MIKROÖKONÓMIA I.
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén
az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet
és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: K®hegyi Gergely és Horn Dániel Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely
2010. június
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
MIKROÖKONÓMIA I.
8. hét
Árváltozás helyettesítési és jövedelmi hatása
K®hegyi Gergely, Horn Dániel
A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely
Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON- könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.
http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.
Helyettesítési és jövedelmi hatás
Jövedelemkompenzációs megközelítések
Ha a kormányzat bizonyos társadalmi csoportoknál egyösszeg¶ támogatással kompenzálni szeretné azt az árnövekedés okozta hatást, amelynek következtében a fogyasztók rosszabb helyzetbe kerültek, akkor mit tegyen?
Árváltozások kétféle hatása
Az árváltozások fogyasztói keresletre gyakorolt hatása két összetev®re bontható:
• A Px csökkenése növeli a reáljövedelmet. A fogyasztó megveheti ugyanazt a jószágkosarat, amelyet az árváltozás el®tt vásárolt, és még marad valamennyi jövedelme. Ha az X magasabb rend¶ jószág, a fogyasztó a többletjövedelem egy részét több X jószág vásárlására fogja fordítani. Ezt nevezzük a Px
csökkenés jövedelmi hatásának.
• Ezenkívül alacsonyabb Px mellett a helyettesítési egyensúlyi egyenl®ségb®l az következik, hogy a fo- gyasztó akkor is több X jószágot vásárolna, ha a reáljövedelem vagy a hasznosság ugyanaz maradna.
Ezt nevezzük az árváltozás tiszta helyettesítési hatásának.
Hicks-féle felbontás
A jövedelem és a Py ár változatlansága mellett aPx ár csökkenése miatt a költsegvetési egyenes aKL helyzetb®l a KL0 helyzetbe tolódik. Mivel S magasabb közömbösségi görbén fekszik, a reáljövedelem n®.
Létrehozunk egy olyan mesterséges M N költsegvetési egyenest, amely párhuzamos a KL0-vel és érinti az eredeti U0 közömbösségi görbét. Az árváltozás jövedelmi hatása tehat xS −xR, és az árváltozás tiszta helyettesitesi hatásaxR−xQ.
Hogyan lehetséges Gien-eset?
Egy Gien-jószágnak rendelkeznie kell a következ® tulajdonságokkal
• Alacsonyabb rend¶nek kell lennie, hogy az árváltozás jövedelmi hatása negatív legyen.
• A jövedelmünk nagy hányadát kell a jószágra költenünk. Ez teszi a szokatlan jövedelmi hatást nagy- mérték¶vé. (Nagynak kell lennie, hogy túlsúlyba kerüljön a tiszta helyettesítési hatással szemben.) Az eredeti magas kenyérár mellett a költségvetési egyenes KL, és a fogyasztói optimum a Q pontban van. A kenyér árának csökkenése a költségvetési egyenest aKL0 helyzetbe fordítja el. Ekkor a fogyasztó elegend®en gazdag ahhoz, hogy kevesebb kenyeret és több húst válasszon azSpontbeli optimumban. AQ-ból S-be történ® elmozdulás egy kicsiny (a Q-ból R-be történ® elmozdulással egyenl®) helyettesítési hatásból, valamint egy nagymérték¶ negatív jövedelmi hatásból (az R-b®l S-be történ® elmozdulás) adódik össze.
Ehhez a Gien-jelenséghez a kenyérnek igen er®sen alacsonyabb rend¶ jószágnak kell lennie.
