TA dki éekezé éziei e
egyeú

MTA doktori értekezés tézisei

Nem-egyensúlyi dinamika

alasony dimenziós kvantum

rendszerekben

Dóra Balázs

Budapest M¶szaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2014

1. Bevezetés

Az alasony dimenziós rendszerek különleges viselke-

dése régóta foglalkoztatja a zikusokat. A kvantum

uktuáiók különösen feler®södnek a lesökkent térbe-

li dimenziók miatt, melyek számos meglep® jelenség-

re vezethetnek, pl. spin-töltés szétválás egy dimenziós

rendszerekben (Giamarhi, 2004; Gogolin et al., 1998)

vagy Landau nívók megjelenése két dimenziós struktú-

rákban (Levy et al., 2010). Míg az egy és két dimenziós

rendszerek viselkedése egyensúlyban jól ismert és ala-

posan tanulmányozott, addig nem-egyensúlyi tulajdon-

ságaik javarészt ismeretlenek. A disszertáióban bemu-

tatott munkám erre a területre fókuszál és az említett

rendszerek valós idej¶, nem-egyensúlyi dinamikáját ku-

tatja.

A három dimenziós világunkhoz legközelebb álló, de

már sökkentett dimenziós rendszerek két dimenziósak,

melyet a grafén, egy szénatomokból álló hatszögrás va-

lósít meg. 2004-es "felfedezése" hihetetlen mérték¶ ér-

dekl®dést és tudományos kutatást vont maga után (No-

voselov et al., 2004; Castro Neto et al., 2009), mely

nem sak esetleges elektronikai alkalmazásaiból fakad,

hanem elektronszerkezetének különleges tulajdonsága-

iból is: az elemi gerjesztéseit egy tömeg nélküli, két

dimenziós Dira-egyenlet írja le. Ez rengeteg pszeudo-

relativisztikus jelenség meggyeléséhez vezetett, mint

például a nemkonvenionális kvantum Hall-eektus(No-

voselov et al., 2005), az univerzális vezet®képesség el-

t¶n® részeskeszám konentráió mellett (Castro Neto

et al., 2009), Klein-alagutazás p-n átmeneteken (Chei-

anov and Fal'ko, 2006; Beenakker, 2008) és a Zitterbe-

wegung (Katsnelson, 2006; Cserti and Dávid, 2006).

A két dimenziónál maradva, a topologikus szigetel®-

ket szintén a két dimenziós Dira-egyenlet írja le. A

topologikus állapotokat az különbözteti meg nem to-

pologikus társaiktól, hogy bizonyos válaszfüggvényeik

univerzálisak, vagyis függetlenek a mintafügg® paramé-

terekt®l, mint például szennyez® szórási ráta, kölsön-

hatás er®sségek. Ezen jelenségsalád els® tagjai a kvan-

tum Hall-állapotok voltak, melyeket újabb rokonok is

követtek a topologikus szigetel®k terület megjelenésé-

vel (Hasan and Kane, 2010; Qi and Zhang, 2011). Fi-

zikai tulajdonságaik topologikus védettsége különleges

sávszerkezetükb®l fakad, melyet er®s spin-pálya sato-

lás jellemez. Az alkalmazások szempontjából ezen tulaj-

donságok jól kamatoztathatóak lehetnek a spintronika,

valamint a hagyományos és kvantum számítások terü-

letén.

Tovább sökkentve a dimenziószámot egy dimenzi-

óhoz érkezünk. A kölsönhatási eektusokat feler®sí-

tik a lesökkent térbeli dimenziók miatt feler®södött

kvantum uktuáiók, melyek lehetetlenné tesznek bár-

miféle felöltöztetett kvázirészeske képet a Landau-féle

Fermi-folyadék elmélet szellemében (Giuliani and Vi-

gnale, 2008). Ehelyettazegydimenziós rendszerekgyak-

ran "fémesek" maradnak, alasony energiás gerjeszté-

seket lehet®vé téve, de az elemi gerjesztések karakte-

re megváltozik: bozonikus kollektív módusok jelennek

meg. Ilyen rendszerek alkotják a Luttinger-folyadék

univerzalitási osztályt (Giamarhi, 2004; Gogolin et al.,

1998). A legszembeötl®bb különbség a Fermi- és a Lut-

tinger-folyadékok között a korreláiós függvények ano-

mális, hatványfüggvény-szer¶ lesengése az utóbbi eset-

ben, ahol a kritikus exponensek folyamatosan változtat-

hatóak a kölsönhatás er®sségével. Ezzel szemben egy

Fermi-folyadékban afelöltöztetett kvázirészeske kép ér-

vényben marad, aminek folyományaként a kritikus ex-

ponensek sak egész értékeket vesznek fel.

