Az Eckart-elmélet

Ebben az alfejezetben levezetjük Eckart elméletét, egy kicsit általánosabban, mint ő tette, nem Eckart-áramlással. A Lorentz-formára vonatkozóan adiag(1,−1,−1,−

−1) előjel konvenciót fogjuk használni. A mértékegységeket olyan módon választjuk, hogy a Boltzmann-állandó és a fénysebesség értéke legyen az egység c = 1, k_B =

= 1. Csak egykomponensű és izotrop folyadékot tárgyalunk, amelynek nincs belső impulzusmomentuma.

A hidrodinamikai alapmennyiségek az N^a részecskeszámsűrűség-vektor, és a T^ab energiaimpulzus-tenzor. Ezeket egy tetszőlegesu^asebességmező segítségével általáno-san a következő formában írhatjuk :

N^a=nu^a+j^a, (3.1)

T^ab =eu^au^b+u^aq^b+q^au^b+P^ab. (3.2)

3.2. Az Eckart-elmélet

Itt n = u^aN_a a részecskeszámsűrűség-vektor u^a szerinti időszerű része, j^a = ∆^abN_b pedig a térszerű része, ahol ∆^ab =g^ab−u^au^b. Itt és a továbbiakban minden esetben az u^a sebességmező szerinti lokálisan együttmozgó rendszerben vettn részecskeszám-sűrűségről és j^a részecskeáram-sűrűségről beszélünk. Amennyiben különböző sebes-ségmezők is szerepet játszanak a gondolatmenetben azt külön jelöljük. Hasonlóan a részecskeszám-sűrűséghez, e=uau_bT^ab az energiaimpulzus-tenzor idő-időszerű része, az energiasűrűség, q^a = u_cT^cb∆^a_b az idő-térszerű része az energiaáram, mely meg-egyezik a tér-időszerű részével, az impulzussűrűséggel, mert belső impulzusmomen-tum hiányában az energiaimpulzus-tenzor szimmetrikus. Ugyanezen oknál fogva az energiaimpulzus-tenzor tér-térszerű része, aP^ab= ∆^a_cT^cd∆^b_dnyomás is szimmetrikus.

A sebességmező az általánosan elfogadott nézet szerint nem alapvető fizikai mennyi-ség, valamilyen konkrét anyagi tulajdonsághoz kell (lehet) rögzítenünk. Ha úgy adjuk meg, hogy j^a = 0^a, azaz u^a_E = ^√_N^Na

aN^a, akkor Eckart-áramlásról beszélünk⁴. Ha az energiát tekintjük a folyadék mozgását meghatározó mennyiségnek, akkor Landau–

Lifsic-áramlásról beszélünk. Itt q^a = 0^a és a definíció implicit : u^a_LL = √ ^ubLLTba

u^c_LLT_c^dTdeu^e_LL. Megjegyzendő, hogy ez csak akkor tehető meg, ha az energiaimpulzus-tenzornak van időszerű sajátvektora (például az elektromágneses sugárzási tér energiaimpulzus-tenzorának nincs).

A nemrelativisztikusan már megismert _dτ^d :=u^a∂_aszubsztanciális deriváltat itt leg-többször együttmozgó deriváltnak nevezik, és pontozással jelölik. Ennek segítségével a részecskeszám és az energia-impulzus megmaradása a fenti relatív mennyiségekkel a következőképpen írható

∂aN^a= ˙n+n∂au^a+∂aj^a= 0, (3.3)

∂_bT^ab = ˙eu^a+eu^a∂_bu^b+ ˙q^a+q^a∂_bu^b+eu˙^a+ u^a∂_bq^b+q^b∂_bu^a+∂_bP^ab= 0^a. (3.4) Az utóbbi egyenletet célszerű energia- és impulzusmegmaradásra bontani.

u_a∂_bT^ab = ˙e+e∂_bu^b+u_aq˙^a+∂_bq^b+u_a∂_bP^ab = 0, (3.5)

∆^a_c∂bT^cb=eu˙^a+ ∆^a_bq˙^b+q^a∂bu^b+q^b∂bu^a+ ∆^a_c∂bP^cb= 0^a. (3.6) A mechanikai disszipáció a folyadékban lokális, a sebességmezőhöz viszonyított relatív mennyiségekkel írható fel, ezért kellett felírnunk a mérlegeket mindenképpen idő és térszerű komponensekkel. A termodinamika itt is a lokális mennyiségek között mond viszonyokat, hasonlóan a nemrelativisztivisztikus esethez.

