Bolyai Farkas levele fiához, Jánosho/

Azóta mind olyan rosszul és fonákul vagyok, hogy írásodat nem ítélhetvén meg kérésedre visszaküldöm.

A 2 nek conversája jónak látszó demonstrációját se merem állítani, úgyp-1 elvesztettem magamra nézve is hitelemet - amidőn egy más igen szép gondola-tomat is félszegnek találtam - A Gauss számját se tudom, Euler sok próba nélkül miként találta ki - Gauss meg tudná mondani, mert Ő is találta, mutatja az a szava primus i n ve ni felső feltaláló}.

Fermat consiliarkis szorgalmas a hivatalában s egyenes pontos bíró s ilyen című munkája is van Fermat poemata.

Néhány éjszaka az ajtó elébe jött kutyák lármája miatt nem alhattam s nappal ugatások s ordííásuk miatt nem dolgozhattam. Nappal szemem láttára ... az ösvényen végig elé jött. A füvet több helyt aratják. Basarózsáimat déltől estig leszaggatták.

Beteg vagyok s Gergelynek újabb vására Sajóval (?) is levert. Neki vége absolute meg nem él, koldusbotra jut.

A 4n + l csak a Petersburgi Actákban van (Gausson kívül), hogy láttam Euler könnyű szemű: de rigóira {szigorra} újra kell osztani. Péld. hogy két egész szám quadrálumainak summája esak két quadrátuinok summájával oszlik, belőle vett ideából csináltam ki.

A 4n + l van a Comment. növi Petropolitan Torna V. dátum 1754 s 1755.

A levélen (1521/T, I) ez áll (igaz, hogy áthúzva): Pünkösd másodnapján

!855, vagyis Farkas 1855. május 28-án írta, vagy később.

Szövegéből arra következtethetünk, hogy ez BOLYAI JÁNOS 7.16. levelére írt válasz.

E levélnek és a 7.15. segítségével vált bizonyossá, hogy János a 7.16. levelét 1855 májusában írla.

A levél első és utolsó sorai fontosak. Ezért közepéből néhány sort kihagy-tunk. Az utolsó előtti bekezdés alapján ismét kiigazíthatjuk STACKEL néhány téves mondatát [106, 1:96]. Az utolsó mondatban arra figyelmezteted fiát. hogy Fermat karácsonyi tételének bizonyítását a teleki Tékában Iév6 Petersburgi Ac-Lábán találhatja meg. Erre azért volt szükség, mert János azt hitte, hogy EULER

7.17. BOLYAI FARKAS LEVELE FIÁHOZ, JÁNOSHOZ 187 is úgy bizonyított mint ő. fogadni mernék, hogy Euler is így hozta ki . . . "

irta János (7.12.§).

E rövid levél második mondatának egy részét úgy elvesztettem magamra nézve . . . " BEDŐHÁZI nyomán ALEXITS GYÖRGY is idézi [l, 88 old.], de hibá-san. Szerinte a mondat utolsó szavai: „... igen szép gondolatomat is félszeg-nek találtad." A „találtam" szónak a „találtad"-dal való felcserélése ebben az esetben a mondat értelmét teljesen megváltoztatja, s így a belőle leszűrhető kö-vetkeztetéseket is. Sajnos ALEXITS ezt a félreértett félmondatot elemezve, Jánoii apjával szemben tanúsított tapintatlanságára, fölény e skedésére tesz elmarasztaló megjegyzéseket, ezzel tovább rombolva a már eléggé megtépázott apa-fiú vi-szonyról kialakult képet.

188 7. A KÉT BOLYAI MATEMATIKAI TARTALMÚ LEVELEIBŐL

7.18. Bolyai János levele apjához

Az abbéli nyugljatailttrtxtíg elenyésztésére kívánom ezennel a még akkor es-te (néhány perc átall) kigondolt egy pár (csakugyan nagyon rokon és nem annyira a lén végben, mim az idomban különböző) reményiem nem inelegális-nak találandó s megkedvelendő okaclatot (bizonyítást), némi elöi-jelal s az ennél (bár-i.v ez is nagyon fnnlos és szép) teljes biz.o_nnyal birtokomban lévő sok hasonb.7hatatlan»l > bakra nézi Több hitel-nyerésre, közölni, még pedig mii Teljesíthetni első lekinteüre nem hívek a 4m + l nélkül, csupán a prímek álla-lám régóla az imaginériusűkm is kiterjesztett elemi tulajdonából. A <p~ pedigo

proceno {bizonyosan} hibás, és azon úton kár volna.