A Szluckij-tétel
Hasznosságmaximalizálás
• Célfüggvény: U(x, y)→maxx,y
• Korl. felt: pxx+pyy=I Lagrange-függvény
L(x, y, λ) =U(x, y)−λ(pxx+pyy−I)
• ∂L∂x = ∂U∂x −λpx= 0
• ∂L∂y = ∂U∂y −λpy= 0
• ∂L∂λ =Pxx+Pyy−I= 0
Marshall-féle keresleti függvények
xM(px, py, I) yM(px, py, I) Kiadásminimalizálás
• Célfüggvény: pxx+pyy→minx,y
• Korl. felt: U(x, y) = ¯U =U(x0, y0) Lagrange-függvény
L(x, y, λ) =pxx+pyy−λ(U(x, y)−U¯)
• ∂L∂x =px−λ∂U∂x = 0
• ∂L∂y =py−λ∂U∂y = 0
• ∂L∂λ =U(x, y)−U¯ = 0
Hicks-féle keresleti függvények:
xH(px, py,U)¯ yH(px, py,U¯) Kiadásminimalizálás
• Célfüggvény: pxx+pyy→minx,y
• Korl. felt: U(x, y) = ¯U =U(x0, y0) Lagrange-függvény
L(x, y, λ) =pxx+pyy−λ(U(x, y)−U¯)
• ∂L∂x =px−λ∂U∂x = 0
• ∂L∂y =py−λ∂U∂y = 0
• ∂L∂λ =U(x, y)−U¯ = 0
Hicks-féle keresleti függvények:
xH(px, py,U)¯ yH(px, py,U¯)
Kiadási függvény és indirekt hasznosság 1. Deníció
A hasznomaximalizálási feladat célfüggvényének értékét az optimumban, amely függ a döntés során exogén px, py, I változóktól és amely megmutatja, hogy adott árak és adott jövedelem mellett milyen maximális hasznossági szintet érhet el a fogyasztó, indirekt hasznossági függvénynek nevezzük
v(px, py, I) ={max (U(x, y))|pxx+pyy=I}
2. Deníció
A kiadásminimalizálási feladat célfüggvényének értékét az optimumban, amely függ a döntés során exo- gén px, py,U¯ változóktól és amely megmutatja, hogy adott árak mellett adott hasznossági szintet milyen minimális összkiadással érhet el a fogyasztó, kiadási függvénynek nevezzük
e(px, py,U¯) ={min(pxx+pyy)|U(x, y) = ¯U}
Dualitás 1. Állítás
SHEPHARD-LEMMA
∂e(px, py,U¯)
∂px =xH(px, py,U¯)
∂e(px, py,U)¯
∂py =yH(px, py,U¯) Bizonyítás
Legyenek (p0x, p0y)tetsz®leges árak,U¯ pedig tetsz®leges hasznossági szint,(x0, y0)pedig a paraméterhár- mashoz tartozó kiadásminimalizáslási feladat megoldása.
Deniáljuk az
f(px, py)≡pxx0+pyy0−e(px, py,U)¯
függvényt tetsz®leges(px, py)esetén. Mivele(px, py,U¯)a(px, py,U¯)-hoz tartozó minimális lehetséges kiadás, ezért
f(px, py)≥0
mindig teljesül és ha(px, py) = (p0x, p0y), akkorf(p0x, p0y) = 0felveszi a minimumát. Ekkor
∂f(px, py)
∂px
=x0−∂e(px, py,U¯)
∂px
= 0
∂f(px, py)
∂py
=y0−∂e(px, py,U¯)
∂py
= 0
Mivel (p0x, p0y)tetsz®leges árak voltak, ezért a fenti összefüggés bármilyen árakra igaz
∂e(px, py,U¯)
∂px =xH(px, py,U¯)
∂e(px, py,U)¯
∂py =yH(px, py,U¯)
e(px, py, v(px, py, I)) =I v(px, py, e(px, py,U)) = ¯¯ U
e(px, py,U¯) =pxxH(px, py,U¯) +pyyH(px, py,U¯) v(px, py, I) =U xM(px, py, I), yM(px, py, I)
Szluckij-tétel
2. Állítás
SZLUCKIJ(Slutsky)-TÉTEL
∂xM px, py, e(px, py,U¯)
∂px
= ∂xH(px, py,U¯)
∂px
−∂xM
∂e xM
∂xM px, py, e(px, py,U¯)
∂py
= ∂xH(px, py,U)¯
∂py
−∂xM
∂e yM
∂yM px, py, e(px, py,U¯)
∂px
= ∂yH(px, py,U¯)
∂px
−∂yM
∂e xM
∂yM px, py, e(px, py,U¯)
∂py
=∂yH(px, py,U¯)
∂py
−∂yM
∂e yM Bizonyítás
A dualitási összefüggések miatt
xM px, py, e(px, py,U)¯
=xH(px, py,U¯)
yM px, py, e(px, py,U)¯
=yH(px, py,U¯) Parciálisan dierenciálva mindkét egyenletet mindkét ár szerint
∂xM
∂px
+∂xM
∂e
∂e
∂px
= ∂xH
∂px
∂xM
∂py
+∂xM
∂e
∂e
∂py
=∂xH
∂py
∂yM
∂px
+∂yM
∂e
∂e
∂px
=∂yH
∂px
∂yM
∂py +∂yM
∂e
∂e
∂py =∂yH
∂py Szluckij-tétel (folytatás)
Felhasználva a Shephard-lemmát és átrendezve az egyenletet
∂xM
∂px = ∂xH
∂px −∂xM
∂e xH
∂xM
∂py = ∂xH
∂py −∂xM
∂e yH
∂yM
∂px = ∂yH
∂px −∂yM
∂e xH
∂yM
∂py
=∂yH
∂py
−∂yM
∂e yH Szluckij-tétel (folytatás)
Felhasználva a dualitási összefüggéseket éppen a Szluckij-tételt kapjuk
∂xM
∂px
= ∂xH
∂px
−∂xM
∂e xM
∂xM
∂py
= ∂xH
∂py
−∂xM
∂e yM
∂yM
∂px
= ∂yH
∂px
−∂yM
∂e xM
∂yM
∂py
=∂yH
∂py
−∂yM
∂e yM Matematikailag kicsit precízebben
xM =
xM1
...
xMi ...
xMn
,xH=
xH1
...
xHi ...
xHn
,p=
p1
...
pi
...
pn
Kiadási függvény
e(p,U) =¯ {min(px)|U(x) = ¯U} Shephard-lemma
∇e(p,U¯) =xH
Marshall-féle helyettesítési mátrix
M=
∂xM1
∂p1
∂xM1
∂p2 · · · ∂x∂pM1
i . . . ∂x∂pM1
n
∂xM2
∂p1
∂xM2
∂p2 · · · ∂x∂pM2
i . . . ∂x∂pM2 ... ... n
∂xM1
∂pi
∂xMi
∂pi ...
