1. SZAKIRODALMI ÖSSZEFOGLALÓ
1.4. A LKALMAZOTT KEMOMETRIAI MÓDSZEREK
1.4.1. A jel/zaj viszony javítása számítógépes módszerekkel
1.4.1.1. Elméleti alapok
1.4.1.1.1 Sztochasztikus jelek
A jelek alapvetően két csoportba oszthatók, a determinisztikus és a sztochasztikus jelek csoportjába. Egy jel akkor determinisztikus, ha a mérést azonos körülmények között megismételve (reprodukálva) a megelőzővel egyező eredményt ad. Ha ez nem teljesül, a jel sztochasztikus. A nagyszámú, egyenként kisjelentőségű, véletlenszerű hatás sztochasztikus folyamatot eredményez, amelyből eredő véletlenszerű, reprodukálhatatlan ingadozás, (sztochasztikus jel) ráül a determinisztikus jelre. Úgyis felfoghatjuk, hogy nem ismerjük azt a nagyszámú körülményt, amelyet újra elő kellene állítani a mérés reprodukálásához.
A sztochasztikus folyamatok elmélete [40, 41] meglehetősen elvontnak tekinthető. Ez az elmélet a véletlenszerű folyamatokhoz egy ξ(t) időparaméteres valószínűségi változót rendel, amely végtelen sokféle értéket vehet fel a valószínűségi változó értelmezési tartományában, azalatt az idő alatt, amelyben a jelenség fennáll. A mért z(t) sztochasztikus jelet a sztochasztikus folyamathoz tartozó ξ(t) valószínűségi változó egyik megvalósulásának tekintik. Míg az adott körülmények között lezajló determinisztikus folyamatot egyértelműen jellemzi a kimért egyetlen determinisztikus jel, a mért z(t) sztochasztikus jelből legfeljebb statisztikus következtetéseket tudunk levonni a sztochasztikus folyamatra. Véletlenszerű folyamatoknál jól meg kell különböztetni a folyamatot és annak egyik lehetséges megvalósulását, a sztochasztikus jelet.
A sztochasztikus folyamatot a z(t) sztochasztikus jelből meghatározható időtartománybeli és frekvenciatartománybeli eloszlásokkal jellemzik. Az utóbbit teljesítménysűrűség spektrumnak hívják.
1.4.1.1.2 A sztochasztikus folyamatok jellemzői
A determinisztikus jel analíziséhez [42] ismernünk kel a sztochasztikus jel néhány feltételezett és bizonyított tulajdonságát:
a) A sztochasztikus jel (zaj) független attól a determinisztikus jeltől, amellyel együtt jelentkezik a műszer kimenetén. Ha a zaj független a megmért determinisztikus jeltől, additív zajról beszélünk, ha függ, multiplikatívról.
b) A sztochasztikus jel White szerint ergodikus [43]. Az ergodicitás feltételezése azt eredményezi, hogy egyetlen műszer egyetlen kimenő sztochasztikus jelének időben egymás utáni értékeiből meg lehet határozni a sztochasztikus folyamathoz tartozó eloszlást, illetve a megfelelő momentumokat (átlag, szórás).
c) Stacionárius. Egy sztochasztikus folyamat akkor stacionárius, ha az eloszlása nem időfüggő. A mérőműszerek akkor vannak stacionárius állapotban, ha jól "bemelegedtek", tehát a működési paramétereik időfüggetlenné váltak (pl.: FTIR spektrométer fényforrása).
d) Az eloszlása normális. A tapasztalat szerint az eloszlás az esetek többségében normális (Gauss). Ez egy matematikai tételből is következik (centrális határeloszlás tétele), amely szerint ha egy sztochasztikus folyamat megfelelően nagyszámú, nem-normális eloszlású folyamat eredője, az eredő folyamat normális eloszlású lesz. Kivételt jelent az az eset, amikor a mérendő rendszer – mérőrendszer együttesben egyetlen sztochasztikus jelforrás dominál, és ennek a domináns jelforrásnak az ingadozása nem Gauss eloszlást követ. Ez a helyzet gyenge radioaktív preparátumok mérésénél, amikor az atomok bomlásának a statisztikus ingadozása a meghatározó.
e) Az ergodikus, stacionárius és normális eloszlás időátlaga nulla.
Ezeknek az egyszerűsítéseknek a legtöbbje műszeres méréseknél szinte mindig teljesül.
