Elsőrendű gyenge nemlokalitás – relaxáció

Tekintsük az a(t, xⁱ) skalár térmennyiséget egy kontinuumban, amely nyugalomban van valamely inerciális megfigyelőhöz képest. Tegyük fel, hogy a fejlődési egyenle-tére nincs más fizikai megszorítás a második főtételen kívül. A fejlődési egyenletet általánosan a következő formában keressük :

∂_ta+ ˆf = 0, (2.16)

ahol az fˆtetszőleges konstitutív függvény, változóinak rögzítése a modellezés kiin-dulópontja. Itt és a továbbiakban az előzőekhez hasonlóan a parciális időderiváltat

∂_t-vel jelöljük, a konstitutív mennyiségeket pedig ilyen kalappal :ˆ.

A fenti fejlődési egyenlet nem lehet tetszőleges, valódi fizikai folyamatok esetén nem sértheti a második főtételt és ez a követelmény megszorítja lehetséges formáját.

A második főtétel, jelen esetben az entrópiamérleg egyenlőtlensége a következő :

∂tˆs+∂iJˆⁱ≥0. (2.17)

Itt az sˆentrópiasűrűség és a Jˆⁱ entrópiáramsűrűség a fentifˆ-hez hasonlóan kons-titutív mennyiségek. Az alábbiakban feltételezzük, hogy azaalapváltozótól és annak

∂_iagradiensétől függenek, azaz a konstitutív állapottér elsőrendűen gyengén nemlok-ális. Tehát

– azalapváltozók terét a,

– akonstitutív állapotteret (a, ∂_ia) feszíti ki, – akonstitutív függvények pedigs,ˆ Jˆⁱ ésfˆ.

Ekkor eddigi feltevéseinket figyelembe véve az entrópiamérleg a következő formájú :

∂_as∂ˆ _ta+∂_∂ias ∂ˆ _ita+∂_aJˆⁱ ∂_ia+∂_∂jaJˆⁱ∂_ija≥0. (2.18) Itt a konstitutív függvények parciális deriváltjait rövidítve jelöltük, pl. ^∂ˆ_∂a^s = ∂_as.ˆ A fenti egyenlőtlenségre most Liu-tételét alkalmazzuk a B függelékben ismertetett módon. Az alapmezők aláhúzott parciális deriváltjai nincsenek benne a konstitutív állapottérben, ezek független algebrai mennyiségek és az ún. folyamatirány-teret fe-szítik ki. Azaz, a függelék jelöléseivelp= (∂ta, ∂tia, ∂ija), az együtthatóként szereplő konstitutív mennyiségeket pedigaésb vektoroknak feleltetjük meg. Vezessük be aλˆ Lagrange–Farkas-szorzót a (2.16) evolúciós egyenlethez, mint kényszerhez. Ekkor az entrópiaegyenlőtlenség átírható a következő formába :

0≤ ∂asˆ−λˆ

∂ta+∂_∂ias ∂ˆ ita+∂_∂jaJˆⁱ ∂ija+∂aJˆⁱ∂ia−ˆλf .ˆ (2.19) A λˆ Lagrange–Farkas-szorzó létezése Liu tételének következménye. Ezek után ki-használjuk, hogy a folyamatirányok a konstitutív állapottér elemeitől függetlenek (al-gebrailag), abban az értelemben, hogy ezeknek a deriváltaknak az értéke más és más lehet, ugyanazon konstitutív állapot értékeknél (például a (2.16) differenciálegyenlet kezdeti értékeitől függően). Ekkor az aláhúzott tagok szorzói (2.19)-ben nullák és a Liu-egyenleteket adják :

∂_ta : ∂_aˆs= ˆλ, (2.20)

∂ita : ∂_∂iaˆs= 0ⁱ, (2.21)

∂ija : ∂∂_(jaJˆⁱ⁾ = 0^ij. (2.22) Az utolsó egyenletben az indexek melletti zárójelek a jelölt másodrendű tenzor szim-metrikus részét jelölikA^(ij) = ¹₂(A^ij +A^ji), illetve általában az adott tenzorszorzat-komponensek szimmetrizáltját egy magasabb rendű tenzor esetén. Az első egyenlet az entrópia deriváltjaként határozza meg a Lagrange–Farkas-szorzót, a második azt mutatja, hogy az entrópiasűrűség lokális, azaz nem függa gradiensétől. A harmadik egyenlet egy megoldását adja, ha az entrópiaáram szintén lokális. A Liu-egyenleteknek

2.4. Gyengén nemlokális belső változók

és megoldásaiknak felhasználásával az egyenlőtlenség ekkor a következő alakra egy-szerűsödik :

