A matematikai végtelen

Utolsóként azt kell áttekintenünk, miként zajlott a nyugati kultúrában a végtelen fogalmi megragadásának folyamata a matematika területén. A matematikatörténészek ezt a folyamatot három szakaszra osztják. Az első periódust az antikvitás és a középkor jelenti, ahol nem létezik a végtelen matematikai fogalma; a másodikat a kora újkor, ahol már több

amennyiben a végtelen a világegyetem véges képében kifejeződik, ám ezt a véleményünket árnyalni fogjuk majd a 15.1. Látni a végtelent című fejezetben.

68 Lásd erről: J. V. Field 1997 főként a következő fejezetet: “Building, drawing and ‘artificial perspective’”, Field 1997, 20-43, valamint Damish 1993, főként a következő fejezetet: „La question de l’origine”, Damish 1993, 98-112, továbbá: Panofsky 1975.

69 Lásd: Flocon et Taton 1963, 42 és Panofsky 1975, 37.

fogalom is létezik (teológiai, kozmológiai), és ahol fokozatosan kidolgozzák azokat a módszereket, amelyek infinitezimális mennyiségekkel operálnak, miközben a matematikai végtelen-fogalom nincsen pontosan meghatározva; és végül a 19. század végétől kezdődő időszak, amikor a végtelen-fogalma a halmazelmélet segítségével a matematika területén jól meghatározottá válik.⁷⁰ Ez a hosszú folyamat a görög matematikával indul el, ahol láthatóan idegenkednek attól, hogy beengedjék a végtelent a matematikai racionalitás területére, és a transzfinit számok Cantor általi meghatározásával ér véget, amely lehetővé teszi különböző végtelenek számszerűsítését és nagyságrendi viszonyba rendezését. Az értelmezők hangsúlyozzák, hogy a végtelen matematizálásának egyik alapvető feltétele volt, hogy a végtelen matematikai fogalma leváljon más végtelen-fogalmakról, nevezetesen az ontológiai és a teológiai végtelenről, és hogy meghatározása szigorúan a tiszta matematika területén történjen.⁷¹

Mit jelent matematikailag szólva az, hogy teljesen kidolgozott fogalommal rendelkezünk a végtelenről? Ha a görög matematikusoknak nem is volt ilyen fogalmuk, ez nem jelenti azt, hogy nem ütköztek bele a végtelen problémájába a különböző számolási műveletek során. Az ilyen jellegű problémákban a végtelen elsősorban úgy jelent meg, mint

„egy műveleti folyamat továbbfolytatásának egyszerű lehetősége anélkül, hogy e folyamat bárhol határoló elvbe ütközne” (Desanti 1990, 283). Ilyen helyzet leginkább a kontinuus mennyiségekkel folytatott műveletek esetén állt elő. Az értelmezők megegyeznek abban, hogy a matematika területén a végtelen fogalmi megragadásának és racionalizálásának nehézségét a görög számfogalom okozta.⁷² Miként azt Euklidész Elemeinek 7. könyvének második definíciója nyilvánvalóvá teszi, a görögök a számot az egység megsokszorozásaként határozták meg: „Szám az egységekből összetevődő sokaság” (Euklidész 1983, 206). Ez a definíció, amely a püthagoreus hagyományból származik, csak a természetes pozitív egészszámokat tekinti számnak. A püthagoreusoknál a számok a rend és a mérték alapelvei, és ezek biztosítják a kozmosz racionális felfoghatóságát. Mivel azonban a természetes számok diszkrét jellegűek, ezért nem képesek kifejezni a kontinuus mennyiségek természetét, amelyek pedig mindenhol jelen vannak a geometriában. A természetes számok és a kontinuus mennyiségek összemérhetetlensége először annak felfedezése nyomán vált nyilvánvalóvá,

70 Ez a periodizáció, ami többnyire elfogadott a történészek körében, Jean-Toussaint Desanti: „Matematikai végtelen” című tanulmányából származik (Desanti 1990, 283-284). Ez a tanulmány, amelyre itt nagymértékben támaszkodunk, nemcsak a matematikai végtelen fogalmának kialakulását követi végig, hanem alapos elemzéseket tartalmaz a különböző végtelen-fogalmak egymáshoz való viszonyaira vonatkozóan is.