A sztochasztikus folyamatok időtartománybeli jellemzésére használt statisztikus momentumok alakja ergodikus esetben a következő:
∞
∫
ahol z(t) a T ideig mért sztochasztikus jel (zajminta), µnaz n-edik momentum. Itt elégségesnek tartjuk a µ1 és a µ2 momentumok figyelembe vételét. Ergodikus esetben a µ1 momentumot időátlagnak hívják, és normális eloszlásnál értéke nulla. A µ2 és az eloszlás szórása szoros kapcsolatban van:
2 1 2
2 µ µ
σz = − (1.15.)
Mivel µ1nulla, normális eloszlásnál a második momentum és a szórásnégyzet megegyezik.
1.4.1.1.3 Autokorrelációs függvény
Egyetlen mért jelből, a mérés megismétlése nélkül is megállapítható hogy a vizsgált folyamat, amelyből a jel ered, determinisztikus, sztochasztikus vagy a kettő valamilyen keveréke. Ezt az információt az úgynevezett autokorrelációs függvényből kapjuk, amelynek definíciója ergodikus esetben a következő:
∫
+ gyakorlatban nem tudjuk elvégezni, véges T hosszúságú zajmintából kell az autokorrelációs függvényt becsülni. Az autokorrelációs függvény τ-ra szimmetrikus. Tisztán sztochasztikus (zaj) folyamatra Rzz(∞) nullával egyenlő, és az Rzz(0) megadja a sztochasztikus folyamat σz2 szórásnégyzetét (1.12.a ábra). Látható, ha τ kismértékben eltér a nullától, az autokorrelációs függvény értéke ugrásszerűen közelíti a nullát.Ez a viselkedés fejezi ki azt, hogy a sztochasztikus jel megelőző és jövőbeli értékei között szinte semmilyen kapcsolat, korreláció sincs. Ha a jel tisztán determinisztikus, az Rjj(∞) egyenlő az Rjj(0) felével (1.12.b ábra). Ha a mért jel kevert, az Rjj(∞) a két határérték között van.
1.12. ábra: Autokorrelációs függvény a) tisztán sztochasztikus, b) tisztán determinisztikus jelfolyamatra
a)
b)
1.4.1.1.4 Teljesitménysűrűség spektrum
A sztochasztikus folyamatok jellemzése a frekvenciatartományban bonyolultabb, mint a determinisztikus jeleké. A sztochasztikus folyamatok nem időkorlátozottak, ellentétben a minket érdeklő jelekkel. Ha a z(t) sztochasztikus jel több egymás utáni zT(t) zajmintáját Fourier-transzformáljuk, a kapott matematikai spektrumok között nincs hasonlóság. Ezért bevezették a teljesítménysűrűség spektrum fogalmát, ergodikus esetben a következő módon:
)
A teljesítmény sűrűség spektrum szimmetrikus, a négyzetre emelés miatt mindig pozitív függvény. A zajminta T hosszát növelve a becslés ingadozása egyre csökken, határesetben a folyamatra jellemző sima függvényt kapjuk. A teljesítménysűrűség spektrum alakjából a zaj típusára lehet következtetni.
A teljesítménysűrűség spektrum és az autokorrelációs függvény között kapcsolat van. A kapcsolatot a Wiener-Hincsin tétel adja meg, egyik a másiknak a Fourier-transzformáltja:
∫
A következő néhány sztochasztikus zajtípus különböztethető meg a teljesítménysűrűség spektrum alapján:
a. Fehér zaj. A teljesítménysűrűség spektrumának amplitúdója a teljes frekvenciatartományban állandó (1.13.a ábra). Elméleti megfontolásokban nagyon kedvelik, de ilyen sztochasztikus folyamat nem létezhet, teljesítménye végtelen lenne. A fehér zaj csupán idealizáció.
b. Szélessávú zaj. Elektronikus berendezésekben szélessávú zaj keletkezik (1.13.b ábra).
Ezt a szélessávú zajt szokták az elméleti vizsgálatok során fehér zajjal közelíteni.
c. Flicker (vagy 1/f) zaj. Teljesítménysűrűség spektrumának alakja hiperbolával közelíthető (1.13.c ábra). A teljes zajteljesítmény néhány Hertzes tartományba koncentrálódik.
Nehezen eltávolítható, nagyon zavaró zajtípus.
1.13. ábra: A fehér zaj (a), a szélessávú zaj (b) és a flicker zaj (c) autokorrelációs függvénye és teljesítménysűrűség spektruma
Megfigyelhető az autokorrelációs függvény alakja és a teljesítmény sűrűség spektrum szélessége közötti összefüggés. Egy jel nem lehet egyidejűleg sávkorlátozott és korrelálatlan.