Anyagi mennyiségek és anyagi deriváltak

Itt a tér-térszerű és idő-térszerű komponensek részben ismerős formulákat eredmé-nyeznek. A legutolsó összefüggésnél az inverzfüggvény deriváltjára vonatkozó szabályt használ-tuk fel. Az invariáns, indexmentes jelölés megtávesztő lehet a különböző vektorterek miatt.

Térderiváltakkal. Ekkor kicsit keverve a különböző széthasított alakokat kapjuk, hogy A széthasítás jele fölötti index parciális széthasítást jelöl. A tér-térszerű és idő-térszerű komponenseket ismét érdemes kiemelni. A tér-idő-térszerű komponensnek nincs jó index nélküli felírása, mert harmadrendű tenzor részleges szimmetriájára vonatko-zik.

∂e_Iv^j = ˙H^j_I, azaz ∇ve = ˙H, (A.26)

∂e_IH^j_K =∂e_KH^j_I, azaz −, (A.27)

∂_iV^J =∂_tG^J_i, azaz ∇V=∂_tG, (A.28)

∂_iG^J_k=∂_kG^J_i, azaz −. (A.29)

A.2. Anyagi mennyiségek és anyagi deriváltak

A szubsztanciális alak keveri a téridőre és az anyagra vonatkozó mennyiségeket. Az anyagi mennyiségeknek figyelembe kell venni a kontinuum mozgásának következmé-nyeit, de azt az anyagra magára vonatkoztatva megadni. Ezt a feltételt egyszerű fi-gyelembe venni, ha megkülönböztetjük a függvényeket az alábbiak szerint :

– lokális :M→Mⁿ - téridőn értelmezett téridő jellegű függvény ,

– szubsztanciális : I×A→Mⁿ anyagon értelmezett téridő jellegű függvény,

– anyagi : I×A→(I×A)ⁿ az anyagon értelmezett anyag jellegű függvény.

Itt aznegész szám a fizikai mennyiség tenzori rendjét adja. Mivel az anyag valahol és valamikor van a téridőben, azaz az anyag és a téridő között – feltételezésünk szerint – egyértelmű kapcsolat van, ezért ezek a formák ugyanannak a fizikai mennyiségnek egyenértékű kifejezési módjai. Az értelmezési tartományokat a létezésfüggvény, az értékkészleteket pedig a létezésgradiens segítségével változtathatjuk meg. A fizikai mennyiségek szubsztanciális alakját az eddigiek szerint a mezőkre (lokális alakra) bevezetett jelölés fölött hullámmal, az anyagi alakot kalappal jelöljük.

Skalár

Egy skalármező az egy f :M → R,(t,r) 7→ f(t,r) függvény. Ennek szubsztanciális formája megegyezik az anyagi formával, tehát

fe= ˆf =f ◦xe^a, azaz fe(t,R) =f(t,exⁱ(t,R)).

Ennek megfelelően anyagi deriváltja megegyezik a szubsztanciális deriválttal :

∂ˆ_Afˆ=∂e_Afe=∂_cfe∂e_Axe^c=∂_cfeYe^c_A≺

= (e∂_tf ,e∂e_If) = ( ˙e f ,∇ef) = (∂e _tf , ∂e _kfe)

1 e0I

ev^k He^k_I

= (∂_tfe+ev^k∂_kf , ∂e _kfeHe^k_I). (A.30) Ebből látható, hogy a skalár mennyiség anyagi idő- és térderiváltjai a következőek :

♦

f= ˙f =∂tf+v^k∂kf, azaz f^♦= ˙f =∂tf+v· ∇f, (A.31)

∂ˆIf =∂eIf =∂kf H^k_I azaz ∇fˆ =∇fe =∇f·H. (A.32) Az anyagi időderiváltra külön jelölést vezettünk be és a formulákat lokális alakban, mezőként adtuk meg. Az anyagi időderivált geometriailag az anyag sebességmezője szerinti Lie-derivált.

Vektor

Egy vektormező lokálisan egy

c^a:M→M, (t,r)7→c^a(t,r) függvény. Ennek szubsztanciális és anyagi formái :

ec^a : I×A→M, ec^a=c^a◦ex, ˆ

c^A : I×A→I×A, ˆc^A=Ze^A_cec^c.