71 „E folyamat során a matematikai végtelen fogalma autonómiára tett szert: teljes mértékben levált az ontológiai fogalomról” (Desanti 1990, 283).

72 Erre vonatkozóan lásd Desanti és Gardies elemzéseit (Desanti 1990, 283-284; Gardies 1989).

hogy a négyzet átlójának és oldalának nincsen közös mértéke, azaz az egyik matematikailag visszavezethetetlen a másikra. Ugyanez a fajta összemérhetetlenség szolgál alapul a Zénón-paradoxonoknak. A görög matematikusok számtalan nehézségbe ütköztek amiatt, hogy nem tudták a folytonos nagyságokat visszavezetni a természetes számokra.⁷³ Ez magyarázza a pozitív matematikai végtelen-fogalom hiányát is a görögöknél. Arisztotelész volt az első, aki összekapcsolta a kontinuumot a potenciális végtelen fogalmával, amikor egzakt meghatározását adta az előbbinek és végtelen oszthatóságát hangsúlyozta. A két fogalom kapcsolatának meghatározása önmagában azonban nem tette lehetővé egy matematikai végtelen-fogalom kidolgozását, mert a kontinuum ellenállt a számolási műveleteknek és a racionalizációnak.

A folytonos mennyiségekkel kapcsolatos számítások, mint például görbe oldalú vagy felszínű geometriai alakzatok területének illetve térfogatának meghatározása, azonban megkerülhetetlennek tűnt a geometriában. Arkhimédész volt az első, aki elsőként próbálkozott sikerrel a kör területének, valamint a parabola kvadratúrájának meghatározásával. Arkhimédész egy olyan módszert használt, amelyet később „kimerítéses módszernek” neveztek, és amelynek feltalálása Eudoxosz nevéhez köthető. A görbe oldalú alakzatok területének kiszámításához egyenes oldalú alakzatokra osztotta a területet.

Természetesen nem lehet tökéletesen lefedni egy görbe oldalú alakzatot egyenes oldalúakkal, de minél inkább megsokszorozzuk ez utóbbiak számát és minél inkább csökkentjük ezek területét, a különbség annál kisebb lesz. Arkhimédész a kört egy végtelen oldalú szabályos sokszögként értelmezte, majd két szabályos hatszöget írt a körbe és köréje. A két hatszög oldalainak növelésével területük különbsége egyre csökken és a kör területe felé konvergál.

Ezzel az eljárással Arkhimédésznek sikerült meghatároznia a kör átmérője és kerülete közötti viszonyt (π), ami irracionális. A parabola alatti terület (parabolaszelet) meghatározásához Arkhimédész háromszögeket használt, és sikerült megmutatnia, hogy egy adott parabola alatti terület egyenlő ama háromszög területének négyharmadával, amelynek csúcsa az a pont, ahol a parabola érintője párhuzamos azzal a parabolaszelővel, amely a parabolaszelet alapját

73 Jean-Louis Gardies hangsúlyozza, hogy a diszkrét egészszámok és a kontinuum összemérhetetlensége jelentősen befolyásolja a görög arányelméletet. Olyannyira, hogy a görögök kénytelenek voltak két különböző arányelméletet kidolgozni: „Képtelenek lévén arra, hogy egyetlen elméletben egyesítsék a számok és a nagyságok közötti arányokat, arra kényszerültek, hogy megkettőzzék az arányok elméletét, egyrészt a számok közötti arányokéra, amely Euklidész 7. könyvében található, és a nagyságok közötti arányokéra, amelyet az 5.

könyv tartalmaz, és amelyet a hagyomány Eudoxosznak tulajdonít” (Gardies 1989, 550). Hozzá kell tenni, hogy még ha létezett is a folytonos nagyságokra vonatkozó arányelmélet a korban, komoly korlátokkal bírt. „Az 5.