0≤∂iˆJⁱ(a)−∂aˆs(a) ˆf(a, ∂ia). (2.23) További feltevésünk, hogy a maradék entrópiaáram nulla ;ˆJⁱ≡0ⁱ. Izotrop anyagok esetén ez mindig igaz, az izotrop vektorfüggvények reprezentációs tétele értelmében [164]. Ezért az entrópiaegyenlőtlenség egy határozatlan konstitutív függvény és az entrópia deriváltjának szorzatára egyszerűsödött. Mivel az entrópiát és deriváltjait általában meghatározottnak tekintjük, hiszen sztatikai mérésekkel meghatározható, ezért termodinamikai áramot és termodinamikai erőt azonosíthatunk a klasszikus ir-reverzibilis termodinamikai értelemben. Tehát az egyenlőtlenség megoldását kapjuk, ha a konstitutív függvény – a termodinamikai áram – pozitív szorzóval arányos a termodinamikai erővel.

fˆ=−ˆl ∂aˆs, ˆl >0. (2.24) Ez kétszer differenciálható fˆesetén nem közelítés, hanem általános megoldás Lag-range középértéktételének megfelelően (lásd pl. [147]). Nem szoktuk kihasználni az ebben rejlő általánosságot, legtöbbször állandóˆlegyütthatóra szorítkozva a fenti meg-oldást lineáris közelítésként értelmezzük.

Tehát izotrop anyag skalár belső változójára vonatkozó fejlődési egyenlet a termo-dinamika második főtétele értelmében egy relaxációs típusú közönséges differenciál-egyenlet :

∂_ta= ˆl∂_as.ˆ (2.25)

Az eljárás legfontosabb lépései tehát a következők voltak :

– Az alapváltozók, az alapkényszerek és a konstitutív függvények azonosítása és a konstitutív állapottér rögzítése. Ez utóbbi is fizikai kérdés, például a nemloká-lis kölcsönhatások szintjét, azaz a szereplő térderiváltak maximánemloká-lis rendjét kell eldöntenünk a kísérleti és egyéb modellezési tapasztalatok függvényében.

– Az entrópiaegyenlőtlenség felírása, parciális deriválások után a folyamatirány-tér rögzítése és szükség esetén további, derivált kényszerek bevezetése.

– Liu tételének alkalmazása.

– A Liu-egyenletek és a disszipációs egyenlőtlenség megoldása.

További kényszerek bevezetését a fizikai, modellezési feltételek többféle módon is szükségessé tehetik. Például a magasabb rendű állapotterek alapvetően fizikai felté-telezése, némiképp rejtett módon, matematikailag vezet további, differenciálegyenle-tekkel adott kényszerekre, ahogy a következő példában látni fogjuk.

Vegyük észre továbbá, hogy az utolsó pont, a Liu-egyenletek és a disszipációs egyen-lőtlenség explicit megoldása általában nem lehetséges. Ebben az egyszerű példában is csak több matematikai egyszerűsítés után értünk célt. Ennek megfelelően a fenti megoldás számos ponton általánosítható, illetve tovább vizsgálható. Például a loká-lis entrópiaáram feltételezése (2.22)-nek nem általános megoldása, és az antiszim-metrikus deriváltnak fizikai szerepe lehet. Hővezető, izotrop, szilárd anyagok esetén Liu ennek segítségével bizonyította, hogy a hőáram nem lehet örvényes [116], bár a Fourier-egyenlet más levezetései (például a klasszikus irreverzibilis termodinamika)

ezt elvileg nem zárják ki. Fontos azt is látni, hogy az olyan kézenfekvőnek tűnő mate-matikai feltevések, mint a konstitutív függvények kétszer folytonos deriválhatósága is fizikai következményekkel járnak. Erre legfontosabb példa a képlékenység termodina-mikai elmélete, amely Ziegler munkásságából fejlődve a termodinatermodina-mikai erőkben nem kvadratikus tagokkal oldja meg az entrópiaprodukció egyenlőtlenségét, másodrendű Euler-homogenitás helyett elsőrendű homogenitást feltételez (lásd [165, 43], illetve az Onsageri értelmezést illetően egy másik lehetőséget mutat [166]). Itt a termodinamikai erők függvényében nem differenciálható termodinamikai áramokra (mint konstitutív függvényekre) láthatunk példát.

A továbbiakban a második főtétel egyenlőtlenségének explicit megoldásait keressük, ezért általában nem használjuk ki teljesen a matematikai általánosság modellezési lehetőségeit. Konkrétan nem törekszünk arra sem, hogy a Liu-egyenletek feltételeknek megfelelő legáltalánosabb megoldását adjuk meg. Például mindig fel fogjuk tételezni, hogy :

– a Liu-egyenletekben nemcsak a szimmetria érvényes ; – nincs maradék entrópiaáram ;

– megfelelő mértékig differenciálhatóak a konstitutív függvények.

2.4.2. Másodrendű gyenge nemlokalitás - a Ginzburg–Landau-egyenlet