Az Eckart-elméletben a lokális egyensúly definíciója egyszerű és ésszerű, a nemrela-tivisztikus eset legkézenfekvőbb általánosítása. Az entrópiasűrűség a lokálisan nyug-vó vonatkoztatási rendszerben az ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben vett e energiasűrűség és n részecskeszámsűrűség függvénye, s = s(e, n). Az Eckart-elmélet Gibbs-relációja az (1.16) nemrelativisztikus Gibbs-relációhoz hasonló

de=Tds+µdn, (3.7)

ahol T a hőmérséklet,µ a kémiai potenciál,s=uaS^a az entrópiasűrűség a lokálisan nyugvó vonatkoztatási rendszerben, ahol S^a jelöli az entrópia négyesáram-sűrűséget.

4Ez megfelel a nemrelativisztikus baricentrikus sebességnek, amennyire csak megfelelhet.

A nemrelativisztikus és relativisztikus jelölést a hagyományok szerint és miatt kü-lönböztettük meg, például a belső energiasűrűségρe volt nemrelativisztikusan, rela-tivisztikusan pedig az előbbiekben megadotte-vel jelöltük az energiaimpulzus-tenzor idő-időszerű komponensét . Az entrópiátu^aszerinti idő- és térszerű részekre hasíthat-juk, azazsentrópiasűrűségre ésJ^a entrópiaáram-sűrűségre :

S^a=su^a+J^a. (3.8)

Természetesen az extenzivitást érvényesnek tekintjük és ezért az (1.17) Gibbs-Duhem reláció és a nyomást definiáló extenzivitási tulajdonság is pontosan olyan, mint nem-relativisztikus folyadékoknál.

Eckart az entrópiamérleget állította tárgyalásának középpontjába és ennek segítsé-gével definiálta a disszipativitást úgy, ahogy ez a nemegyensúlyi termodinamikában azóta általános. A konstruktív elmélethez a lokális egyensúlyon kívül az entrópiaára-mot is valahogy meg kell állapítani. Ez utóbbiról is azt feltételezte, hogy a nemrela-tivisztikus esethez hasonlóan

J^a = q^a T − µ

Tj^a (3.9)

formában írható. Ekkor az entrópiaprodukció kiszámolható :

∂aS^a= ˙s+s∂bu^b+∂aJ^a= (3.10) entrópia-produkció analóg a nemrelativisztikus (2.108) formulával, termodinamikai erőket és áramokat azonosíthatunk benne. Nemrelativisztikusan a diffúziós tag hiányzik, vita-tott, hogy miért [129]. Kézenfekvően ebben a kvadratikus formulában is j^a, Π^ab és q^a a termodinamikai áramok, a konstitutív mennyiségek, szorzóik pedig a megfelelő termodinamikai erők. Ezek között lineáris kapcsolatot feltételezve izotrop anyagok-ra megkapjuk a nemrelativisztikus Fourier–Navier-Stokes anyagtörvények Eckart-féle relativisztikus általánosítását : ahol λ a hővezetési együttható, ζ a diffúziós együttható, η, η_v a nyíró és térfogati viszkozitások. A hővezetés és a diffúzió közötti kereszteffektust (Soret–Ludwig) itt és a továbbiakban figyelmen kívül hagyjuk. hi zárójel a zárójelezett indexekre vett térszerű, szimmetrikus, nyom nélküli részt jelöli itt is, azaz

∂^hau^bi= ∆^a_c∆^b_d

3.3. Termodinamikai elemzés

Az entrópiaprodukció fenti formájának váratlan következménye a gyorsulásfüggő (3.13) Fourier–Eckart-törvény. A gyorsulás megjelenése az energiaáram részeként az energia-impulzus csere termodinamikai fontosságára utal.