könyv szerzője, anélkül, hogy összefüggést tudott volna létesíteni az egészszámokkal, a nagyságokat egyenlőség és egyenlőtlenségi viszonyok szerint teljesen rendezni tudta” (ibid.), ám anélkül, hogy le tudta volna pontosan írni két nagyság viszonyát akkor, amikor ezek kifejezhetetlennek bizonyultak a racionális számokkal. Másként mondva, ez az elmélet nem volt képes racionalizálni a négyzet oldala és átlója közötti viszonyt.

képezi.⁷⁴ Arkhimédész olyan matematikai módszert dolgozott tehát ki, amely a végtelenül osztható nagyságok területének kiszámítására szolgált. A történészek azonban hangsúlyozzák, hogy Arkhimédész ezt a módszert csak a műveleti eljárásokban használta anélkül, hogy felvette volna a véglegesen kidolgozott módszerei közé.⁷⁵ A görög matematikát összességében jól jellemzi tehát az a már idézett arisztotelészi meglátás (A természet 207b29-31), amely szerint a matematikusoknak nincsen szükségük a végtelenre. Eltekintve néhány arra irányuló próbálkozástól, hogy bizonyos kontinuus mennyiségeket kalkulálhatóvá tegyenek, a matematikai végtelen fogalma nem jelenik meg.⁷⁶

A középkorban, az arab kultúrát leszámítva, a matematika nem mutatott látványos fejlődést. Arkhimédész írásait, amelyek befolyásolhatták volna a folytonos nagyságok természetére irányuló kutatásokat, ebben a korban nem ismerték. Ennek ellenére a középkorban is folytak olyan, a végtelennel kapcsolatos kutatások, amelyek hatást gyakoroltak a matematikára. Ezeket a kutatásokat egyrészt az isteni végtelenség fogalmának 13. századi kidolgozása, másrészt a peripatetikus tézisek 1277-es elítélése motiválta. Pierre Sergescu azt hangsúlyozza, hogy e körülmények következtében a 14. században egyes teológusok modernnek nevezhető elméleteket dolgoztak ki a végtelenre vonatkozóan, amelyek azonban később feledésbe merültek.⁷⁷ A 13. századi skolasztikus gondolkodók két új fogalmat vezettek be a végtelennel kapcsolatban: a kategorematikus és a szünkategorematikus végtelen fogalmát. E fogalmak a középkori grammatikából és logikából származnak. A

„szünkategorematikus” terminussal azon kifejezéseket jelölték, amelyek más kifejezések jelentésének meghatározására szolgálnak, önmagukban azonban nincsen saját jelentésük.

Ilyenek például az „egy”, a „minden”, az „és” stb. A szünkategorematikus terminusokat mindig másik kifejezésekhez kell társítani ahhoz, hogy egy meghatározott jelentéssel

74 Sergescu 1949, 5; Desanti 1990, 285; Cléro, Le Rest 1980, 23-32; Boyer 1949, 48-60; Sain 1986, 181-189. Az értelmezők hozzáfűzik, hogy Arkhimédész kimerítéses módszere alkalmatlan arra, hogy új ismereteket tárjunk fel általa: „Ez az egyik gyengéje Eudoxosz kimerítéses módszerének: ha adottak bizonyos posztulátumok, akkor kifogástalan bizonyítási módszerként működik, ám nem alkalmas új felfedezésekre. Alkalmazása szükségszerűen a bizonyítandó eredmények előzetes ismeretét feltételezi”, Bourbaki 1960, 179.

75 „Ha heurisztikus célból használt is ’infinitista’ módszereket, teoretikus szempontból (azaz minden alkalommal, amikor egy problémának kanonikus bizonyítását akart adni), igyekezett kikerülni azokat”, Desanti 1990, 285.

