Bevezetés – történeti megjegyzések

0A hővezetés a nemegyensúlyi termodinamika elméleteinek fő gyakorlóterepe. A pa-rabolikus Fourier-egyenlet a termodinamikai eredetű fejlődési egyenletek prototípu-sa. Ennek fizikai és matematikai okait láttuk a 2.6 fejezetben : az elsőrendűen gyen-gén nemlokális állapottér forrásmentes mérlegegyenlettel, mint kényszerfeltétellel ki-kényszeríti az entrópiaprodukció klasszikus irreverzibilis termodinamikában megszo-kott formáját. Tehát univerzálisan, nagyon kevés feltétellel megkapjuk a Fourier-egyenletet, függetlenül a hővezetést létrehozó fizikai mechanizmusoktól és anyagszer-kezettől. A Fourier-egyenlet azonban nem modellez jól minden hővezetési jelenséget.

A második hang és a ballisztikus hővezetés a legismertebbek közülük : megértésük-re és modellezésükmegértésük-re számos elmélet létezik, nagyon különböző feltevésekkel. A leg-gyakrabban hangoztatott elvi probléma a Fourier-egyenlettel kapcsolatban a végtelen jelterjedési sebesség, emiatt valamilyen hiperbolikus egyenlet közelítésének szokás te-kinteni. Az ezzel kapcsolatos érvelések félrevezetőek és félreérthetőek, különösen, ha a relativitás elméletére és a fény sebességére mint elvi határra is hivatkoznak ben-ne. Ugyanis egy hiperbolikus elmélet véges jelterjedési sebességet eredményez, de az akármekkora lehet, sokkal nagyobb is, mint a fénysebesség. Hiperbolikus kontinu-umelméletekben a jelterjedési sebességek az anyagjellemző paraméterektől függenek.

Másrészt parabolikus elméletek is megfogalmazhatóak relativisztikusan, és az ilyen elméletek figyelembe veszik a fény véges terjedési sebességét [242]. Harmadrészt és legfőképpen pedig ezek az elméletek jól meghatározható érvényességi körrel rendelkez-nek, például a hőmérséklet nem változhat nagyon a közepes szabad úthossznál kisebb távolságokon. Ez pedig azt jelenti, hogy túl éles kezdeti feltételek esetén valójában nem jelennek meg a tipikus végtelen sebességű megoldások, az elmélet érvényessége meghatározza a terjedési sebességüket. Például a hő ilyen módon meghatározott ter-jedési sebessége vízben nagyjából 14^m_s. Ugyanez igaz a jelek megfigyelhetőségére is : a Fourier-egyenlet exponenciális megoldásainak megfigyelhetőségi, mérhetőségi határa adott sebességgel terjed (függetlenül a műszerek konkrét érzékenységétől), ez pedig megint csak anyagfüggő, és hétköznapi anyagokra messze van a fénysebességtől. Ez igaz mind relativisztikusan, mind nemrelativisztikusan [243, 244, 242, 245]. Ráadásul a hiperbolikus és parabolikus kontinuumelméletek egyfajta hierarchikus szerkezetet mutatnak akár önmagukban [246], akár a kinetikus elméleti hátteret figyelembe véve [247], felváltva parabolikus és hiperbolikus egyenletekkel. Vagyis egy hiperbolikus el-mélet felfogható speciális parabolikus elel-méletként és fordítva is, attól függően, hogy a hierarchia melyik szintjéről indulunk.

A kísérlet és az elmélet sajátos módon fonódik össze a hővezetés esetén [240]. A hullámszerű hővezetés, a második hang elméleti jóslat volt [93, 248, 249], amikor fo-lyékony héliumban Peshkov először megmérte [250]. Ezután az eredeti kétfolyadék elmélettől eltérő, kinetikus gázelméleti megfontolások alapján [94, 251] merült fel a Guyer-Krumhansl egyenlet és a ballisztikus terjedés [252, 253, 96]. Ezeket a jóslatokat a jelenség kísérleti felfedezése követte speciálisan előállított szilárd nátriumfluorid és bizmut kristályokban [254, 255]. A méréseket azután ugyan részben megmagyarázták az elméletek, de pontosan nem modellezték [239, 256]. Manapság a mikro- és

nano-0Ez a fejezet a [236, 237, 238, 239, 240, 241,?] munkákon alapul.

technológia fejlődése szükségessé teszi a hővezetési jelenségek kis méretekben történő vizsgálatát, ezért a hővezetés elmélete intenzív kutatás tárgya [257, 258]. Több kísérlet mutat eltéréseket a Fourier-egyenlettől [259, 260] és számos elméleti fejlemény igyek-szik ezeknek az eltéréseknek a természetét megragadni, kísérleti előrejelzéseket tenni a kontinuumelmélet segítségével is [261, 262, 263, 264, 247, 265, 266, 267, 268, 269].

