Elsőrendű lineáris rendszerek jellemzői

Az elsőrendű lineáris rendszer időállandója a homogén differenciálegyenlet megoldásában jelenik meg. A levezetést az 5. fejezet - Az állapotegyenlet megoldása idő és operátor tartományban fejezetben találjuk, itt csak az eredményt használjuk fel a fontos kapcsolódások bemutatására. Az időállandó összefügg a csillapítási kitevővel.

A megoldásban az „a” paraméter általános jelölés. A műszaki gyakorlatban a másik kettőnek van jelentősége. A

„T” az időállandó, „σ=1/T” pedig a csillapítási kitevő (csillapítási exponens).

Ha van kezdeti (esetleg kiindulási) érték, és nincs gerjesztés, akkor az általános alak által kínált görbesereg helyére egy függvény lép lecsengő folyamatnál:

Technikai rendszereinkben nem minden esetben áll rendelkezésre a t=0⁺ időpillanathoz (jobboldali, un. kezdeti érték) tartozó érték, erről az 5. fejezet - Az állapotegyenlet megoldása idő és operátor tartományban fejezetben egy gyakorlati példa kapcsán esik szó. A megoldás könnyen előállítható, ha a kiindulási érték és a kezdeti érték megegyeznek. Ez a feltétel technikai rendszerek esetében gyakran teljesül, mert a bekapcsolás időpillanatában az energiatároló lehet felöltött állapotban, és a feltöltöttséget jelző változó ilyen esetben nem zérus értékről indul.

Különleges gerjesztések esetében, ilyenek a Dirac impulzus és az ugrás függvény, újabban használt nevén „step function”. Ilyen gerjesztések esetében a számításokhoz különleges megfontolások szükségesek, ez a rendszertechnika egyik fontos területe.

A megoldás mutatja, hogy t=0⁺ és az időállandó között eltelő időben a megoldás függvény az x(0⁺) kezdeti értékről éppen annak e-ad részére csökken, majd újabb időállandónyi idő elteltével ugyancsak az előzőleg kapott érték e-ad részére:

Az időállandó tehát az elsőrendű rendszer viselkedését leíró egyik fontos jellemző. Szerepe az operátor, vagy körfrekvencia tartományba is „átnyúlik”, hiszen irányítástechnikából ismeretes, hogy az időállandó reciproka a letörési körfrekvencia. Az irányítástechnikai gyakorlatban szokás az elsőrendű rendszerek Bode diagramjait egyenes szakaszokkal közelíteni. A közelítő függvényen az amplitúdó átvitel logaritmusának húsz-szorosa (dB) a körfrekvencia értékéig állandó (un. arányos átviteli sáv), ettől kezdődően -20 dB/dekád meredekséggel bír.

Ismeretes az is, hogy a letörési körfrekvenciánál az átvitel pontos értéke ~3 dB-lel kisebb, mint az arányos átviteli sávban mutatott érték. A ~3 dB méréstechnikai szemszögből már tekintélyes hibát jelent, mert ez a kimeneti jelszint ~30 %-os csökkenését jelenti a bemenetihez viszonyítva.

Az előzőekben említett arányos átviteli sáv fontos jellemzője az „A” arányos tényező. Ez az állandó a differenciálegyenlet „jobb” oldalán látható, az átviteli függvénynek pedig a számlálóját képezi:

Az „A” tényezőt erősítési tényezőnek is nevezik, ami nem egészen tükrözi a valóságot, mert erősítésről rendszertechnikai szempontból akkor beszélünk, ha a rendszerbe kívülről energiát viszünk be, és valóban erősítjük a bemenő jelet, A>1. Ugyanakkor passzív elsőrendű rendszernek is lehet arányos tényezője, csak jellegzetesen A≤1 értékkel.

A modellezési és tervezési gyakorlatban előfordul, hogy elhamarkodott és hibás következtetéseket vonnak le csupán azért, mert a villamos és a mechanikai rendszerek közötti analógiákat hibásan alkalmazzák.

A jelenség bemutatására a „kifutási” görbék és a mechanikai időállandók kérdését elemezzük.

A hajtóművel foglalkozó fejezetben részletesen bemutatjuk, hogy a valós hajtómű lényegében a következő ábrán látható fontos elemeket tartalmazza: KH eredő rugómerevség, J1 és J2 bemenő és kimenő oldali tehetetlenségi nyomatékok, valamint ugyanezen oldalakhoz tartozó csillapítási tényezők, amelyek a fogsúrlódással és a csapágysúrlódásokkal vannak kapcsolatban.

Ezen a helyen a mechanikai és a villamos időállandó közötti különbség, és nem a hajtómű modelljének bemutatása a cél, ezért a hajtómű gráfjában látható elemeket itt nem részletezzük. A hajtómű részletes modelljeit a 7. fejezet - Hajtómű dinamikai modelljei, a mechanikai időállandó kérdése fejezetben találjuk meg.

