A minőségi ismérvek közötti kapcsolatok vizsgálata (II.)

A MlNÓSEGl lSMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK VIZSGÁLATA (ll.)

DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY

Tanulmányunk első részében a kétváltozós. ún. totális asszociációs együtthatók- kal foglalkoztunk. A hagyományos szemléletű mérőszámok mellett olyan új típusú mérőszámokat is bemutattunk. amelyek jobban figyelembe veszik a vizsgált ismér- vek sajátosságait. így külön tárgyaltuk a nominális és az ordinális változók kapcso-

latát jellemző mérőszámok képzését, értelmezését. Gyakorlati segítséget adtunk a

Statisztikai Szemle 1982. évi 6. sz. 635—648. old.) A továbbiakban a kettőnél több is—

mérv közötti okozati összefüggés természetének feltárásához jelentős segítséget nyújtó parciális és többszörös asszociációs együtthatókat tekintjük át.

PARClÁLlS ASSZOCIÁCIÓS EGYUTTHATÓK

Két ismén/ (A és B) kapcsolatát vizsgálhatjuk a többi ismérv (például C, D, . . .) változatainak rögzítése mellett is. Az így képzett mérőszámok a változók közötti ,.tisz- ta" kapcsolatot mutatják. mivel a sokaság egységei a C. D,... ismérvek szempont- jából nem különböznek egymástól. Az ilyen típusú asszociációs mérőszámok az ún.

parciális asszociációs együtthatók, segítségükkel feltárhatók az olyan látszólagos asszociációs kapcsolatok, amikor például az A és a B ismérv közötti asszociáció csak azért áll fenn, mert mindkét ismérv asszociációban van egy harmadikkal.

A parciális asszociációs együtthatók számításának módját három ismérv sze- rinti kombinációs táblán mutatjuk be.

6. tábla

A három ismérv (A, B, C) szerinti kombinációs tábla sémáia

C1 CV Összesen

A . . .

51 ] BZ [ .. . ' BB lEgyüu 81 l 82 l ... , BB lEgyü" 51 1 82 * ... ] Bő iEgyüu

Ai Pm 9121 9151 PM P11-y p12y Pmy Pm: 911- P12- [ Pm- PL-

Aa Pam pa21 Pam Paz-1 Puhl Paz—y '%sz pcx-y pon. Paz. Pap. Pa"

Összesen P.11 P.21 79.51 P..1 P.1'y Pay P.;sy Pny P.1. P.2. Rp. 1

l

DR. MUNDRUCZÓ: A MINÖSEGI lSMÉRVEK 731

A 6. táblában az A ismérv a változattal. a B ismérv 13 változattal, a C ismérv pe- dig y változattal szerepel. Ez azt jelenti, hogy az A és a B ismérv parciális asszoci-

ációs együtthatóinak száma a C ismérv rögzített változatainak megfelelően alakul.

Táblánkban ;) ilyen együttható számítható. Az A és a C ismérv között ő, a B és a C ismérv között pedig a számosságú parciális együttható számítható.

A vizsgálat természetétől függően kiváncsiak lehetünk arra, hogy valamelyik rögzített C., sokaságban milyen összefüggés van az A és a B ismérv között. llyenkor természetesen csak egy parciális asszociációs együtthatót számolunk. Megtehetjük azonban azt is. hogy az adott összefüggésben valamennyi lehetséges parciális asz- szociációs együtthatót kiszámítjuk, és átlagoljuk az együtthatókat. Az így képzett parciális együttható az elméleti mérőszám közvetlen tapasztalati megfelelője.

A nominális változók közötti Guttman-féle parciális asszociációs együttható:

"I'

láz/c,: ): ,,__ M /39/

c21 C (c)

A C ismérv rögzített változataihoz kiszámítjuk az A és a B ismérvek közötti kap- csolat szorosságát mérő asszociációs együtthatókat, és ezeket átlagoljuk. Súlyként a C ismérvváltozatok relatív gyakoriságait használjuk,

Az ordinális változók között számítható parciális együtthatók közül (: Goodman—

Kruskal-féle. valamint (: Kendall—féle számítást mutatjuk be.

