MIKROÖKONÓMIA I.
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén
az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet
és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: K®hegyi Gergely és Horn Dániel Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely
2010. június
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
MIKROÖKONÓMIA I.
6. hét
Preferenciák, hasznosság 2. rész
K®hegyi Gergely, Horn Dániel
A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely
Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON- könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.
http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.
Speciális esetek
Speciális preferenciák
A vagyontárgyak átlagos r hozama hasznos, de a hozam s kockázata káros. A preferenciairányok ezért észak és nyugat (felfelé és balra) mutatnak, ennek következtében a közömbösségi görbék növekv®k (pozitív a meredekségük).
Az 1. zónában az X jószág is, és az Y jószág is hasznos, és a közömbösségi görbék negatív meredekség¶ek. A 2.
zónában az Y már telített, ezen a területen a preferenciairányok észak és nyugat (felfelé és balra), és a közömbösségi görbék pozitív meredekség¶ek. Itt már a fogyasztónak kellene zetni azért, hogy még egy szelet tortát megegyen.
Y hasznos, de X semleges jószág. A fogyasztónak mindegy, hogy több vagy kevesebb jut neki X jószágból. Az egyetlen preferenciairány a felfelé, és így a közömbösségi görbék vízszintesek.
Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy a hagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényereje ugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Az energiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint a hagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóval világítaná ki a lehet® legto- vább. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit?
Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szelet sokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg. Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Hogyan változna meg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkával enné a
asztalnál (x) 6 széken (y) tudnak vendégek helyet foglalni. Minél több vendéget tud fogadni Tasziló, akik (ill®en) asztalnál foglalhatnak majd helyet, annál jobban érzi magát. Kellemetlen viszont számára, ha valaki nem tud az asztalhoz ülni. Annál több vendéget semmiképpen sem hív, mint amennyi szék rendelkezésre áll.
Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit az asztalok és székek vonatkozásában?
Nevezetes hasznossági függvények
• CobbDouglas hasznossági függvény
U(x, y) =xayb
• Tökéletes helyettesítés
U(x, y) =ax+by
• Tökéletes kiegészítés
U(x, y) = min{ax;by}
1. Deníció
AzU ésU0 hasznossági függvény által leírt skála ordinálisan ekvivalens, ha U0 azU pozitív monoton transz- formáltja, azaz köztük a következ® összefüggés áll fenn: U0 =F(U), aholF :R→Rés dFdU >0
1. Állítás
HaU és U0 hasznossági függvény által leírt skála ordinálisan ekvivalens, akkor M RS=M RS0. 1 Bizonyítás
HaU0=F(U), akkor
M Ux0 = dF dU
∂U
∂x = dF dUM Ux
és
M Uy0 = dF dU
∂U
∂y = dF dUM Uy . Emiatt
M RS0=M Ux0
M Uy0 = M Ux
M Uy =M RS .
Pl.: Legyen U(x, y) =x3y5 egy hasznossági függvény. Melyik esetekben beszélhetünk pozitív monoton transzformációról?
• F(U) = 10U, F(U(x, y)) = 10x3y5
• F(U) =−3U, F(U(x, y)) =−3x3y5
• F(U) =U2, F(U(x, y)) =x6y10
• F(U) = 1/U, F(U(x, y)) = x31y5
• F(U) = lnU, F(U(x, y)) = 3 lnx+ 5 lny
• F(U) =−2/U, F(U(x, y)) =−x32y5
A jótékonyság modellezése
Jótékony célú adakozás 1994-ben, néhány kiemelt jövedelemsáv esetében
Családi Adakozók Átlagos Átlagos adakozás
jövedelem részaránya adakozás a család
(dollár) (százalék) (dollár) jövedelmének
arányában (százalék)
10 00019 000 64 209 1,36
30 00039 999 80 474 1,37
50 00059 999 84 779 1,44
100 000124 999 92 1846 1,71
150 000199 999 96 3546 2,09
500 000999 999 97 27 491 4,15
1 000 000-nál több 100 244 586 4,88
A preferenciarendezés matematikai alapjai
Matematikai ismétlés 2. Deníció
Egy A alaphalmaz esetén A×A tetsz®leges részhalmazát bináris (kétváltozós, vagy kéttagú) relációnak ne- vezzük:
(a, b)∈R⊆A×A⇔aRb.
Pl.:
1. H: a Föld lakosai,R:. . .magasabb, mint. . . 2. H: R(valós számok),R:≤
3. H: R(valós számok),R:=
4. H: R(valós számok),R:>
5. H: sík egyenesei,R:párhuzamos 6. H: sík egyenesei,R:mer®leges
7. H: Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R:=
8. H: Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R:≤(pl.: def: x≤y, haxi≤yi, i= 1, . . . , n) 9. H: magyarországi n®k,R:. . . testvére. . .-nak
10. H: a Föld lakosai,R:. . .(vér)rokona. . .-nak 11. H: magyarországi n®k,R:. . . anyja. . . -nak 12. H: ez a csoport,R:. . . barátja. . .-nak 1. Megjegyzés
A reláció fogalma több változóra könnyen általánosítható: R⊆A×A×. . .×A 3. Deníció (Relációk tulajdonságai)
LegyenA alaphalmaz és rajtaR egy reláció.