A Luttinger-folyadék elmélet sok, különböz® rend-

szerre alkalmazható. Eleinte kvázi-egydimenziós szi-

lárdtestzikai rendszerek, mint pl. aBehgaard-sók (Grü-

ner, 1994) tartoztak ebbe az osztályba, majd kés®bb

a szén nanosövek (feltekert grafén síkok) is satlakoz-

tak (Egger and Gogolin, 1998; Kane et al.,1997; Balents

and Fisher, 1997; Yoshioka and Odintsov, 1999; Krotov

et al., 1997; Ishii et al., 2003; Rauf et al., 2004; Bok-

rath et al., 1999; Singer et al., 2005; Dóra et al., 2007,

2008). Az egész és tört kvantum Hall-eektus élállapo-

tai is egy dimenziós rendszert alkotnak, melyek szintén

leírhatóak a Luttinger-folyadék elmélettel (Giamarhi,

2004).

A szilárdtestzikai rendszereken túl a sapdázott hi-

deg atomi rendszerek is ígéretesek (Bloh et al., 2008)

az elmúltévektöretlen tehnológiai fejl®désénekköszön-

het®en. Egy dimenziós fermion vagy bozon rendsze-

reket sapdázva Luttinger-folyadékot lehet létrehozni,

melyben széles tartományban hangolható a kölsönha-

tás er®ssége(Feshbah-rezonaniával vagyazoptikai rás

paramétereinek megváltoztatásával), valamint a külön-

böz® relaxáiós satornáker®ssége (pl. afononokat vagy

sztatikus szennyez®ket teljesen ki lehet kapsolni), me-

lyek révén lehet®vé vált a Luttinger-folyadék kísérleti

meggyelése (Cazalilla et al., 2011).

2. Célkit¶zések

A nem-egyensúlyi dinamika és az új, egzotikus anyagok

tulajdonságainak megértése a szilárdtestzika jelent®s

problémái közé tartozik. A kett® együttes jelenléte pe-

dig érdekes és fontos kihívást jelent. Éppen ezért két

dimenziós Dira-elektronok nem-egyensúlyi tulajdonsá-

gainak vizsgálatát t¶ztem ki élul: a legtöbb nanoelekt-

ronikai alkalmazásszempontjából az er®s elektromos tér

esete érdekes, hiszen ezek az eszközök gyakran a sza-

turáiós tartományban dolgoznak. Eddig nem sokat

tudtunk grafénról és topologikus szigetel®kr®l ilyen kö-

rülmények között, annak ellenére, hogy egyensúlyi tu-

lajdonságaik jól ismertek. A kvantum transzport és a

nem-egyensúlyi válasz véges küls® térben valódi nem-

egyensúlyi jelenségek, melyek pl. dielektromos letörés-

hez vagy Bloh-oszilláiókhoz vezethetnek. Ezen folya-

matok kvantum természete különösen jelent®ssé válik

sökkent térdimenziók esetén. Éppen ezért a két dimen-

ziós, tömeg nélküli Dira-elektronok viselkedése véges

elektromos térben, ami ezen disszertáió témáinak egyi-

ke, különösen alkalmas ezenjelenségek tanulmányozásá-

ra, lehet®vé téve számos, a nagy-energiás zikában vagy

a kvantum optikában ismert folyamat meggyelését egy

szilárdtestzikai rendszerben, mint pl. a Shwinger-féle

párkeltés (Tanji, 2009) vagy Rabi-oszilláiók. A nem-

egyensúlyi állapotok létrehozása és vizsgálata (akár a

hatszögráson is) lehet®vé vált a hideg atomi rendsze-

rek területén, ezért ezen kutatási irány érdekl®désre tart

számot a zika más területeir®l is.

Az er®s elektromos tér jelent®s hatással bír a kétré-

teg¶ grafénre is. A mer®leges elektromos tér lassú vál-

toztatásával tiltott sáv nyílik a spektrumban félig töl-

tött állapotban. Mind elméleti, mind kísérleti szem-

pontból érdekes kérdés, hogy az elektromos tér id®ben

nem-adiabatikus változtatása milyen hatással van a két-

réteg¶ grafén zikai tulajdonságaira és vajon vezet-e

bármiféle érdekes jelenségre. A nem-egyensúlyi id®fejl®-

désen túl az id®beli perturbáió után fellép® állandósult

állapot tulajdonságai sem ismertek.

