Az átlagszámítás helye a statisztika elméletében

tDR. KÖVES PAL:

AZ ÁTLAGSZÁMTTÁS HELYE A STATISZTIKA ELMÉLETÉBEN*

- _ Az átlagszámitás a statisztikai adatok elemzésének egyik legfontosabb eszköze. Mai statisztikai gyakorlatunk kellőképpen él a legegyszerűbb kö—

' zépérte'kek, elsősorban a számtani átlag alkalmazásának lehetőségeivel, de nem mondhatjuk el ezt egyes más középértékekről. Ezekkel kapcsolatban a '

nehézség abban áll, hogy nem könnyű megállapitani, mikor jogos alkalma- zasuk, értelmezésük nem olyan könnyű, mint aszámtani átlagé. Ugyanakkor a számtani átlag alkalmazása sem teljesen problémamentes. Ismeretes, hogy ezaz átlagfajta sem csak a valóság feltárásának, hanem a valóság elkendő- zésének is lehet eszköze, ha minőségileg nem egynemü, illetve nem kellő-

— képpen csoportosított adatokból számítják az átlagot. Talán ennek a veszély-

* nek az ismerete terén állunk legjobban. Az átlagszámitás korlátairól sokat olvashattunk a szakirodalomban az elmúlt években. Hasznos lenne ugyan—

A ' akkor az átlagszámításban rejlő lehetőségek bátrabb kutatása is.

_ *A statisztikai elmélet művelőire vár az a feladat, hogy a legkülönbözőbb középértékék alkalmazásának kérdéseit tisztázzák. Úgy gondoljuk, hogy ennek a feladatnak egyik része abban áll, hogy meghatározZuk az átlag- számítás helyét a statisztika elméletében. Nemcsak egyes konkréten fel- ' merülő esetekben, hanem általánosságban is tisztán kell látnunk, hogy mikor van szükség átlag számítására és milyen módon válik az átlag a való- ság tükrözőjévé.

Ennek a tanulmánynak a középpontjában az a kérdés áll, hogy mi az átlagszámítás helye a statisztika elméletének egészében. E kérdés tárgyalása során teljességre való törekvés nélkül érintjük az átlagszámitás egyes más problémáit is, amennyiben a központi kérdés tisztázása ezt megkívánja.

, A feltett kérdésre már az első mondatban adtunk egy bizonyos választ.

Statisztikusaink előtt világos, hogy az átlagsZámitás az elemzés egyik esz- köze. Az általános statisztikai tankönyvek nagy része a statisztikai elemzés ismertetését az elemzési eszközök fajtái szerint rendszerezi. A csonortosítás,

" a. sorok és táblák szerkesztése, a viszonyszámok számítása és a grafikus ábrá- zolás után következik rendszerint az átlagszámitás, majd ezt követik az összetettebb elemzési eszközök, módszerek. Bár ez a felépítés önmagában véve nem szükségszerűen hibaforrás, rendszerint együttjár bizonyos elmé— *

, leti szempontok háttérbe szorulásával. Az ilyen tankönyvek az egyes elem— .— 9

* E tanulmány a szerző készülő kandidátusi disszertációja egyik témakörének rövidített kifejtése. A tanulmányban ismertnek feltételezett anyag — hasonló felfogásban —— meghatalmazó dr. Köves Pál—dr. Párniczky Gábor: Általános statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1900.) e.

egyetemi tankönyvben.

izé-si eszközök alkalmazását elsősorban példák felsorakoztatásáValmagan—" '

rázzák. E tankönyvekből meg lehet érteni és tanulni, hogy például ilyen és ? ilyen esetekben átlagot kell Számítani Ugyanakkor az olvasóban nehezen alakul ki megfelelő általános kép arra vonatkozóan, hogy tulajdonképpen Vmi a közös jellemzője az elemzési feladatok azon körének, amelyen belül az

átlagszámitás vezet célhoz.

Mindez természetesen nemcsak az átlagszámitásra vonatkozik. A felve——

tett kérdés része annak az általánosabb kérdésnek, hogyan kell felépíteni a _ statisztika általános elméletét. Ennek a tanulmánynak az a felismerés képezi ' az alapját, hogy a statisztika elméletét pontosan definiált alapfogalmakra kell építeni és ennek az elméletnek szigorú belső logikával kell rendelkeznie.

Az alapfogalmak meghatározásánál meg kell ragadni és megfelelően általá—

. nositani az anyagi valóságnak azokat a mozZanatait, amelyek döntő szerepet

—' játszanak abban, hogy a társadalmi—gazdasági jelenségek és folyamatok statisztikai adatokban tükröződnek;

Azok az alapfogalmak, amelyekre a fent leszögezett elvek alapján a statisztika elmélete felépíthető, véleményünk szerint elsősorban a statisz- tikai tömeg vagy sokaság, Valamint az ismérv fogalma. A statisztikai tevé- , ,; _ kenység során vi2sgált társadalmi-gazdasági jelenségek általában tömeg- jelenségek. A vizsgált jelenségek, folyamatok meghatározott nagyságú tömegek létezésében, mozgásában, ilyen vagy olyan összetételében, a töme- gek egységeit jellemző tulajdonságok közötti összefüggésekben jutnak ki—

fejezésre A társadalmi—gazdasági élet jelenségei úgy válhatnak számszerűen mérhetőkké, a statisztika számára hoZzáférhetőkké, hogy ezeket a tömege- - ket figyeljük meg: megszámláljuk a tömegekhez tartozó egységeket, meg—

, * figyeljük az egyes egységeket bizonyos tulajdonságok szempontjából, majd végül a tömegek egészéről adunk tömör jellemzést. Ezek a tömegek a sta—

tisztikai sokaságok, a sokaságok egységeit jellemző tula'jdonságokspedig az _ ismérvek. Az ismérvek négy fajtája: az időbeli, a területi, a minőségi és a

mennyiségi ismérvek. ,

A statisztikai munka első lépése annak megállapítása, hogy a vizsgá—

landó társadalmi—gazdasági jelenség milyen sokaság(—ok) nagyságában, moz—

gásában stb, jut kifejezésre és hogy a sokaság egységei a Vizsgálat szem—

pontjából milyen lényeges tulajdonságokkal rendelkeznek Ennek a fontos lépésnek helyes végrehajtásához —— a speciális statisztikai szakismeretekkel való rendelkezés mellett — elengedhetetlenül szükséges általában a társa—

dalmi—gazdasági élet, különösen a vizsgált konkrét terület törvényszerűsé—

geinek alapos ismerete Ennek a munkának a helyességén múlik elsősorban tehát az átlagszámításnak a helyessége is, amelyet a begyűjtött adatok fel—' dolgozása után, az elemzés szakaszában végeznek el.

A statisztika legegyszerűbb feladata valamely sokaság egységeinek

megszámlálása. Tekintsük ezt úgy, mint a statisztikai elemzés ,,épületének'

földszintjét. Tanulmányunk szempontjából a ,,földszinten" semmiféle prob—

léma nem adódik fel kell tehát mennünk az ,,első emeletre" . Itt azokat az elemzési feladatokat találjuk, amelyek abból adódnak, hogy a vizsgált soka—

ság egységeit egy ismérv szerint megfigyeltük és most az elemzés során a sokaság egészét akarjuk ezen ismérv szempontjából tömören jellemezni.

