BOLYAI JÁNOS LEVELE APJÁHOZ 173 (un ulóhhi nemíiökre már egy Gauss maga még csak föl se mer nézni s alig

fordult meg esze ágában is, sőt az algebraiaknál is csak a liomoseneaka! említi f §266)) teljesen még pedig minden féléi akár számokkal (még pedig a mint tetszik az exponensekéi s még bizonyos valami!, melyeket itt mindig reálisaknak leszek föl kivéve az imaginárokal is befoglalva, miről már Gauss megint még csak nem is szói. akár más bármely föllétek alatt), akár csak n awantítas által (ha expo-nensben jöttnek is elé) rezolválhatiü, azaz orra biztosan vezető általános metho-dust megadni, A prímek kirekesztő' formulájának is már nincs kételyem, hogy, még pedig rövid időn sikerUlnije ke/1. még pedig bármi idomnak legyenek. Utinam GÜH.V.Í superstes e.iset! {Bárcsak Gauss még élne!) erre és még sok más -lókra eléggé és legtekintélyesebb méltányolhaíására nézve is.

De tormis {zuhotag} módjára omolván (mint ruit (rohanj profitndo Pindarus őre {dús Pindarus szavtí}, bár is én itt semmit se járok correct conceptus {rendszerező Összefoglalás) után, nyakra főre sietve) a legderekabb és, a tan-ban, hatalmas!) eszmék, csak az e/feledés elleni hirtelen papírra vetésre is idő kell. úgy, hogy alig győzöm ezt még mind eddig is. Azonban közelít azon határidő, mikor már elérve a kitűzött célt, a meglévő anyagot kezdem kireszelve, simítva, fcnvcsílve (mi utóbbi azonban nem a szemnek, csak a tanban jó) egyszóval kimiivolve. tökélyeútve tisztára és kitelhető jól és kellemesen olvas-luitólag írni. A fölöbbi vala az értelme azon képtelennek tetsző állítmányomnak, hogy az egész számtant, per sa nagyjában a leg> szerű lég, áthatottam és midőn az által {a készülő prím-tannal) bármely, tehát a Disq. Ar.-nak is bármely theo-rémáját procerto (bizonyosan) megmutathatni, problémáját rezolválhatni és így, erre nézve, az egész Disq. Ar.-t. zsebbe tehetni ugyan: noha másfelől, azon ABC-je az ő módjának, sajátságos és sokkal nehezebb volta miatt mind az enyim mel-lett is, örök megtartást és >ra becsülést, respective bámulatot érdemel. E szerint a 2~ + l, annál ezerszer cifrább, bármily egybe rakottak tárgya is per se át van hatva, noha, mint nem csoda, azon speciális esetre alkalmazni még nem érkezem.

És nevezetes, hogy a már Etiklid által vizsgáit tökély-számok, a tan gyermekko-rában azon (tudtomra ugyan sem a Régiek, sem az újabbak még csak nem is telt) hozzátétellel, hogy minden oly szám megadódjék, oly egyéniéire vezér mely a számlán tető-pontja elérését igényli. Ugyanis arra még az sem elég, az illető transzcendens egyenletet számokkal solválni (megoldani), hanem a radixoknak expresse prímeknek keli lenniük.

- Végre, hogy ne/át fasson képtelenséget állítni: a tiszta matematika kimerít-het é se re nézve még egy szót. A számtanra nézve ott áll a dolog, hol (rám. Az (időtlenül rosszul úgy nevezett) Anaüsiaben pedig bármely kérdést legalább végetlen sor által bizonyosan megfejthetni s tehát további kérdés csak

174 _ 7. A KÉT BOLYAI MATEMATIKAI TARTALMÚ LEVELEIBŐL ezeknek megadott egyszerit alakbani összözhetését illetheti, ín is már ugyan tö-mérdeket Tettem: de bármely sorra nézve csak eldönteni is, hogy lehet e például algebrailag kitenni vagy nem {Tintával áthúzott mondat: már túl vagy kívül esek jelen hatásomon s halárkörén úgy hiszem bármely véges okos lénynek itt is te-hát oo sok föladat marad in ős, az ez utáni életekben só/válandó la'f} még nem tudom módját. Csák-ugyan itt is jól reményiek. Az ür-tan pedig áí-van hatva. Az erő-tan is, kivált a kemény festékről; nagyban, mint a számtan s a többi.

Mos! a jelen dologra.

A tegnapi keidet szerint, Dem. L-ben (hal a leg-> köz-osztó el-hagyandó)

p

- {Két sor közölt apró beírás ceruzával: Másképp - —. tehát

tehát

oszsza, vagyis lennie kell a p-nek az (a + b )-tel valamely, I-né\> közosztójá-nak. De p pozitív prím lévén, más pozitív számmal, saját többösin (multiplítm) kívül, ily osztóval nem bír. Tehát

*> i 2

egész volna: mi fa divixio-íanból) lehelle/i. Tehát c- l, és így, intve! vula cp =

= a +b , lesz p=a +b~. És így reped, hasad, nyílik a p és születik iker ö-szám p maga is éppen azzá átalakulván.

És hiszem, sőt fogadni mernék, hogy Eitler is így hozta ki, azonban az imagi-nárius prímtan rigoraxa tiszta ,/öga lm a és szigorú elein ja tudása nélkül; s azért csodálom is, hogy ismerhette egy Gauss: Disq.Ar. png.2I8 főül. d_em nak el. Hi-hetőleg ő sem lévén, kivált akkor, az imaginárokra nézve, tisztában, csak ábrán-dozva vette magának azon merészségei, az imagin, -okra ott is, mint egyebütt szokták, kiterjeszteni a reálokról igazakát.