1. Teljesség: ∀x, y∈A eseténxRy vagyyRx vagy mindkett®.
2. Reexivitás: ∀x∈A-raxRx.
3. Tranzitivitás: ∀x, y, z∈A esetén, haxRy ésyRz⇒xRz. 4. Szimmetria: ∀x, y∈A esetén, haxRy ⇒yRx.
4. Deníció
Rendezési relációnak nevezünk egy relációt, ha teljes, reexív és tranzitív.
5. Deníció
Ekvivalencia relációnak nevezünk egy relációt, ha reexív, tranzitív és szimmetrikus.
Pl.: A példaként megadott halmazok és reláció esetében döntsük el, hogy mely tulajdonságok teljesülnek.
reláció+halmaz teljes reexív tranzitív szimmetrikus 12
34 56 78 109 1112
Matematikailag kicsit precízebben 6. Deníció
AH fogyasztási halmaz felett értelmezett⊆H×H bináris relációt preferenciarendezésnek nevezzük, ha
• teljes,
• reexív,
• tranzitív.
1. Feltevés
RACIONALITÁSI POSZTULÁTUM: Feltesszük, hogy a fogyasztók ízlése (preferenciái) reprezentálható min- den fogyasztó esetében egypreferenciarendezéssel. Hax,y∈H a fogyasztási halmaz jószágkosarai, akkor azxy jelölése jelentése: A fogyasztó legalább annyira kedveli azy kosarat, mint azxkosarat.
7. Deníció
A≺⊆H×H relációt szigorú preferenciarelációnak nevezzük, ha a következ® teljesül x≺y⇔xy,yx
8. Deníció
A∼⊆H×H relációt közömbösségi preferenciarelációnak nevezzük, ha a következ® teljesül:
x∼y⇔xy,yx 2. Állítás
A preferenciareláció rendezési reláció, a közömbösségi preferenciareláció pedig ekvivalenciareláció.
9. Deníció
• Az x0-hoz képest gyengén preferált halmaz:
P(x0)≡ {x|x0x}
• Az x0-hoz képest közömbös halmaz:
K(x0)≡ {x|x0∼x}
A gyengén preferált halmaz határának képét a jószágtérben közömbösségi görbének nevezzük.
• Monotonitás: Haxi≤yi,∀i-re de valamely j-rexj < yj, akkor x≺y
• Konvexitás: Hax∼y eseténxtx+ (1−t)y, t∈[0,1]
• Szigorú konvexitás: Ha x∼y eseténx≺x+ (1−t)y, t∈[0,1]
• (ínyenceknek) Folytonosság: Ha minden x0∈H esetén D(x0)ésP(x0)zárt összefügg® halmazok.
11. Deníció
Az U :H →Rhasznossági függvény reprezentálja a⊆H×H preferenciarendezést akkor, ha
• U(x)< U(y)⇔x≺y
• U(x) =U(y)⇔x∼y 3. Állítás
REPREZENTÁCIÓS TÉTEL (G. Debreu) Ha a⊆H×H preferenciarendezés folytonos és monoton, akkor létezik olyan U :H →Rhasznossági függvény, amely reprezentálja.
4. Állítás
Legyen V(z), V : R → R egy tetsz®leges szigorúan monoton növekv® valós függvény és tegyük fel, hogy az U :H →Rhasznossági függvény reprezentálja a⊆H×H preferenciarendezést. Ekkor aV [U(x)]összetett függvény is reprezentálja a⊆H×H preferenciarendezést.
5. Állítás
Tegyük fel, hogy azU :H→Rhasznossági függvény reprezentálja a⊆H×H preferenciarendezést. Ekkor U(x)szigorúan monoton növekv®, hamonoton.
Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben Pl.: Mostohák
Otthoni élelmiszer-fogyasztás, 19721985 és családszerkezet (átlag =4305 dollár)
Változó Az átlagtól való eltérés (dollár)
Örökbefogadó anya gyermeke −204
Mostohaanya gyermeke −274
Nevel®anya és nevel®apa gyermeke −365 Pl.: Örökség
Fér N®
végrendelkez® végrendelkez®
Házastárs javára 69,8 42,4
Gyermekek javára 21,7 47,6
Összesen 91,5 90,0
Preferenciák empirikus meghatározása
Statisztikai-ökonometriai módszerekkel, pl.: Lineáris regresszióval
Ha a hasznossági függvény pl. CobbDouglas típusú, akkor ordinális hasznosságot feltételezve logaritmi- kus transzformációval linearizálható:
U(x1, x2, . . . , xn) =β1x1+β2x2+. . .+βnxn Pl. (Varian): Ingázás hasznossága
• TW: teljes gyaloglási id® a buszhoz, vagy az autóhoz
• TT: teljes utazási id® percben
• C: utazás teljes költsége dollárban
• A/W: autók/dolgozók aránya a háztartásban
• R: háztartás fajtája (0, ha fekete, 1, ha fehér)
• Z: 1, ha fehérgalléros, 0, ha kékgalléros munkás
U =−0,147T W −0,0411T T−2,24C+ 3,78(A/W)−2,91R−2,36Z