Az említett Fourier-egyeneleten túli jelenségeket, elsősorban a második hangot ma-gyarázó makroszkópikus elméletek közül (lásd pl. [270, 271, 263, 272, 258, 273, 274]) a nemegyensúlyi termodinamika kitüntetett szerepet játszik. Ugyanis itt hasonlóan a Fourier elmélethez, univerzális, azaz a konkrét anyagszerkezettől és a benne lezajló mechanizmusoktól független a fejlődési egyenlet származtatása. Ahogy azt láttuk az előző fejezetekben a Fourier-egyenlet származtatása a belső energia mérlegének és a második főtételnek az érvényességén alapul. Ha az általánosítások levezetése is ilyen értelemben és feltételekkel érvényes, az várható, hogy a Fourier-törvénytől eltérések is szélesebb körben tapasztalhatóak, és nem kötődnek az alacsony hőmérsékletekhez és kis méretekhez. Azonban tiszta fenomenologikus levezetése sokáig csak a Maxwell-Cattaneo-Vernotte (MCV) egyenletnek volt [101], a nemegyensúlyi termodinamika vezető elméletei, mint a kiterjesztet irreverzibilis termodinamika [102], racionális ki-terjesztett termodinamika [91] erősen kötődnek a kinetikus elmélethez és nem fejlesz-tik a fenomenologikus módszereket.

Minden hővezetéssel kapcsolatos vizsgálat sarokpontja a belső energia mérlege,

ρe˙+∂iqⁱ=σe, (2.152)

aholρa sűrűség,ea fajlagos belső energia,qⁱa belső energia áramsűrűségének konduk-tív része, a hőáram,σ_epedig a belső energia forrássűrűsége. Ez utóbbi a továbbiakban mindig nulla. A pont a szubsztanciális időderiváltat jelöli. Eddig következetesen je-löltük alsó és felső indexekkel a ko- és kontravariáns vektorokat és az azonos indexek összegzése is csak ilyen indexpárokra volt megengedett. Azonban a Fourier-törvény maga eleve szükségessé teszi egy alapvetően kovariáns térbeli derivált egyenlővé téte-lét egy kontravariáns hőáramsűrűség vektorral. Az azonosítást természetesen a közöt-tük levő arányossági tényező, a hővezetési együttható tenzor végzi el. Mivel számos további anyagi együttható kerül ebben a fejezetben bevezetésre, ezért a továbbiak-ban pongyola, de az olvasását megkönnyítő módon egyöntetűen felső indexszel fogjuk jelölni a vektorokat és a kovektorokat.

A Fourier-egyenlet fenomenologikus általánosításaiban a (2.153) konstitutív egyen-let módosítódik további tagokkal. A legfontosabb módosítási javaslatok a következő-ek :

qⁱ =−λ∂ⁱT, (2.153)

τq˙ⁱ+qⁱ =−λ∂ⁱT, (2.154)

τq˙ⁱ+qⁱ =−λ∂ⁱT+a1∂^ijq^j+a2∂^jjqⁱ, (2.155) τq˙ⁱ+qⁱ =−λ∂ⁱT+b2∂ⁱT ,˙ (2.156) τq˙ⁱ =−λ∂ⁱT+a₂∂^jjqⁱ. (2.157) Itt (2.153) a klasszikus Fourier-törvény [275], (2.154) a Maxwell–Cattaneo–

Vernotte-egyenlet (MCV) [93, 94, 95], (2.155) a Guyer–Krumhansl-egyenlet (GK) [96], (2.156) a Jeffreys-típusú vagy késleltetéses (lagging) hővezetési egyenlet néven ismert

2.9. Relokalizálható kontinuumok – hővezetés

[270], és (2.157) a hővezetés Green–Naghdi-egyenletére vezet (GN) [272]. A hővezetési tényező λ, a relaxációs időτ,a1,a2 ésb2 pedig további anyagi paraméterek.

Ezeknek az egyenleteknek az eredete, levezetése és motivációja nagyon sokféle. A kinetikus elmélet többféle módon származtatja a Fourier- és az MCV-egyenletet. Pél-dául a Boltzmann-egyenlet momentum sorfejtése a Fourier-törvényt adja első rend-ben, másodrendben pedig az MCV-egyenletet [102, 91]. A GK-egyenletet először a Boltzmann-egyenletből a fonon-rács kölcsönhatásra vonatkozó speciális ütközési in-tegrálokkal vezették le [96, 276].