A topologikusan nem-triviális anyagok keresése id®-

szer¶ kutatási téma napjainkban. A disszertáióban

megvizsgálom egy id®ben periódikus perturbáió alkal-

mazásának topológiai el®nyeit, különös gyelmet szen-

telve annak, hogy vajon el® lehet-e állítani topologikus

szigetel®ket ezzel a módszerrel. Mindezt egy er®s elekt-

romágneses térbehelyezett kvantum spin-Hall-szigetel®,

az els® kísérletileg is megvalósított topologikus szigetel®

él-állapotának vizsgálatával fogom megtenni.

Az elektromos tér id®beli változásával való manipulá-

ión túlazanyag egzotikusállapotát lehetmegvalósítani

a részeskék közti kölsönhatás nem-egyensúlyi bekap-

solásával. Az er®s korreláiók ötvözése nem-egyensúlyi

dinamikával mindenképpen a zika eleddig kevéssé ku-

tatott, jóllehet rendkívül izgalmas és kihívásokkal teli

területei közé tartozik. A hideg atomi rendszerek te-

rületén elért tehnológiai fejl®dés következtében (Bloh

et al., 2008) lehet®vé vált ezen rendszerek kvantum ál-

lapotai id®beli fejl®désének követése és mérése. Külö-

nösen a kvantum kvens folyamatok tartanak számot

nagy érdekl®désre, melyek során a kölsönhatás id®beli

megváltozása akár egy Feshbah-rezonania révén, akár

a rásparaméterek változtatása révén, hihetetlen mérté-

k¶ elméleti (Dziarmaga, 2010; Polkovnikov et al., 2011;

Cazalilla et al., 2011) és kísérleti (Hoerberth et al.,

2007; Haller et al., 2010; Kinoshita et al., 2006; Paredes

et al., 2004) érdekl®dést keltett. Mindezekt®l vezérel-

ve egy Luttinger-folyadék nem-egyensúlyi viselkedését

fogom tanulmányozni, mely a kölsönhatás id®beli be-

kapsolása után lép fel.

3. Módszerek

Mivel kutatásaim a nem-egyensúlyi zikára konentrál-

nak, ezért az alkalmazott módszerek a következ®ek: az

id®függ® Shrödinger- vagy Dira-egyenlet tanulmányo-

zása a diereniál egyenletek megoldására kifejlesztett

analitikus és numerikus módszerekkel, az adiabatikus

perturbáió számítás, a Floquet-elmélet valamint a vizs-

gált modellek leképezése a zika egyéb területein hasz-

nált modellekre, mint pl. a (tiltott) sávkeresztezést leíró

Landau-Zener modellre és egyéb változataira. Az er®sen

korrelált, alasony dimenziós rendszereket térelméleti

módszerekkel, mint bozonizáió, tanulmányozom, majd

analitikus eredményeimet összevetem a Frank Pollmann

által numerikusanszimulált rásmodelleken mátrix-szor-

zat állapotokon alapuló módszerekkel kapott eredmé-

nyekkel. A numerikus munkákat a budapesti és drezdai

számítógépes hálózatokhoz való hozzáférés segítette.

4. Új tudományos eredmények

1. Tanulmányoztam az

E

után fellép® áramot a két dimenziós Dira-egyenlet-

ben, ami a grafén illetve a topologikus szigetel®k tu-

lajdonságait írja le. Az elektromos térrel párhuza-

mos áram id®függése három különböz® tartományt

mutatott, melyeket klasszikus, Kubo- és Shwinger-

tartományként azonosítottam. Az els®ben az áram

lineárisan n® mind az id®vel, mind az elektromos

térrel. A másodikban az áram id®függetlenné válik,

de továbbra is lineárisan skálázódik az elektromos

térrel. Végül a Shwinger-tartományban az áram

tE ^{3 / 2}

er®s elektromos tér által indukált elektron-lyuk pár-

keltés dominál. Ezek alapján meghatároztam a gra-

fén állandósult állapotának áram-feszültség karak-

terisztikáját, mely a lineáris, Ohmikus tartomány-

ból a tér növelésével egy nem-lineáris tartományba

megy át, ahol az áram a feszültség 3/2-ik hatványá-

valn®. Eredményeimet kísérletileg is igazolták. Ha-

sonlóan meghatároztam a nem-lineáris Hall-áram-

feszültség kapsolatot grafénon és topologikus szi-

getel®kön: er®s elektromos térben a Hall-áram az

elektromos tér négyzetgyökével n® [4℄.