A Goodman—Kruskal—féle y mérőszám:

? PC.l_ NC

a): /40/

A [40/ parciális együttható a legegyszerübb módon úgy számítható ki. hogy a C

ismérv rögzített értékeire a /30/ alapján számított y: mérőszámok számlálóit, neve-

A Kendall-féle T mérőszám:

T(AB/C) : *"— ohoi: sc m ([1— §(Pa-c/P—-c )2][1—— %] (P.!)c /P..c )zDi/Z [41/

A Kendall-féle parciális asszociációs együttható képzése során a /34/ szerint számított együtthatókat átlagoljuk. Az átlagolást számtani átlag formájában vé—

gezzük. súlyként az egyes mérőszámok nevezőit használjuk.

A parciális együtthatók számítására olyan fiktív adatokra épülő példát mu- tatunk be, ahol — egyszerűség kedvéért — mind a három ismérv alternatív ismérv.

7. tábla

A három ismérv szerinti megoszlás

A Cl ' Cz Összesen

8, l 52 [ Együtt 131 [ Ez [ Együtt 131 l 82 [ Együtt

Al . . . 45 15 60 30 10 40 75 425 100

AZ . . . . . . . . . '5 35 40 20 40 60 25 75 100

Összesen 50 50 100 50 50 100 100 100 200

732 DR. MUNDRUCZO GYÖRGY

A parciális asszociációs együtthatókat az alábbiakban mutatjuk be.

1. Guttmon—féle együtthatók:

0)

so — 60 20

a __ _.

A(AB/ci) _ 100 — 60 _ :— — 0.50 70 - 6—0 0

a) __ M .. _—

ÁMB/Cz) _ 100 — 60 — 40 _ 0'25

20 10

A ") :——i——: -——:0,375 (AB/C) 404—40

b)

80 — 50 30

(b —

MAB/Ci) _ 100—50 _ 50 * 0'60

70 — 50 20

(b) _ __ _

lme/C!) " 100 -— 50 * 50 _ 0'40

o: o . o

121280 : __3_—2 : _í— : o,5o

/ 504—50 100

2. Goodman— és Kruskal-féle együtthatók:

a) a C1 sokaságban:

A11 : 35 A12 : o A21 : o A22 : 45

Du:0 012:5 szis 022:0

P:45-35—f—i35-45:315O N:15-5—i—5'15:150 3150— 150 3000

y(AB/C1) :: —m : BECTO— : 0909

b) a C2 sokaságban:

Au : 40 Am : 0 Az; : 0 An : 30

DM:0 D12:20 D21:1O 022:o

P:30-40—i—40-30:2400 N:10-20—i—20'10:400

2400 1300— _ 2000

: — ———— : 0,714

MAB/C?) amo—Hoe 2800

c) a parciális együtthatók átlaga:

SOOO—FZ—OOO 5000

7(AB/C) : ————— : -—-————— : O,819

3300-i—2800 6100

3. A Kendall-féle együttható:

a) a C1 sokaságban:

P 3150 N 150

:_:———:o,315 Ház—:m—r—OIOU

5 n2 1002 n2 1OD2

A MINÖSÉGI lSMÉRVEK

733

sc, : [(1— 0.62— 0.4?)(1— 0,52 — 0.5?)11'2 : Vo.48-o,5o : Vöiz—Á : o,49

0.315 — 0.015

T, : ———-——— : 0,612 0.49

b) a C2 sokaságban:

2400 400

: : 0.24 11 : : 004

s 1002 d 1002

sg, : V0,48—0,50 : o,49

0,24 — 0.04

12 : —-——— : O,408 0.49

c) a parciális együtthatók átlaga:

0.49 - 0,612—l—0.49 - 0.408

1 : ————————— — 0,51

(AB/C) 0.98

Példánkban a súlyrendszer megegyezik a C ismérvváltozatok relativ gyakorisá- góval.