3.3. Termodinamikai elemzés

0Az előző részben ismertetett gondolatmenet gyengeségei ugyanazok, amit a nemrelativisztikus vizsgálatoknál már említettünk. Miért pont így választjuk az entrópiaáram-sűrűséget ? Lehetnek-e azok a konstitutív függvények változói, amelyek az erő-áram-párok kijelölése során megjelentek ? Illetve meg kellene érteni a sajátos relativisztikus újdonságot, az energiaáramba került gyorsulást. Láttuk a nemrelati-visztikus esetben, hogy a klasszikus irreverzibilis termodinamika heurisztikus felte-vései pontos feltételekhez vannak kötve, bonyolultabb viszonyok között egy mélyebb elemzés segíthet ezeket a feltevéseket általánosítani. Ebben a fejezetben Liu eljárását alkalmazzuk gyengén nemlokális relativisztikus folyadékokra.

Az előző alfejezetben láttuk, hogy a (3.3) részecske- és a (3.4) energiaimpulzus-mérleg lesznek a kényszerek az entrópiaenergiaimpulzus-mérleghez, ezért

– az alapváltozók terét (n, e, u^a), a részecskeszám-sűrűség, az energiasűrűség és a sebességmező feszítik ki,

– a másodrendűen gyengén nemlokáliskonstitutív állapottereta(e, u^a, n, ∂_ae, ∂_bu^a,

∂an, ∂abe, ∂bcu^a, ∂abn) változók feszítik ki,

– az anyagfüggvények pedig a j^a, q^a, P^ab részecskeáram, energiaáram és nyomás lesznek.

Eckarthoz hasonlóan a lokálisan nyugvó rendszerben vett mennyiségekkel keressük a termodinamikai összefüggéseket. Általában is igaznak tűnik, hogy a termodinamika mindig feltételez egy közeget, a disszipáció a közeg egyfajta ideális mozgására vonat-koztatva zajlik. A transzportegyenletek pontosan a térbeli inhomogenitások hatására létrejövő lokális változásokat írják le. Hangsúlyozzuk, hogy a lokális egyensúly nem azt jelenti, hogy lokálisan a folyadék minden pontjában az egyensúlyi impulzuseloszlás lesz érvényes, hanem azt, hogy az impulzuseloszlás torzulása a termodinamikai para-méterek gradienseivel, térszerű deriváltjaival leírhatóak. Ezért nem remélhető, hogy értelmes termodinamikai összefüggéseket kapnánk a sebességmező nélkül. A kérdés, hogy mi határozza meg ezt a sebességmezőt.

Az entrópiamérleg egyenlőtlenségében a részecskeszám-mérleget λ, az impulzusmomentum-mérlegetΛ^a Lagrange–Farkas-szorzóval figyelembe véve kapjuk,

0Ez a fejezet a [386] munkámon alapul.

hogy :

∂aS^a−Λa∂bT^ab−λ∂aN^a=

=∂eS^a∂ae+∂_ubS^a∂au^b+∂nS^a∂an+∂_∂beS^a∂_abe+∂_∂bu^cS^a∂_abu^c+∂_∂bnS^a∂_abn+

+∂_∂bceS^a∂_abce+∂_∂bcudS^a∂_abcu^d+∂_∂bcnS^a∂_abcn−

−λ

∂eN^a∂ae+∂_ubN^a∂au^b+∂nN^a∂an+∂_∂beN^a∂_abe+∂_∂bu^cN^a∂_abu^c+ +∂_∂bnN^a∂_abn+∂_∂bceN^a∂_abce+∂_∂

bcu^dN^a∂_abcu^d+∂_∂bcnN^a∂_abcn

−

−Λa

∂eT^ab∂_be+∂u^cT^ab∂_bu^c+∂nT^ab∂_bn+∂_∂ceT^ab∂_bce+∂_∂cudT^ab∂_bcu^d+ +∂_∂cnT^ab∂_bcn+ ∂_∂cdeT^ab∂_bcde+∂_∂cdu^eT^ab∂_bcdu^e+∂_∂cdnT^ab∂_bcdn

≥0.