Vektorok anyagi formáját úgy kapjuk, hogy nemcsak az értelmezési tartományt, ha-nem az értékkészletet is visszahúzzuk az anyagi sokaságra. A négyes vektori mennyisé-gek nem függenek a vonatkoztatási rendszer mozgásától – viszont felbontásuk idő- és térszerű komponensekre már függ. A megfigyelőt a sebességmezője adja meg [127]. Az anyag maga is meghatároz egy sebességmezőt, ennek megfelelően legalább két célszerű

A.2. Anyagi mennyiségek és anyagi deriváltak

és gyakran használatos felbontása van egy tetszőleges vektori mennyiségnek : egy iner-ciális megfigyelő és az anyag szerint. Ha az anyag relatív sebességmezője az ineriner-ciális megfigyelő szerint v (azaz széthasított négyessebessége v^a ≺ (1, vⁱ)), akkor a kétféle felbontást vektorok esetén Galilei-transzformáció köti össze a következő módon :

c^a≺

Itt felülvonással azanyag szerinti felbontást jelöltük, és az utolsó egyenlőség megad-ja annak inerciális mennyiségekkel kifejezett alakját. Figyeljük meg, hogy vektornak az időszerű része ugyanaz a különböző megfigyelők számára. A fenti összefüggés megjele-nik a vektor anyagi formájának idő- és térszerű komponensekre történő felbontásában is : Az anyagi forma deriváltja ateljes anyagi derivált

∂eAcˆ^B =

Itt az első sor széthasításánál a diadikus szorzat miatt a deriváltak az előttük levő formulára hatnak, ahogy a következő mátrixból látszik. Az átalakításoknál felhasznál-tuk az inverz mátrix deriváltjára vonatkozó összefüggést, illetve az (A.21) és (A.27) összefüggéseket. A deriválások kijelölése után elhagytuk a szubsztanciális forma jelö-lését. Az első oszlopból olvasható ki az anyagi időderivált, amit még egy picit érdemes alakítanunk :

Ha az anyagot az adott pillanatban elfoglalt helyzetével adjuk meg, vagyis feltéte-lezzük, hogy maga az anyagi sokaság – másnéven a referencia konfiguráció – a pil-lanatnyi konfiguráció, akkor térszerű vektorra – amelynek null indexű, azaz időszerű komponense nulla – érdemes külön is felírnunk az anyagi időderiváltat. Ekkor formá-lisan G^I_j identitás (de a deriváltja nem az) :

c♦^I = ˙c^I−c^j∂_jv^I , azaz c^♦= ˙c−(∇v)·c . (A.37) Ezt szokás a vektor felsőáramlásos időderiváltjának nevezni, és ^∇c-val jelölni. Ez a feltétel összemossa az anyagi és téridő reprezentációkat.

Kovektor

Egy kovektormező lokális, szubsztanciális és anyagi alakjai a következőek :

k_a : M→M^∗, (t,r)7→k_a(t,r), (A.38) ek_a : I×A→M^∗, ek_a=k_a◦x,e (A.39) ˆk_a : I×A→(I×A)^∗, ˆk_A=Ye_A^cek_c. (A.40) Hasonlóan a vektorokhoz, ha az anyag relatív sebességmezője az inerciális megfi-gyelő szerintv,akkor megadhatjuk egy inerciális és anyagi megfigyelő szempontjából is. A kovektorok azonban másképp transzformálódnak, mint a vektorok :

k_a≺ k₀ k_i

, k_a≺¯ k¯₀ k_i

= k₀+v^kk_k k_i

. (A.41)

Ez a felbontás természetesen ismét tükröződik a kovektor anyagi formájának idő és térszerű komponenseiben Figyeljük meg, hogy kovektoroknak a térszerű része ugyanaz a különböző megfigye-lők számára. Megjegyzendő, hogy a derivált maga is egy kovektor, a szubsztanciális időderivált pedig időszerű komponensének anyagi alakja. A teljes anyagi derivált pedig a következő :

Itt a csillag a transzponálást jelöli. Az utolsó egyenlőségnél itt is áttértünk lokális mennyiségekre. Az utolsó mátrixok első sorából olvasható ki az anyagi időderivált :

♦

kA=

(k₀+k_kv^k˙) H_I^k( ˙k_k+k_l∂_kv^l)

. (A.43)

Ebből kaphatjuk meg a térszerű kovektorra vonatkozó jól ismert alsóáramlásos időderiváltat, ha az anyagot az adott pillanatban elfoglalt helyzetével adjuk meg (H_I^j az identitás, a pillanatnyi konfiguráció megegyezik a referencia konfigurációval) :

♦ Vagyis térszerű kovektor anyagi időderiváltja általában nem térszerű. Nem szorít-kozhatunk csak a három dimenzióra. Az anyagi időderivált térszerű részét nevezik alsóáramlásos deriváltnak.

A.2. Anyagi mennyiségek és anyagi deriváltak

Tenzor

Egy tenzormező lokális, szubsztanciális és anyagi formái a következőek :

T^ab : M→M⊗M, (t,r)7→T^ab(t,r), (A.45) Te^ab : I×A→M⊗M, Te^ab=T^ab◦ex, (A.46) Tˆ^AB : I×A→I×A⊗I×A, Tˆ^AB =Ze^A_cZe^B_dTe^cd. (A.47) Egy tenzormezőnek inerciális megfigyelők által széthasított formáját most nem ad-juk meg, helyette majd a referencia konfigurációra visszahúzott, anyagi formából olvas-suk ki. Ezt (A.34)–(A.42)-ből láthatóan megtehetjük. A közvetlen érveléshez viszont a téridőmodellek transzformációs formulái szükségesek [127]. Tehát

Tˆ^AB =

A széthasított forma komponeneseit az eddigiekhez hasonlóan felülvonással jelöltük.

