Anyagi sokaságok

Folyadékok esetén hagyományosan két kitüntetett megfigyelőt használunk. Egyrészt egy külső inerciálisat – ekkor beszélünk lokális leírásról –, másrészt maga a kontinuum, illetve annak sebességmezője is tekinthető megfigyelőnek bizonyos feltételek esetén (ha nem turbulens). Az anyaghoz kötődő és a mozgásból eredő változások megkülönböz-tetése alapvetően fontos, ha valóban az anyagra jellemző – és nem annak speciális mozgásához kötődő – paramétereket szeretnénk mérni.

Deformálódó anyagok esetén ezért kettős tenzormezőket [399, 78], anyagi sokasá-gokat [400, 123] illetve számos különböző időderiváltat szoktak bevezetni a változá-sok jellemzésére. Az előző szakaszban láttuk, hogy a téridőről a relativitáselméletben

A.1. Galilei-relativitás, avagy a nemrelativisztikus téridő

megismert tapasztalatoknak a nemrelativisztikus esetre történő visszavetítése – annak felismerése, hogy a nemrelativisztikus téridő sem pusztán az egydimenziós idő és a há-romdimenziós euklidészi tér szorzata – a deriváltakkal, vektorokkal és kovektorokkal történő műveletekkel történő nagyobb elővigyázatosságot feltételez. Ez a szokott in-dexes formalizmust és műveleteket nem engedi meg. Ebben a fejezetben megadom az indexes formalizmusnak egy olyan általánosítását, azaz módosított szabályrendsze-rét, amely a deformálható testek nemrelativisztikus mechanikájában alkalmazható.

Ez a formalizmus a Penrose-féle absztrakt indexek szellemében [401] nem kötődik vonatkoztatási rendszerhez és koordináta rendszerhez sem. A formalizmus segítségé-vel kiszámolom a különféle tenzori jellegű mennyiségek deriváltjait, illetve azok tér-és időszerű rtér-észeit az anyagra tér-és a téridőre jellemzően. Hasonló nemrelativisztikus négydimenziós formalizmust vezettek be többek között például Truesdell és Toupin, Marsden és Hughes, Maugin, illetve maga Noll is [399, 402, 20, 403, 120], ezek a mun-kák azonban nem ismerik fel a vektor-kovektor megkülönböztetés következményeit, például az objektív időderiváltakra vonatkozóan sem.

Kinematika

A téridőt a továbbiakban kényelmi okokból vektortérrel reprezentáljuk, pontjaitx^a∈

∈ M-el jelöljük. Téridő időre és térre történő széthasítását és a széthasított formát – egy inerciális megfigyelőre vonatkoztatottan – x^a ≺(t,r) = (t, rⁱ) ∈I×E módon adjuk meg. Itt és a továbbiakban aza, b, c, ...= 0,1,2,3a téridő vektorok négyes inde-xei, i, j, k, ...= 1,2,3 hármas indexek. A négyesvektorok függetlenek a vonatkoztatási rendszerektől, a széthasított forma nem az, a széthasítás feltételez egy megfigyelőt. A négyesindexek és a hármasindexek is absztraktok, de különböző értelmeben : a négyes-vektorok és tenzorok megfigyelőtől és koordinátázástól is függetlenek, a hármasvekto-rok és tenzohármasvekto-rok sem függenek koordinátázástól. Az index nélküli, koordinátainvariáns jelölésmódot csak a relatív, hármas vektorokra és tenzorokra tartjuk fenn.