... ... ...
∂xM1
∂pn · · · ∂x∂pMn
n
Hicks-féle helyettesítési mátrix
H=
∂xH1
∂p1
∂xH1
∂p2 · · · ∂x∂pH1
i . . . ∂x∂pH1
n
∂xH2
∂p1
∂xH2
∂p2 · · · ∂x∂pH2
i . . . ∂x∂pH2 ... ... n
∂xH1
∂pi
∂xHi
∂pi ...
... ... ...
∂xH1
∂pn · · · ∂x∂pHn
n
Szluckij-mátrix
S=
∂xM1
∂p1 +∂x∂eM1 xM1 · · · ∂x∂pM1
n +∂x∂eM1 xMn
... ... ...
... ∂x∂pMii +∂x∂eMi xMi ...
... ... ...
∂xMn
∂p1 +∂x∂eMn xM1 · · · ∂x∂pMn
n +∂x∂eMn xMn
Szluckij-tétel
S=H 3. Állítás
A Hicks-féle helyettesítési mátrix szimmetrikus ∂x∂pHij = ∂x
H j
∂pi és a f®diagonálisában nem pozitív elemek állnak, azaz ∂x∂pHii ≤0.
Bizonyítás (vázlat)
A szimmetria a Young-tételb®l következik.
px≤py qy≤qx (q−p)(y−x)≤0
(q1−p1)(y1−x1) + (q2−p2)(y2−x2)≤0 Tegyük fel, hogyq2=p2, ekkor
(q1−p1)(y1−x1)≤0
∆pi∆xi|U=U0 ≤0 lim
∆pi→0
∆xi
∆pi
|U=U0≤0
∂xHi
∂pi
≤0
Matematikailag kicsit precízebben 1. Következmény
A Szluckij-mátrix f®diagonálisában nem pozitív elemek állnak.
2. Következmény
KERESLET TÖRVÉNYE: Ha azi-edik jószág normál jószág, akkor∂x∂pMii ≤0, azaz a keresleti görbéje negatív meredekség¶.
Bizonyítás
A Hicks-mátrix ∂x∂pHii ≤0tulajdonsága miatt a Szluckij mátrixban ∂x∂pMii +∂x∂eMi xMi ≤0. Normál jószágok esetén ∂x∂eMi >0, ezért szükségképpen ∂x∂pMii ≤0.
Szluckij-féle felbontás
• Célfüggvény: U(x, y)→maxx,y
• Korl. felt: pxx+pyy=pxx0+pyy0 Lagrange-függvény
L(x, y, λ) =U(x, y)−λ(pxx+pyy−pxx0−pyy0)
• ∂L∂x = ∂U∂x −λpx= 0
• ∂L∂y = ∂U∂y −λpy= 0
• ∂L∂λ =Pxx+Pyy−pxx0−pyy0= 0
Szluckij-féle keresleti függvények
xS(px, py, x0, y0) yS(px, py, x0, y0)
4. Állítás
SZLUCKIJ(Slutsky)-TÉTEL[Szluckij-felbontással]
∂xM(px, py, pxx0+pyy0))
∂px = ∂xS(px, py, x0, y0)
∂px −∂xM
∂I x0
∂xM(px, py, pxx0+pyy0))
∂py = ∂xS(px, py, x0, y0)
∂py −∂xM
∂I y0
∂yM(px, py, pxx0+pyy0))
∂px
=∂yS(px, py, x0, y0)
∂px
−∂yM
∂I x0
∂yM(px, py, pxx0+pyy0))
∂py
= ∂yS(px, py, x0, y0)
∂py
−∂yM
∂I y0
Alkalmazások
Piaci kereslet
Egyéni keresletek összegzése
X ≡
N
X
i=1
xi
A d1 és ad2 két egyén keresleti görbéje. Ha az árunak csak ez a két potenciális vev®je van, akkor a teljes piaci keresletD görbéjed1ésd2horizontális összege.
Támogatás versus utalvány
Utalvány
A kiinduló optimum a K széls® megoldás: a fogyasztó az oktatásból nem vásárol. A KK0 nagyságú az oktatási utalvány formájában megvalósított jövedelemjuttatás a K00 új optimumhoz vezet. Az utalvány az oktatás nagyobb mérték¶ fogyasztásához vezet, ha az oktatás hasznos.