(Az általunk elképzelt jelképes épület második, harmadik stb. emeletén ezek szerint azok az elemzési feladatok találhatók, amelyek a Sokaság két, három stb. ismérv szerinti egyidejű megfigyeléséből adódnak.)

* Az ATLAGSzAm'"As _ ,; " , 5

Bizonyos alapvető módszerek attól függetlenül alkalmazhatók a sokaság

egy ismérv szerinti tömör jellemzése érdekében, hogy ez az ismérv az is— ,

mérveknek korábban említett négy" fajtája közül melyikhez tartozik. (Az **

alkalmazás konkrét formáját természetesen befolyásolja az ismérv tipusa.) Ilyen alapvető módszer például az osztályozás, illetve csoportosítás. A vizs- gált sokaságot osztályozhatjuk, illetve csoportosíthatjuk ezen ismérv vál- tozatai szerint. Vannak azonban olyan módszerek, amelyek az ismérvek valamilyen fajtájához kapcsolódnak. Ilyen módszer például az átlagszámitás is, amely a mennyiségi ismérvekhez kapcsolódik, amelyeknek változatai ——7 másfajta ismérvektől eltérően —— számszerű értékek. Az átlagszámitás helye a statisztikai elemzés ,,épületében" elsősorban az első emelet legimpozán—

sabb terme, amelyben a mennyiségi ismérv szerinti elemzés eszközei, mód—

szerei foglalnak helyet. Az első emelet többi termei nincsenek olyan gazda-_

gon berendezve, mint ez, legfeljebb az időbeli ismérv szerinti elemzés terme _ vetélkedhet ezzel.

A mennyiségi ismérvek természetéből következik, hogy az ismérvnek * egyetlenegy megfelelően kiválasztott változata, vagyis az ismérvnek egy értéke alkalmas a sokaság egészének tömör jellemzésére ezen ismérv szem—

pontjából. Az ilyen megfelelően kiválasztott ismérvértéket nevezzük közép—

értéknek. Másfajta, például minőségi ismérveknél csak kivételesen fordul—

hat elő, hogy az ismérvnek egy megfelelően kiválasztott változata alkal-,- mas a sokaság egészének tömör jellemzésére. Például egy mezőgazdasági jellegű ország lakosságát a foglalkozás ismérve szempontjából elég jól jel—

lemezhetjük a legtipikusabb foglalkozás (a földművelés) megjelölésével.

A statisztikában többféle középértékét használnak. A különböző fajta középérté—

keket két csoportra szokás osztani: a számított középértékek vagy átlagok és a hely- zeti középértékek csoportjára. (Eddig többnyire csak az átlagokról tettünk említést,

mert ezeket gyakrabban használjuk, de általános megállapításaink általában a hely— — zeti középértékekre is érvényesek)

A statisztikai elemzésben négyféle átlagot szokás alkalmazni. Ezek számítási mód—_ : ját, értelmezését ismertnek tételezzük fel Emlékeztetőül csupán képleteiket tüntetii'ik fel az alábbi táblában, továbbá ugyanott közöljük az egyes átlagoknak a számtani átlagra való visszavezetését bemutató képleteket is.

Számtani Harmonikils Mértanl Nénvzetes Megnevezés

átlag

2 .. " __

_ a: : —— :

Egyszerű átlagok . . . . a: : —- h 1 -— -—— - § .: Ef.

, n 2 ; mg :: k.,/Ha: a ,,

'

^..

;: f

^x

'

^{x : -——————}

z ! Z' '

Súlyozott átlagok . . . . a: : ——-— h 1 -—- VL? ;? :: VEW

_ % 2 ! 2 f ;; mg :: H Ef

Visszavezetés számtani ): l __ ;: log a: ... L'x'

átlagra (egyszerű át. ' -— 1 m log mg : ne; ———— ————-

lagoknál)... :z— '? "

_ mh " ,

VA képletekben x a mennyiségi ismérv értékeit, vagyis az átlagolandó értékeket, f az egyes átlagolandó értékek előfordulásának számát (a súlyokat), n, az összes átla—

golandó értékek számát (22 fan) jelenti.

%

1. táblai—w

;

Emlékezzünk meg hasonló rövidséggel a helyzeti kózépértékekröl , '

módusz és a medián. A módúsz a mennyiségi isméw'nek a leggyakrabban elet (itt jj"

illetve olyan értéke, amely körül leginkább sűrűsödnek az ismérv értékei. A médián vaz ismérvnek az a középső értéke, amelyiknél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb érték

' fordul elő. _

l. A MENNYISÉGI SOROK ELEMZÉSE

a) Általános áttekintés

Ha a mennyiségi ismérvvel jellemezni kívánt sokaság tagjainak Száma

, f nem nagy, az adatgyűjtés eredményeképpen kapott adatokból közvetlenül

—— mennyiségi (gyakorisági) sorba való rendezés nélkül— számítunk átla-J—

nyiségi sorba való rendezése. Az átlagszámitás (és általában a kozepertekek ' , meghatározása) tehát legtöbbször a mennyiségi sorok elemzésének eszköze—

-- ként jelenik meg. Mégegyszer aláhúzzuk azonban azt, hogy ha a középérté— ;

*,kek helyét precizen akarjak a statisztika elméletében meghatározni, akkor , ' elSősorban nem a mennyiségi sorokhoz, hanem a mennyiségi ismérvekhez

* kell kötnünk a középértékek használatát.

__ A statisztikai módszertani szakkönyvek egy része —-—— ha ezt talán nem

is hangsúlyozza —— ebben a szellemben tárgyalja a középértékeket Ezekben , a könyvekben általában a gyakorisági sorok elemzéséről szóló részben talál—'*'—

, juk meg a középértékeket. Nincs szándékunkban tehát e tekintetben vala-*

a_miféle gyökeresen új szemléletet bevezetni, de igyekszünk az elméleti ala-

; pok megszilárdításáhóz, valamint az alapokra való építés következetesebbé

*_ ,,tételéhez hozzájárulni.

_ Az átlagszámitással bővebben foglalkozó magyar nyelvű szakirodalom—

ban —— tanulmányunk szempontjából —— különös figyelmet érdemel dr. Laky Dezső: Statisztikai módszerek1 c., közelmúltban megjelent könyve. Mint—, -' hogy ez a könyv egyes vonatkozásokban alátámasztja fejtegetéseinkét, mig

" más vonatkozásokban ellenkezik azokkal cikkünkben több helyenis fogunk erre a könyvre hivatkozni. Vitatkoznunk kell például az emlitett könyvvel abban a kérdésbenis hogy mi az átlagszámitás viszonya a statisztikai sorok 1 egyes fajtáihoz. Bár dr. Laky fejtegetései végső soron éppen azt bizonyítiák, , 1— hogy a középértékek a Statisztikai sorok köZül legszorosabban a mennyiségi

* _ (gyakorisági) sorokhoz kapcsolódnak, tételes megállapításai ezzel nincsenek mindig—összhangban. Például a 36. oldalon ez olvasható: ,,A számtani átlag primátusát az, is támogatja, hogy a statisztikai sorokban általában alkal- . mazni tudjuk." Az idősorokat a gyakorisági sorokkal egyenrangúan kezeli az

" —' átlagszámítás szempontjából, sőt a minőségi és területi sorok átlagáról, móduszáról és mediánjáról is beszél a szerző.