2. A kétréteg¶ grafén spektruma mer®leges elektromos

térrel hangolható, mely a félig töltés körül nyíló til-

tott sáv kialakulásáért felel®s. Megmutattam, hogy

a tiltott sáv id®beli változtatásának hatására ger-

jesztett állapotok jönnek létre a kétréteg¶ grafén-

ban, melynek kialakulása és dinamikája rokonságot

mutat egy kvantum kritikus ponton történ® nem

adiabatikus áthaladás során fellép® hibakeltéssel,

melyet a Kibble-Zurek-elmélet ír le [3℄. A létrejö-

v® állapot populáió invertált a Dira-ponthoz kö-

zeli hullámszám vektorokra, mely használható lehet

hangolható paraméter¶ (frekvenia és kiszélesedés),

koherens infravörös sugárzás forrásaként.

3. A kvantum optikaalapmodelljea Jaynes-Cummings-

Hamilton operátor, ami egy üregbe helyezett két-

állapotú rendszer elektromágneses térrel való köl-

sönhatását írja le. A grafénnek, mint szilárdtest-

zikai rendszernek az alasony energiás gerjesztéseit

a Dira-egyenlet írja le, mely kvantum-elektrodina-

mikai jelenségeket mutat. Ez a két, látszólag eltér®

rendszer szorosan összefügg egymással. Megmutat-

tam, hogy a Rabi-oszilláiók, melyek az atom ger-

jesztéseivel vannak kapsolatban a kvantum opti-

kában, megjelennek a kvantáló mágneses térbe he-

lyezett grafén optikai válaszában is, ily módon egy

egyszer¶ képpel magyarázva a optikai kiválasztási

szabályokat. Míg a longitudinális vezet®képesség

kaotikus Rabi-oszilláiókat mutat, addig a Hall-

komponenst a koherens, termikus oszilláiók jel-

lemzik. Ez lehet®vé teszi, hogy egy kevés-test prob-

lémás, mikroszkópikus rendszert szimulálni lehes-

sen egy makroszkópikus, könnyen hangolható tömbi

anyaggal és fordítva [1℄.

4. Attól az ötlett®l inspirálva, hogy id®ben periódikus

perturbáiók alkalmasak lehetnek egy rendszer to-

pológiájának megváltoztatására a Floquet-sávszer-

kezeten keresztül, megvizsgáltam egy irkulárisan

polarizált elektromágneses térbe helyezett két di-

menziós topologikus szigetel® spin-Hall-él-állapotá-

nak tulajdonságait. A hasonló modellekkel ellen-

tétben a spin-Hall-szigetel®t els®sorban a Zeeman-

tag befolyásolja, és nem a pálya járulék. Az in-

dukált fotoáram várható értéke, ami arányos az él-

menti mágnesezettséggel a magnetoelektromos ef-

fektus révén, végesés heliitás függ® lesz, ésa disszi-

páió mentes, adiabatikus töltéspumpálástartomány-

ból a disszipatív transzport tartományba történ®

topológiai átalakulást jelez [6,8℄.

5. Megvizsgáltam egykölsönhatás kvens hatásátegy

Luttinger-folyadékban. A fermionikus egyrészes-

ke s¶r¶ségmátrix többféle, kvalitatívan különböz®

tartományt mutat az id® és térkoordináta függvé-

nyében: Fermi-folyadék, hirtelen kvens Luttinger-

folyadék, adiabatikus Luttinger-folyadék és egy id®-

függ® kitev®j¶ Luttinger-folyadék. Akülönböz® tar-

tományok megjelennek a momentum eloszlás függ-

vényben is, melyet ún. repülési id® kísérletekkel

lehet tetten érni [5℄. Megvizsgáltam az XXZ mo-

dell hard-ore bozonjainak sorsát is azok korrelái-

ós függvényein keresztül. Ezek egyértelm¶en eltér-

nek a fermionikus esetben találtaktól, és az állandó-

sult állapot viselkedése érzéketlennek mutatkozott

a kvens id®tartamára. Az analitikus eredményeket

összevetettem numerikusan egzakt, mátrix-szorzat

állapotokon alapuló szimuláiókkal [9℄.

