A végtelen matematikai eredete

Tekintsük át röviden, milyen formában jelenik meg a végtelen fogalma Pascal matematikai írásaiban!²¹⁸ Pascal matematikai életműve négy különböző területet érint: legkorábbi írásai a projektív geometriához, az aritmetikai háromszöggel kapcsolatos értekezései az aritmetikához, a Fermat-val folytatott levelezése a valószínűségszámításhoz és végül, élete utolsó éveiben Ámos Dettonville álnéven publikált levelei az oszthatatlanok módszerén keresztül az integrálszámításhoz sorolhatóak. A valószínűségszámítást leszámítva e területek mindegyikében fontos szerepet játszik a matematikai végtelen.²¹⁹ Az első írások, ahol a végtelen megjelenik, a projektív geometria területéhez tartoznak. Mint korábban már említettük, Desargues a projektív geometria kidolgozásakor bevezeti a matematikába a végtelenben lévő pont (point à l’infini) fogalmát. E fogalomnak az a szerepe, hogy megszüntesse a párhuzamos és a metsző egyenesek közötti különbséget. A projektív geometria egyik fontos elve, hogy a párhuzamos egyeneseket is egymást metszőknek tekinti oly módon, hogy metszéspontjukat a végtelenben tételezi. A párhuzamosság definíciójának e módosítására mértani alakzatok perspektivikus transzformációjához volt szükség, valamint

218 A második fejezetben (2.2. A végtelen a kora újkori matematikában) már érintettük a pascali matematika végtelennel kapcsolatos néhány problémáját, valamint a továbbiakban is ki fogunk térni néhány jelentősebb kérdésre. Ezen kívül a Blaise Pascal. A természettudománytól a vallási apológiáig cím könyvünkben módszeresen áttekintettük Pascal összes matematikai írását különös tekintettel a végtelen problémájára:

Pavlovits 2010, 75-110. Ezért itt most csak nagyon vázlatosan mutatjuk be Pascalnál a matematikai és fizikai végtelenfogalom kialakulását.

219 Jean-Louis Gardies Pascal entre Eudoxe et Cantor című művében (Gardies 1984) nagyon alapos elemzést adott azokról a matematikai problémákról, amelyek kapcsolatba hozhatóak a végtelennel. Az ő megállapításai a pascali végtelen értelmezésekor megkerülhetetlenek, ezért a következő gondolatmenetekben gyakran fogunk hivatkozni az ő eredményeire.

annak vizsgálatához, hogy mely tulajdonságok maradnak változatlanok e transzformációk során. Pascal Desargues eljárásainak továbbfejlesztésén dolgozva találkozott először a matematikai végtelennel. A második fejezetben már megmutattuk, hogy a projektív geometria a párhuzamosság újradefiniálásával integrálta a végtelent a matematika területére, miközben ez a módosítás sokszor vezetett olyan következményekhez, amelyek a képzelet számára megjeleníthetetlenek és az értelem számára felfoghatatlanok voltak. Ennek ellenére egy olyan fontos alapelv elfogadásáról van szó, amely teljesen újszerű és látványos matematikai eredményekhez vezetett. Pascal tehát, Descartes-tal ellentétben, soha nem idegenkedett attól, hogy a végtelent matematikailag alkalmazza, még akkor sem, ha a belőle levont következmények nem voltak minden esetben hozzáférhetőek a világos és elkülönített belátás számára.

A projektív geometriában a perspektíva matematikai értelmezéséhez volt szükség a végtelenben lévő pont fogalmára. Ugyanakkor a projektív geometriában megjelenik a kontinuum problémája is, amely szintén kapcsolatban áll a végtelen kérdésével. A perspektivikus átalakítások során egyszerű projektív művelettel bizonyos mértani alakzatokat (kúpszeleteket) lehet átalakítani egymásba: kört, ellipszist, parabolát, hiperbolát. Az átalakítás során egy alakzat minden egyes pontját vetítéssel megfeleltetjük egy másik alakzat minden egyes pontjának, és így két alakzat között közvetlen megfeleltetést hozunk létre. Az eljárás érdekessége, hogy a kör és az ellipszis korlátos alakzatok, míg a parabola és a hiperbola nem korlátosak, és mégis közvetlen megfelelés hozható létre pontjaik között. Már idéztük Pascalnak erre vonatkozó megjegyzését a Kúpszeletek származtatásából: „Ebből következik, hogy a parabola a végtelenbe tart és végtelen teret határoz meg (infinitum spatium suscipiat), noha az alapkör kerületének a képe, amely véges, és amely véges teret fog körbe” (Pascal 2013, 21). A projektív geometriai szövegekben tehát a végtelen nemcsak a párhuzamossággal kapcsolatos alapelvként jelenik meg, hanem folytonos nagyságok jellemzőjeként is, ráadásul úgy, hogy e tulajdonság matematikailag szigorú átalakítások során kezelhető marad.

Mindebből nyilvánvalóvá válik, hogy Pascal nem tartotta a végtelent kezelhetetlennek a matematikában, jóllehet ettől még nem vált evidens belátás tárgyává.