Dr. Laky a mennyiségi, minőségi, területi és idősorok elemzését nem úgy tekinti, minta mennyiségi, minőségi stb. ismérvek szerinti elemzés gyakorlatilag célszerű formáját. Az elméleti megállapításokat a sorok külön—

böző fajtáihoz és_nem az ismérvek különböző fajtáihoz köti. Ezt a kiindulást elfogadva, megállapításai részben indokoltak. Az átlagszámításhoz felhasz—

_ got. Legtöbb esetben azonban az átlagszámitást megelőzi az adatoknak meny— , * *

' i nált adatok valóban származhatnak eredetileg idősorból, ritkábban területi ; , és minőségi sorokból is.

! Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapeet. 1959.

- azárt-Lac: ;

*A

_ ,,Nézeteltéréiseinkne " egy" része terminológiai különbségből adódik Dr; Laky Dezső la gya korisági sor fogalmát a mennyise gi sor fogaknanal—

tágabban értem—egi, Mennyiségi soroknak csak *az olyan sorokat tekinti, _

amelyeknél az ositályozáshoz felhas znált ismérv (az adatgyujte snél ismét

mennyiségi ismét,? volt, míg az eredetileg idő-, minőségi vagy teruleti sor

A formájában létező adat okból készített gyakoris ági sorokat nem tekinti m eny—r—

nyiségi soroknak. Ne m mennyiségi sor sze rinte például az a sta tisztikai sor!

amelyik az .1929wi9 38. évek 120 hónapjának megoszlását mutatja a napi

_ ( átlagos—'*gáztermelés szerint. (I. m. 48. old.) Aszerző ternnnologiaja szerint.

ez gyakorisági sor, de a mennyiségi, minőségi, teruleti es_ idosorok kozul egyikhez sem sorolható. Véleményünk szerint ez a termmologia azert is _ helytelen, mert vannak olyan mennyiségi sorok, amelyek ugyanakkor nem ? gyakorisági sorok,2 tehát a gyakorisági sor fogalmára, mint a mennyisegi;

sornál szűkebb fogalomra van szükség. A vitatott kérdés szempontjábólnez a terminológiai különbség azt eredményezi, hogy dr. Laky szemébencsok— ' ,—

ken ak'mennyiségi sorok jelentősége az' átlagszámítás szempontjabol es meg—;

növekszik ázwidősorok (valamint a többi sorok) jelentősége, minthogy sok, "

gyakorisági sofNüTi—gásg i, területi vagy idősor ; megam

, A terminológiai különbsé ?t kiküsi r. Laky megállapításai. ak egy

része egybevág tanulmány aléyíételeivel. z "

Az említett mű szerzője azonban olyan minőségi, területi és idősorok " § középértékeiről is beszél, amelyeket nem alakítottunk át gyakorisági sorra., ' Vizsgáljuk meg az ilyen köZépérték—számitások helyét a statisztika elmé—

M letében. * '

Valóban gyakran előfordul, hogy egy idősor adataiból átlagot számi—.

tunk. Magának az idősornak a szerepe ebben azonban egészen más, mint a , mennyiségi soré az annak alapján végzett átlagszámításban. A mennyiségi sor elemzése során végzett átlagszámításnál az osztályozás alapjául szolgáló * mennyiségi ismérv értékeit átlagoljuk, a sor tagjai pedig (vagyis a gyakori-- * ságok) a súlyok szerepét töltik be. Az idősorok esetében ennek az felelne _

"* _ meg, hogy az időbeli ismérv változatait, a ,,dátumoka " átlagolnánk, az idő—_ , sor tagjaival súlyozva. Ennek pedig nem sok értelme lenne. Az idősorok tag- jainak szokásos átlagolása -—-— a dolog lényegét tekintve ——- nem különbözik attól az esettől, amikor az idősor adatait gyakorisági sorba rendezzük és úgy számítunk átlagot. Hogy az idősor adataiból kiinduló átlagszámitást , megelőzi—e az adatoknak gyakorisági sorba való rendezése, az — saját ön—r * , kényes elhatározásunkon kivül -——'a csupán attól függ, hogy rövidebb vagy * * hosszabb—e az idősor. Akár átalakítjuk az idősort, akár nem, az átlagszámi— ' ' tás ténye az idősort, mint olyat, lényegétől: az időbeli változásoktól fosztja , meg. Ilyenkor az idősort nem mint idősort elemezzük, nem az időbeli válto— , zások érdekelnek bennünket, hanem éppen azok zavarják áttekintésünket' 5 Ilyenkor az időpontok (időszakok) válnak a Vizsgált sokaság 'egységeivé, az ' eredetiidősor számértékei pedig mennyiségi ismérvértékek. Az idősor ez esetben éppúgy csak statisztikai nyersanyag, mint a mennyiségi sorok össze—' állításához felhasznált kérdőívek tömege vagy egy lajstrom. Az idősor érté— _ kei az átlagolás előtt éppúgy felcserélhetők, mint a lajstrom adatai. Össze- 7 ';

foglalva: az átlagszámítás akkor is mennyiségi ismérvértékek átlagolására

irányul, ha a mennyiségi ismérv értékeit nem rendezzük mennyiségi sarba,

id !! Lásd például később az általunk értéküsszegsomak nevezett mennyiségi sorokat a a.

o aon. [

_

Mi,;

egy idős'íií' tagi es; , _

§ szem:)ontjábf _

akkor is ha ezek az értékek "ásza—életükben"-

eltétlenüi_ különbséget kell tehát tennünk az átlagszámitá

,a mennyiségi és az idősorok között. Az idősorOk és a középértékek Viszo— ' ; ;

nyara még visszatérünk. (26—29 oldal—.) 3 ,

Minőségi és területi sorok szintén átalakíthatók gyagkoriSági sorokká.,

Az átalakítást követő átlagszámítás' már mennyiségi ismerek,/értékek átlago—

;iását jelenti. Például az ország községeit lélekszám szerint csoportosítjuk és kiszámítjuk a községek átlagos lélekszámát, illetve megállaöítjukáa lélek- szám módtiszát és mediánját. Ebben az,—esetben a lélekszám a mennyiségi, '_ ismérv. Ha csak 10—20 város lakosainak számát átlagoljuk, .nem képezün

mennyiségi sort, de a lélekszám ez esetben is mennyiségi ismérv. Képtelen—

ség azonban az átlagszámitásnak az eredeti területi ismérvre való értelme—

,__§r,,z_ése. Nem lehet magukat a községeket átlagolni. Amikor dr. Laky területi

_ és minőségi sorok középértékeiről beszél, részben az átalakításokra 4—- vagy

( az ezzel szerintünk egyenrangú esetekre 4— gondol,_ más helyeken pedig

_ " helyesen kifejti, hogy a minőségi és területi sorok középértékeinek nem sok

, értelmük lenne. (Lásd i. m. 78. és 103. oldalát.) ,,f—f'"

A ,,minoségi sor o 6 átlagszámitásnak" Wsetét kell tisz- , táznunk. Tegyük fel, hogy adva va %% üzemben * szakmunkások és a se;

, gédmunkások száma (minőségisor), valM kategória átlagkeresete

(újabb minőségi sar). Kiszámítandó az összes munkások átlagos keresete.