76 Desanti hangsúlyozza, hogy „a végtelen, amellyel [a görögök] csak műveleti szinten találkoztak, soha nem tesz szert olyan fogalmi státuszra, amelynek köszönhetően az elfogadott matematikai tárgyak körébe tartozhatott volna”, (Desanti 1990, 285). Gardies ugyanezt állítja: „szimptomatikus, hogy Arkhimédész egész életművében, amely oly jelentős mértékben járult hozzá ahhoz, amit hajlamosak vagyunk a végtelen kalkulációjának nevezni, maga a végtelen szó mindössze kétszer fordul elő […] annak a tézisnek a megfogalmazásában, amelyet a szürakuzai megcáfol, és amely szerint a világmindenségben lévő homokszemek száma végtelen”, Gardies 1989, 552.

77 Sergescu 1949, 8. Lásd szintén Sergescunak a 14. századi matematikai végtelenre vonatkozó előadását: „Le développement de l’idée de l’infini mathématique au XIV^e siècle”, Sergescu 1947.

bírjanak.⁷⁸ A kategorematikus kifejezések ezzel szemben a szubsztanciák vagy attribútumok nevei, amelyek saját jelentéssel rendelkeznek. A skolasztikus gondolkodók ezeket a grammatikai kategóriákat a végtelen fogalmára is kiterjesztették, ami azt jelentette, hogy a végtelen kifejezést lehetett szünkategorematikus és kategorematikus értelemben is érteni. A szünkategorematikus és a kategorematikus végtelen megegyezik a potenciális és aktuális végtelen arisztotelészi fogalmaival.⁷⁹ Grammatikai kontextusban például egy olyan kifejezés jelentése, mint hogy „végtelenül nagy”, attól függ, vajon kategorematikus vagy szünkategorematikus értelemben értjük-e: az első értelemben egy olyan dolgot jelöl, ami aktuálisan végtelenül nagy, a másodikban pedig egy olyant, ami végtelenül megnövelhető, azaz valami olyant, ami csak lehetőség szerint végtelen. A 14. századi teológusok azon gondolkodtak, vajon Isten képes-e a szó kategorematikus értelmében végtelenül nagyot vagy végtelenül kicsit teremteni. A kozmológiai végtelen kapcsán már láttuk, hogy a 14. századi gondolkodók (néhány ritka kivételtől eltekintve) tagadták a kategorematikus végtelen létét a természetben.⁸⁰ Ennek ellenére ez a kérdés jelentős mértékben motiválta például a folytonos

78 Roger Ariew, aki pontos összefoglalást ad a szünkategorematikus és a kategorematikus végtelenre vonatkozó skolasztikus nézetekről, megadja a szünkategorematikus terminusok teljes listáját (Ariew 2011, 260, 82.

jegyzet). A szünkategorematikus és kategorematikus végtelen jelentéséről lásd még Schmal 2013, 83-84, 2.

jegyzet.

79 Jean-Louis Gardies ezzel szemben megjegyzi, hogy a szünkategorematikus és a kategorematikus végtelent tévesen azonosították a potenciális és aktuális végtelennel. Szerinte egyes szerzőknél, főként a késői skolasztikában, a szünkategorematikus és kategorematikus végtelen valójában az aktuális végtelen két fajtáját jelentette: a szigorú értelemben vett (proprie dictum) aktuális végtelent és a megengedő értelemben vett (improprie dictum) aktuális végtelent. Gardies szerint ez a megkülönböztetés oly mértékben előremutató, hogy már a Dedekind és Cantor által bevezetetett, a megszámlálható és megszámlálhatatlan végtelen közötti különbséget előlegezik meg: „a megszámlálható és a megszámlálhatatlan végtelen vázlatos megkülönböztetése, amellyel a késői skolasztikában találkozunk, következmények nélkül maradt. Már a szóhasználatban is megfigyelhető lett volna azok számára, akik tudják, hogy a kontinuum számossága meghaladja a megszámlálható végtelen számosságát, hogy tudniillik azok a skolasztikusok, akik ezt a megkülönböztetést felvázolták, a mi megszámlálható végtelenünket, azaz az ő kategorematikus végtelenüket minősítették egyedül szigorú értelemben aktuális végtelennek, míg az egyenes pontjainak halmaza volt a példa számukra a megengedő értelemben aktuális végtelenre” (Gardies 1989, 556). Gardies a Coimbrai Jezsuita Kollégium tagjaira utal név említése nélkül. Roger Ariew, aki a szünkategorematikus és kategorematikus végtelen megkülönböztetésének teljes középkori történetét feltérképezi, ezt a tanítást egyedül Eustachius a Sancto Paulo ciszterci szerzetesnek (Eustache Asseline 1575-1640) tulajdonítja: „Eustachius a Sancto Paulo tanítása jelentős eltérést mutat az általánosan elfogadott nézettől […]. Úgy tűnik, mintha Eustachius szerint a szünktegorematikus végtelen az aktuális végtelen egy fajtája lenne” (Ariew 2011, 262). Azonban Ariew hozzáteszi: „Eustachius az ’aktuális végtelen’ és a ’szünkategorematikus végtelen’ kifejezéseket használva játszik a szavakkal. Lényegében nem állítja azt, hogy a szünkategorematikus végtelen szigorú értelemben aktuális végtelen lenne […] és visszatér az általánosan elfogadott megítéléshez” (Ariew 2011, 263). Ariew szerint tehát nem tévedés a szünkategorematikus végtelent a potenciális végtelennel, a kategorematikus végtelent pedig az aktuális végtelennel azonosítani.