6. A nem-egyensúlyi statisztikus mehanika legújabb

eredményeiáltal inspirálva meghatároztam egyLut-

tinger-folyadékon végzett munka statisztikáját egy

kölsönhatási kvens során [7℄. A termodinamikai

határesetben a munka eloszlásfüggvénye er®sen sú-

sos, de nem Gauss-jelleg¶ a várható érték körül,

ami a spektrális súly túlnyomó részét hordozza. A

kis rendszer határesetben a spektrális súly nagy ré-

szét egy Dira-delta hordozza az adiabatikus ener-

gia különbséghez tartozó értéknél, melyet egy osz-

illáló, exponeniális lesengés követ növekv® ener-

giával, ahol a minimumokhoz tartozó energiák kom-

menzurábilisak a kvens id®tartamával.

7. Míg egy lokális perturbáióra válaszul fellép® An-

derson-féle ortogonalitási katasztrófa és a Fermi-

él szingularitás jól ismert jelenségek, addig a sok-

test általánosítására eddig kevés gyelem fordító-

dott. Ezért megvizsgáltam az ezt leíró Loshmidt-

ehot egy Luttinger-folyadékban, a tömbi kölsön-

hatás id®beli megváltoztatása után. Ez exponeni-

álisan sökken a rendszer méretével és univerzális

viselkedést mutat: az állandósult állapot exponen-

se

n

2 n

lapoti Luttinger-folyadék paraméterekt®l függ [10℄.

Ezen analitikus eredményeimet meger®sítettem az

XXZ Heisenberg-modellen végzett numerikus szi-

muláiókkal való összehasonlítással. Javaslatot tet-

tem a Loshmidt-eho mérésére egy hibrid rend-

szert használva, mely sapdázott hideg atomi rend-

szer Feshbah-rezonaniájához satolt uxus qubit-

ot tartalmaz, Ramsey-interferometria vagy rádió-

frekeniás spektroszkópia alkalmazásával.

A tézispontokhoz kapsolódó közlemények:

1

:

1. B. Dóra, K. Ziegler, T. Thalmeier, M. Nakamura:

Rabi Osillations in Landau Quantized Graphene

Phys. Rev. Lett. 102, 036803 (2009)

2. B. Dóra, R. Moessner:

Non-linear eletri transport in graphene: quantum

quenh dynamis and the Shwinger mehanism

Phys. Rev. B 81, 165431 (2010)

1

a http://mono.eik.bme.hu/~dora/publit.pdf oldal tartalmazza az arXiv-os hi-

vatkozásokatésikkeket is

3. B. Dóra, E. V. Castro, R. Moessner:

Quantum quenh dynamis and population invers-

ion in bilayer graphene

Phys. Rev. B 82, 125441 (2010)

4. B. Dóra, R. Moessner:

Dynamis of the spin-Hall eet in topologial in-

sulators and graphene

Phys. Rev. B 83, 073403 (2011)

5. B. Dóra, M. Haque, G. Zaránd:

Crossover from adiabati to sudden interation qu-

enh in a Luttinger liquid

Phys. Rev. Lett. 106, 156406 (2011)

6. B. Dóra, J. Cayssol, F. Simon, R. Moessner:

Optially engineering the topologial properties of

a spin Hall insulator

Phys. Rev. Lett. 108, 056602 (2012)

7. B. Dóra, Á. Bási, G. Zaránd:

Generalized Gibbs ensemble and work statistis of

a quenhed Luttinger liquid

Phys. Rev. B 86, 161109(R) (2012)

8. J. Cayssol, B. Dóra, F. Simon, R. Moessner:

Floquet topologial insulators

Phys. Stat. Sol. RRL 7, 101 (2013)

9. F. Pollmann, M. Haque, B. Dóra:

Linearquantumquenhin theHeisenberg XXZha-

in: time dependent Luttinger model desription of

a lattie system

Phys. Rev. B 87, 041109(R) (2013)

10. B. Dóra, F. Pollmann, J. Fortágh, G. Zaránd:

Loshmidt eho and the many-body orthogonality

atastrophe in a qubit-oupled Luttinger liquid

Phys. Rev. Lett. 111, 046402 (2013)

Hivatkozások

Balents, L., and M. P. A. Fisher, 1997, Phys. Rev. B

55, 11973.

Beenakker, C. W. J., 2008, Rev. Mod. Phys. 80, 1337.