1.2. ábra - Hajtómű egyszerűsített gráf-modellje

Ha a kifutási próba vizsgálatánál eltekintünk a rugalmasságtól, ami teljesen indokolt, továbbá meghatározott Mbe0 bemenő nyomatékkal „pörgetjük fel” a hajtóművet, akkor a gráf módosul. A bemenő oldali elemeket redukáljuk a kimenő oldaliakhoz, és az Mbe0 nyomaték helyett értelemszerűen Mbe=i·Mbe0 forrásérték fog megjelenni.

1.3. ábra - A bemeneti oldali paraméterek redukciója

A keresztváltozó forrás „megtartásának” nem lenne értelme, mert ebben az esetben nincs rendszeregyenlet, a párhuzamos elemekre „rákényszerítjük” a szögsebesség forrás értékét.

A redukció után kapott értékek esetében – a megkülönböztetés érdekében - eltekintünk az indexektől.

A következő ábra már a hajtómű egyszerűsödött gráfját mutatja arra az esetre, ha az eredő rugómerevség kellően nagy ahhoz, hogy az eredő tehetetlenségi nyomatékkal ne tudjon lengő rendszert képezni. A mikromotorokhoz kapcsolt hajtóművek esetében gyakorlatilag ez a helyzet. A gráf alapján felírt csomóponti egyenletből kapott rendszeregyenlet az alábbi:

Az átviteli függvényt a Laplace transzformálás után kapjuk:

1.4. ábra - Hajtómű és motorral kapcsolt hajtómű „kifutási görbéi”

A gráf mellett a magára hagyott rendszer válaszait láthatjuk, Ω0 kiindulási érték, és T=J/B időállandó mellett. A vizsgálatunk során T1 az „induló” időállandó, ez a terheletlenül járó DC motor kifutási görbéjéhez van rendelve.

A következő lépésben csatlakoztattuk a motorhoz a hajtóművet, és a T2 időállandóval jellemzett kifutási görbét kaptuk. Látható, hogy a második esetben, a csekély mértékben megnövekedett az eredő tehetetlenségi nyomaték (J), és jelentősen megnőtt az eredő csillapítási tényező (B) kisebb időállandót eredményezett, a kimenő tengely forgása hamarabb áll le.

A mérésekkel kapott kifutási görbéket a hajtóművel foglalkozó fejezetben is megtaláljuk, de a könnyebb megértés kedvéért itt is szerepeltetjük.

1.5. ábra - Méréssel kapott kifutási görbék

Nyilvánvaló, hogy dinamikai szempontból nem a kisebb időállandójú mechanikai rendszer „jobb”. Ennek belátásához jobban szemügyre kell venni az átviteli függvény számlálóját! A fejezet címében nem véletlenül szerepel hangsúlyosan az „arányos tényező”. Azok az elsőrendű rendszerek, amelyek számlálójában az arányossági tényező egyenlő eggyel, valóban megítélhetők dinamikai szempontból pusztán az időállandóik alapján.

De vigyázat, ez a vizsgált mechanikai rendszer nem ilyen!

A különbség érzékeltetésére bemutatjuk azt a forgó mechanikai rendszert, amelynek átviteli függvényében az arányos tényező értéke egy. A mechanikai rendszer eléggé „iskolás” jellegű, mert ehhez hasonlót a gépészetben nem gyakran lehet találni. Ugyanakkor a mellette látható, és vele strukturálisan analóg (felépítésében hasonló) villamos analóg kapcsolás egy rendszeresen alkalmazott, passzív aluláteresztő szűrőt ábrázol. Meg kell jegyezni még, hogy vannak olyan egyszerű, valós termikus, fluid (akusztikai, pneumatikus és nyitott tartályú hidraulikus) rendszerek, amelyeket ugyanilyen kapcsolás ír le, gondoljunk a termoelektromos hőmérőre, vagy egy fojtáson keresztül töltött tartályra. Az alább bemutatott gépészeti modell csak akkor tekinthető ezekkel analógnak, ha a csapágy súrlódása elhanyagolható, és a tengelykapcsolónál csekély a slip (csúszás).

Megtévesztő lehet az is, hogy az ábrán látható két rendszernek a kifutási görbéhez hasonló az impulzus válaszuk (súlyfüggvényük). Ebben nincsen semmi csodálatos, hiszen a keresztváltozó forrás, és a mellette szereplő impedancia (Thevenin alak) átszámítható egyenértékű Norton alakká, és akkor újra visszakapjuk a kiindulásként látott párhuzamos elemekből és átmenő változó forrásból álló gráfot.

1.6. ábra - Analóg mechanikai és villamos egytárolós arányos rendszerek

Nézzük egymás mellett a két rendszer matematikai modelljeit, ti: átviteli függvényeit, amelyeket az impedancia módszerrel, keresztváltozó osztó alkalmazásával írtunk fel:

Ha az ábrán jelölt módon „kimerevítjük” a tengelykapcsolót, azaz Btgk→∞, akkor az a villamos rendszerben az R→0 módosításnak felel meg, tekintettel arra, hogy Btgk nem az ellenállással, hanem a vezetőképességgel analóg. Ha a jelölt módosításokat elvégezzük, akkor az átvitel a körfrekvenciától függetlenül 1:1 lesz, a harmonikus kimenő és bemenő jelek amplitúdói megegyeznek, fázistolás nincsen.