T'O'BBSZÖR'ÓS ASSZOClÁClÓS EGYUTTHATÓK

Ha a vizsgálat kettőnél több ismérvre terjed ki, a totális és a parciális asszociá—

ciós együtthatók mellett többszörös asszociációs együtthatót is számíthatunk. Ebben az esetben valamelyik kiválasztott ismérvnek az összes többi ismérvvel való asszo- ciációs kapcsolatának erősségét mérjük.

A többszörös asszociációs együttható számítása nominális változók között

Ha az A ismérvnek mint függő változónak a B és a C ismérvvel fennálló kap- csolatát kívánjuk mérni, az egyszerűbb eljárás az. hogy olyan kombinációs táblát készítünk, amelynek sorai az A ismérv változatai. oszlopai pedig a B,, CC kombiná- cióit tartalmazza. (Lásd a 8. táblát.) Ezután közvetlenül alkalmazhatjuk a két is- mérvre bemutatott asszociációs együtthatók algoritmusait a többszörös asszociációs együtthatók meghatározására.

8. tábla

Munkatábla a többszörös asszociációs együttható számításához

A B1C1 B1C2 . . . B1Cy 52C1 . . . Bzcy . . . chy Ósz-sze_ .

Sen

Al - ' - - Pm P112 Pm, Pm Pm; Pmy 91--

A2 - - - - Pm P212 Pzw Pm P zzy Pzpy 92.-

AOL . . . . Pa" POL-12 P a1y pa21 paZy pot/Sy pot-—

Összesen 11341 ! P.1z ] ii)—13, p.mt Ipayl' IPM; 1

734 DR. MUNDRUCZÓ evakev

A 8. tábla adatai alapján bemutatjuk a 153386) többszörös asszociációs együtt- ható számítását. (A számításokhoz az eredeti táblát is felhasználhatjuk.)

E ÉPmm—Pmu

),(a) b c

_ /42/

(A-BC) _ 1—pm..

A tényleges gyakoriság alapján:

? 2 fmbc : 45—r35-r3o—i—40 : 150 fm" : 100

150—100 59

ii)-BC) : M : —: 0'50

200— 100 100

A totális. a parciális és a többszörös asszociációs együtthatók között az alábbi összefüggés áll fenn:

A(ABC) : A(AC)—l'(1_i(AC)) A(AB/C) [43/

Folytassuk példánkat, és számítsuk ki a MAC) totális asszociációs együtthatót:

(a) (eo—Ho) — 100 20

: — : me — o,2

(AC) zoo — 100

Á _.

100

Korábbról már ismerjük (: Guttman—féle parciális asszociációs együtthatót

%m, : 0.375. Az összefüggés:

() — () . _ ) ()

A(OA-BC) * lási—til xilol/láma

O,50 : O,20—l—(1 — 0.20) -0'.375

A többszörös asszociációs együttható számítása ordinális változók között

Az ordinális változók közötti kétváltozós asszociációs kapcsolat mérésére több- féle mutatószámmal ismerkedtünk meg. lgy a Goodman—Kruskal-féle ;) mutatóval, a Kendall—féle és a Stuart—féle T és 's mérőszámokkal. valamint a súlyozott korre- lációs együtthatóval. A többváltozós — nevezetesen háromváltozós - esetre csak ez utóbbi mutató számítását ismertetjük. A módszertani bemutatáshoz a 7. tábla ada—

tait használjuk fel.

A módszer lépései a következők:

1. elsőként meghatározzuk az RAB). vagyis az A és a B ismérv közötti súlyozott korrelá- ciós együtthatót (9. tábla);

2. meghatározzuk az A és a C ismérv közötti súlyozott korrelációs együtthatót (r (Ac);

(10. tábla);

3. a B és a C ismérv közötti korrelációs együtthatót határozzuk meg (r(BC)) (11. tábla);

4. a kétváltozós korrelációs együtthatókból meghatározzuk a többszörös korrelációs együtthatót.