Az anyag pontjaitX^A= (t,R) = (t, R^I) ∈I×A-val jelöljük, ahol Aa kontinuum pontjait reprezentáló háromdimenziós vektortér. Ebben az írásban a pontokat a szo-kásos módon egy alkalmasan választott t₀ időpontban a térben elfoglalt helyzetükkel reprezentáljuk. Az anyagi sokaság nem téridő, itt nem széthasításról, hanem valódi Descartes szorzat reprezentációról van szó. Ennek a reprezentációnak a problémáival és ezeknek a problémáknak megoldásával, azaz az anyag alakváltozásának fizikai rep-rezentációjával [396] foglalkozik részletesen. Ebben a függelékben ezt nem választjuk szét nagyon pontosan, például az I×A anyagi sokaság elemeit is négyes indexekkel reprezentáljuk, aholA, B, C, ...= 0,1,2,3, illetveAelemeit pedigI, J, K, ...= 1,2,3-al.

A nagybetűk utalnak arra, hogy nem a téridőről van szó.

A kontinuumot a téridőbeli viselkedését jellemzőlétezésfüggvénye adja meg : xe^a :I×A→M: (t,R)7→ xe^a(t,R)≺

t exⁱ(t,R)

. (A.5)

xeⁱ(t,R) a jól ismert mozgásfüggvény, R pedig az anyagi sokaságnak a relatív hely-zetvektorait jelölik. A mozgásfüggvény fenti egyszerű négydimenziós általánosításá-nak következményeit tárgyaljuk a továbbiakban. Az ex^a(t,R) létezésfüggvény inverzét X^A(t,r)-el jelöljük. Az invertálhatóság maga fizikai követelmény : azt a feltevést fejezi ki, hogy a kontinuum pontonként megmarad létezése során (pl. nem tömörödik több

A.2. ábra. A létezésfüggvény és inverze

pont egy pontba, stb...). Összefoglalva az előbbi függvényeket a következő formában is írhatjuk :

ex^a(t, R^I)≺

t exⁱ(t, R^I)

, illetve X^A(t, rⁱ) =

t X^I(t, rⁱ)

. (A.6)

A kovektorokat sorban, a vektorokat oszlopban jelöljük, lehetőleg összhangban a mátrixszorzás szabályaival. Azonban a mátrixos jelölést csak négyes-hármas viszony-latban, azaz a széthasított esetben tér- és időkomponensek megkülönböztetésekor használjuk. A vektorok felső, a kovektorok alsó indexet kapnak és csak alsó és felső indexekre megengedett az összegzés, mert a téridő nem euklidészi vektortér : nemrela-tivisztikusan nincs téridő-távolság. Az Einstein-konvenciónak megfelelően az azonos indexek összegzést jelölnek. AzI×A-n értelmezett, azaz szubsztanciális mennyisége-ket hullámmal jelöljük, azM-en értelmezett, azazlokális mennyiségekre, másképpen mezőkre bevezetett jelöléshez képest. Azaz például az A(t,r) skalármező szubsztan-ciális formájaA(t,e R) = A t,xeⁱ(t,R)

, vagyis Ae=A◦ex^a ésA =Ae◦X^A, ahol◦ az összetett függvény jele.

Alapinverzek

ex^a ésX^A inverzei egymásnak, ezért

ex^a◦X^B=δ^a_b, X^A◦xe^b=eδ^A_B, xeⁱ◦X^J =δⁱ_j, X^I◦xe^j =eδ^I_J. (A.7) Itt a megfelelő vektorterek identitás leképezése idM,idI×A,idE és idA az indexes jelöléssel δ^a_b, eδ^A_B, δⁱ_j, illetve eδ^I_J lesznek. Vigyázzunk, mert speciálisan a fenti for-muláknál a bal oldalon álló függvényeket nem a helyettesítési értékükkel tekintjük (vesd össze (A.10)-el) és általában is jelölésmódunkat igyekszünk éppen csak annyira pontossá tenni, hogy kis odafigyeléssel kényelmes és áttekinthető számolási szabá-lyokat tegyen lehetővé. Ugyanis a nagyszámú különféle, de hasonló függvény közül

A.1. Galilei-relativitás, avagy a nemrelativisztikus téridő

célszerű mindazokat lehetőleg azonosítani, amelyek fizikai szerepe megegyezik. Ennek megfelelően a létezésfüggvénynek és inverzének a deriváltjai a létezésgradiens,Ye^a_B∈