Nyilvánvaló, hogy a rendelkezésre álló adatokhoz a vizsgált sokaságnak (az ' üzem munkásai) két ismérv szerinti megfigyelése útján jutottunk. Az egyik ismérv a munkások szakképzettsége (minőségi ismérv), a másik a munkások keresete (mennyiségi ismérv). A mennyiségi ismérv átlagos értékeit a minő- _8égi ismérv szerint képzett csoportokra vonatkozólag már kiszámították (a mennyiségi sorokból vagy az eredeti adatokból). A cél továbbra is a meny- '* ; nyiségi ismérv átlagos értékének megállapítása, most már a sokaság egé—

_ ',jszére nézve. E példa alapján sem lenne tehát helyes az átlagszámítást a mi- nőségi-sorok elemzése vagy méginkább a minőségi ismérvek szerinti elemzés eszközének tekinteni. '

Ezek után foglaljuk összes röviden a középértékek szerepét a mennyi- ségi sorok elemzésében.

vEgy statisztikai sokaságnak valamilyen mennyiségi ismérv szerinti tö—

_ ___mör jellemzése terén az első lépés a középérték meghatározása. E célra leg—

N gyakrabban a számtani átlagot alkalmazzuk. Sok esetben jó szolgálatot tesz—

* *nek még emellett a helyzeti középértékek is. A számtani átlag vezető szerepe egyszerűsége mellett elsősorban azon alapsZik, hogy a mennyiségi ismérv—

értékek összegezésének sokkal többször van tárgyi értelme, mint például azok összeszorzásának. Ez utóbbi esetben ugyanis a mértani átlag alkal—

Éj—mazása jogosult. (Mint később részletesebben rámutatunk, az alkalmazandó _átlagfajta kiválasztásának más szempontjai is vannak.)

* _ A középérték ,,eltünteti" az értékek különbözőségét. Ebben rejlik jel—

lemző ereje, de egyben e jellemző erő korlátozottsága is. Éppen ezért a 'sokaságnak a vizsgált mennyiségi ismérv szerinti tömör jellemzése terén általában meg kell tennünk egy második lépést is: a Szóródás nagyságának

* . megmérését.

— Minthogy tanulmányunk tárgya az átlagszámítás, felhívjuk a figyelmet arra, hogy a leggyakrabban használt szóródási mutatószámok maguk is átlagok. Az átlagos feltárás (6) az átlagtól való eltérések abszolút értékeinek számtani átlaga, a négyzetes

'AZATLÁGSZAMTAS * _ (, , , — _ 9

eltérés (a') pedig az átlagtól *való eltérések négyzetes átlaga. A két mutató képletei

egyszerű és súlyozott esetben: , , *

;; d 2 d ' mi ):faza

ö: ! !,illetveöz—É—I-f—Lésasl/ ,illetveo-zl/ .

n n Ef

%

ahol dum—55

Sok esetben a sokaság tömör jellemzése érdekében célszerű egy harma—

dik lépést is megtenni: a mennyiségi ismérv szerinti eloszlás képét is egy számba sűríteni az aszimmetria valamely mutatószámának kiszámításával,—

Leghasználatosabb az a mutatószám, amelyet a számtani átlag és a módusz (Mo) különbségének, valamint a négyzetes eltérésnek a hányadosaként nyerünk:

É—Mo A:—————————

(T

Ez a mutatószám is többszörösen magában foglalja az átlag, illetve a középérték fogalmát, hiszen kiszámításakor két középérték különbségét osztjuk az átlagtól való

eltérések átlagával. ,

b) Néhány vitatott kérdés

A statisztika gyakorlatát, a tankönyveket és az elméleti vitákat átte—

kintve jelenleg a szocialista statisztikában találhatunk néhány problémát a középértékek alkalmazását illetően. Nincs teljes egyetértés egyes számított középértékek használata, valamint az eloszlástipus vizsgálatának szükséges-

sége tekintetében. E két kérdés össze is függ egymással.

A négyzetes átlag alkalmazása általában nem Vitatott: ennek az átlag—

' típusnak a használata a szóródásszámitásra korlátozódik.

Nem problématikusak a mértani és a harmonikus átlag alkalmazásának egyes olyan esetei, amikor az átlagolandó értékek szorzatának, illetve az átlagolandó értékek reciprokai összegének van kétségtelenül tárgyi értelme.

Ezek az esetek azonban a mennyiségi sorok formájában jelentkező átlagolási feladatoktól —- legalábbis jelentkezési formájukat tekintve —— jelentősen különböznek (ezekre később még visszatérünk). Ez a körülmény sakakban annak a nézetnek a megszilárdulását segíti elő, amely szerint mennyiségi sorokból soha sem helyes mértani vagy harmonikus átlagot számítani.

Nem annyira kifejtett véleményekből, mint inkább a téma mellőzéséből lehet arra következtetni, hogy az eloszlástipus vizsgálatát sokan a szocia- lista statisztikától idegennek tartják. Feltehetően attól tartanak, hogy az ilyen vizsgálat a forma előtérbe helyezését jelentené a tartalommal szem—

ben. Pedig a statisztikai sorok ,,tartalma" részben az eloszlástípus ,,formá—

- jából" hámozható ki.

a Az eloszlástípusokat a matematikai statisztikából ismert eloszlásgörbék alapján különböztetjük meg. A statisztika gyakorlatában ténylegesen tapasz—

talt eloszlások sohasem felelnek meg tökéletesen valamelyik matematikai görbének, de a gyakorisági soroknak igen nagy hányada ,,emlékeztet" ezekre a görbékre. Ennek az az oka,, hogy a gyakorisági sorok mögött álló jelenség létrejöttében közreműködnek az anyagi világ olyan törvény'szerűségei is,

amelyeknek megmagyarázása a valószínüségszámítás segítségével lehet-

séges.

A szocialista statisztika egyes művelői régebben azt gondolták, hogy ha a nagyszámok törvényét, illetve általában a valószínűségszámítást fel- használjuk bizonyos társadalmi—gazdasági jelenségek megmagyarázásánál;

lO * :— . ; " aim. Köves" AL

akkor ezt csak a társadalmi és gazdasági élet törvényeit feltáró tudományok rovására, azok háttérbeszorítása árán tehetjük meg. E nézet hívei a nagy—

számok törvényét ,,átengedték" a természettudományok művelőinek (és a polgári statisztikusoknak). A nagyszámok törvénye azonban a természeti jelenségek területén sem érvényesülhet önmagában, a fizikai, biológiai stb.

törvényektől függetlenül. A társadalmi és természeti tömegjelenségek tar- talmát meghatározó társadalmi és természeti törvények egyfelől, a társa—

dalmi és természeti tömegjelenségek érvényesülési módját, megnyilvánulási formáját meghatározó ,,matematikai" törvényszerűségek másfelől, egyide—

jűleg hatnak; az egyik nem érvényesülhet a másik nélkül. A véletlen tömeg- jelenségek törvényszerűségeinek szem előtt tartása nem szeritja háttérbe a természet— és társadalomtudományokat, ellenkezőleg, azok hatékonyságát növeli. (Természetesen a Véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek szerepe — a sok hasonlóság mellett —— nem egyforma a természetben és a társadalomban. Erre itt nem térhetünk ki részletesebben.)

Véleményünk szerint a szocialista statisztika művelőinek a jövőben nagyobb figyelmet kell fordítaniok a véletlen tömegjelenségek törvény—

szerűségeire, illetve —— ezenbelül —— az eloszlástipusok vizsgálatára.