Jelemsen ilí a íheorémában kijelöl! kivettél, bármely, algebrai/ág használt beid 0-fől különböző számol.

Th epre ma. Hu {A sor fölé ceruzával: á Vez-lanban] a nem összvegje két n szám-nak {egész szám négyzetének), vagyis mi evvel egyhatású vagy egyeSlevő a-tiak

/b\~ ((Í\² b²+d²

nincs elegy osztója: azonban a = ' + | ~—: ügy a G-szam (teljes c/ c~

négyzet}.

, •> ,2

Vagyis ha a r—: úgy a vagy D-szám vagy két n-száin öszvérje.

Vagy pedig így (a következőkét (dómjában a ihearémának a ö-t is befoglalva a pozitív számok közé): Ha a nem öszvérje két D számnak: úgy két fiD nak

(racionális szám négyzetének) sem lehet öszvegje.

Még másképp: Ha a öszvegje két HD nak: úgy öszvegje két D számnak is.

(Két sor közé beiktatva):

Az imagináriuxokra is ki keli lehetőleg Terjeszteni, az

— bán / — ,i r ~t ' ft T ~i ' —&r -J -J • •-« r '

+ 8 =

(Folytatás a felső sorközökben apró betűkkel): az /, g, p, q helyett előbb F + ip, ... léve s az nl-ui részi (képzetes részt} 0-ifve ha lehet, de 2, 4 rangúakra vezet s aztán fő-titakról már meg van mutatva. E felől is dönteni nagyszerű új dolog.

1 J f"' l

Azonban á sejtelem (hozzáTevés) nem áll, mert már f~ — g = f~ + (ig) ={/ + + g)(f — g) = bármely 4m, vagy páratlan számhoz: de nem bármely efféle számok 2n öszvegje. — lag azon tan hogy 2 D szám összege csak megint {olvashatatlan}

7. 1 S. BOLYAI JÁNOS LEVELE APJÁHOZ ________ 189 bizonyosul, hogy D szám =!~: úgy a nyilván =(!r) , lehat a theoréma meg lesz bizonyítva. Mi által oda van a dolog víve, vagy redukálva, hogy elég vagy szabad a-t minden I-nél nagyobb D szám osztóról mentnek föltenni: mii ezennel meg is teszek. A föltételből c~ = — — = - - (Ezen „ -f ", „ •*• " jegyekkel már szinte egy fertály {negyedj évszázad (183! első fele) óta nagy kényelem- és gyö-a a nyörrel élek és oly szép- vagy csinosak általában célszerű- és lökélyesekiiek ta-lálom és nagyon remélem és erősen hiszem, hogy meglálva az egész tnath. Világ azonnal megkedvelve mohón elfogadja, hogy még a jövő életekben sem hiszem jobbak legyenek)

Már a prúntanból (minek okát itt rövidségért el kell hagynom) biz(myqs_ az, hogy ha egy szám a két szám factiimát {szorzatát} osztja, ágy a valamiképp oly

két factor factitina, {két tényező szorzata) (így is: ha - = • - - egész:

b+d a a

úg\ a = e f , hogy -—,... egész légyén. Már e, tehát / is tiszta nem lehet mivel íií h, il-t eredetükből nyitván szabad egymáshoz prímeknek tenni föl tehát e, f lége

> kó'z-oKtója — ül tehát e is, f is elegy s b-fd két elegy factor facínma, s' tehát b +d csak 2 D összegévei oxzolhatik, még pedig O-t kirekesztve), melyeknek egyike az előbbi két factor egyikét, a másik a másikat osztja, a jelen esetben,

b+d b'd

hogy van oly e, f hogy a = e/ és - — , - - egész tegyen.

(' f

Mivel a-nak föltétel szerint nincs glejü osztója az e, f tiszták és mivel a D szán; osztóval nem bír. prímek egymáshoz, tehát mivel - —. tehát -. —, tehát

e e e h-d b*á , b-d b-d b is, mini is, egész, a prúntanból — — = — is az és ha h = — . k

-e ./ -e/ a a

= — ; i/gV nyilván lesz. c =a(h +k}(h •»k) = a(h +k ), hó! h <b, k <cl, azon egy a