A fenti egyenleteket származtató fenomenologikusabb elméletek is nagyon sokfélék [270, 271, 263]. A Fourier-törvény a nemnegatív entrópiaprodukció következménye a klasszikus irreverzibilis termodinamikában [5], az MCV-egyenlet megkapható hasonló módon, ha a lokális egyensúlytól való eltérést egy belső változóval jellemezzük [277]. A hőáramsűrűség konduktív része pedig egy olyan konkrét jelölt erre a belső változóra, amelyet a kinetikus elmélet jól megalapozott [101, 102, 91].

A gyengén nemlokális kiterjesztések eredete a fenomenologikus elméletekben is kér-déses. Az elméletek egy része a Guyer–Krumhansl-egyenletet az entrópia áramsűrűség-nek a klasszikus formától való eltérésével hozza kapcsolatba [278, 279, 280]. A (2.156) késleltetéses (lagging) hővezetési egyenletet reológiai analógia alapján javasolták [270], de az eredeti megfontolásokban a termodinamikával való viszonya nem világos [263].

GK-egyenletet vezethetünk le különféle egyszerű mechanizmusokkal is, mint példá-ul hőáramhasítás (heat flow splitting) [273], vagy kétlépéses relaxáció [281, 282]. A Jeffreys-típusú hővezetés mentes az MCV-egyenlet számos problémájától (a nemlok-ális tag miatt) [283]. Green és Naghdi elméletének sajátos a státusa, ugyanis ez egy speciális skaláris belső változón alapul, amelynek az időderiváltja a hőmérséklet, és az elmélet alkotói igen szokatlan módon vizsgálták a lokális egyensúlytól való eltérés termodinamikai következményeit [272]. Egy olyan hővezetési elméletet kaptak, amely nemtriviális módon tartalmazza a megszokott Fourier-törvényt, és amelynek van nulla entrópiaprodukciót eredményező alesete, azaz hővezetést jósol nulla disszipációval.

A fenti rövid áttekintésből is látható, hogy a Fourier-törvény gyengén nemloká-lis általánosításainak nagyon sokféle motivációja és levezetése létezik. Legtöbbjüket akkor tekintjük fizikai jelenségek érvényes modelljének, ha a mikroszkopikus leveze-tésük tiszta képet ad a módosítás hátteréről. Néhány fontos esetben, mint például a Jeffreys-típusú hővezetési egyenlet esetén, a második főtétel szerepe nem világos. Az összes termodinamikailag következetes levezetés bevezeti valahogy a lokális egyensúly-tól való eltérést. A nemlokális kiterjesztések megengedik az entrópiaáram klasszikus formájától való eltérést.

A továbbiakban az előzőekben felsorolt konstitutív egyenleteket levezetjük az irre-verzibilis termodinamika segítségével. Két egyszerű és általános feltevésre van ehhez szükségünk :

– a lokális egyensúlytól való eltérés jellemzésére, ezt egy vektori belső változó segítségével tesszük meg [44, 177, 180],

– az entrópiaáram klasszikus formájától történő eltérést pedig egy áramszor-zónak elnevezett, a belső változókhoz hasonló mennyiséggel fogjuk jellemezni [158, 278].

Az alább tárgyalt lineáris közelítésben mind az áramszorzó, mind a belső változó

kikü-szöbölhető, és egy általános konstitutív differenciálegyenletet vezethetünk le, melynek (2.153)–(2.157) mind bizonyos speciális esetei lesznek. Látni fogjuk, hogy a termodina-mika II. főtételéből eredő megszorítások egyáltalán nem nyilvánvalóak, és csökkentik a látszólag megjelenő független együtthatók számát, annak ellenére, hogy reciprocitási relációkat nem tételezünk fel.

A csak általános feltevéseken alapuló termodinamikai tárgyalásnak fontos jellem-zője, hogy mindaddig, amíg a lokális egyensúlytól való eltérés jellemzésére vonat-kozó általános feltételeket egy mikro- vagy mezoszkopikus mechanizmus teljesíti, a következmények ugyanazok lesznek : ezt tekinthetjük a nemegyensúlyi termodina-mikai tárgyalás univerzalitásának. Ezt a fontos tulajdonságot két példán mutatjuk be, melyek általános eredményünk speciális esetének bizonyulnak : egyrészt, ha a Fourier-törvénytől való eltérést egy skalármező gradiensével jellemezzük, akkor a mo-dell egyenletei az úgynevezett parabolikus kétlépéses momo-dellre redukálódnak. Illetve, ha a Fourier-törvénytől való eltérést egy általános vektormezővel jellemezzük, akkor megmutatjuk, hogy ennek a vektormezőnek egy MCV-egyenletet kell kielégítenie.