Az alkalmazandó átlagtipus kiválasztásának, valamint az eloszlástípus vizsgá- latának problémája —- mint már említettük —— összefügg egymással. A középértékek egymáshoz való viszonya ugyanis részbeni; függ az eloszlás típusától. Szimmetrikus gyakorisági sorokban (ezeknek legfontosabb típusa az,. amelyik a matematikai statisz—

tikából ismert normális eloszlásra emlékeztet) x :: Mo : Me (Me : medián), vagyis a számtani átlag egyben az értékek sűrűsödésének helye is, továbbá egyben az a középső érték is, amelyiknél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb érték fordul elő. Aszim—

metrikus gyakorisági soroknál a számtani átlag és a helyzeti középértékek nagyság—

rendje Mo ( Me ( a: (baloldali aszimmetria) vagy x ( Me (. Mo (jobboldali aszim—

metria). Ezért az aszimmetria fent közölt mutatószáma (A) baloldali aszimmetria ese—

tében pozitív, jobboldali aszimmetria esetében negativ előjelű. A számtani átlag és a módusz különbségének (illetve e különbség a-hoz való arányának) abszolút értéke annál nagyobb, minél jobban eltér a gyakorisági sor képe a szimmetriától.

Az aszimmetrikus gyakorisági sorok mögött álló matematikai eloszlások több—

félék. Nevezetes baloldali aszimmetriájú típus például az ún. lognormális eloszlás.

Ha ilyen típusú eloszláshoz tartozó értékek helyett azok logaritmusainak eloszlását vizsgáljuk, akkor teljesen szimmetrikus (mégpedig normális) eloszlást kapunk. Ezen összefüggés, a szimmetrikus eloszlások tulajdonságai (x : Mo), valamint az 1. tábla utolsó sora alapján belátható, hogy a lognormális eloszlás módusza egyenlő az ere- deti értékek mértani átlagával. Ha tehát az elemezni kivánt gyakorisági sor közel áll a lognormális típushoz, a mértani átlag kiszámításával egyben tipikus értékhez is jutunk, s így a kiszámított átlag egyaránt rendelkezik a számított és helyzeti középértékek bizonyos előnyeivel. A mértani átlag kiszámítása ilyenkor elősegítheti az elemzés elmélyítését, akkor is, ha az átlagolandó értékek szőrzatának nem lehet tárgyi értelmet tulajdonitani. Lognormális típushoz tartozó eloszlásoknál rendszerint a vizsgált jelenség természetének ismeretében -— a statisztikai adatoktól függetlenül is — belátható, hogy az eltéréseket előidéző tényezők a tipikus értéktől lefelé és fel—

felé nem abszolút értelemben egyenlő, hanem viszonylagosan egyenlő eltéréseket (le—

felé és felfelé egyenlő százalékos arányban) idéznek elő. Általában az eloszlástípus nem valamiféle külső forma, ami független a vizsgált jelenség természetétől, hanem éppen abban gyökerezik.

A mértani átlag alkalmazását ezek szerint nemcsak az átlagolandó értékek szi- gorú szorzatszerű összefüggésével lehet indokolni. E cikk szerzőjének már volt al—

kalma a Statisztikai Szemle hasábjain foglalkozni a mértani átlag alkalmazásávall, ezért most e helyen erre a témára nem térünk ki bővebben.

! A számított közepét-tékek egymás közötti nagyságrendje állandó: E,, (3; (E (ia.

' Lásd Köves Pál: A mértani átlag statisztikai alkalmazásai. Statisztikai Szemle, 1957. évi 4———5. sz. 303—332. old.

Az AmAGsZAmTAs

Konstruálható olyan eloszlás is,aamelyhez tartozó értékek reciprokai mutatnak %;

normális eloszlást. Az ilyen -— szintén baloldali aszimmetriájú —- eloszlások hamm—3 nikus átlaga ad tipikus értéket. (xh—._ Mo).

A statisztika gyakorlatában előforduló eloszlások'nak igen nagy hányada ?

mutat baloldali aszimmetriát. Az asszimmetria több fontos társadalmi, köz—rif—

gazdasági törvényszerűség statisztikai kifejeződése. így például a társadalom *

osztálytagozódása is ezek közé tartozik. A kapitalista országokban a jöve—,, _' delemeloszlás vagy például a mezőgazdasági birtokmegoszlások stb. rendkivül éles aszimmetriát mutatnak. A szocialista társadalom nem antagonisztikus ellentmondásai is aszimmetrikus sorokat eredményeznek (például a fizikai és a szellemi munka ellentétének hatása a jövedelemeloszlásra), de az aszim— ?

metria foka ezekben a sorokban jóval kisebb. " !

Annak illusztrálására, hogy az eloszlás vizsgálata és az aszimmetria s, mérése nem formális játszadozás, hanem a valóság feltárásának hatékony, _ eszköze, itt csupán egy sematikus példa bemutatására szorítkozunk. Tegyük * fel, hogy egy kapitalista és egy szocialista országban egyenlő az egyéni : jövedelmek átlaga. A jövedelmek eloszlását az alábbi ábra szemlélteti. Az eloszlástipus, illetve azon tények ismerete alapján, melyek az eloszlástípus—Ú ban kifejezésre jutnak, fontos következteteSeket tudunk levonni arra vonat-

kozólagíhogy hogyan élnek a szóbanlevő kapitalista és szocialista állam' ' polgárai. Amellett, hogy az átlagos jövedelem a két országban egyforma, a — dolgozó tömegek életszínvonala szempontjából a következő két lényeges

(!!!,-

különbség állapítható meg.

4 !

§ ;

!: § mra/J' M MM

§ .

; x;

, l

!

m m ! 17-09 6 _ így!/ll 14;me

; _

%

§

:; szazat/sm 00.215

§.

§

%

%

[pw/lővedekm

' Az aszimmetria mögött meghúzódó társadalmi, közgazdasági törvényszerűségek mélyebb

vizsgálata nem tér el ennek a cikknek a keretei között, azért itt csak egészen altalanos mes—

éllopltásokat tettünk.

;

f ; 1; A szocialista országban kisebb a jövedelmek sz'őródása. Ebből köVet—

kezik, hogy azonos átlagjövedelem mellett a szocialista országban magasabb, ,a minimális jövedelem, mint a kapitalista országban.

2. A szocialista országban kisebb a jövedelmekaszimmetriája is. Ebből ÉÖköVetkezik, hogy azonos átlagjövedelem (egy főre jutó jövedelem) mellett a szocialista ország tipikus jövedelme (a jövedelem módusza) magasabb a kapitalista ország tipikus jövedelménél.

A jövedelemeloszlások összehasonlítása tehát világosan szemlélteti, hogy a szocialista társadalom már a termelőerők fejlettségének azonos szin- _, vonala mellett is jobbkanyagi életkörülményeket tud biztosítani a dolgozó

tömegeknek, mint a kapitalizmus. A statisztika elmélete szempontjából

Ú nézve ez a példa is azt igazolja; hogy a statisztika által vizsgált társadalmi—

í , gazdasági jelenségek belső törvényszerűségei nemcsak olyan egyszerű és könnyen értelmezhető statisztikai mutatószámokban tükröződhetnek, mint : a viszonyszámok vagy átlagok, hanem például az eloszlástipusokban vagy

* az azokat jellemző ,,matematikai statisztikai" jellegű mutatószámokban ' (mint amilyen például az aszimmetriának korábban ismertetett mutató- , '--'*száma) is. Az ilyen vizsgálatoktól való húzódozás tehát indokolatlan.

c) AtlagSZárgiitás és csoportosítás _

Ismeretes, hogy az átlag csak: minőségileg egynemű sokaság jellemzője lehet. Ez az egyneműség viszonylagos. Bizonyos értelemben vett egynemű—

-—lj'g'ség mellett lényeges minőségi különbségek is fedezhetők fel egyes sokasá-

gokban. !