A többszörös determinációs együttható számítása:

2 2

' (AB) * ' (AC) "2 ' (AB) ' (AC) " (BC) r2 :

l44/

(A- BC) 1 2

* ' (BC)

A MINÓSEGI ISMERVEK

735

9. tábla

Az A és a B ismérv közötti Ifgí'relácíós együttható számítása

B ._. (_ _ _. __

A -— 'a (a—a) (a—a)2 "a (a— )2 fab(a——a)(b—b)

1 ; 2

1 75 25 100 —0.5 0.25 25 12.50

2 25 75 100 0.5 0.25 25 1250

C _ 100 100 200 — — 50 25,00

(b — g) u0,5o 0.50 _

(b —— b)2_ 0.25 0.25 -— ;: 1_5

Cb (b —— _b_)2 _ 25 25 50 _

fab(a —— a)(b — b) 12.50 12,5O 25.00 b : 1.5

25.00 25

f(AB) ———'5—6—50——: 50 —-—0,50

10. tábla Az A és a C ismérv közötti korrelációs együttható számítása

B _ .__. _ _ %

A ——————— 'a (a—a) (a—a)2 "a [a—a)2 fab(a—a)(c—c)

1 ; 2

1 60 40 100 —O,5 0.25 25 5

2 40 60 100 0.5 0.25 25 5

c ( _ 100 100 200 — — 50 10

c — c_ ——O,5 0.5 —

(C — C)2__ 025 10.25 —- ;: 1'5

cC (c _ (32 __ 25 25 50 _

fab(a—a)(c—c) 5 5 10 c:1,5

10 10

r : —————— : _ : 0.20

(AC) Vso'so 50

11. tábla

A B és a C ismérv közötti korrelációs együttható számítása

c * _ __ _

B ! —- "b ( b b) "b (b—b)2 fab(b—b)(c——c)

1 J 2

1 ] 50 50 100 —0.5 25 0

2 50 50 100 0.5 25 O

Cc __ 100 100 200 — 50 0

c — c_ —O,5 0.5 —

(c — c)2_ 0.25 0.25 — É: 1,5

Cc (c —- c_)2 _ 25 25 50 _

fab(b — b)(c — c) 0 o o b : 1.5

0

' (BC) :: : 0

736 DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY

Félclánkban mivel nec) : 0

r2 :rz —i—r2 z0254—004zoz9

(A—BC) (AB) (AC) - - '

A többszörös korrelációs együttható:

f(A-BC) ": l/Ú.29 : 05385

A módszer könnyen kiterjeszthető a 4, 5 stb. változás esetekre is. Megjegyezzük azonban. hogy a gyakorlatban igen ritkán kerül sor háromnál több ismérv kombi—

natív osztályozására.

Az asszociációs együtthatók az ismérvek közötti kapcsolatot egyetlen mutató segítségével jellemzik. E mérőszám kiválasztása nagy gondosságot, a vizsgálatban szereplő változók alapos tanulmányozását igényli. Tanulmányunkban csak az ossza-

ciációs mérőszámok leszármaztatásával foglalkoztunk. A mérőszámok pontossági.

megbízhatósági kérdéseit — terjedelmi okok miatt — nem tárgyaltuk. Az e kérdéskör

iránt érdeklődők figyelmét Goodman és Kruskal 1963-ban és 1972-ben megjelent

lRODALOM

(1) Agresti, A.: The effect of category choice in some ordinal measures of association. Journal of the American Staristical Association. 1976. márc. 49-55. old.

. (2) Agresti, A.: Considerations in measuring partial association for ordinal categorical data. Journal of the American Statistical Association. 1977. márc. 37—45. old.

