Készítette:K®hegyiGergelyésHornDánielSzakmaifelel®s:K®hegyiGergely2010.június MIKROÖKONÓMIAI.

MIKROÖKONÓMIA I.

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével

Készítette: K®hegyi Gergely és Horn Dániel Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

MIKROÖKONÓMIA I.

9. hét

A keresletelmélet alkalmazásai és kiterjesztései

K®hegyi Gergely, Horn Dániel

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON- könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

Jövedelemrugalmasság

A kereslet jövedelemrugalmassága

Mennyire érzékenyen reagál a termékb®l keresett mennyiség a jövedelem változására?

• BármelyXjószág fogyasztásának a jövedelem∆Iváltozása miatt bekövetkez®∆xváltozását mérhetjük a ^∆x_∆I arányszámmal (Engel görbe meredeksége egy adott tartományban).

• Probléma: A ^∆x_∆I arányszám dimenziófügg®, azaz érzékeny a termék mértékegységének változtatására.

Pl.: A jövedelem 100 Ft-tal lenne több és ennek következtében 5 dkg=0,05 kg-mal több vajat fogyasztunk

Akkor ^∆x_∆I = 0,05, hah_dkg

F t

i-tal számolunk És ^∆x_∆I = 0,0005, hah_kg

F t

i-tal számolunk

• Ez zavart okozhat, különösen akkor, ha különböz® termékek (pl. db dinnye és db alma, vagy dkg kávé és lter tea) keresletének jövedelemre való érzékenységét szeretnénk összehasonlítani.

1. Deníció

A kereslet jövedelemrugalmasságaεx a vásárolt mennyiség változási arányának és a jövedelem változási ará- nyának a hányadosa. Azaz megmutatja, hogy ha 1%-kal változik a jövedelem, akkor hány százalékkal változik a keresett mennyiség.

• Diszkrét mennyiségek esetén (ívrugalmasság) εx=∆x/x

∆I/I ≡ ∆x

∆I I x

• Folytonos függvények esetén (pontrugalmasság) ε_x=∂x

∂I I x 1. Megjegyzés

Az Engel-görbe egységnyi meredeksége NEM azonos az egységnyi jövedelemrugalmassággal.

1. Állítás

Egy pozitív meredekség¶ Engel-görbe jövedelemrugalmassága attól függ®en nagyobb 1-nél, egyenl® 1-gyel vagy kisebb 1-nél, hogy a görbe meredeksége nagyobb, egyenl® vagy kisebb a görbéhez húzható, origóból kiinduló egyenes meredekségénél.

2. Állítás

Ha egy jószág jövedelemrugalmassága pozitív, akkor a jószág normál jószág; ha negatív, akkor inferor jószág:

• Normál jószág: ε >0

• Inferior (alacsonyabbrend¶) jószág: ε <0 2. Deníció

• Közszükségleti jószág: 1> ε >0

• Luxus jószág: ε >1 3. Állítás

Ha a súlyok a fogyasztónak az egyes jószágokra költött jövedelemhányadai, akkor a fogyasztó jövedelemrugal- masságainak súlyozott átlaga 1-gyel egyenl®. Azaz, hak₁≡^p1_I^x1, . . . , k_i ≡^pi_I^xi, . . . , k_n ≡^pn_I^xn, akkor

k1ε1+. . .+kiεi+. . .+knεn=

n

X

i=1

kiεi= 1

Bizonyítás

Helyettesítsük a Marshall-féle keresleti függvényeket a költségvetési korlátba p₁x₁(p₁, p₂, . . . , p_n;I) +p₂x₂(p₁, p₂, . . . , p_n;I) +. . .+

+. . .+pnxn(p1, p2, . . . , pn;I) =I Dierenciáljuk mindkét oldalt a jövedelem szerint:

p1

∂x1

∂I +p2

∂x2

∂I +. . .+pn

∂xn

∂I = 1 A kereslet jövedelemrugalmassága

Bizonyítás

B®vítsünk minden tagot p1x1

I I x1

∂x1

∂I +p2x2

I I x2

∂x2

∂I +. . .+pnxn

I I xn

∂xn

∂I = 1 k₁ε₁+. . .+k_iε_i+. . .+k_nε_n= 1

n

X

i=1

kiεi= 1

Jövedelemrugalmasság

Egységnyi jövedelemrugalamasság

AzADB szakasszal jellemzett Engel-görbe jövedelemrugalmassága 1, mivel meredeksége azonos az origóból akármelyik pontjához húzott egyenes meredekségével.

