KÉT OSZTÁLYBAN
7.14. BOLYAI JÁNOS LEVELE APJÁHOZ 183 mi sokat a naggyal kitenni, a nagy pyramisok és prismák közöli egyenletei találni
és ebből a pyramis felvét kiszámítani.
Más mód (de hosszabb). Ha az előbbi stra/iímok magjai a Tentamen szerint egyküzüleg kettélödnek, úgy a Tent-beli módon is lehel a corpits 5, laterum által pyramist és prísmákat csinálni és céh érni, de megjegyzendő, hogy a fonákos
corpits 5 latemnwk - sége úgy is föltétetik.
A neme! §-rál előbbi levelemben is érintettem volt annyit, mennyit figyelte-lésre elégnek gondoltam. Az itti kifejtés reményiem elég lesz, bár is i'ít kireszelés, simítás, fényesítés, csinosítás, sőt még bárdolásról is szó sincs és mostani álla-potomban nem is lehet.
Az oo természet szerint benne rój lik, mihelyt a pyramis a kockával U {irracionális}; ha pedig n {racionális) vagy commensurabi/is; úgy nem is jő egyébként co be, csak a nefáni végeileiiségébe a ^ nek. Tehát csakugyan (bár is mind a többi, per se a Teiitfitnenbelivel együtt megtartást érdemlők) van ennek egyszerűség, rövidség, csínra nézve saját becse és elönyje.
A német §-t pedig semmi kételyem nincs, hogy — lag ne vegye át, nem is lehet más eszme szerint. Gerlínget, ki a Le Gendreével megelégszik, ez is kétely nélkül kielégíti merőben n nem keresvén ^-t.
A levelet (742/1,2, 2!l, 3, 3U, 4, 4'') 1855. január 20-án írta BOLYAI JÁNOS.
Első része {a másodiktól a hatodik bekezdésig és a hetedik bekezdés mondatának fele) már ismert [17, 408-409 old.], sőt STÁCKEL is idéz belőle [106, 1:78 és 216]. Most azért közöljük teljes terjedelmében, mert a nem szakember közreadó éppen a sok matematikai szöveget tartalmazó második részt nem publikálta. A levél különben úgy kezdődik, ahogy most olvasható és nem csonka. A [17, 408 old.] oldalon lévő első bekezdés nem tartozik a levélhez, az a 742/1" kéziratlap egy önkényesen kiragadott része.
A BOLYAI által németül ín tétel magyar fordítása a következőképpen hang-zik:
Tétel. Hasonló lestek úgy aránylanak egymáshoz, mint a kockák ugyanolyan helyzetű vagy egynevű (homológ) vonalai.
Bizonyítás. Távolítsuk el az A testet a fl kockából, ha darabonként is, legfen-nebb /H-szer: így világos, hogy (mikor a B és b kockák oldalai úgy aránylanak egymáshoz, mint az A és a hasonló testek homológ vonalai) a is előállítható b-ből hasonló módon m-szeri és nem többszöri eltávolítással és ez voltaképpen .4-nak fí-általi legnagyobb közös osztójának megkeresése szerint (történik), mi-képp a a b által méretik, vagy A:B=a:b, és következésmi-képpen A:a = B:b lenne. Stb.
184 7. A^KBT BpLYAj MATEMATIKAI TARTALMÚ LEVELEIBŐL
7.15. Bolyai Farkas levele fiához, Jánoshoz
A templomban hosszú prédikaicio alatt hajadonfőn Grippet kaptam. A pincébe hirtelen görcs miatt a gyertyát kiejtve falhoz támaszkodtam, míg elmúlt -csengetés a kortina (színpadi függöny} lebocsátás előtt.
Ha a tenta megért, adj a küldött kis üvegbe, próbára. A galiesf {gubacsol}
kevesellem a vas gáliczhoz, a vas igen mezítlen a léghez oxidálódnék s az írás sárgulna, ha a gumi nem óvná. A Fűnké tentája 8 lót fáin galles, s 2 lót gálicz (oda teszi: gar kein Gummi) de serrel 2 kupát ad; igen jő csak a serünk miatt fényes.
A Vajdáé éppen az amit írtál, hanem ecet is jó hozzá s más manipuláció jeljárás|.
A hegedülésre ocular kell, más mint az olvasásra; talán hoz Trátyi most.