(3.16) A harmadrendű deriváltak együtthatóinak eltűnése a következő Liu-egyenleteket adja :

∂_abce : ∂_∂bceS^a−λ∂_∂bceN^a−Λ_d∂_∂bceT^da = 0^abc, (3.17)

∂_abcu_d : ∂_∂bcudS^a−λ∂_∂bcudN^a−Λ_e∂_∂bcudT^ea= 0^abcd, (3.18)

∂abcn : ∂∂bcnS^a−λ∂∂bcnN^a−Λd∂∂bcnT^da = 0^abc. (3.19) Itt az egyenlőség csak azabc-ben teljesen szimmetrikus részére áll fenn az egyenletek-nek. Egy megoldásuk megadható, ha feltételezzük, hogy a Lagrange–Farkas-szorzók csak elsőrendűen nemlokális konstitutív függvények, azaz

(λ,Λ^a) = (λ,Λ^a)(e, u^a, n, ∂_ae, ∂_bu^a, ∂_an) (3.20) Ez természetesen nem a legáltalánosabb lehetőség. Ekkor azt kapjuk, hogy

S^a−λN^a−Λ_bT^ab−A^a= 0^a, (3.21) ahol A^a = A^a(e, u^a, n, ∂_ae, ∂_bu^a, ∂_an) tetszőleges elsőrendűen gyengén nemlokális konstitutív függvény lehet, amelynek u^a szerinti tér- és időszerű részét α^a = ∆^a_bA^b -vel, illetvea=u^bA_b-val jelöljük, azazA^a=au¹+α^a. A továbbiakban fontos szerepet játszik a Λ_a multiplikátor tér- és időszerű részre történő hasonló felbontása, amit a következőképpen teszünk meg :

Λ^a= u^a+w^a

T , (3.22)

aholw^aua= 0. Vegyük észre, hogy ez a felbontás teljesen általános, csak kiemeltük a vektor időszerű részét és annak abszolút értékét,1/T-vel jelöltük. Vezessük be továbbá ezen kívül a következő jelöléseket :λ =µ/T ésa =−p/T. Ezek után a fenti, (3.21) összefüggést a következőképpen bonthatjuk idő és térszerű részre :

1 T

T s+µn−e−wbq^b−p

u^a+J^a+j^aµ T −q^a

T −wbP^ab+α^a= 0^a. (3.23) Az időszerű rész ezek szerint azt adja, hogy :

e+w_aq^a= (u_a+w_a)E^a=T s+µn−p, (3.24)

3.3. Termodinamikai elemzés

ahol E^a = u_bT^ab az energiaimpulzus-vektor. A térszerű rész nulla volta pedig az entrópiaáramot teszi kiszámíthatóvá. Itt ismét egy speciális feltétellel élve megköve-teljük, hogy a nyomás legfeljebb elsőrendű gyengén nemlokális függvény legyen, azaz P^ab =P^ab(e, u^a, n, ∂_ae, ∂_bu^a, ∂_an). Illetve feltesszük, hogyα^a =w_bP^ab, ezért az ent-rópiaáram sűrűsége :

J^a= q^a T −j^aµ

T. (3.25)

Ennek az egyenlőségnek a felhasználásával a (3.16) entrópiaprodukció a következő formára egyszerűsödik : Ennek az egyenlőtlenségnek keressük a lokális egyensúllyal összeegyeztethető megol-dásait. Ez azt jelenti, hogy az entrópia parciális deriváltjait az első, zárójeles kifeje-zésben kell megfelelően rögzítenünk. Kínálkozik, hogy az entrópia közvetett módon függjön az állapottér derivált változóitól, azaz s =s e, q^a(e, u^a, n, ∂_ae, ∂_bu^a, ∂_an), n módon. Tehát a Lagrange–Farkas-szorzókat, azaz a T, µ, w_afüggvényeket az entrópia deriváltjaival azonosítjuk :