Pascal nemcsak jó ismerője és használója volt az oszthatatlanok Cavalieri által kidolgozott módszerének, hanem harcos védelmezője is azokkal szemben, akik kétségbe vonták annak hatékonyságát. Az oszthatatlanok módszere az integrálszámítás előzményeként görbe oldalú alakzatok területének kiszámítására szolgált. Pascal kreatívan használta e módszert a kerékívvel (ciklois) kapcsolatos írásaiban, ahol súlypont meghatározásokra alkalmazta, de aritmetikai írásaiban is találunk rá utalást. A Hatványszámok összeadása

(Potestatum numericatum summa) című értekezésében matematikai összefüggést mutat ki a hatványösszegek tulajdonságai és az oszthatatlanok módszere között. Ez a kapcsolat azért fontos, mert Pascalnak sikerül matematikai jól meghatározott viszonyba állítania a természetes számok diszkrét és a geometriai alakzatok folytonos mennyiségét, valamint a természetes és valós számokat.²²⁰ Itt most csak annyit érdemes megjegyezni erről, hogy Pascal e szövegében utal először explicit módon az úgynevezett Eudoxosz-axiómára, amely Euklidész Elemek című művének 5. könyvében maradt fent, és amely az ott megfogalmazott arányelmélet alapját képezi. Ez az axióma, amely fontos alapeleme az oszthatatlanok módszerének, kimondja, hogy két nagyság ugyanabba a nembe (genus) tartozik akkor, ha az egyik, tetszőleges módon megsokszorozva meghaladhatja a másikat. Ha ez nem következhet be, akkor a két nagyság két különböző nembe tartozik és egymáshoz képest heterogének. Ily módon az „oszthatatlanok” heterogének azon nagyságokhoz képest, amelyeknek az oszthatatlanjai. Az egyenesnek ilyen oszthatatlanja a pont, a síknak az egyenes, a térnek a sík.

Ez az elv lényegében a folytonos nagyságok végtelen oszthatóságát és végtelen növelhetőségét mondja ki. Ennek értelmében egy adott nagyság a végtelenig osztható vagy a végtelenbe növelhető anélkül, hogy eljutnánk egy nála alacsonyabb vagy magasabb nembe tartozó nagysághoz. Pascal az Eudoxosz-axióma alkalmazásával jut el az ún. kettős végtelenség (la double infinité) fogalmához. Ez a fogalom és a hozzá kapcsolódó elv nála nemcsak az oszthatatlanok módszerének megalapozására szolgál, hanem a geometriai gondolkodás legfontosabb elvévé lép elő.²²¹ Pascal szerint ugyanis a geometria legfontosabb alapelve, hogy a geometriai vizsgálódás legalapvetőbb tárgyai, a tér, a mozgás és a szám, végtelenül oszthatók és növelhetők. A geometriai gondolkodásról című 1654-ben keletkezett központi jelentőségű írásában ezt írja: „Nem létezik olyan mértantudós, aki ne hinne abban, hogy a tér a végtelenig osztható. Ugyanúgy nem válhatunk azokká ezen alapelv elfogadása nélkül, mint ahogyan emberek sem lehetünk lélek nélkül” (OC III, 404, Pascal 1999, 51). A kettős végtelenség tehát méltán tekinthető a geometria „lelkének”.

A pascali végtelen fogalma a kettős végtelennel azonos, amely nyilvánvalóan matematikai eredetű. Ezt a végtelenfogalmat alkalmazza később Pascal fizikai környezetben is. Azt, hogy a fizikai mozgások matematizálása (különös tekintettel a gyorsulásra) infinitezimális eljárásokat igényel, már Galilei megmutatta.²²² A fizikai tér végtelen

220 Erről részletesebben lásd a 1.4. Matematikai végtelen című alfejezetet.

221 Gardies elmélyült elemzéseket szentel az Eudoxosz- (vagy más néven Archimédész-) axióma szerepének Pascal matematikai gondolkodásában. Lásd könyvének 3. fejezetét, amelynek a címe: „Pascal és az Eudoxosz-axióma” (Gardies 1984, 57-84).

222 Lásd erről Michel Blay elemzéseit (Blay 1993).

oszthatóságának pascali tétele feltehetően kapcsolatban áll az űrre (vákuum) vonatkozó fizikai kutatásaival. Kortársainak döntő többségével ellentétben Pascal meg volt győződve róla, hogy létezik minden anyagtól mentes tér, amely ez esetben ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint a tiszta matematikai tér, tehát végtelenül osztható. A matematikai térnek és mozgásnak a végtelen növelhetősége valamint oszthatósága érvényes a fizikai térre és mozgásra is. A kettős végtelenség elvét Pascal tehát kiterjeszti a természet egészére. Szerinte a természet legfontosabb jellemzője a kettős végtelenség, minek alapján nemcsak a világ kiterjedésének végtelenségét állítja, hanem azt is, hogy a végtelen minden részletében átjárja és meghatározza a természet egészét. Pascalnál ezért a végtelen nemcsak a világ kiterjedését jellemzi, hanem a fizikai létezés minden egyes pontját is. A végtelen nemcsak a világegyetem végtelen tereiben ölt testet, hanem az anyagi világ minden egyes részletében tetten érhető, amennyiben bármely véges anyag- vagy térrész a végtelenig osztható. A kettős végtelenség így mind matematikai, mind fizikai értelemben meghatározza a természet egészét.