7-12. BOLYAI JÁNOS LI-VÍ-LE APJÁHOZ 175 Ha pedig még másképp is volna p=x -fy2 = (x + y)(x *y) = (fl -*-b)(a *fc)

%y a pi'ímlanhó! (irt az x nem a fölöbbi értelemben használódván). x + y =

= (n "M.')(r*-z). "W hogy

a+b a * b n -f D ' t 4- z

egészek legyenek. De akkor nyilván x * y = {» •* u)(í * z). tehát

Í>e /> prím lévén, n -t- if nem íeheí tiszta: tehát M" + ír > l s ~--iag t 2 + z2 > \, és p nem volna prím.

A + B A~B Ha már —— egész, úgy ^TJ.

(C-f /)) C * f i C² + D²

is ege'sz, tehát A * B-nek elegy-osztója (komplex-osztója) csak az A + B reál C + D" idomú osztójának (s ha C, /> nem- ÖJ decumpoziliójából eredhet: mi a;T T

előbbi szerint prímnek csak egykén! eshetvén, világos, hogy az iinagiiiárokai ud-miíiálvLí (elfogadva) és bármely számnak csak véges száma mérője {tényezője}

lehet. Ily dem. nélkül nem lehetne tudni, nem lehetne-e oo sok elegy-méröje {komplex tényezője} egy számnak. És tehát így is bármely számot, a rendre nem tekintve, csak egyként vagy/s ugyan-azon prímekre szaggathatni {felbontani}. És a leg> köz-osztó (lehet más neve! is adni a >, < nek az elegyeseknél {komplex számoknál) per se nem lévén éneimé) bármely, tehát e légy- számnak is megíalál-laük prímekre szaggatása által. Az előbbit így is lehet dem. -hatni:

ac + bd be — ad ac + he! be - ae!

Mivel - - = -= — -r •«• —= — -^ ; tehát itt ~= - ^T , — - - ^T, tehát D iáik ösz-c+d e2+d2 c2+d' c2+d2 c2+d2

. ,^{2 +} b²

veg/e ts mely = —^ - -y egész-c^ + d^

{Két sor közé igen apró betűkkel: így is: mivel ... p = (a-*b)(c+d) =

= (a-°-b)(c«d). tehát p² = (a~ +/r)(c²+d²); és a²+b²,c²+d²> \ és p² csak

= pp, úgy, hogy > l legyen szükségképp p=a~ + b =c +d .}.

De ni. 2. Mivel

a -f b

egész: nyílván - - is az. Már az a * h, a * b lég > köz-osztója (a fölöbbi éne-leniben) nem lehet elegyes = x -*• y, mivel különbön hason joggal = x * y is volna;a*b

176 7. A KÉT BOLYAI MATEMATIKAI TARTALMÚ LEVELEIBŐL de mivel p prím, más tiszta oszlójuk sem lehet VI-e« kívül: tehát a -f b. a * b prímek egymáshoz; és így a prím-tanból, agymértjük {.szorzatuk}, azaz a_{íj T 1 T} ² + b² is osztja p-t: tehát mivel a'+b" > l éspprím, p = a~+b .

Dem.3. jEioszÖr több sor áthúzva) 5 így még több variációja is van e dem. -nak.

De menyek lényegesen különbözők?

Dem.3. Van oly x (Disq.Ar. £'2, 4, 9, 108) nem > -p, hogy - - egész legyen: + 3 idüinú {alakú) prím-szám (melyei nagyon könnyű clem-ni, hogy két H-szám Öszvegje soha nem lehet, és tehát imag. osztója sincs) nem osztja: a prím-tan szerint ily prím az (x + l )-f sem oszthatja; tehát q is 4n 4-1 idomú. Ezt *• nélkül is megmutattam s ide való. Ha már megmutathatjuk, hogy ha ált a íheoréma bármely, a pnél < 4n + l idomú prímről: úgy pröl is áll: úgy mivel 5 = 1 + 2 -rnl igaz, bizonyosan Ín oo igaz. Márpedig, mihelyt p nem <5: az előbbi szerint q nem > m = - -és 4m + l idomú prímek egyménje melyek mindenike feltétel

4

szerint 2 D vagyis 2 elegy-factor egyméríje, tehát nyilván q is. és ha q -r~+s ,

A-² + l cr+b- a + b)(a-b) a+b a-b

ügy lesz p = —-. 7. Mar pedig, altaljában, -=—^7f = - —— — = - =

r-+s² c^z+d~ (c+d)(f-í/) c+d c-»b

ac + bd bc + acl\ /ac + bc!\² /bc — ad\²

-,—TT + ——TT rc² + d- e² + d- / V c⁽• • • * •••>=( ^—ö" + ~5—^- f² 4- d² / \ c² + d² / ^m" aposienon, imaginárok nélkül is könnyű a reductis állal megmutatni, lévén az utóbbi két D =

a²+ b²

:): tehát p— két PIO (racionális ("•H-f/-

t~-t-a-összegéhez, és így a tegnapi íheoréma. erejénél fogva, mely itt nagyon fölséges, derék szolgálatot tesz, van két oly D szám is, melyek öszvegje = p. Csakugyan fölséges, remek, fSfontosságú és hasznú egy pár theoréma bár-is a nélkül per se

lehel zsíros vagy háj-falatot e/mi.

De van még egy 4-dik dem.. a számtanra mindenütt átható vagy generális vagy mindenható kulcsom által: mely azonban többől áll, minthogy itt most egy levélben megírhatnám.

Ez a nagy fóliáns ívekre (800/1, l¹' , 2, 1333/1", ]) írt hosszú levél Fermat ka-rácsonyi tételének (4.5.§) három bizonyítását tartalmazza. A sorok között elrejtve

7.12. BOLYAI JÁNOS LKVELE APJÁHOZ 177