A modellalkotás folyamatával kapcsolatosan már szó volt arról, hogy a mechatronikai rendszerek szabályozott rendszerek. Ez a megállapítás alapvetően a komplex rendszerekre vonatkozik, de nem zárja ki azt sem, hogy egyes komponenseket (szenzorok, aktuátorok stb.) is mechatronikai rendszereknek (részrendszereknek) tekintsünk. Ebben az anyagban mindkét rendszerformára látunk példákat.
A műszaki mechanika tudományterületén, világszerte túlnyomóan a Lagrange és Euler nevével fémjelzett energia módszert alkalmazzák dinamikai modellezésre. Ugyancsak az energia módszeren alapul a Rayleigh-módszer, amellyel elosztott paraméterű modellek kezelhetőek.
A Lagrange függvény a konzervatív rendszerekben fellépő két energiatípusra alapul. A Lagrange függvény általános koordinátákkal írja le a két energia összegét:
ahol
L L=T-U, a Lagrange függvény
T a rendszer kinetikai (mozgási) energiája
U a rendszer potenciális (helyzeti) energiája
q i az i-edik szabadságfok általános koordinátája
a qi általános koordináta idő szerinti deriváltja Lagrange mozgási egyenlete másodfajú rendszerre általánosan ismert, és alkalmazott modellezési célra a mechanika területén:
A fenti egyenletben „P” a rendszerben található energiatermelők és energiadisszipálók teljesítménye.
Feltételezve, hogy a potenciális energia nem függ a -től, a Lagrange egyenlet az alábbi alakba írható:
A módszer előnye, hogy lineáris és nemlineáris mechanikai rendszerek esetében egyaránt alkalmazható.
Elvben nem kizárt passzív villamos hálózatok modellezése sem, de igen bonyolulttá, nehezen kezelhetővé válhat a feladat. Egy mechatronikában szokványos elektromechanikai rendszer esetében például az általános
koordinátákban való megállapodás után meg kell határozni az energia, illetve teljesítményfüggvényeket.
Vigyázni kell a Rayleigh-féle disszipációs függvény helyes alkalmazására. Végül a Lagrange egyenletből létrejön a villamos és a mechanikai szimultán differenciálegyenlet. Laplace transzformálás és mátrix-vektor műveletekkel akár az átviteli függvény is felírható.
A fentiek illusztrálására a korlátozott terjedelem miatt legyen elegendő három egyszerű példát bemutatni!
Kéttárolós mechanikai rendszer modellje
Elsőként nézzünk egy konzervatív (gerjesztetlen), két energiatárolós (másodfajú) transzlációs mechanikai rendszert, amely egy koncentrált tömegből és egy ideális (lineáris karakterisztikájú és veszteségmentes) rugóból áll:
Fizikai inga modellje
A második példában egy fizikai inga modelljét mutatjuk be. Ez a rendszer, mint szabályozott szakasz, inverz formában és különféle szabadságfokokkal, a mechatronika egyik kedvelt példája. A rendszer stabilitása kizárólag állapotszabályozás révén biztosítható. A negatív inga egyik technikai megvalósítása a világszerte elterjedőben lévő „segway” elnevezésű egytengelyű, kerekes jármű. Ugyanakkor inverz formában kedvelt példája a biomechatronikának is, hiszen az álló (és járó) ember - valamint jó néhány más élőlény - stabilitása kifejezetten csak ilyen módon modellezhető.
Ha az egyszerű fizikai ingát (síkban mozgó) tetszőleges „φ” szöghelyzetben meg kívánjuk állítani, akkor ehhez
„M” forgatónyomatékra van szükség.
Az szabályozáshoz szükséges matematikai modell, a nemlineáris differenciálegyenlet, az energia módszerrel írható fel, ahol a forgáspont és a súlypont közötti távolságot „l” jelöli:
A potenciális energia a gravitációs erőtérben negatív előjellel jelenik meg. A PM az a teljesítmény, amelyet a szabályozás révén a rendszerbe beviszünk, és PS a nemlineáris súrlódás veszteségi teljesítménye.