(3) Measurement in the social sciences. Szerk.: H. M. BIalock. Aldine. Chicago. 1974. Vl. 464 old.

(A) Goodman, L. A. - Kruskal, W. H.: Measures of associations for cross classifications. l. Journal ol the American Statisu'cal Association. 1954. dec. 732—764. old.

(5) Goodman, L. A. — Kruskal, W. H.: Measures of association for cross classifications. ll. Further dis- cussion and references. Journal ol the American Statistícal Association. 1959. márc. 123—163. old.

(6) Goodman, L. A. — Kruskal, W. H.: Measures of association for cross classifications. lll. Approximote sampling theory. Journal of the American Statísfr'cal Association. 1963. jún. 310—364. old.

(7) Goodman, L, A. —- Kruskal, W. H.: Measures of association for cross classifications. lV. Simpliiica- tion of asymptotic variances, Journal of the American Slatistical Association. 1972. ]ún. 415—421. old.

(8) Kendall, M. G.: Rank correlation methods. Griffin. London. 1970. VII. 202 old.

(9) Köves Pál —- Párniczky Gábor: Általános statisztika. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest.

1981. 363, 387 old.

(10) Kruskall, W. H.: Ordinal measures of association. Journal of the American Siatistícal Association.

1958. dec. 814—861. old.

(11) Sommers, R. H.: A New Asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociolo- gical Review. 1962. okt. 799—811. old.

(12) Stuart, A.: The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Bio- metrika. 1953. 105—110. old.

(13) Theil, H.: Közgazdaságtan és információelmélet. Közgazdasági és Jogi Könyvkidaá. Budapest. 1964.

699 old.

(14) Yule G. U. — Kendall, M. G.: Bevezetés a statisztika elméletébe. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó.

Budapest. 1964. 699 old.

PE3lOME

Aarop paccmarpusaer accouuauuonnsle usmepmensubie noxasarenu sa Beaumocsnaax reopnn ueMepeHuü. l'locne oősopa TpaAMuHOHaanle M3MepMTeanblx noxasarenei'i ,aeMaH- CTpMpyeT cnymamue p.:m usmepenun comm memny HOMHHaJ'IbelMH u OpAHHaanblMH nepe—

MeHthMH accounauuounbie koacpcpuuwenrbx, noapoőuo paccmarpusaer ux caoücraa u naer ux unrepnperaumo : TOHKH spermnreopnuaeponmocreű. Hapnny c .nsyxnepemeHHuMi—i acco- uuauuonnumw nemepmenbnbmu nonasarenhnmu aaTop ynenaet őonbwoe macro accouuauu- DHHbIM nouasarennM, orHocnummca K OTOÖpaHHbIM KnaccaM, a remete usnomenmo napun—

ahbeIX H MHOI'OKpaTHblx accouuauuonnux KO3$$HHHSHTOL

ABTOp n c nomomsio npOCTle anMGpOB nowaabiaaer on abruucnenun smx noxasa- renei HOBOBO Tuna, nana eme He nonyuusmux umpoxoro pacnpo'crpauenun a cneuuansuoü

A MINÓSÉGI ISMÉRVEK

737

nn'repa'rype. Hapany c 3THM on npenoc-raanser pan npaumuecxnx coaeroa omocm'enwo pacprnm " xaaumcpunaunu Bsanmocanseü a oőnacm oömecheHHbix Hayn.

SUMMARY

The author discusses association measures with a view to their theoreticol connections.

Having reviewed the traditional measures he shows the association coefficients of nominal and ordinal variables. analyses in detail their characteristic features and gives the proba- bilistic explanation of the measures. Besides bivariate association measures the study gives a detailed description on the association measures referring to selected classes as well as the partial and multiple association variables.

The calculation of the new measures, rather less familiar to statistical literature, is shown by means of simple examples. The study provides several practical instructions for exploring and auantifying the relationships in the field of social sciences.

5 Statisztikai Szemle