Láttad-e valahol: hogy ha p prímszám, s a-nak p nem rációra: úgy a '• az m p ±1 kép alá jön (m számot téve) {a 2~ = ±l(mod />)}. Csak annyit izenj, hogy láttad-e, vagy nem? de ne hagyd semmi dolgod félbe.
A levél (1358/1) keltezése: 1855. május 2, s teljes terjedelmében megtalálha-tó a [17, 413 old.]-on. Mégis újra közreadjuk, mert amint már megjegyeztük, az első közlésben előforduló hibák miatt a matematikai szövegrész érthetetlen volt.
Ez egy fontos levél. Farkasnak a benne felmerülő kérdésére írja meg neki János, hogy a ki.s Fermal-tétel fordítottja általában nem érvényes {4.3. g).
A levél hátlapján (1358/1") BOLYAI JÁNOS következő rövid jegyzetét olvas-hatjuk: Ha p = lm + l prdnszám, úgy a Fennat-theoréma szerint (egyszerűbben mint Gauss 106.§-bani, ha a nem tobbösf p, de p prím a s. l(mod/>-2m + i ), vagyis
a2'"-! (a'"
P P
ü<>: + ] (,»< - \
lehal vagy - —, vagy - - is szám f egész), azaz. a"' = l vagy -l(mod /)).
P P
Továbbá, bár-is Gauss a 106.§-a egyszerű és széptant gyakorlatra többnyire merőben hasztalannak állítja hibázik, nem úgy van: meri éppen nagyon kényel-mes (itt megszakad}.
BOLYAlnak ezt a gondolatát még máshol is (193/3) megtaláljuk.
7,16. BOLYAI JÁNOS LEVELE APJÁHOZ 185
7.16. Bolyai János levele apjához
A tegnapelőtt igén 2 -' -re. nézve ugyan ezelőtti vizsgáimat hirtelen nem kap-hatván elé, vagyis inkább akarván újból gondolkozni rajta, még tegnap tisztába jöttem: mire nézve, itt rövidségért bővebb tárgyalást mellőzve, a fő-dulog iránti kétely és nytíghaf/aifság teljes eloszlatására elég már a következőket is közölni:
bizonyos az, hogy ha ín nem prím: úgy
/) nem bármely az m-hez prím a oly, hogy a '• = vagy /, viígy —l legyenm-l (modm);
2) hogy csakugyan mindig van oly a ...
3) hogy a; oly a az m-hez csak prím lehet; mi pedig ti legközelebbi és lalaj-donképi főkcrdés:
4) hogy éppen
Hl-j is leltet = l (mód m).
bár-is m nem prím: minek megmutatására per se elég egyetlen példa is, mint a kővetkező: melyre ugyan csak történetesen de még sem vaktában, hanem elmé-let után mentem.
2 - l oszlik [341 = 11.31)-gyei, mint oo könnyön meggyőződhetni abból.
hogv 2I O= 1024: melyet osztva 34í-gyei marad l; tehát (Disq. Ar.§7)
„ 341-1 , j j
(2 )' =2 =2 -nek maradványa is, valamint 2 ~ -nek is -\; úgy, hogy tehát sem a Fermat theoréma sem u
2 2 -,-em=\
nézü szép sejtelem (mely ha a dolog természete szerint valósulhatott volna, egy excellenq és nagyon, kényelmes új isme-jele (criterium) lesz o prímeknek), nem csak, hogy xencraliter nem, hanem még azon különös esetheti sem állnak, ha a — 2.
La Crois-f küldöm, a polinomininról van lap. 43.-ló! 5l-ig bazárótag na-gyon hosszason. De meg van a kitétel módja a Dist/. Ar.-ban is lap 47 a fölső öt rendben: minek okadatja {bizonyítása) nem bajos. Az izek {tagok) számára nézt rágondolva az első percben láttam, hogy az a, b, c ... száma =n; úgy a potentiájéi - l • 2 • 3 . . . (n + l ) , . ,
A La Crois Trailé dtt Calcitl ... integrált, ha most nem szükséges szeretném megnézegetni, mer! sohasem láttam.
Ezt a levelet (1018/1, !1') 1855 májusában frta BOLYAI JÁNOS, és részletesen elemeztük a (4.3.{})-ban (5. ábra, 80. old.).
186 7. A KÉT BOLYAI MATEMATIKAI TARTALMÚ LEVELEIBŐL