∈M⊗(I×A)^∗, és inverzeZ^A_b ∈(I×A)⊗M^∗, ahol mozgás-gradiens mezőnek, az előbbi mennyiség lokális formájának az inverze. Bevezethetjük még az ue^a =∂e_txe^a (szubsztanciális) négyessebességet és a V^A = ∂_tX^A négyes anyagi sebességmezőt. Természetesen bármelyik szubsztanciális mennyiségnek képezhetjük a lokális formáját is, így például vⁱ(t, rⁱ) = ∂etxeⁱ◦X^A

(t, rⁱ) =∂etxeⁱ t, X^J(t, rⁱ) , amit indexek nélkül v(t,r) = ∂e_tex t,X(t,r)

alakban írhatunk. Ne feledjük, hogy a ∂e_t je-lölés arra utal, hogy szubsztanciális függvényt deriválunk idő szerint,X-et állandóan tartva. Az előbbi példát ezek után rövidebben és egyszerűbben is kifejezhetjük, vⁱ =

= ∂e_txⁱ, illetve indexek nélkül v = ∂e_tx formában, azaz a deriválás a szubsztanciális mennyiségre vonatkozik, de a deriváltat mezőként tekintjük, tehát az értelmezési tar-tomány a téridő. Általában a deriválás fölötti jel (vagy hiánya) a deriválandó függvény értelmezési tartományát, míg a derivált értelmezési tartományát a függvény feletti jel (vagy hiánya) jelöli. (A.7) második formulájának deriválásával kapjuk, hogy

∂eB(X^A◦ex^c) = (∂et,∂eJ) hiszen a mátrixok közötti összefüggéseket az értelmezési tartomány megváltoztatása nem befolyásolja.

Deriváltak

A különféle deriváltak közötti kapcsolatokat leolvashatjuk egy skalárfüggvényre tör-ténő hatásukból. Szubsztanciális mennyiségekre

1Ezt a mennyiséget angol nevének tükörfordításával sokszor deformációgradiensnek nevezi a magyar szakirodalom.

Másrészt mezőkre Ebből következően az idő és térderiváltakra külön is felírva

∂e_t(. . .) = d

dt (. . .) =∂_t(. . .) +v^k∂_k(. . .), ∂e_I(. . .) =∂_k(. . .)He^k_I , (A.16)

∂t(. . .) =∂et(. . .) +V^K∂eK(. . .) , ∂i(. . .) =∂eK(. . .)G^K_i . (A.17) Itt a szubsztanciális időderiváltra bevezettük a szokásos _dt^d jelölést, amit néha pont-tal rövidítünk.

Vegyes deriváltak

Igen fontos szerepet játszanak a vegyes második parciális deriváltak egyenlősége alap-ján felírható összefüggések. Két négyes deriválásra ez triviális, de részben széthasítva felhasználjuk a mozgásgradiens és a sebességek definícióit és a deriváltakra fennt ka-pott bekeretezett összefüggéseket.

Időderiváltakkal. Először a négyes mennyiségekre (A.15) alapján kapjuk, hogy

∂e_tYe^a_B =∂e_t∂e_Bex^a=∂e_B∂e_tex^a=∂e_Bev^a, −→ ∂e_tYe^a_B=∂_cve^aYe^c_B, (A.18)

∂_tZ^A_b =∂_t∂_bX^A=∂_b∂_tX^A=∂_bV^A, −→ ∂_tZ^A_b =∂e_CV^AZ^C_b. (A.19) Kicsit átalakítva az utóbbi formulákat kapjuk a gyakorlatban használhatóbb azonos-ságokat, ugyanis (A.18)–(A.19)-ból a sebességderiváltakat kifejezve, (A.8)–(A.9) és (A.11)–(A.12) felhasználásával és (A.18)-nál is mezőkre áttérve kapjuk, hogy

d