A mozgásegyenlet nemlineáris és a csapágyazás valóságos állapotot közelítő súrlódási nyomatéka miatt nem állandó együtthatós. MS a nemlineáris súrlódó nyomatékot jelöli:
DC motor modellje
A harmadik példa egy külső (villamos) gerjesztésű egyenáramú motor modellje, energia módszerrel. A motor ug
gerjesztő feszültsége állandó. A gerjesztő tekercs és az armatúratekercs fluxuskapcsolódása Ψ(φ), amely függ a rotor szöghelyzetétől. A motor amatúra ellenállása „R”, nyugalmi induktivitása pedig „L”. „J” a motor tengelyére redukált (erről a későbbiekben még esik szó) tehetetlenségi nyomaték. A motor csapágyazásából
eredő súrlódási veszteséget a „B” csillapítási együtthatóval modellezzük, mert viszkózus súrlódást feltételezünk.
Az általános koordináták a „q” villamos töltés és a „φ” mechanikai szögelfordulás. A motor armatúrájára „uK” kapocsfeszültséget kapcsolunk. Potenciális energia nincs a rendszerben, mert nincs villamos kapacitás és nincsen mechanikai rugalmasság. Együtt van minden elem, amelyek segítségével az energia egyenlet felírható.
Az elektromechanikus rendszer összes kinetikus energiája:
Az energia disszipálók összteljesítménye:
Ezt a disszipációs teljesítményt felezni kell. A „P” teljesítmény parciális deriváltja ugyanis a általános sebességkoordináta szerint általánosított erőt ad, feltéve, hogy az általánosított erő maga nem függ a sebességkoordinátától. A disszipatív elemek esetében a Rayleigh-féle disszipációs függvényt kell behelyettesíteni, hogy a megfelelő általános erőösszetevőt megkapjuk:
Az elektromechanikus rendszerbe villamos oldalról „viszünk be” teljesítményt:
A Lagrange egyenleteket a két koordinátára külön-külön írjuk fel.
A megfelelő parciális deriválások elvégzése után a „q” koordinátára az alábbi egyenletet kapjuk:
A mozgási indukció révén a motorban keletkező un. „belső” feszültségről tudjuk, hogy a motor szögsebességével van összefüggésben:
Az egyenáramú motor esetében jó közelítéssel elfogadható, hogy a fluxus kapcsolódás szögfüggése állandó, a szakirodalom ezt nevezi gépállandónak, vagy nyomatékállandónak:
A Lagrange egyenlet a „φ” koordinátára:
A két Lagrange egyenlet összefoglalható két egymással összefüggő, elsőrendű differenciálegyenlet formájában is:
Ennyi elegendő az energia módszer szerepének tárgyalására, mert ennek a munkának nem feladata a műszaki mechanika modellezési módszereinek ismétlő jellegű bemutatása. Ugyanakkor elengedhetetlen, hogy mielőtt a mechatronika két igen hatékony modellezési módszerét – a hálózati, és az impedancia módszert - öt fizikai-műszaki rendszertípusra kiterjesztve, általánosítottan ismertetnénk, hangsúlyozottan felhívjuk a figyelmet ezeknek, a mechatronikában igen hatékony modellezési módszereknek a korlátaira is.
A villamos, és egyszerűbb feladatok esetében a hőtechnikai és az áramlástechnikai rendszerek (beleértve az akusztikát is) tárgyalási módját vizsgálva a szakirodalomban, gyakran a hálózati módszerekkel találkozhatunk, amelyek alapja zárt rendszerek esetében természetesen ugyancsak az energia és anyag megmaradás törvénye. A
„zárt rendszer” fogalom kihangsúlyozása nem véletlen, tudjuk, hogy a zárt rendszer határait a modellezés kívánalmainak megfelelően, de mi jelöljük ki.