A minőségi ismérvek közötti kapcsolatok vizsgálata (I.)

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

A MINÓSEGI lSMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK VIZSGÁLATA (l.)

DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY

A társadalomtudományi kutatásokban alkalmazott mérések pontossága koránt- sem éri el a természettudományok mérési pontosságát. A pontosságbeli különbség abban nyilvánul meg, hogy a társadalomtudományok területén számos esetben csak a nominális, illetve ordinális skálán való mérés lehetséges. A számszerű mérés kor-

látozott lehetősége méginkább előtérbe helyezi azokat a matematikai statisztikai

módszereket, amelyek segítségével a jelenségek közötti összefüggések feltárhatók, megismerhetők. E matematikai statisztikai módszerek közé tartoznak az asszociációs mérőszámok is.

Az első asszociációs mérőszámokat a múlt század utolsó évtizedében dolgozták ki. Az amerikai kontinensen elsősorban ]. P. Finley, M. H. Doolittle, C. S. Peirce, Európában Kőrösy József, R. Benini és C. Gini munkásságát kell megemliteni. Az első mérőszámok megjelenése óta eltelt közel 100 év során a mérőszámoknak mind

száma, mind pedig tartalma sokat változott.

Tanulmányunkban a hagyományos asszociációs mérőszámok mellett új mérő—

számokat is tárgyalunk. Egyetlen asszociációs mérőszám sem tekinthető azonban univerzális jellegűnek. Mindig az adott vizsgálat jellegének leginkább megfelelő, jól meghatározott és könnyen értelmezhető mérőszámok alkalmazására kell töre—

kedni.

KETVÁLTOZÓS TOTÁLIS ASSZOCIÁCIÓS EGYUTTHATÓK

A statisztikai módszerek általában hasznos eszköznek bizonyulnak a mennyiségi adatok értékelése. elemzése során. Az adatok mennyiségi jellege kétféle módon nyil—

vánul meg.

Az első esetben az adatfelvétel során csak arról gyűjtünk információt, hogy va-

lamely tulajdonság (ismérvváltozat) a sokaság egységeinél előfordul—e vagy sem.

lgy a felvétel eredményeként megtudjuk. hogy adott ismérv változatai milyen gya- korisággal fordulnak elő a vizsgált sokaságban.

A második esetben az ismérvérték tényleges nagyságáról is információt gyűj—

tünk.

Az első esetben minőségi ismérvek. a második esetben pedig mennyiségi ismér—

vek méréséről van szó.

A minőségi ismérvek közötti kapcsolatot a legegyszerűbben a vizsgálatban sze—

replő két ismérv szerinti kombinációs táblában mutatjuk be. Az ilyen táblákat kon- tingencia táblának is nevezzük.

1. tábla Kontingencia tábla

I B

A

Bt [ B, [ ' Bp Együtt

Ar l Pn l Pm Pi Pi-

Az % P21 ; Pzz P2 le

Aa l peu l paz l Par? l pa

Együtt P-í ? P-z ' ) P—B ; l

l ;

A táblában

a -— az A ismérv változatainak száma (a : 1. 2. . . ., a):

b — a B ismérv változatainak száma (b ::1, 2. . . ., §);

pab -az A,, és B,, ismérvváltozattal rendelkező részsokaság aránya;

pm —az A, osztályba tartozó részsokaság aránya;

p_b -—a B,, osztályba tartozó részsokaság aránya.

Az asszociációs mérőszámok kialakítása előtt szükség van a kapcsolat termé- szetének, a vizsgált változóknak a megismerésére, a vizsgálat körének rögzítésére.

A minőségi ismérvek kapcsolatvizsgálatánál az első feladat annak eldöntése.

hogy melyik változót tekintjük tényező- (magyarázó) változónak és melyiket függő-

(eredmény-) változónak. Az esetek többségében ez szakmai ismeretek alapján köz—

vetlenül eldönthető. A változók gyakran időben is megelőzik egymást. így az ok és okozat azonosítása ebben a munkaszakaszban nem okoz különösebb nehézséget.

Vannak olyan természetű vizsgálatok is, ahol mindkét irányú kapcsolat vizsgálata indokolt.

A vizsgálatban szereplő ismérvek általában minőségi, illetve területi ismér—

vek. Míg a mennyiségi ismérvek többsége (életkor. jövedelem. munkában töltött idő

stb.) folytonos ismérvnek tekinthető akkor is,v ha a vizsgálatban csak néhány inter-

vallumba. osztályba soroljuk a sokaság egyedeit, a minőségi ismérvek esetében a

folytonosság általában nem tételezhető fel. E kérdés eldöntése a konkrét vizsgála-

tok során mindig egyedi mérlegelést igényel.

