.. A Solid Friction Model. The Aerospace Corporation. Technical Report. 1968.
[3.4.] Aström, K. J. és Canudas-de-Wit, C.. Revisiting the LuGre Model. IEEE Control Systems Magazine. 28.
6. 2008.