A jövedelem hatása a kiadásokra (jövedelemrugalmasságok)

A legalacsonyabb A legmagasabb

Kiadási jövedelm¶ jövedelm¶

kategória csoport csoport

Élelmiszer 0,63 0,84

Lakás 1,22 1,80

Háztartás-fenntartási kiadások 0,66 0,85

Ruházkodás 1,29 0,98

Közlekedés 1,50 0,90

Dohány és alkohol 2,00 0,85

Árrugalmasság

A kereslet árrugalmassága

Mennyire érzékenyen reagál a termékb®l keresett mennyiség a termék árának változására?

Analóg módon deniálhatjuk az árrugalmasság fogalmát.

3. Deníció

A kereslet árrugalmassága a vásárolt mennyiség változási arányának és a termék saját árváltozási arányának a hányadosa. Azaz megmutatja, hogy ha 1%-kal változik a termék ára, akkor hány százalékkal változik a keresett mennyiség.

• Diszkrét mennyiségek esetén

ηx= ∆x/x

∆P_x/P_x ≡ ∆x

∆P_x Px

x

• Folytonos függvények esetén

η_x= ∂x

∂Px

P_x x 4. Állítás

Gien jószág esetén a kereslet árrugalmassága pozitív, közönséges jószág esetén negatív:

• Közönséges jószág: η_x<0

• Gien jószág: ηx>0

Piaci keresletrugalmasság

A négy keresleti görbe a vásárolt mennyiségek különböz® változtatását tükrözi az árváltozások függvényében.

Mivel a keresleti görbéket a szokásnak megfelel®en függ®leges ártengellyel rajzoltuk fel, a vásárolt mennyiség árváltozásra adott nagyobb reakcióját a laposabb keresleti görbék tükrözik.

5. Állítás

Ha a fogyasztó X jószág iránti kereslete rugalmas, akkor aPx ár csökkenése az X-re költöttE≡Pxxkiadás növekedéséhez vezet. Ha a kereslet rugalmatlan, akkor az árcsökkenés csökkenti az Ex nagyságát. Ha a kereslet egységnyi rugalmasságú, akkorE_x nagysága változatlan marad.

Bizonyítás

Határkiadás (M E_x)

M E_x≡ ∂E

∂x =P_x+x∂P_x

∂x =P_x

1 + x Px

∂P_x

∂x

=P_x

1 + 1 ηx

Keresztárrugalmasság

A kereslet keresztárrugalmassága

• A fogyasztók vaj iránti kereslete nemcsak a vaj árától, hanem az olyan kapcsolódó termékek árától is függ, mint a kenyér és a sajt.

• Most is jól fog jönni, hogy a kereslet érzékenységét egy, a mértékegységekt®l független mutatószámmal jellemezzük.

4. Deníció

A kereslet keresztárrugalmassága a vásárolt mennyiség változási arányának és egy konkrét másik termék árváltozási arányának a hányadosa. Azaz megmutatja, hogy ha 1%-kal változik a másik termék ára, akkor hány százalékkal változik a keresett mennyiség.

• Diszkrét mennyiségek esetén

ηxy= ∆x/x

∆P_y/P_y ≡ ∆x

∆P_y Py

x

• Folytonos függvények esetén

η_xy= ∂x

∂Py

P_y x

A kereslet keresztárrugalmassága

A keresztárrugalmasság segítségével megállapítható a vizsgált két termék viszonya, azaz, hogy

• egymást helyettesít® (vaj-margarin),

• vagy egymást kiegészít® (vaj-kenyér) termékekr®l van szó.

5. Deníció Az X és Y termékek

• helyettesít® termékek, ha ηxy >0

• kiegészít® (komplementer) termékek, haηxy<0 2. Megjegyzés

A keresztárrugalmasság segíthet a releváns piac körülhatárolásában.

Két gyógyszer keresletrugalmasságai

1. márka 1. generikus 3. márka 3. generikus

1. márka −0,38 1,01 −0,20 −0,21

1. generikus 0.79 −1,04 −0,09 −0,10

3. márka 0,52 0,53 −1,93 1,12

3. generikus 0,21 0,23 2,00 −2,87

Keresleti rugalmasságok összefüggései

Matematikai ismétlés 6. Deníció

Az f(x) =f(x1, x2, . . . , xn), f:Rⁿ →Rfüggvényk-adfokú pozitív homogén függvény, ha f(tx) =f(tx1, tx2, . . . , txn) =t^kf(x1, x2, . . . , xn) =t^kf(x).

6. Állítás

Euler-tétel (k-adfokú pozitív homogén függvényekre) Legyen f(x) Rⁿ → R deriválható függvény. Legyen S nyílt halmaz olyan, hogyS⊆Df,x∈S ⇒tx∈S, ∀t∈R⁺ esetén. Az f(x)függvény pontosan akkork-ad fokon homogén azS halmazon, ha∀x∈S esetén

n

X

i=1

xi

∂f(x)

∂x_i =kf(x), aholxi azxvektori-edik koordinátája.