Vannak olyan minőségi (területi) ismérvek, amelyek esetében az ismérvváltoza-

tok között nincs minőségi megkülönböztetés. rangsorolás. lgy például a sokaság megyék szerinti vagy nemek szerinti tagolása során az ismérvváltozatok nem fejez- nek ki minőségi fokozatokat. De vannak olyan ismérvek is, amelyeknek a változatai

minőségi fokozatonként kezelhetők. lgy például az iskolai végzettség esetében leg—

alább három ilyen fokozatot különböztetünk meg: alsófokú, középfokú és felsőfokú végzettséget. Az alkalmazásra kerülő asszociációs mérőszámoknak figyelembe kell venniük a vizsgált ismérvek e fontos tulajdonságát.

Az ismérvek egy része esetében az ismérvváltozatokat jegyzékek, nómenklatú-

rák rögzitik. Például a foglalkoztatottak minőségi csoportosítását a Foglalkozósok Egységes Osztályozási Rendszere (FEOR) rögzíti, és nómenklatúrák állnak rendel- kezésre a termékek csoportositásához stb. A társadalomtudományi vizsgálatok ese—

tében azonban gyakran a kutatóknak kell kialakítaniuk az ismérvek változatait.

Az aggregáció (dezaggregáció) mértéke befolyásolja magát az asszociációs mé- rőszámot is. Az aggregáció foka szerint ugyanis más és más asszociációs mérőszá—

A MINÖSÉGI lSMÉRVEK 637

mot kapunk. Ez természetes követelmény is, hogy az asszociációs mérőszám az adott aggregációnak (skálának) megfelelően alakuljon.

Az esetek többségében a skála kisebb változtatása nem módosítja lényegesen a mérőszám nagyságát. A mérőszámok összehasonlításakor azonban tekintettel kell

lenni a skálabeli eltérésekre is.

A hagyományos asszociációs mérőszámok

A hagyományos asszociációs mérőszámok megszerkesztésekor a függetlenség követelményéből indulunk ki:

pr :: pa.p.b. /1í

Az a és a b esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az a esemény bekövetkezési valószínűségének, valamint a b esemény bekövetkezési való- színűségének szorzatával.

Ha az ismérvek nem függetlenek egymástól, akkor az /1/ összefüggés nem ér- vényesül a és b valamennyi értékére. A különbségek felhasználásával olyan együtt- ható szerkesztése kivánatos. amely csak a különbség nagyságát és nem az irányát juttatja kifejezésre. E kívánalomnak felel meg az ún. négyzetes kontingencía:

(Pá,—Pa. P.bl2

. 2 : . ); §; ." "h,—_ 2

[ n a b Pa.l—7_b / /

ahol n a minta nagysága.

A négyzetes kontingencia értékét a gyakoriságok alapján is kiszámíthatjuk:

(fob—fa. lib/")2

fa. f.b/n

szZ m

a b

Függetlenség feltételezése esetén a mutató értéke 0. tökéletes függvényszerű kapcsolat esetében pedig a mutató maximális értéke (a—1)n. Sztochasztikus kapcso—

lat esetében a négyzetes kontingencia mutató az alábbi intervallumban található:

0 $ 762 $ (Ot—Un (a ( 15) /4/

Ha a %? értékét elosztjuk n-nel, az ún. átlagos négyzetes kontingencíát kapjuk:

2

452 : L /5/

n

Ez a mutató már nem függ a minta nagyságától. Értékét az alábbi intervallum—

ban veszi fel:

0 § (152 § (1—1 (a ( fi) /6/

Az átlagos négyzetes kontingencia eleget tesz annak a követelménynek, hogy az ismérvek függetlensége esetében 0 értéket vesz fel. A mutató felső határa az is-

mérvváltozatok számának függvénye.

E fogyatékosságból kiindulva javasolta K. Pearson az ún. négyzetes kontingen-

cia együttható használatát:

c : Vi; : ___—__ /7/

A Pearson-féle kontingencia együttható határai:

ogcgj/i—Ja— (a(/?) /8/

A C együttható hátránya, hogy értéke semmilyen körülmények között sem ve-

heti fel a maximális 1 értéket.