Mindkét átviteli függvény számlálójában „egy” szerepel, a mechanikai és a villamos időállandó „egyedül” fogja

„minősíteni” az aluláteresztő szűrőket. Kis időállandóhoz nagy letörési körfrekvencia, és fordítva lesz rendelve, amint az alábbi Bode diagramon láthatjuk. Az arányos átvitel (kör)frekvencia sávjában a számláló értéke miatt természetesen zérus decibelt találunk.

Már az előzőekben is hangsúlyoztuk, hogy a gyakorlatban előforduló forgó mechanikai rendszerek nem azonosak a most bemutatott „iskolapéldákkal”.

A valós hajtóművek dinamikus viselkedése más, és ez az átviteli függvény számlálójának figyelembe vételével válik világossá.

Érthetővé válik a különbség, ha nem csak a kifutási görbe alakját, hanem a rendszer átmeneti függvényét és a Bode diagramot tesszük vizsgálat tárgyává.

1.7. ábra - Egytárolós arányos (PT1) tag amplitúdó menete A=1 esetén

A DC mikromotor és a valós, de rugalmasság nélküli hajtómű átmeneti függvényei a (1.8. ábra - Átmeneti függvények összehasonlítása) ábrán láthatók. A DC mikromotor méréssel kapott kifutási görbéjén nem láttunk lengéshajlamra utaló jeleket. Ez azért van, mert a kisebb méretű motorok nyugalmi induktivitása (L)

meglehetősen kicsi, a súrlódásos veszteségek finommechanikai szerkezetekben dominánsak, a mikromotort a gyártók is elsőrendű (egy energiatárolós) rendszernek tekintik. Így tehát a méréssel kapott kifutási diagramok is két egytárolós rendszert mutatnak.

A DC motorral foglalkozó fejezetben látni fogjuk, hogy a DC motor átviteli függvénye a kapocsfeszültség, mint bemenet, és a szögsebesség, mint kimenet között alakra megegyezik a nyomaték bemenettel gerjesztett hajtómű átviteli függvényével, ha a DC motor nyugalmi induktivitása elhanyagolhatóan kicsi. A levezetést az említett fejezetben találjuk, itt az összehasonlítás miatt csak az eredményt mutatjuk be:

, ha L→0.

A következő ábrán olyan egytárolós arányos tagok átmeneti függvényeit látjuk, amelyek számlálójában az arányos tényező nem egységnyi, hanem jellemző a rendszerre.

Ilyen a fejezet elején említett motor, valamint a motorral egybeépített hajtómű átviteli függvénye is. A levezetést nem ismételjük, csak az eredményt:

Ha a fenti átviteli függvénnyel jellemzett rendszerre ugrás-szerű nyomatékváltozást adunk, vagy a DC motor egyszerűsített átviteli függvényére ugrás-szerű feszültség változást kapcsolunk, egységugrás bemenőjel formájában, akkor a válaszként kapott szögsebesség (fordulatszám) az alábbi diagramon látható módon fog változni (átmeneti függvény, step response). Tegyük fel, hogy az időállandókat a kifutási görbék segítségével állapítottuk meg. Az önálló motor időállandója T1, míg a hajtóművel egybeépítetté T2. Amint a fenti magyarázatból tudjuk, T1>T2.

A két átmeneti függvény szemléletes formában ad választ az eredetileg feltett kérdésre: Jellemezheti-e egy elsőrendű mechanikai rendszer dinamikai tulajdonságait az időállandó önmagában? Látszik, hogy nem, hiszen a nagyobb időállandójú motor ugyanakkora bemenő nyomatékra minden időpillanatban nagyobb szögsebességgel válaszol, nem beszélve az állandósult állapotbeli szögsebességről, amelyet egyértelműen a csillapítási tényező – azaz a súrlódás(ok) – határoz(nak) meg.

1.8. ábra - Átmeneti függvények összehasonlítása

A körfrekvenciától való függés is hasonló következtetést sugall. Ha a Bode diagramot vizsgáljuk, akkor látható, hogy a letörési körfrekvencia (ωs=1/T) nem minden esetben perdöntő, hiszen a nagyobb arányos érték (az átviteli függvény számlálója) nagyobb átviteli tényezőt eredményez, még a kisebb időállandójú mechanikai rendszer törési körfrekvenciáján is. Annak ellenére, hogy ezen a szakaszon a nagyobb időállandójú rendszer diagramja már a „leszálló” ágban van.

1.9. ábra - Az amplitúdó menetek összehasonlítása

Mindezt arra az esetre feltételeztük, ha a két időállandó nem különbözik egymástól nagyságrendileg, és T1 a nagyobb. Ha a Bode diagramon szaggatott vonallal jelölt szélsőséges eset fordulna elő, azaz T1 már nagyságrendekkel nagyobb lenne, mint T2, akkor az előbbi fejtegetés a (kör)frekvencia tartományban természetesen nem áll meg.

Az idő tartományban, az átmeneti függvényre továbbra is az vonatkozik, hogy azonos értékű gerjesztésre a nagyobb időállandójú mechanikai rendszer kimenőjelének értéke lesz a nagyobb.