A heterogenitás általában az eloszlástípusban is kifejezésre jut. A nor- mális eloszlású sokaságokat általában egyneműeknek tekintjük, bár ilyen sokaságoknál is lehetséges minőségi kategóriák képzése. Például felnőtt _; ' férfiak vagy nők testmagasság szerinti eloszlása megközelítőleg normális,

! mégis helyénvaló alacsony, közép és magas termetű emberek megkülönböz- tetése. A különneműség tipikusabb eseteit azonban inkább az aszimmetrikus

*: eloszlások, főképpen pedig az olyan gyakorisági sorok jelentik, amelyeket mi ,, ',összetett gyakorisági soroknak fogunk nevezni, s amelyekre vonatkozólag a matematikai Statisztikában leginkább a keverékeloszlás elnevezés használatos.

Az aszimmetria sok esetben bizonyos különneműségre hivja fel a fi—

gyelmet. Például a kapitalista országok erősen aszimmetrikus jövedelem- ' eloszlása mögött a társadalom osztálytagozódása, vagyis igen lényeges , heterogénítás áll. Az ilyenfajta heterogénítás a számtani átlag és a helyzeti

W

; középértékek éles ellentmondásában is kifejezésre jut.

A különneműségnek formailag is legvilágosabban felismerhető esete 'az, amikor a vizsgált mennyiségi ismérv szerinti eloszlás grafikus ábrája több helyen is rendelkezik (a környezethez képest) maximummal, vagyis az ún. főmóduszon kívül egy vagy több mellékmódusz is van a gyakorisági

sorban. Az ilyen sorokat nevezzük összetett gyakorisági soroknak, mert ezek

általában felbonthatók egy módusszal rendelkező, szimmetrikus vagy aszim—

metrikus eloszlásokra. (A 25. oldalon levő ábra két összetett gyakorisági _, sor görbéjét mutatja be.) A felbonthatóságnak az a x'feltétele, hogy fel—

, ismerjük azt a minőségi (vagy másfajta) ismérvet, amelyik a heterogénitást , ,elöidézte, továbbá, hogy az adatgyűjtés lehetővé teszi a csoportosítási; ezen ismérv szerint. A természettudományokban és a műszaki vizsgálatoknál (például minőségellenőrzés) gyakran adódnak világosan felismerhető keve—

a

Az'A'rLAGszANiITAs ' 1 ; * , ,' , - , * j _ "133:-

rékeloszlások, amelyek könnyen bonthatók fel két vagy több — sok esetben—__

normális -—- eloszlásra. A társadalmi-gazdasági statisztika összetett gyako—_ ;;

risági sorai általában nehezebben kezelhetők.

Hejerogén sokaságok vizsgálatánál a sokaság egészére vonatkozó álta-";

lános átlag mellett a minőségileg egynemű részsokaságokra is kell átlagot'f számítani. Összetett gyakorisági sorok esetében ez akkor lehetséges, ha a [ fent említett felbontás sikerül. Aszimmetrikus eloszlásoknál a számtani, ;, átlag és a helyzeti középértékek szembeállítása esetleg elegendő lehet a , sokaság egészének jellemzésére, de itt is lehetséges, sőt gyakran szükséges _ a csoportátlagok számítása. Hogy a csoporthatárokat hol kell megvonni, arra nézve a vizsgált ismérven kívül más tények, a vizsgált jelenség termé-' szetének ismerete szükséges. A kiegészítő információk azonban szükség-' szerűen összhangban vannak az eloszlás képe alapján megállapítható tényekkel. így például nyilvánvaló, hogy a sokaság fő csoportját egy olyan részsokaság képezi, amelynek átlaga kb. egybeesik az eredeti eloszlás ma- duszával. Például a kapitalista országok jövedelemelosz'lása esetében a dol—

gozók átlagos jövedelmeközel áll az egész népesség tipikus (modális) jöve— .

delméhez. *'

A csoportátlagszámítás tulajdonképpen a statisztikai elemzés jelképes épületének már nem első, hanem második (vagy még fentebbi) emeletére tartozik, amennyiben a mellett a mennyiségi ismérv mellett, amelyiknek átlagát kiszámítjuk, más ismérvre (vagy _ismérvekre) is kiterjed a vizsgálat., * Véleményünk szerint bizonyos zavart okoz a tankönyvekben, ha a csoport— ; átlagszámítással összefüggő problémákat az ,,első emelet" teljes áttekintése

előtt tárgyalják.

2. ATLAGOK ÉS VISZONYSZÁMOK

a) Számtani átlag és intenzitást viszonyszám

Az átlagszámítás egyes problémáit az elmélet művelői, illetve a tan-

könyvek szerzői sok esetben nehezen tudják ,,helyükre tenni". Ennek töb-j

bek között az az oka, hogy nem választják külön világosan az%kat az esete—

ket, amelyek az átlagszámitás és a viszonyszám-számítás kapcsolatából adódnak. Átlagok és viszonyszámok között többféle vonatkozásban állanak

" fenn kapcsolatok. Az egyik ilyen kapcsolat a számtani átlag és az intenzitást viszonyszám közötti ,,rokonság". A számtani átlag kiszámításának utolsó lépése, --—- az ismérvértékek összegének a sokaság tagjai számával való eI— ' osztása —— hasonlit az intenzitási viszonyszám számításához, ami —- mint ismeretes —— két különböző fajta, de egymással kapcsolatban álló statisztikai adatnak egymással való elosztásából áll.

Vannak olyan statisztikai mutatószámok, amelyeket a számítás mód-4 jától függően tekinthetünk számtani átlagnak és intenzítási viszonyszámnak is. Ilyen például egy iparvállalat munkásainak átlagbére, ami az egyes mun-"

kások béréből számított számtani átlag, de lehet az összes kifizetett bér (bér— _ alap) és a munkáslétszám hányadosaként képzett intenzítási viszonyszám 1s,í - Ugyanakkor vannak olyan mutatószámok, amelyek az átlagok és az inteni- '

e

(, tási visznnyszámok két nagy (körének, egyikéhez tartoznak, határozottan-.

xAz átlagos életkor például átlag és nem intenzítási vi'szonySzám, mert ki—

[számításánál az életkorok összegét nem kaphatjuk meg készen, annak ön—

gmagában nincs is különösebb értelme. Az egy munkásra jutó termelés vi—

szont tipikus intenzitási viszonyszám, mert az egyes munkások által termelt mennyiség vagy érték a gyakorlatban nem ismeretes, sőt a modern társa- dalmi termelésben elméletileg sem tulajdoníthatjuk a létrehozott termékek—