Teljes vagy tökéletes asszociációt feltételezve, szimmetrikus osztályozás eseté-

ben (vagyis az A és a B ismérv változatainak száma megegyezik) az együttható ma-

ximális értéke például az alábbiak szerint változik.

A C együttható maximális értéke

lsmérwáltozat C max

2X2 . . . . . . . . . . . . . 0.707

3X3 . . . . . . . . . . . . . 0.816

4X4 . . . 0.866

5X5 . . . 0.894 6X6 . . . 0.913

A különböző osztályozási rendszerekre megállapított együtthatók ezért nem ha—

sonlíthatók össze.

E fogyatékosság kiküszöbölésére javasolta A. A. Csuprov az alábbi együtthatót:

l/ 12

T : m /9/

" V(a—1)(B-1) A Csuprov-féle együttható határai:

o41g( (M _{__: 5—1} )1/4 /10/

Szimmetrikus osztályozás esetében (az;?) az együttható eleget tesz az asszoci- ációs együtthatókkal szemben támasztott követelményeknek. Aszimmetrikus osztá-

lyozás esetében azonban Csuprov együtthatója sem veheti fel az 1 értéket. Ennek

korrigálására javasolta Cramer az alábbi mutatót.

: 762

K "(H) (agic?) l11/

A [10] összefüggésből közvetlenül látható. hogy Cramer mutatója már minden vonatkozásban eleget tesz az asszociációs együtthatókkal szemben támasztott kö-

vetelményeknek. Értéke mindig 0 és 1 között van.

Az eddigiekben tárgyalt mérőszámok közös sajátossága. hogy a %2 mutatóra

épülnek. Természetesen sokféle más kiindulópontunk is lehet az asszociációs együtt- ható megszerkesztése során. Ezek közül mi csak a Yule—féle asszociációs együttha- tóval foglalkozunk. Az együttható az alternativ ismérvek közötti kapcsolat szorossá-

gának mérésére szolgál.

A mutató értelmezéséhez először a hagyományos korrelációs együtthatót írjuk fel kissé módosított formában.

A MINÖSEGI ISMÉRVEK 639

Az empirikus korreláció módosított felírása:

2 (X,. '— Xj)(Y,' _ Y,) i,]

Legyen az X változó a következőképpen definiálva:

—H. ha x,. ) x].

Xi—Xj: 0. ha X; :Xj

—1. ha Xi ( X;

Az Y változót hasonlóan definiáljuk. Ekkor:

i2!(Xi—Xj)(Yí—Yj) : P—N

ahol:

P —— az X és Y változók azonos előjelűek, N — az X és Y változók különböző előjelűek,

Z'(X,-—X,-)2 : EU,-"VIV : P—l—N

A korreláció szorosságának mérőszáma a /12/ képlet alapján:

a : %%— m;

Ha az X és Y ismérvek két változattal rendelkező (alternativ) minőségi ismérvek.

a [13/ formula a Yule-féle együtthatóval egyezik meg. A Yule-féle együttható értel- mezéséhez nézzük meg az alábbi egyszerű feladatot.

2. tábla A kontingencia tábla

lsmérv B; 1 B, 1 Együtt

Ai . . . 3 I 2 I 5

Az . . . 2 43 5

Együtt. 5 l 5 l 10

A 10 elemű mintából (%)—) féle páronkénti összehasonlítás végezhető. Ezek struk-

túrája. az események csoportonkéntí száma az alábbi:

1. A14A2 és 81(Bg

9

A1 ) Az és Bi ) BZ

2. A1 ( Az és 81 ) 82 4

A1 ) Az és 81 ( 82

3.

A1

: A

2 vagy

B

1

: B

2 32

Al :: Az és Bi : BZ

Összesen 45

P—l—N- 9—H 7173— "

A gyakorlatban természetesen egyszerűbb módon történik a Yule-féle együttha- tó számítása:

__ fiífm —f12f21

fufzz timin

ahol fa,, az A ismérv a—adik és a B ismérv b-edik változatához tartozó gyakoriságot, jelenti.

A G együttható számítása a [14/ képlet alapján:

ll4/

33—22 9—4 5

o:———————:—————:——zo,385

3.3—1—22 94—4 13

A Yale-féle asszociációs együtthatót mint korrelációs együtthatót értelmezzük.

Adhatunk azonban az együtthatónak valószinűségelméleti értelmezést) is. A páron- kénti összehasonlításnál látható, hogy a hasonló sorrend feltételes valószinűsége:

9

HP : _— : 0,ó92

13

a különböző sorrend feltételes valószinűsége:

4

17 : —— : 0,308.