Figyeljük meg, hogy egy tenzormező idő-időszerű része nem változik a különböző megfigyelők szempontjából. A teljes anyagi derivált a következő :

∂eA(Ze^B_dZe^C_eTe^de)≺ Az utolsó hipermátrix első komponenese az anyagi időderivált. Ezt részletesebben kifejtve kapjuk, hogy

Ebből kaphatjuk meg a térszerű tenzorra vonatkozó jól ismert felsőáramlásos időde-riváltat, ha az anyagot az adott pillanatban elfoglalt helyzetével adjuk meg (azazG^I_j

identitás, a pillanatnyi konfiguráció megegyezik a referencia konfigurációval) :

Vagyis térszerű tenzor anyagi időderiváltja térszerű.

Kotenzor

Egy kotenzormező lokális, szubsztanciális és anyagi formái a következőek :

B_ab : M→M^∗⊗M^∗, (t,r)7→B_ab(t,r), (A.51) Be_ab : I×A→M^∗⊗M^∗, Be_ab=B_ab◦x,e (A.52) BˆAB : I×A→(I×A)^∗⊗(I×A)^∗, BˆAB =Ye_A^cYe_B^dBecd. (A.53) A tenzorok esetéhez hasonlóan most is csak az anyagi formát írjuk fel. Tehát

BˆAB =

A széthasított forma komponeneseit az eddigiekhez hasonlóan felülvonással jelöltük.

Figyeljük meg, hogy egy tenzormező tér-térszerű része az, ami nem változik a külön-böző megfigyelők szempontjából. A teljes anyagi derivált a következő :

∂e_A(Ye_B^dYe_C^eBe_de)≺ Az utolsó hipermátrix első komponenese az anyagi időderivált. Ezt részletesebben kifejtve kapjuk, hogy

A.2. Anyagi mennyiségek és anyagi deriváltak

A térszerű kotenzor anyagi időderiváltja abban az esetben, sem térszerű, ha az anyagot az adott pillanatban elfoglalt helyzetével adjuk meg (azaz G_i^J identitás, a pillanatnyi konfiguráció megegyezik a referencia konfigurációval), mert :

♦

Bij= (v^kv^mb_km˙) (v^kb_kj˙) +v^kb_km∂_jv^m (v^kb_ki˙) +v^kb_km∂_iv^m b˙_ij+b_ik∂_jv^k+∂_iv^kb_kj

!

. (A.57)

Ennek tér-térszerű komponense a jól ismert háromdimenziósalsóáramlásos derivált.

Vegyes tenzor

Egy vegyes tenzormező lokális, szubsztanciális és anyagi formái a következőek : A^a_b : M→M⊗M^∗, (t,r)7→A^a_b(t,r), (A.58) Ae^a_b : I×A→M⊗M^∗, Ae^a_b =A^a_b◦x,e (A.59) Aˆ^A_B : I×A→I×A⊗(I×A)^∗, Aˆ^A_B =Ze^A_cYe_B^dAe^c_d. (A.60) Az eddigiekhez hasonlóan most is csak az anyagi formát írjuk fel. Tehát

Aˆ^A_B =

A széthasított alak komponeneseit most is felülvonással jelöltük. Figyeljük meg, hogy egy vegyes tenzormező idő-térszerű része az, ami nem változik a különböző meg-figyelők szempontjából. A teljes anyagi derivált a következő :

∂eAAˆ^B_C =∂eA(Ze^B_dYe_C^eAe^d_e) = Az utolsó hipermátrix első komponenese a vegyes tenzor anyagi időderiváltja. Ezt

részletesebben kifejtve kapjuk, hogy A térszerű vegyes tenzor anyagi időderiváltja sem térszerű, akkor sem, ha az anyagot az előbbiekhez hasonlóan az adott pillanatban elfoglalt helyzetével adjuk meg (azaz G_i^J, H_I^jidentitás, a pillanatnyi konfiguráció megegyezik a referencia konfigurációval), mert :

A kinematikai alapmennyiségünk, a létezésgradiens vegyes tenzor, ráadásul téridő kontravariáns és anyagi kovariáns komponenssel. Anyagi formája pedig az identitás, ahogy az a transzformációs formulákból azonnal megkapható :Yˆ_B^A=Ze^A_cYe^c_B=δ_B^A, Ennek megfelelően az anyagi formájának deriváltja nulla. Természetesen akár neki magának is képezhetjük az anyagi deriváltját.

∂e_AYˆ_C^b ≺

Innen kiolvashatjuk a négyessebesség anyagi deriváltját is. Ebből következik to-vábbá, hogy a sebesség és a mozgásgradiens anyagi időderiváltja a szubsztanciális derivált.

In document Nemegyensúlyi termomechanika (Pldal 131-139)