80 Ariew a következőképpen foglalja össze a kor ezzel kapcsolatos álláspontját: „Az általános tanítás (pontosabban Arisztotelész kiigazítása) az volt, hogy tagadták a kategorematikus végtelent (számosság és nagyság szerint), és elfogadták a szünkategorematikus végtelent (számosság és nagyság szerint). Ez egyet jelentett az aktuális végtelen elutasításával és a potenciális végtelen elfogadásával. Természetesen voltak olyan gondolkodók, mint Gregorius de Rimini és Albertus de Saxonia akik amellett érveltek, hogy Isten tud kategorematikus végtelent teremteni a természetben” (Ariew 2011, 260-261).

nagyságokra vonatkozó kutatásokat a korban, még ha a matematikai apparátus nem is volt alkalmas az ezzel kapcsolatos problémák elemzésére.⁸¹

A kora újkor kezdetén már háromféle végtelen-fogalmat különböztettek meg: a teológiai végtelent, amely Istenre, a kozmológiai végtelent, amely a világra és a privatív végtelent, amely a folytonos mennyiségekre vonatkozik. Ebben a korban látványos fejlődésnek lehetünk tanúi a matematika legkülönbözőbb területein: ekkor találják fel a projektív geometriát, az analitikus geometriát, a valószínűség-számítást és az infinitezimális kalkulust, és majdnem mindegyik területen fontos szerepet játszik a végtelen. A projektív geometriában meghatározzák a végtelenben lévő ún. ideális pontot, amelyben a párhuzamosok metszik egymást, továbbá szigorú megfeleltetést hoznak létre véges és végtelen alakzatok között. Ezek a végtelennel kapcsolatos matematikai problémák többnyire visszavezethetőek az analízisre, avagy az infinitezimális kalkulusra, amelynek fő rendeltetése, hogy a folytonos mennyiségeket matematikailag kalkulálhatóvá tegye. A kora újkor komoly erőfeszítéseket tesz tehát a kontinuum matematizálása érdekében. Ennek ellenére a matematikai végtelen fogalma csak két évszázaddal később válik jól meghatározottá.

A kora újkor legfőbb hozzájárulása a matematikai végtelen-fogalom fejlődéséhez kétségkívül az infinitezimális kalkulus (vagy röviden csak kalkulus) kidolgozása volt. Ennek folyamata végigköveti az egész 17. századot, attól kezdve, hogy Galilei meghatározza az első mozgástörvényeket egészen Leibniz Nova methodus pro maximis et minimis című tanulmányának 1684-es, valamint Newton Philosophiae naturalis principia mathematica című művének 1687-es megjelenéséig. A folytonos mennyiségek pontos matematikai meghatározásának kényszere számos területen jelentkezett: a mechanikában éppúgy, mint a matematikában. A természetfilozófiában Galilei és Descartes meghirdették a fizika matematizálásának programját, ami szükségessé tette a fizikai jelenségek, elsősorban a természetes mozgások visszavezetését a geometriai racionalitás területére úgy, hogy matematikailag megfogalmazott általános törvényszerűségeket mutatnak ki bennük.⁸² Márpedig a mechanikai mozgástörvények matematizálása éppúgy, mint a pillanatnyi sebesség meghatározása egy gyorsuló vagy lassuló mozgás során csak úgy volt lehetséges, hogy a