" 13

A Yule—féle együttható a hasonló és a különböző sorrend feltételes valószínű—

ségének különbségével egyenlő:

9 4

O : __", — w— :: 0.692 — 0.308 : O,385

13 13

Asszociácíós mérőszámok nominális változók között

A hagyományos asszociációs együtthatók - bár széles körben kerülnek alkal- mazásra — nehezen értelmezhető mérőszámok. Emellett közös jellemzőjük. hogy nem

veszik figyelembe a vizsgált ismérvek (skálák) sajátosságait. Ebben a pontban olyan

asszociációs mérőszámokkal foglalkozunk, amelyek a nominális változók közötti kap- csolat erősségének mérésére szolgálnak.

A nominális skálán történő mérés esetében a minőségi ismérv változatai nem fejeznek ki fokozatbeli különbségeket. Az ismérvváltozatok között az egyetlen vi—

szony a különbözőség. Ez azt jelenti. hogy az ismérvváltozatok felsorolásának sor—

rendje nem lényeges a mért jellemző szempontjából. Bár az ismérvváltozatok azo- nosítására a minőségi megjelölések mellett számszerű megjelöléseket is alkalmaz-

hatunk, e számok közötti matematikai összefüggések nem vonatkoztathatók az is-

mérvváltozatokra. Az ilyen ismérvértékekkel rendelkező változókat a méréselmélet nominális változóknak nevezi.

A nominális változók közötti kapcsolatok vizsgálatához a változók sajátosságait figyelembe vevő kapcsolatvizsgálati módszerekre van szükség.

A) Aszimmetrikus asszociációs mérőszámok. Aszimmetrikus asszociációról akkor beszélünk, ha a vizsgált összefüggésben egyértelműen meghatározható, melyik vál—

A MlNÖSÉGI lSMÉRVEK 641

tozó játssza az ok. és melyik az okozat szerepét. Ezt a kapcsola'wizsgálatnál mindig rögzítenünk kell.

Elsőként olyan valószínűségi modellt tárgyalunk, amelyik az alábbi sajátossá- gokkal rendelkezik:

— két ismérv kapcsolatát vizsgálja,

— az ismérvek nem kezelhetők folytonos ismérvként,

_az ismérvváltozatok sorrendje semmilyen nagyságrendi relációt nem fejez ki,

—a B ismérv szerinti osztályozás időben vagy okozatilag megelőzi az A ismérv szerinti osztályozást.

A mérőszám megszerkesztésének gondolatmenete a következő. Véletlenszerűen kiválasztjuk a sokaság egy egységét. és becslést adunk arra, hogy melyik A ismérv

szerinti osztályhoz tartozik.

Alkalmazzuk a következő jelöléseket:

pm- : mfx pa- és pmb : mgx Pub

A pm. az A ismérv szerinti osztályozáshoz tartozik. és azt mutatja meg, hogy me- lyik részsokaságnak a legnagyobb az aránya. A pmj, pedig a kombinációs tábla b—

edik oszlopában levő maximális érték.

A kombinációs táblában levő információtartalmat egyelőre figyelmen kívül hogy- va. a véletlenszerűen kiválasztott egység A osztályának becslésére azt az osztályt választjuk, amelyiknek a sokaságon belül legnagyobb az aránya. lgy becslésünk:

um,-. Az elkövethető hiba valószinűsége: 1—pm.. Javithatjuk becslésünket, ha meg- adjuk, hogy a kiválasztott egység melyik B osztályhoz tartozik. Az A megfelelő osz- tályára tett legjobb becslés ebben az esetben pmb. A becslés hibájának valószinű-

sege:

1""E'1l3mb

A kapott hír, vagyis a B ismérvváltozathoz való tartozás információnyereségét az a posteriori és az a priori valószínűségek különbsége fejezi ki:

?m,—pm. /15/

Célszerű lehet azonban az információnyereséget a maximális értékhez ('I—pm.) viszonyitani :

Eb: Pbm "Pm.

Aa/b : ___1 —Pm. /16/

A [16/ asszociációs mérőszám kidolgozása L. Guttman nevéhez fűződik.

