Hurok és csomóponti módszer

A DC motor példája és gráfja egy lényeges, gyakorlati modellezési szabály bemutatását teszi lehetővé.

Ismeretes, hogy egy gráf esetében a változók meghatározására csomóponti, vagy hurok egyenleteket írunk fel.

Az egyenlet típusok nem keverhetőek. Az összes keresztváltozó a csomóponti, míg valamennyi átmenő változó a hurok egyenletek alkalmazásával írható fel.

Olyan gráfok esetében azonban, amelyekben energia átalakító található, ez a megkötés felesleges, és csak a különböző rendszerrészekre korlátozódik. Miután a rendszerrészeket egy konstans köti össze, lehetséges minden részben más-más módszert alkalmazni.

A DC motor esetében a villamos részre célszerű hurok egyenletet felírni, míg a mechanikai oldalra csomópontit.

A villamos „i” hurokváltozót egy konstans, a „KM” köti a mechanikai oldal csomóponti egyenleteibe. A két egyenlet alatt megjelenítettük a váltó egyenleteit is, hiszen ezek nélkül az egyenletek nem köthetők egymáshoz.

6.15. ábra - DC szervomotor gráfja

Az „i” hurokváltozó célszerűen kijelölt iránya meghatározza a keresztváltozó különbségek előjelét, ami egyezik, pozitív, ami nem, negatív. Az „Ω” csomóponti változóra felírt egyenleteknél legyen pozitív a kifelé mutató élek, és negatív a befelé mutató élek előjele. A szimulált terhelő nyomatékot a gráfban átmenő változó forrásként modellezzük, mert nincsen más szimbólum, de a negatív előjel utal arra, hogy nem gerjesztésről, hanem forgatónyomaték „kivételről” van szó.

Behelyettesítve a fizikai és a váltó egyenleteket, az alábbi differenciálegyenlet rendszert kapjuk:

Ezt az alakot minden hasonló esetben „forrás-értékű” alaknak tekinthetjük, és megtaláljuk több szakirodalomban, például a B. C. Kuo Önműködő szabályozott rendszerek című munkájában [6.2.] is.

Megjegyezzük azt is, hogy hálózati módszerrel kevesebb munkával tudtuk ezt a differenciálegyenlet rendszert felírni, mint az energia módszerrel, lásd: 1. fejezet - A modellezés szerepe a mechatronikai tervezésben. Forrás-forma, mert ezen a ponton elválhatnak ugyanis a további utak:

• Ha állapottér modellt kell felírnunk, akkor ezt a legcélszerűbb ebből a formából kiindulva megtenni.

• Ha átviteli függvény, és/vagy differenciálegyenlet keresett, akkor Laplace transzformálás után algebrai egyenletrendszert hozunk létre, majd a további lépések a mátrix-vektor műveletek alkalmazásával lehetségesek.

Elsőként legyen keresett az átviteli függvény, és a vele kapcsolatos differenciálegyenlet, ezért Laplace-transzformáljuk a két differenciálegyenletet. A nagybetűk a változók Laplace transzformáltját jelentik:

Mátrixos alakba írjuk az egyenletrendszert:

Bizonyos szabályosságok azonnal felismerhetők. A hurokegyenletből származó sorvektor impedanciákat és az átalakító konstansát, a csomóponti egyenletből származó sorvektor admittanciákat és az átalakító konstansát tartalmazza. A főátló elemei pozitívak.

Tovább lépve el kell dönteni, hogy mindkét változót keressük, vagy csak az egyiket. Ha mindkettőt, akkor a mátrixot invertálni kell:

Az invertáláshoz kijelölt műveleteket ebben a feladatban nem végezzük el, először a motor jellegzetes kimenőjelére, a szögsebességre írjuk fel a modelleket. Ha csak egy változó keresett, akkor célszerű a Cramer szabályt alkalmazni:

Elvégezzük a műveleteket, és az operátor csökkenő hatványai szerint rendezzük a nevezőt:

Az operátortól független taggal beosztva két átviteli függvényre és a hozzájuk kapcsolódó bemenőjelekre választjuk szét a kapott alakot:

Felismerhető a szuperpozíció szabálya, amelyet az impedancia módszer esetében kell, majd alkalmazunk, több forrás előfordulása esetén. A szuperpozíció felhasználása természetesen csak lineáris rendszerek esetében jöhet szóba.