Keresleti rugalmasságok (elaszticitások) összefüggései 7. Állítás

A keresleti függvények nulladfokú pozitív homogén függvények.

Bizonyítás (Kétváltozós eset)

• célfüggvény: U(x, y)→max_x,y

• Korl. felt: pxx+pyy=I

• célfüggvény: U(x, y)→maxx,y

• Korl. felt: tp_xx+tp_yy=tI

Azx(Px, Py, I)ésy(Px, Py, I)keresleti függvények mindkét feladatnak megoldásai, mivel nincsen pénzillúzió .

Árrugalmassági mátrix és jövedelemrugalmassági vektor



















η11 · · · η1n

... ... ...

... η_ij ...

... ... ...

ηn1 · · · ηnn

















 ,















 ε₁

...

ε_i ...

εn

















A kereslet jövedelemrugalmassága 8. Állítás

n

X

j=1

ηij+εi= 0;i= 1, . . . , n

Bizonyítás (Kétváltozós eset)

Alkalmazzuk az Euler-tételt a nulladfokú pozitív homogén keresleti függvényekre px

∂x

∂p_x+py

∂x

∂p_y +I∂x

∂I = 0 px

∂y

∂px

+py

∂y

∂py

+I∂y

∂I = 0 Bizonyítás

Osszuk végig az egyyenleteket az x, illetvey változókkal:

px

x

∂x

∂px

+py

x

∂x

∂py

+I x

∂x

∂I = 0 px

y

∂y

∂p_x +py

y

∂y

∂p_y +I y

∂y

∂I = 0 Felhasználva a rugalmasságok denícióját:

η_xx+η_xy+ε_x= 0 η_yx+η_yy+ε_y = 0 3. Megjegyzés

Egy (normál) jószág kereslete annál árrugalmasabb, minél több közeli helyettesít®je van, illetve minél nagyobb a jövedelemrugalmassága.

7. Deníció

Hicks-féle kompenzált árrugalmasság

η^∗_ij≡ ∂x^H_i

∂pj

pj

x^H_i Hicks-féle kompenzált rugalmassági mátrix:



















η₁₁^∗ · · · η_1n^∗

... ... ...

... η^∗_ij ...

... ... ...

η^∗_n1 · · · η_nn^∗



















9. Állítás

ηij =η^∗_ij−kjεi,(i, j= 1, . . . , n) Bizonyítás (Kétváltozós eset)

Alkalmazzuk a Szluckij-tételt:

∂x^M

∂p_x = ∂x^H

∂p_x −∂x^M

∂e x^H

∂x^M

∂p_y = ∂x^H

∂p_y −∂x^M

∂e y^H

∂y^M

∂px

= ∂y^H

∂px

−∂y^M

∂e x^H

∂y^M

∂py

=∂y^H

∂py

−∂y^M

∂e y^H Bizonyítás (Kétváltozós eset)

Szorozzuk meg az egyenleteket ap_x/x, p_y/x, p_x/yésp_y/ytörtekkel és használjuk fel a dualitási összefüg- géseket

∂x^M

∂px

p_x

x^M =∂x^H

∂px

p_x

x^H −∂x^M

∂I x^M p_x x^M

I I

∂x^M

∂py

p_y

x^M = ∂x^H

∂py

p_y

x^H −∂x^M

∂I y^M p_y x^M

I I

∂y^M

∂p_x px

y^M = ∂y^H

∂p_x px

y^M −∂y^M

∂I x^M px

y^M I I

∂y^M

∂p_y py

y^M =∂y^H

∂p_y py

y^M −∂y^M

∂e y^M py

y^M I I 8. Deníció

• Nettó helyettesít®k: η^∗_ij>0

• Nettó kiegészít®k (komplementerek): η^∗_ij <0 10. Állítás

• Minden esetben η^∗_ii≤0,(i= 1, . . . , n)

• Normál jószág esetén η_ii≤0,(i= 1, . . . , n) 11. Állítás

n

X

j=1

η^∗_ij= 0

Bizonyítás

Összegezzük j szerint a Szluckij-tételb®l származóηij=η^∗_ij−kjεiegyenleteket

n

X

j=1

ηij =

n

X

j=1

η_ij^∗ −

n

X

j=1

kjεi.

Mivel Pn

j=1kj= 1, ezért

n

X

j=1

ηij =

n

X

j=1

η_ij^∗ −εi.

Az egyenlet jobb oldaláról már beláttuk, hogy nulla.