A la", tulajdonságai a következők:

—a i.,/b meghatározhatotlan, ha az egész sokaság egyetlen A osztályba tömörül:

d k —ettől a szélsőséges esettől eltekintve a mutató értéke a [0 1] intervallumban helyezke—

i el ;

-— a la/b értéke maximális, ha a B ismérv adott osztályhoz való tartozás tökéletesen meg- határozza az A osztályt, vagyis a kombinációs tábla mindegyik oszlopa legfeljebb egy nullá- tól különböző pab értéket tartalmaz;

—-függetlenség esetén a la/b értéke nullával egyenlő, de a mutató értéke olyankor is nul- lával lehet egyenlő, amikor az ismérvek függetlensége nem áll fenn (ez nem fogyatékossága (!

6 Statisztikai Szemle

mutatónak, hanem összefügg a mutató értelmezésének kérdésével; egyébként a korreláció- számitásnál is találkozunk ugyanezzel a problémával);

—a sorok és az oszlopok felcserélése nem változtatja meg a mutató értékét.

Az asszociációs mérőszámot a változók szerepének felcserélésével is felírjuk. A modellt úgy módosítjuk, hogy az A ismérv szerinti osztályozás előzi meg időben vagy

okozatilag a B ismérv szerinti osztályozást.

Az asszociációs együttható:

; pam —p.m

p.," : max p.b pam :: max pub [17]

A : ___—

b'" 1—P.m b b

A /17/ asszociációs mérőszám az A ismérv változataira kapott hirek viszonyla—

gos informáciányereségét adja. A Al,/,, tulajdonságai értelemszerűen felírhatók (:

v.,/b tulajdonságai alapján.

8) Szimmetrikus asszociációs mérőszám. Vannak olyan esetek, amikor a vizsgált

ismérvek között kölcsönhatás van, vagyis a kapcsolatot mind a két irányban mérhet- jük. Az aszociációs mérőszámot ilyenkor a l,", és a M,, mérőszámok súlyozott szám—

tani átlagaként számíthatjuk ki:

1

? [É pam—l'" %: Pmb—P.m "Pm.]

A : /18/

1

1—"2— (pHm—l'Pm)

A 3— asszociációs mérőszám sajátosságai:

-a l meghatározhatatlan, ha az egész sokaság a kombinációs tábla egyetlen cellájá- ban tőmörül:

—ettől a szélsőséges esettől eltekintve a ). értéke a [0 1] intervallumban helyezkedik el:

—a 1 értéke 1. ha egyetlen sorban. illetve egyetlen oszlopban sincs két nullától különböző gyakorisá ;

—a Éértéke nulla. ha a függetlenség esete áll fenn. de a 220 egyéb esetekben is megengedett:

— a sorok vagy oszlopok felcserélése nem változtatja meg a l értékét;

—a ). a lan; és a lib/a értékei közé esik.

A mérőszámok számításához a következő példát mutatjuk be.

A Közgazdaságtudományi Egyetem egyik nappali tagozatos évfolyama hallga—

tóinak szakválasztásáról és a hallgatók iskolai végzettségéről az alábbi adatokat ismerjük.

3. tábla

A hallgatók iskolai végzettsége és választott kar szerinti megoszlása

.' . Köles?

Kar 01.32:— sz::cgzgélp Egyéb Összesen

iskola

lpari . . . . . . . 45 83 22 150

Kereskedelmi . . . . 155 37 8 200

Általános . . . 80 20 — 100

Együtt ! 280 ! 140 30 450

A MINÓSÉGI iSMÉRVEK 643

A példában az iskolai végzettség ismérv (B) egyértelműen megelőzi a karhoz tartozás (A) ismérvet.

A lla/b asszociációs együtthatót a tényleges gyakoriságok alapján a következő

módon számítjuk ki: *

1. összeadjuk az egyes oszlopok maximális gyakoriságait (155—l—83—l—222260);

2. az összegből kivonjuk az összesen oszlop maximális gyakoriságát (260—200: 60):

3. a megfigyelések számát az összesen oszlop maximális gyakoriságával csökkentjük (450—200 2250) ;

4. a lla/b-t a 2. és 3. pont eredményének hányadosaként kapjuk:

60

2 b : —— : 0,24

'" 250

Az ismérvek között tehát közepesnél gyengébb intenzitású asszociációs kapcso—

lat van.