∂_es= 1

T, ∂_ns=−µ

T, ∂_q^as= w_a

T . (3.28)

Ezek után, ha nem szeretnénk, hogy az entrópiasűrűség közvetlenül a sebességtől is függjön, akkor a zárójeles kifejezés további része a következő parciális differenciál-egyenletre vezet :

q_b−ew_b

T =q_b∂_es−e∂_qbs= 0. (3.29)

Ennek a parciális differenciálegyenletnek általános megoldása s(e, q^a, n) = ˆs(e² + +q^aqa, n). Amennyiben pedig elvárjuk, hogy az entrópiasűrűség homogén nullad-rendű függvénye legyen az energiasűrűségnek, azaz megőrizzük az extenzivitást, ak-kor s(e, q^a, n) = ˆs(p

e²+q^aq_a, n) = ˆs(kE^ak, n). Tehát az entrópiasűrűség csak az energiaimpulzus-vektor abszolút értékétől függhet.

A vonatkozó Gibbs-reláció a következő lesz : de+q_a

edq^a=Tds+µdn. (3.30)

Belátható, hogy lokális egyensúly ezen Gibbs-reláción alapuló definíciójából származ-tatott hidrodinamikai elmélet generikusan stabil általános áramlások mellett [233], de a következő 3.4. alfejezetben látni fogjuk, hogy nem kompatibilis a kinetikus elmélet-tel.

A kinetikus elmélettel való kompatibilitást úgy érhetjük el, ha a (3.27) első záró-jelében levő összeg nem nulla, hanem egyenlő pwau˙^a/T-vel. Mivel az entrópiának a sebességmezőtől való közvetlen függését el szeretnénk kerülni, ezért ez a következő feltételhez vezet :

q^a= (e+p)w^a. (3.31)

Tehát bevezetve ah =e+p entalpiasűrűséget, a fenti Gibbs-reláció módosításaként azt kapjuk, hogy

de+q_a

hdq^a=Tds+µdn. (3.32)

Ezek után már csak az a kérdés, hogyan definiáljuk az entrópiaáramsűrűséget, az entrópiavektor térszerű részét. Az első lehetőség, hogy ismét a klasszikus, (3.25), ki-fejezésnél maradunk, vagy tovább elemezzük a lehetséges követelményeket és feltéte-leket. Mindenképpen fontos látnunk, hogy a Gibbs-reláció akármelyik, (3.30), vagy (3.32) módosításával jó úton járunk, mert az elmélet generikus stabilitását jelentősen javítottuk, illetve lényegében helyreállítottuk. Ugyanis a [245] publikációban belát-tuk, hogy a (3.30) Gibbs-reláció és klasszikus, (3.25), entrópiaáramsűrűség esetén az elmélet csak a termodinamikai feltételekkel generikusan stabil, azaz a termodinamikai stabilitás és a nemnegatív transzportegyütthatók miatt, hasonlóan a nemrelativisz-tikus disszipatív hidrodinamikához. A [387] publikációban azt bizonyítottuk, hogy ugyancsak Eckart-áramlás esetén, de a kinetikusan kompatibilis (3.32) Gibbs-reláció és klasszikus, (3.25), entrópiaáramsűrűség esetén az elmélet szintén generikusan stabil.

Ez utóbbi esetben az entrópiaprodukciót kiszámolva a következő összefüggést kap-juk : Ennek kiszámításához már nincs szükség a Liu-eljárásra. A lineáris erő-áram rend-szert figyelembe véve láthatjuk, hogy az Eckart-elmélet vezetési egyenletei, (3.14) a részecskeáramra és (3.15) a viszkózus nyomásra érvényben maradnak, viszont az ener-giaáramra vonatkozó (3.13) módosul :

q^a=λ∆^ab

In document Nemegyensúlyi termomechanika (Pldal 104-111)