1. Következmény

Minden terméknek kell, hogy legyen legalább egy nettó helyettesít®je.

12. Állítás

A Hicks-féle kompenzált árrugalmasságok NEM szimmetrikusak η^∗_ij6=η_ji^∗ 9. Deníció

Hicks-Allen féle helyettesítési rugalmasság

σij ≡η^∗_ij kj

, kj =pjxj

I 13. Állítás

A Hicks-Allen féle helyettesítési rugalmasságok szimmetrikusak σij=σji

Bizonyítás

σij ≡η^∗_ij kj

≡ ∂x^H_i

∂pj

p_j x^H_i

I pjxj

≡ ∂x^H_i

∂pj

I x^H_i x_j

σ_ji≡η^∗_ji ki

≡ ∂x^H_j

∂pi

p_i x^H_j

I pixi

≡ ∂x^H_j

∂pi

I x^H_j xi

Rugalmassági összefüggések

• k1ε1+. . .+kiεi+. . .+knεn= 1

• Pn

j=1ηij+εi= 0;i= 1, . . . , n

• ηij=η^∗_ij−kjεi, i, j= 1, . . . , n

• Pn

j=1η_ij^∗ = 0

• σij =σji, i, j= 1, . . . , n Keresleti görbék illesztése

A piaci kereslet rugalmasságai:

• ε_X = _∆M^∆XM_X, illetveε_X = _∂M^∂XM_X, ahol M a vizsgált társadalmi csoport összjövedelme M =Pn i=1I_i, vagy súlyozott átlagjövedelme.

• η_X= _∆P^∆X

x

P_x

X, illetveη_X =_∂P^∂X

x

P_x X

• ηXY =_∆P^∆X

Y

PY

X , illetveηXY=∂X

∂P_Y PY

X

A rugalmasság grakus értelmezése A rugalmasság geometriája

A lineáris DD⁰ keresleti görbe rugalmassága a T pontban az origóból húzott OT sugár meredekségének és a keresleti görbe meredekségének a hányadosa. Egy olyan keresleti görbe esetében, mintF F⁰ a T pontban vett rugalmasság azonos a T-beli érint®nek megfelel®DD⁰ lineáris keresleti görbe rugalmasságával.

A rugalmasságot meghatározó tényez®k alkalmazások

Általános keresleti függvények

• X =A+BPX, aholAésB konstans paraméterek (állandó meredekség¶).

1. Példa

X=A+BPX+CI+DPY +EPZ+. . .

• X =aP_X^b, vagylogX = loga+blogPX (álandó rugalmasságú).

2. Példa

X =aP_X^bI^cP_Y^dP_Z^e. . .

logX= loga+blogPX+clogI+dlogPY +elogPZ+. . . ηX =b;εX =c;ηXY =d;ηXZ=e;. . .

Pl.: Kávékereslet

logC= 0,16 logPC+ 0,51 logIb+ 0,15 logPt−0,009 logT+konstans

A kereslet érzékenységét meghatározó tényez®k

• Helyettesít®k elérhet®sége. Egy áru kereslete annál rugalmasabb, minél több és minél közelibb helyet- tesít® áll rendelkezésre.

• Luxus- versus létszükségleti javak: A luxusjavak kereslete általában rugalmasabb, mint a létszükségleti javaké.

• Magasan versus alacsonyan árazott javak.

Adagolás jegyrendszerrel

• Pxx+Py≤I jövedelemkorlát

• pxx+pyy≤N pontkorlát Kényszerít® erej¶ korlátok

A pontkorlát aGM szakaszon fogyasztást korlátozó (ez aGH szakasz folytonos vonallal rajzolt része), a jövedelemkorlát pedig azM L szakaszon (aKLszakasz folytonos vonallal rajzolt része).

Heti átlagos vásárlás a városi háztartás-fenntartó családonként (font)^∗ Jövedelem 1000 dollár 10002000 20003000 30004000 4000 dollár

vagy kevesebb dollár dollár dollár feletti

1942Sajt 0,26 0,57 0,64 0,81 1,03

Halkonzerv 0.21 0,36 0,56 0,44 0,37

1944 0,24 0,33 0,44 0,49 0,52

SajtHalkonzerv 0,06 0,12 0,17 0,22 0,28

∗1 font≈1 gramm

Jövedelmi korlát szerepében az id®

Egyes változók átlagos értékei

Chevron Mobil vagy Union

Vásárolt gallonmennyiség 11,6 8,8

Hétvégi vásárlók százalékos aránya 31,2 26,2 Utasokkal tankolók százalékos aránya 7,3 18,0 Teljes állásban dolgozók százalékos aránya 67,9 83,6

Háziasszonyok százalékos aránya 5,5 3,3