Ha a 3. tábla adatai alapján a karhoz való tartazásból akarunk az iskolai vég-

zettségre következtetni. a Áj,/a mérőszámot — a gyakoriságok alapján — a következő-

képpen számítjuk ki ("áz adatmatrix transzponáltját véve, használhatjuk az előbbi formulát):

83 155 80—280 38

la/b:Á_i__—_:__:o'22

450—280 'l70

A szimmetrikus asszociációs mérőszámot az aszimetrikus mérőszámok átlagolása

útján nyerjük:

óO—l—38 __ 98 _ 2504—170 420 "

0,23

A 2 mérőszám a kölcsönös függőség intenzitását jelzi.

C) Asszociációs mérőszámok ordinális változók között. Az eddigi mutatószá—

mok érzéketlenek voltak a kontigencia táblában levő sorok vagy oszlopok felcseré-

lésére, vagyis az ismérvváltozatok sorrendje nem befolyásolta a számított mutatók

értékét.

Ebben a pontban olyan asszociációs mérőszámokat tárgyalunk, amelyek kife- jezetten ordinális változók közötti kapcsolat mérésére szolgálnak.

Az ordinális változók olyan sajátos minőségi ismérvek, amelyeknél az ismérv—

változatok egyértelműen meghatározott sorrendben helyezkednek el. A köztük levő távolságokról azonban nem rendelkezünk információval.

Az asszociációs mérőszámokkal szemben támasztott követelmény azért az, hogy egyrészt vegyék figyelembe az ismérvváltozatok adott sorrendjét, másrészt tájékoz- tassanak a változók közötti kapcsolat irányáról is.

Az asszociációs együttható kidolgozásakor az alábbi gondolatmenetet követ—

jük.

Véletlenszerűen kiválasztjuk a sokaság két egységét. Mindegyik a kontingencia tábla valamelyik (A,, 85) cellájához tartozik. Tételezzük fel. hogy az első az (Aal,

851), a második az (Aa2 . Bbz) cellához tartozik. Ha az A és a B ismérv független egy-

mástól, nincs kapcsolat az a és a b sorrendje között. Ha az ismérvek között erős az asszociációs kapcsolat, akkor várható. hogy az A ismérv változatainak sorrendje hasonló a B ismérv változatainak sorrendjéhez. (Negatív kapcsolat esetében termé- szetesen a sorrend szisztematikusan különböző.)

6.

A hasonló és a különböző sarrendek valószínűségei (az egyenlőség kizárásával) az alábbiak:

Us : Pr (ol ( az és bi ( bz vagy ai ) az és by ) bg) /19l

Ha : Pr (01 ( az és bi ) bg vagy a, ) az és bi ( bg) [20]

Ut : Pr (01 : 02 vagy bi : bzl /31/u

Az asszociációs mérőszám a valószínűségek felhasználásával:

7_ II:—Há __ IIS—Há /22/

1— II: 11st II,, ,

p;

A 7 mutató kidolgozása Goádman és Kruskal nevéhez fűződik.

Két ismérv szerinti osztályozást alkalmazva. ha kiválasztjuk a sokaság két egy-

ségét, külön—külön meghatározhatjuk a hasonló és a különböző sorrendek előfordu—

lásának feltételes valószínűségeit. A l asszociációs mérőszám, a feltételes valószínű—

ségek különbségeként értelmezhető.

A valószínűségek meghatározása:

H, : 2 2 Dúl 2 2 pw) /23/

a b a')a V?!)

2 2 2

H: : 2 Puhl—2 P.b— 2 2 Pab /24/

a b a b

A [22/ asszociációs mérőszám:

y:—'———s————41 /25/

mivel:

Hs-i—Ud: 1—1]!

A 7 asszociációs mérőszám tulajdonságai az alábbiak:

—-aynem határozható meg. ha a sokaság a kontingencia tábla egyetlen sorában vagy oszlopában tömörül;

—a 7 értéke 1. ha a sokaság valamelyik főátlóban tömörül. -l—1. ha a bal alsó sarokból induló főátlóban tömörül;

—az ismérvek függetlensége esetén a 720. de az asszociáció hiánya nem jelenti az is- mérvek függetlenségét.

A y mutatót a gyakoriságok alapján is kiszámíthatjuk:

résszámítások :

Aab : 2 2 fa'y—l- 2 2 fa'b' /26/

a'ca b'cb a')a b')b

Dab : E 2 fa'bp'l' 2 2 fa'b' /27/

o')a b'(b a'—ca b')b

p : § % fa,, Aab /28/

A MINÖSÉGI iSMÉRVEK 545

N: E % fabDab /29/

d

az asszociációs együttható:

P —— N

: 30

7 F_F N / /

Alternatív ismérvek esetében Goodman és Kruskal asszociációs mérőszáma megegyezik a Yale-féle O mutatóval.