81 A 14. századi eredményekkel kapcsolatban Sergescu megjegyzi, hogy a kor végtelennel foglalkozó gondolkodói „rendkívüli felfedezéseket tettek pusztán elméjük erejére támaszkodva, ám nem ismerték azokat a matematikai tényeket, amelyek alkalmasak lettek volna levezetéseik alátámasztására” (Sergescu 1949, 8). Az infinitezimális kalkulus középkori előzményeiről részletes elemzéseket találunk Boyer: The History of Calculus and its Conceptual Development című könyvének „Medieval contributions” című fejezetében (Boyer 1949, 61-95).

82 A tudománytörténészek különbséget tesznek a fizika geometrizálása és matematizálása között (Blay 1993, 21;

Blay 1998). Galilei és Descartes programjában még a fizika geometrizálásáról van szó, ám később, éppen az infinitezimális kalkulus fejlődése révén, a geometrizálás programját felváltotta a fizika matematizálása.

kontinuumot matematikai eszközökkel kalkulálhatóvá teszik. Mivel a természetes mozgás kontinuum, a mozgás kezdete és vége (amikor egy test elhagyja vagy eléri a nyugalmi állapotot), valamint egy gyorsuló vagy lassuló test mozgása azt feltételezi, hogy a mozgó test végtelen pillanat alatt végtelen sebességfokon halad keresztül, aminek pontos matematikai elemzése feltételezte az infinitezimális kalkulus ismeretét. A matematikában a végtelen kiszámításának igénye az integrál- és a differenciálszámításban jelentkezett. Az integrálszámítás a görbe oldalú síkidomok felszínének, görbék alatti területeknek, a görbe felszínű testek térfogatának, valamint súlypontoknak a meghatározását jelentette, a differenciálszámítás pedig görbékhez húzott érintők meghatározásakor használatos. Az infinitezimális kalkulus végső kidolgozása akkor történt, amikor Leibniznek és Newtonnak sikerült ezt a két problémakört, azaz az integrál- és a differenciálszámítást egyesítenie úgy, hogy egyetlen algoritmusra vezették vissza a kettőt.

Arkhimédész írásai, amelyeket a 16. században fedeztek fel újra, komoly lökést adtak az integrálszámítás fejlődésének a 17. század elején. A kora újkori matematikusok egy új módszert fejlesztettek ki, amely görbe oldalú síkidomok felszínének kiszámítására szolgált, és amelyet „az oszthatatlanok módszerének” neveztek. Ez a módszer elsőként Bonaventura Cavalieri Geometria indivisibilibus continuorom nova quadam ratione promota (1635) című művében jelent meg. E módszer lényege Cavalieri meghatározása szerint az, hogy egy görbe oldalú síkidomot végtelen számú oszthatatlan részre osztunk annak érdekében, hogy meg tudjuk határozni területének viszonyát más, már ismert területekhez. Egy egyenes szakasz oszthatatlanjai a pontok, egy sík oszthatatlanjai az egyenesek, egy test oszthatatlanjai pedig a síkok. A síkidomokat vagy a testeket úgy tekinti, mint oszthatatlanjaik végtelen összegét vagy integrálját, és ez az átalakítás teszi lehetővé a felszín vagy a térfogat kiszámítását.⁸³ Az oszthatatlanok Cavalieri által kidolgozott módszerét Torricelli, Fermat, Roberval és Pascal fejlesztette tovább. Fermat, Roberval és Pascal, Cavalierivel ellentétben, az oszthatatlanokat nem tekintették más természetű alakzatoknak ahhoz az alakzathoz képest, amelynek az oszthatatlanjai, azaz nem tulajdonítottak nekik eggyel kevesebb dimenziót. Az oszthatatlanokat ettől kezdve nem valódi oszthatatlanoknak, hanem végtelenül kis nagyságoknak tekintették: végtelenül kis szakaszoknak, síkoknak vagy testeknek. Egy testet például végtelenül kis átmérőjű hengerekre, egy síkidomot végtelenül kis alapú téglalapokra, egy egyenest végtelenül kis szakaszokra osztottak, és e részek összege vagy integrálja adta ki az eredeti alakzat hosszát, felszínét vagy térfogatát. E módszer már nemcsak egy görbe oldalú síkidom vagy test felszínének vagy térfogatának összehasonlítását tette lehetővé egy másik,