"? 1 nak pontosan meghatározott részét egy-egy munkás termékének. Mégis [vannak nagyobb és kisebb termelékenyseggel dolgozó munkások. A mun—

kások meghatározott sokaságára vonatkozó termelékenységi mutatószám

; tehát — mint minden intenzitási viszonyszám —- rendelkezik bizonyos átlag—

f jelleggel. A termelékenységi mutatót átlagnak felfogva az össztermelést _ mennyiségi ismérvértékek össZegének tekintjük, a létszámot pedig a vizsgált

sokaság tagjai számának. Az intenzítási viszonyszámok kevésbé szélsőséges x ,példáinál ez a felfogás szorosabban fedi a valóságot. Például a népsűrűség

; (egynégyzetkilométerre jutó lakosok száma) sZámitásanál elméletileg min-

*clen nehézség nélkül elképzelhető, gyakorlatilag nem lehetetlen (de ugyan- '.'_:—:akkor nem is célszerű) az ország területének egy négyzetkilométeres parcel—

_, Iákra való felosztása és ezek lakóinak megszámlálása, majd az így kapott

adatok átlagolása. ' e

__ — Az intenzitási viszonyszámok nagy részénél a két egybevetendő adat _rbármelyike tekinthető a sokaság tagszámának, illetve ismérvértékek ösz- ' szegének. Ennek az a következménye, hogy a viszonyszám kétféleképpen is

*kiszámítható. Például a népsűrűség nemcsak az egy négyzetkilométerre jutó lakosok számával, hanem az egy lakosra jutó területtel is jellemezhető.

Az előbbi a népsűrűségnek egyenes, az utóbbi pedig forditott mutatója.

_A termelékenységre vonatkozólag fordított mutató például az egy termék- egységre jutó munkaórák száma. Ez esetben felfogásunk szerint nem a mun—

kaórák tulajdonsága? az, hogy termékeket eredményeznek, hanem a termé- , kek tulajdonsága, hogy munkaidőttigényel elkészítésük. Egyszerűbb esetek- ben az elemzés célja egyenes és forditott mutatókkal egyformán elérhető.

, " Csupán azt kell tudni, hogy a fordított mutató növekedése az egyenes ,mutatószellemében definiált jelenség szinvonalának csökkenését jelenti és viszont. Később látni fogjuk, hogy bonyolultabb elemzésekben nem mind- egy, hogy az_ egyenes vagy a fordított mutatóból indulunk ki, vagyis nem mindegy, hogy mit tekintünk megfigyelendő sokaságnak.

;_ Az intenzitási viszonyszámoknak átlagként való felfogása felveti azt a gondolatot, hogy ahol átlagot számítunk, ott helyzeti középértékeketiis álla—

' píthatnánk meg, a szóródást is vizsgálhatnánk és az eloszlástípust is tanul—

, mányozbatnánk. Érdekes, lenne ezeknek a vizsgálatoknak az elvégzése pél—

f , dául a népsűrűség számításánál. Ilyen módón olyan következtetésekhez is ' eljuthatnánk, amelyekhez a kisebb földrajzi egységekre (például megyékre) számitott viszonyszámokkal vagy az ún. tisztított népsűrűségi mutatókkal esetleg nem tudnánk eljutni. Gyakorlati nehézségek miatt az intenzítási viszonyszámok által vizsgált jelenségek kiestek a gyakorisági sorok elem—

- zésére szolgáló eszközök alkalmazási köréből. Nagyobb baj, hogy ennek kö- , rvetkeztében a statisztikusok sokszor nem is gondolnak például arra, hogy a ,' cukor, a tej- stb. fogyasztás módusza (a tipikus fogyasztás) esetleg más ten- denciát mutatna a területi és időbeli összehasonlításoknál, mint amit az egy _— _főre jutó mennyiségek összehasonlítása mutat; A gyakorlati nehézségeket

*

' reprezentatív felvételekkel sok esetben ki lehetne, küszöbölni, de ennek elö feltétele, hogy az ,,eloszlás—szemlélet" 'az eddiginél nagyobb teret hódítson a statisztikusok szakismereteiben. Korábban már rámutattunk, hogy ez "

eloszlás-szemlélet a gyakorisági sorok elem'zésének ,,klasszikus" területei is —- ahol az előbb említett gyakorlati nehézségek nemi állanak fenn

eléggé háttérbe sZorult. Lehet, hogy ennek egyik oka éppen az, hogy a tár—f

sadalmi—gazdasági jelenségek területén az intenzitási viszonysz'ámok számi—

tásának sokkal nagyobbak a lehetőségei, mint a ',—,valódi" átlagoké és így a?

statisztikusok ,,elszoktak" a gyakorisági sorok elemzését'ől. (Véleményünk,

* szerint a statisztika gyakorlatának több fontos területén jelentős mértékben- . lehetne gazdagítani az elemzés módszereit, ha az intenzitási viszonyszámok

_átlagjellegéről kevésbé feledkeznénk meg és kellően levonná—nk ennek kö—

vetkezményeit. - _

b) Az összetett viszonyszámok és indexek mint átlagok

Az átlagszámitásnak és a viszonyszám-számításnak előbbiekben tár—'

gyalt kapcsolata az átlagok közül csak a számtani átlagot, a viszonyszámok közül csak az intenzításiviszonyszámot érintette. Van azonban az elemzési eszközök két nagy családja között olyan'kapcsolat' is, amelyik mindenfajta,

viszonyszámra vonatkozik és a számtani átlag mellett a harmonikus átlagot is érinti. Ahhoz, hogy ezt a kapcsolatot megtaláljuk, ismét fel kell mennünk a statisztikai elemzés jelképes épületének második emeletére, _ahol a két:

ismérv szerinti elemzést igénylő feladatok otthonosak. " — A dinamikus viszonyszámok számítása az időbeli ismérvek szerinti elemzés (idősorok elemzésének) eszköze. Ha egy ———_mondjuk —-_—- minőségi, ismérv szerint csoportosított sokaság nagyságának időbeli változását vizs—f gáljuk, akkor a vizsgálat két ismérv: egy időbeli és egy minőségi) iSmérv szerint történik. A sokaság egészére számitott (dinamikus) viszonyszámotx összetett viszonyszámnak,_ az egyes csoportokra számított (dinamikus) vi—

szonyszámokat pedig részviszonyszámnknak neveZhetjük. így például a Z., * tábla utolsó oszlopában 7 részviszonyszámot és -—— legalul —-— egy összetett

viszonyszámot találunk. '

,, :. tábla

A szocialista kiskereskedelem boltjaínak száma Budapesten*

1952. 1957. 5 1957. évben az

1052.évlszáza— '

Megnevezés év végén _ lékábam

(B) (A) (V)

Élelmiszer-boltok ... 3741 ; 3961 * ma

Ruházati boltok . . ... 327 418 128

Vegyiáru boltok ... 278 301 108 Vaa— és műszaki áru boltok ... _. . . . 125 186 149 Különféle iparcikk boltok ... 328, 385 117 *

Vendéglátóhelyek ... . 1167 1702 V 146

Egyéb ... 1729 1011 58 _

; Óba—rum 7695 7964

' - 1035

* Forrás: Statisztikai Szemle. 1960. évi 3. sz. 276. old.

Azösszehasonlítás terrnészetesen nemcsak időben törtenhettehát —

[cask a dinamika viszonyszámok területén lehet összetett és reszviszonym

számokat szamitani.