Nézzük meg egy példán a )) mutató számítását.

_ Egy egyetemi évfolyam hallgatói esetében a korábbi ismeret és az első ellenőr—

ző dolgozat minősítése közötti összefüggést vizsgáljuk. Az elemzés adatait a 4. tábla mutatja be.

4. tábla

A korábbi ismeret és az első dolgozat minősége szerinti megoszlás

(fő)

A dolgozat

A t' k 'bb' "***—'"mü—ÉM

igenyeréatreu . nem kíválóan Összesen

felelt megfelelt megfelelt meg

Nem tanulta . . . . , 13 l 49 ! 8 l 70

Tanulta . . . . 3 11 16 30

Együtt 16 I 60 ' 24 [ 100

A ;; mérőszám kiszámításának lépései:

1. a tábla belsejében levő gyakoriságokat rendre megszorozzuk az alatta és a tőle jobbra levő gyakoriságok. valamint a fölötte és a tőle balra levő gyakoriságuk összegével

(az összeget P-vel jelöljük):

P :13—(11—l—16)—j—49'16—l—11-13—j——16-(13—-j—49): 2270

2. a tábla belsejében levő gyakoriságokat rendre megszorozzuk az alatta és a tőle bal- ra levő. valamint a fölötte és a tőle jobbra levő gyakoriságok összegével (az összeget N-nel

jelöljük);

N:49-3—j—8-(3—l—11)—i—3-(49—j—8)—j—11-8:518

3. az asszociációs mérőszám kiszámítása:

__ P—N __ 2270—518 551752 y— P—i—N 2270—l—518 ,; 2788

: 0.628

A korábbi ismeretanyag szintje a közepesnél erősebb intenzitású kapcsolatban

van az első dolgozat minősítésével.

R. H. Sommers a 7 mutató aszimmetrikus változatait is elkészítette:

a mérőszám. amikor a B ismérv a független változó:

"" 1— Epi. '

a mérőszám. amikor az A ismérv (! független változó:

II — II

5 d

A _b : —— ₂ /32/

'" 1— Em,

A [31/ nevezője annak a valószínűségét adja meg, hogy a két véletlenszerűen

kiválasztott egység nem szerepel a kontingencia tábla azonos sorában. A [33] ne—

vezője pedig annak valószínűségét adja meg. hogy a kiválasztott egységek nem sze-

repelnek a kontingencia tábla azonos oszlopában.

A /31/ nevezőjét az alábbi módon is felírhatjuk:

2 2 '

Hs'l'Hd'l'(§ P-b '— §: pub) /33/

A [33/ harmadik tagja annak valószínűségét adja meg. hogy a két kiválaszott

egység egy oszlopban, de különböző sorban szerepel. Másképpen megfogalmazva.

azt az esetet is figyelembe vesszük az asszociációs együtthatók számításánál, amely—

ben a kiválasztott egységek a független változó ugyanazon ismérvváltozatához tar- toznak.

A lla/b mutató tulajdonságai:

-o A.,/b mutató nem határozható meg. ha a gyakoriságok a kontingencia tábla egyet—

len sorában találhatók;

— a Ala/b mutató értéke 1. ha a Ha értéke nulla. és minden oszlopban legfeljebb egy

nullától különböző elem taláható; '

-o Aun, nullával egyenlő az ismérvek függetlensége esetén, a mutató azonban olyan- kor is nullával lehet egyenlő. amikor az ismérvek nem tekinthetők függetlennek.

M. G. Kendall a y-hoz hasonló asszociációs mérőszámot javasolt a kapcsolat intenzitásának mérésére:

TK : a??? [34/

W1 — 2195.) (1 — Eva)

Mint látható. Kendall mérőszámának számlálója azonos a y számlálójával, csak nevezőjében különbözik attól. Az is megállapítható. hogy a Kendall-féle '! a Somers—

féle mutatók mértani átlaga:

TK a VAa/b'Ab/a /35l

A. Stuart — részben Kendall javaslatából kiindulva - az alábbi asszociációs mé- rőszámot dolgozta ki az ordinális változók közötti kapcsolat intenzitásának mérésé-

re:

_ IL -— 174 (

Ts —— m (a 13) /36/

Az (a—i)/a tényezőt Stuart azért vezette be, hogy a mérőszám felvehesse maxi- mális (vagy közel maximális) értékét, amikor a sokaság (] hosszabb főátlóban tö—

mörül.