Bloh, I., J. Dalibard, and W.Zwerger, 2008, Rev. Mod.

Phys. 80, 885.

Bokrath, M., D. H. Cobden, J. Lu, A. G. Rinzler, R. E.

Smalley, L. Balents, and P. L. MEuen, 1999, Nature

397, 598.

Castro Neto, A. H., F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S.

Novoselov, and A. K. Geim, 2009, Rev. Mod. Phys.

81, 109.

Cazalilla, M. A., R. Citro, T. Giamarhi, E. Origna,

and M. Rigol, 2011, Rev. Mod. Phys. 83, 1405.

Cheianov, V. V., and V. I. Fal'ko, 2006, Phys. Rev. B

74, 041403.

Cserti, J., andG. Dávid, 2006, Phys. Rev. B 74, 172305.

Dóra, B., M. Gulási, J. Koltai, V. Zólyomi, J. Kürti,

and F. Simon, 2008, Phys. Rev. Lett. 101, 106408.

Dóra, B., M. Gulási, F. Simon, and H. Kuzmany, 2007,

Phys. Rev. Lett. 99, 166402.

Dziarmaga, J., 2010, Adv. Phys. 59, 1063.

Egger, R., and A. O. Gogolin, 1998, Eur. Phys. J. B 3,

281.

Giamarhi, T., 2004, Quantum Physis in One Dimen-

sion (Oxford University Press, Oxford).

Giuliani, G. F., and G. Vignale, 2008, Quantum the-

ory of the eletron liquid (Cambridge UniversityPress,

Cambridge).

Gogolin, A. O., A. A. Nersesyan, and A. M. Tsvelik,

1998, Bosonization and Strongly Correlated Systems

(Cambridge University Press, Cambridge).

Grüner, G., 1994, Density waves in solids (Addison-

Wesley, Reading).

Haller, E., R. Hart, M. J. Mark, J. G. Danzl, L. Reih-

sollner, M. Gustavsson, M. Dalmonte, G. Pupillo, and

H.-C. Nagerl, 2010, Nature 466, 597.

Hasan, M. Z., and C. L. Kane, 2010, Rev. Mod. Phys.

82, 3045.

Hoerberth, S., I. Lesanovsky, B. Fisher, T. Shumm,

and J. Shmiedmayer, 2007, Nature 449, 324.

Ishii, H., H. Kataura, H. Shiozawa, H. Yoshioka,

H. Otsubo, Y. Takayama, T. Miyahara, S. Suzuki,

Y. Ahiba, M. Nakatake, T. Narimura, M. Higashi-

guhi, K. Shimada, H. Namatame, and M. Taniguhi,

2003, Nature 426, 540.

Kane, C., L. Balents, and M. P. A. Fisher, 1997, Phys.

Rev. Lett. 79, 5086.

Katsnelson, M. I., 2006, Eur. Phys. J. B 51, 157.

Kinoshita, T., T. Wenger, andD. S. Weiss, 2006, Nature

440, 900.

Krotov, Y. A., D.-H. Lee, and S. G. Louie, 1997, Phys.

Rev. Lett. 78, 4245.

Levy, N., S. A. Burke, K. L. Meaker, M. Panlasigui,

A. Zettl, F. Guinea, A. H. C. Neto, and M. F. Crom-

mie, 2010, Siene 329, 544.

Novoselov, K. S., A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang,

M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and

A. A. Firsov, 2005, Nature 438, 197.

Novoselov, K. S., A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang,

Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A.

Firsov, 2004, Siene 306, 666.

Paredes, B., A. Widera, V. Murg, O. Mandel, S. F. I.

Cira, G.V. Shlyapnikov, T. W.Hänsh, and I. Bloh,

2004, Nature 429, 277.

Polkovnikov, A., K. Sengupta, A. Silva, and M. Ven-

galattore, 2011, Rev. Mod. Phys. 83, 863.

Qi, X.-L., and S.-C. Zhang, 2011, Rev. Mod. Phys. 83,

1057.

Rauf, H., T. Pihler, M. Knupfer, J. Fink, and H. Ka-

taura, 2004, Phys. Rev. Lett. 93, 096805.

Singer, P. M., P. Wzietek, H. Alloul, F. Simon, and

H. Kuzmany, 2005, Phys. Rev. Lett. 95, 236403.

Tanji, N., 2009, Ann. Phys. 324, 1691.

Yoshioka, H., and A. A. Odintsov, 1999, Phys. Rev.

Lett. 82, 374.