83 Lásd: Koyré: „Bonaventura Cavalieri et la géométrie des continus” (Koyré 1973, 334-361).

már ismert nagyságú felszínnel vagy térfogattal, hanem azt is, hogy kiszámítsák az adott alakzat felszínét, térfogatát vagy súlypontját. Ez az eljárás azt tette szükségessé, hogy egy véges nagyságot végtelen részre osszanak fel, és utána ezek összegéből alkossák meg az adott nagyságot.⁸⁴ Míg az oszthatatlanok módszere igen gyümölcsözőnek és hatékonynak bizonyult, a végtelenül sok, végtelenül kis rész összegzése vagy integrálása több olyan problémát is felvetett, amit a 17. század első felében még nem tudtak megnyugtatóan kezelni.

Ilyen volt a határérték problémája, valamint az egyenlőség problémája az eredeti alakzat és végtelenül kis részeinek összege között.

Az érintők meghatározása adott görbéhez, azaz a differenciál-számítás párhuzamosan fejlődött az integrálszámítással. E téren Fermat, Roberval és Descartes alkotott maradandót.

Fermat és Descartes körülbelül egy időben dolgozták ki az analitikus geometriát, amely megnyitotta az utat olyan módszerek előtt, amelyek görbékhez tartozó érintők meghatározását tette lehetővé. Az érintőt olyan szelőként határozták meg, amely egyetlen pontban metszi a görbét, és a szelő határának tekintették olyan értelemben, hogy a két metszéspont különbsége végtelenül kicsi, azaz nulla (Cléro, Le Rest 1980, 86). A Geometriában Descartes kétfajta görbét különböztet meg egymástól: azokat, amelyek leírhatóak algebrai egyenlettel és azokat, amelyek nem. Az első fajtába tartozókat „geometriai” görbéknek, a másodikba „mechanikus”

vagy „transzcendens” görbéknek nevezi. Descartes (a ciklois kivételével)⁸⁵ csak a geometriai görbékkel foglalkozott, a mechanikus görbéket kizárta a geometria területéről. A matematikatörténészek szerint ez a megkülönböztetés akadályozta az infinitezimális kalkulus kidolgozását, amely egyrészt feltételezte a differenciál- és integrálszámítás egyesítését, másrészt minden fajta görbére alkalmazható a descartes-i felosztástól függetlenül.⁸⁶

Az kalkulus végső kidolgozását Leibniz és Newton végezte el egymással párhuzamosan. Mivel ez a számítás végtelenül kis mennyiségekre vonatkozott, feltételezte az ilyen mennyiségek pontos meghatározását. Egy nagyság végtelenül kicsi, kalkulálható részeinek összege nem egyenlő tökéletesen az adott nagysággal, mert a kettő között mindig marad egy végtelenül kicsi mennyiség, hiszen a keresett nagyság az összeg határértéke. Az

Az kalkulus végső kidolgozását Leibniz és Newton végezte el egymással párhuzamosan. Mivel ez a számítás végtelenül kis mennyiségekre vonatkozott, feltételezte az ilyen mennyiségek pontos meghatározását. Egy nagyság végtelenül kicsi, kalkulálható részeinek összege nem egyenlő tökéletesen az adott nagysággal, mert a kettő között mindig marad egy végtelenül kicsi mennyiség, hiszen a keresett nagyság az összeg határértéke. Az