A vizsgált sokaság egyes csoportjaiban a viszonyítás tárgyának adatát A—val, a **

Viszonyítás alapjának adatát B—vel, a viszonyszámot V—vel jelölve a részvisz'onyszá—

ának képlete: V -— A/B, az összetett viszonyszám (V) képlete (és kiszámítása példánk—

an)

? ): A _3961 4— 418 .;- 301 _:— 186 4- 385 44702 4-1011 w964 31035 % 1

— 23 337414- 327 4— 278 4— 125 4, 328 4— 1167 4— 17292 7695 ' í !

Minthogy a részviszonyszám képletéből A :: BV és B——— A/V, az összetett Vi-

szonyszám így is felírható (és kiszámítható): *

"* __. ZBV

EB

s3741-1436-1—327 l,28-!—278 Los-4425 l,49—f—328 Liu—1167 i,46—4—1729-o,5s % 37414-3274—278-3-125—1—328-4—11674-1729

WWW 1035 * , ' 2

* 7695 "_ ' ( l l

_. EA 3961 418 301 186 385 1702 1011 * 7964 ) _ * A 3961 418 * 301 * 186 * 385 _!" 1702 * 1011 7695

v Los * 1,28 1,08 1,49 1,17 l,46 0,58

É

j? Az összetett viszonyszám tehát háromféle formában számítható ki: 1.

agregát, 2. súlyozott számtani átlag, 3. súlyozott harmonikus átlag—formá—

ban. Az ,,agregát forma" elnevezést a szakirodalorn csak az indexszámítás _' szerűbb összetett viszonyszámokra vonatkoztatva is meghonosítani. Hozzá- tehetjük, hogy itt nemcsak az elnevezés problémájával állunk szemben.

*A tankönyvek általában egyáltalán nem foglalkoznak külön az öSSZetett viszonyszámokkal, a számitásukkal kapcsolatos problémák legtöbbször keve—

rednek az átlagszámítás más természetű kérdéseivel.

_ Az indexszámitásban a fentihez hasonló módon tudjuk az agregát for-—

mában adott képleteket átlag-formájú képletekké átalakítani

Az összetett viszonyszámok és indexszámok átlag-formáinak megem—

lítésével az átlagszámitás újabb területére jutottunk el. A megfelelő átlag- típus kiválasztása szempontjából ez az atlagszámitás legkevésbé problema—

tikus területei közé tartozik. Ha ugyanis sikerül felismerni, hogy a rendel-e

* kezésünkre álló adatok közül melyek felelnekfmeg a fenti képletek A, Bés V jeleinek, akkor mechanikusan adódik az alkalmazandó forma, illetve átlagfajta. A mechanikus szabály — mint az a közölt képletekből is kiderül

—— úgy szól, hogy ha az A és B abszolútszámokat ismerjük, akkor agregát

* formát használunk, ha pedig a V részviszonyszámok mellett valamely ab—

szolútszám—sort ismerünk, akkor az részviszonyszám nevezőivel (B) súlyo- zott számtani, vagy; a számlálókkkal (A) súlyozott harmonikus, átlag adja meg az összetett viszonyszámot.

—A megfelelő átlagfajta alkalmazásánakmez a mechanikus szabálya -—-'—

' továbbá annak szem elől tévesztése, hogy az összetett viszonyszámok szá-—

mítása a számtani és a harmonikus átlag számításának csak egyik területe területén alkalmazza. Célszerű azonban ezt az elnevezést az indexeknél egy—* '

_ha_—k.,,MM-.....__,...._...u—l.

az Ameszamu—As . 17 ' "

—— néhány tévhitnek is forrásává yált. Egyes statisztikusok azt (gondolták,

hogy ha ,a harmonikus átlagszámítás eredménye egyenlő a számtani átlag-

— számítás eredményével, akkor a harmonikus átlagra nincs szükség. Olyan megfogalmazással is találkozhattunk, hogy a harmonikus átlag a számtani átlagnak egy átalakított formája, egyesek a harmonikus átlagnak, mint önálló átlagfajtának a létezését is tagadták.3 Tévedésük gyökere az volt, hogy figyelmenkivül hagyva az összetett viszonyszámok fogalmát, nem vették észre, hogy az alapforma ebben az esetben nem a számtani átlag, hanem az agregát forma, amelyre mindkét átlag-forma egyenrangúan visszavezethető. Végül a mechanikus szabályok létezése sokakban azt a nézetet kristályosította ki, hogy az egyes átlagfajták alkalmazását minden egyes esetben ilyen mechanikus szabályok határozzák meg.

Egy 1956. évi szovjet tankönyv7 a számtani és harmonikus átlag—

számítást egy öszetett intenzítási viszonyszám példáján mutatja be. (Adva van egy kolhoz három kísérleti parcellájának gabonatermése és vetésterü—

lete. Kiszámítandó az egyes parcellákra, illetve a parcellák összességére vonatkozólag a hektáronkénti termésátlag. A tankönyv bemutatja a súlyo—

zott számtani átlagként és a súlyozott harmonikus átlagként történő kiszá—f mítást.) A példából úgy tűnik, mintha ez lenne az átlagszámitás legjelleg—

zetesebb esete. Véleményünk szerint célravezetőbb volna a tárgyalást az átlagszámitás közönséges eseteivel kezdeni, továbbá először az egyszerű és * csak azután a súlyozott átlagokat ismertetni. Az összetett viSZOnyszámok számítását csak azután ajánlatos tárgyalni, amikor már a viszonyszámok és az átlagszámítás fogalma egyaránt ismeretes. Véleményünk szerint sok za— _ vart okoz, ha az összetett viszonyszámok számításával kapcsolatos problé—

mákat nem választjuk el világosan az átlagszámítás más problémáitól, vagyis, ha jelképes épületünk második emeletét összekeverjük az elsővel.

A fent említett ,,első és második emelet" erélyes szétválasztása után azonban arra is felhívjuk a figyelmet, hogy helytelen lenne azt gondolni, hogy az összetett viszonyszámok és indexek számítása messze esik a meny—

nyiségi'ismérv szerinti elemzés, illetve a mennyiségi sorok elemzésének gondolatkörétől. Az összetett dinamikus viszonyszámok (számtani vagy har- monikus) átlag formában történő kiszámítását megelőzi az egyes csopor—

tokra vonatkozólag a dinamikus részviszonyszámok kiszámítása. Ezek a viszonyszámok az időbeli ismérv szerinti összehasonlítás számszerű ered- ményét fejezik ki. Ezek a számszerű adatok a még ezután kiszá—mítandó összetett viszonyszám körül szóródnak. Viselkedésük minden tekintetben megfelel a mennyiségi ismérvértékek viselkedésének. Ha a részviszony- számok száma elég nagy, gyakorisági sorba is rendezhetjük azokat. Az idő——

beli változás mértéke —— a viszonyszámok kiszámítása folytán —-- mennyi—

ségi ismérvvé változott. (Ez az átváltozás akkor is bekövetkezik, ha a gya—

korisági sort nem készítjük el.) Az átlagszámitás tehát a ,,második emele—

ten", is a mennyiségi ismérvek szerinti elemzés eszköze. Példaké'ppen be—

mutatjuk egy képzeletbeli iparág termékeinek és 1958. évi termelési érté—

kének megoszlását a termelés mennyiségének változása szerint. Az adatokat

8 Lásd például Kende-Kuhn: Grundlagen der statistik für Wirtschaftler, Berlin, 1956. Ver- lag: Die Wirtschaft, 150, old.

' Sztatisztika. Goszsztatizdat. Moszkva, 1956.

2 Statisztikai Szemle