A két átviteli függvény a két forrás felől nézve külön-külön adja meg a kimenőjel egy-egy részét:

Mindkét átviteli függvény karakterisztikus polinomja azonos, hiszen egyazon rendszer viselkedését írják le. A rendszer másodrendű, hiszen két energia tárolója van, „L” és „J”. Szép példája ez a mechatronikai részrendszerek energia átalakítón keresztül megvalósuló egymásra hatásának, hiszen egymás mellett szerepelnek az eltérő típusú rendszerekhez tartozó paraméterek.

Az átviteli függvényekből a differenciálegyenlet inverz Laplace transzformáció segítségével előállítható.

Nézzük a „GU” átviteli függvényt:

Az átviteli függvényben az általános paraméteres jelölést alkalmaztuk, mert az operátor négyzetes tagja melletti

„a2” paraméterben összefoglalt összefüggés nem azonos az időállandó négyzetével. Itt ugyanis megjelennek a disszipatív paraméterek. Az „átszorzás” eredményeként először a differenciálegyenlet operátor térbeli formáját kapjuk, majd inverz Laplace transzformálás után a keresett időtartománybeli modellt.

Az állapottér modell ebből a másodrendű differenciálegyenletből is előállítható, visszavezetéssel. A kapott modellt az állapotirányításban „normál” alaknak is nevezik. A német szakirodalomban a „normál alak”

megjelölést azért alkalmazzák, mert a stabilitás tervezése, a gyökök elhelyezkedésének megadása révén, e forma alkalmazásával egyszerű. Megjegyezzük, hogy magasabb rendszámú differenciálegyenletek esetében ez a módszer szükségképpen olyan állapottér modellhez is vezethet, amelyben az állapotjelzők egyike-másika mögött nincs valós, mérhető fizikai jellemző. Jelen esetben, a visszavezetés módszerével, a szögsebesség és a szöggyorsulás lesz a két állapotjelző. Ha gyakorlatban nem is minden esetben, de ez a két fizikai mennyiség legalább elvben mérhető.

Az állapottér modellre a későbbiekben még visszatérünk.

A mechatronikában, különösképpen a robottechnikában alkalmazott kisméretű DC motorok „L” nyugalmi induktivitása igen csekély, és a jó csapágyazásnak, valamint a kis kefesúrlódásnak köszönhetően szintén kicsi a

„B” csillapítási tényező értéke is. Ezért találjuk meg a gyártók katalógusaiban az un. elektromechanikus időállandót az adatok között, és azt az ajánlást is, hogy a motort elsőrendű rendszerként célszerű modellezni.

A motor un. üresjárati átviteli függvénye, ha „L” és „B” paraméterektől eltekintünk:

A szabályozástechnikában gyakran a fenti átviteli függvénnyel közelítik a DC motor dinamikai viselkedését. Ha a motorhoz „ideális” hajtómű is csatlakozik, akkor az átviteli függvény alakja nem változik, csak az időállandó.

Annak ellenére, hogy a nagyobb tehetetlenségi nyomaték hatásaként elvárható lenne az időállandó csekély növekedése, a hajtómű súrlódásai miatt az időállandó a gyakorlatban kisebb lesz, a motor-hajtómű egység

„kifutási görbéje” megrövidül. Erről részletes magyarázat található az 1. fejezet - A modellezés szerepe a mechatronikai tervezésben fejezetben, és a jelenségről könnyű kifutási mérésekkel meggyőződni.