Az eddig tárgyalt mutatószámok mellett a gyakorlatban az ordinális változók közötti asszociációs kapcsolat mérésére széles körben alkalmazzák a súlyozott korre—

lációs együtthatót is.

A MINÖSÉGI ISMERVE'K 647

A korrelációs együttható számítása:

2 Eblfabla—ÉHb—É)

" : ——-——————————

VE rola -——a]2 ? cbíb ——b)z

l37/

_ 1 Z ? 1 2 b

a : —— r -a : '——- c .

N a a N b b

Az így számított súlyozott korrelációs együttható értelmezése, valamint tulajdon—

ságai megegyeznek a mennyiségi ismérvekre vonatkozó együtthatók tulajdonságai- val.

D) Kiválasztott osztályokra vonatkozó asszociációs mérőszámok. Gyakran elő—

fordul, hogy az ismérvek valamennyi változatát figyelembe véve az A és a B ismérv

között igen alacsony értékű asszociáció állapítható meg. Ugyanakkor az A ismérv adott osztályhoz való tartozása ismeretében jól becsülni lehet a megfelelő B ismérv- változatot.

Tételezzük fel, hogy az A ismérv kiválasztott osztályai és a B ismérv változatai között akarjuk mérni a kapcsolat intenzitását. Ennek egyik lehetséges módja az.

hogy a ki nem választott ismérvváltozatoknak megfelelő sorokat aggregáltan, egy

sorban szerepeltetjük a kontingencia táblában.

5. tábla

Az A és B ismérv kontingencia táblája B

A

B, a, l . .. [ Bp ] Együtt

Al Pu P12 - - - Plp Pi-

Az Pm Pzz - - - Pm Pz-

As psx psz ' ' ' Psp P:.

a S S É S

A —— —- . . . — 1 —

azzsy-H a Pü 0211 Pal P,, a; Pa, P-p azt Pap a§1pm

Együtt [0.1 P-z . . . p.p 1

Igy egy [(s—l—i)./3] rendű kontingencia táblát kapunk. Bármelyik bemutatott asz- szociációs együttható számítható a táblából. Az 5. táblában az egész sokaság szem-

pontjából vizsgáljuk az asszociációs kapcsolatot. Megtehetjük azonban azt is. hogy a vizsgálathoz új sokaságot definiálunk. mégpedig az A Az . . . A, (s ; 2) osztályok- hoz tartozó egységek összeségét. Ez azt jelenti. hogy az 5. tábla belsejében az utolsó sort elhagyjuk, és a tábla belsejében levő valószínűségeket újraszámítjuk az alábbi képlet szerint:

; Pa

p,,b ———— ———;———;— /38/

2 2 p,,b

021 b: .;

Tényleges gyakoriságok esetén természetesen csak a nem kivánatos sorokat kell elhagyni. lgy egy [5-5] rendű kontingencia táblát kapunk, amelyből a megfe—

lelő aszociációs mérőszámok közvetlenül számíthatók.

Könnyen megszerkeszthetők azok a kontingencia táblák is, ahol mindkét is—

mérv kiválasztott osztályai között vizsgáljuk a kapcsolatot a fentiekhez hasonló mó—

don.

*

Az eddigiekben bemutatott asszociációs mérőszámok arra szolgáltak. hogy két ismérv kapcsolatát valamelyik sokaságon belül vizsgáljuk függetlenül attól. hogy egyéb ismérvekre vonatkozóan rendelkezünk-e többlet információval. Ha meg tud-

juk állapítani a C ismérv gyakorisági osztályait is, akkor felmerül a kérdés. hogy milyen kapcsolat áll fenn például A és B ismérv között rögzített C osztályok feltéte-

lezése esetén. ,

Az ilyen tipusú asszociációs mérőszámokat, melyeknek ismertetésére tanulmá—

nyunk II. részében kerül sor, parciális asszociációs együtthatónak nevezzük. Segítsé- gükkel kiküszöbölhetjük az olyan látszólagos asszociációs kapcsolatokat, amelyek

szerint például az A és a B ismérv között kimutatható asszociáció csak azért áll fenn.

mert mindkét ismérv asszociációban áll egy harmadik, C ismérvvel. lgy segítenek bennünket a parciális asszociációs együtthatók a fennálló okozati összefüggések

természetének feltárásában.

(A tanulmány II.. befejező részét a Statisztikai Szemle következő számában közöljük.)